Fata la

L'AREA DI UN TRIANGOLO E il PRODOTTO VETTORIALE Vogliamo da ^{descrivere una} formula per l'area del _triangolo

O A B ^{con A e e} es ^e B b ba^b

PROPOSIZIONE Il triangolo ^{O AB} la area uguale ^a

i a b _{araba asta} ^e bs ^a ba aah

dire ^{sia 5 l'area cercata} _B

Abbiamo i _iil ^A

S dist ^{o A} E a ⁱⁿ

2 I

0

dove L è l'altezza del triangolo ^{relative alla base 0A}

Abbiamo

dist ^{0 A} IlAll e L ^{diat 0 B sin} 0 11Bll soul

dove ^{0 è} l'angolo ^{A 0 B O è un angolo compreso tra O'e1800}

quid ^{sin 0 7 da cui}

sin 0 ^{1 cos b 2}

Infine ^{possiamo calcolare con 0 usando il} prodotto ^{colore e}

otteniamo

cosa A B ^e guidi ^{sin 9}

HAI ^NBN _NAHIBN

Metterlo htt ⁱ pezzi ^{insieme otteniamo}

5 ^{11AM IIB} _HANNAH

la

Fata

Sviluppiamo ^ora l'espressione all'interno

ll All IlBll A B

aita at bitbit ^{bi a b te betab}

ai bit ^ai bi tab ^t taib.lt ai ^bit ai ^bi ta

Haitiani

2 e e b b 2 ^{e a} b b 2 ^a es ba^b

ai bi ^{2a b a b} ai ^bar ai ^{bi 2 a b A b te} bè

at bi ^2a baa ^b at bt

a b ^e ba ^a b ^e b It ^a ba ^{a b}

e quindi otteniamo la forzuta ^cercata

DEFINIZIONE ^{PRODOTTO VETTORIALE}

Dati _A ^{a a a} e B b b bs ^{definisco il}

prodotto vettoriale tra ^{A e B come il} rettore

An D e b _araba asta ^a bs ^{a ba e b}

OSSERVAZIONE Se ^{s è} la superbia ^del

triangolo ^{O AB e re è} l'angolo ^{A 0 B nella}

dimostrazione della proposizione precedente abbiano visto

2 S Il All Il Bll sin 0 ¹¹ A ^a B ¹¹ Esempio

Se ^{e 1 0 e o 1 0 e o 0 1}

abbiamo

l ^{n e E} la ^{e E e Al Cz}

Osservazione PROPRIETÀ ^{DEL PRODOTTO VETTORIALE} Se ^{A B C e} IR ^e de IR ^allora

1 A ^a B B ^{a A}

2 LA ^{n b A O LA AB B}

ovvero A ^a B è ortogonale ^{al A e a B}

3 A n Btc A a B A ^a C

A B ^{a c A n c t Bac}

4 LA ^{n B And B 1 A a B}

Esercizio Dimostrare letto gusti proprietà

O Lu ^ri e di UN TETRAEDRO

Sia ^{A a e e} D b b _bs ^A

e C ^{C e} Cs vogliono ^e

trovare una forzuta ^semplice

per il uol.net ^{hl tetraedro} B

0 ABC

PROPOSIZIONE

Il volume del tetraedro ^{o ABC è} dato ^la

1

g ^A

Bac

fa

dimostrazione ^{sia IT il poco o B C e A la}

retta _per l'origine ^{ortogonale a tt}

Sia A la _proiezione di A

q

sul piano 1T

A _C

Sia ⁵ la superficie ^del

triangolo ^{0 BC e sia le dist A A} _l

l'altezza ^{relativa a questo}piano _{A 13}

Allora ^{se Vi il volume}

O

s E

Inoltre ^{s Il Bach} guidi

Il _Bach L

6

Osserviamo inoltre che Bn ^c è ortogonale ^a t guidi

A Il ^Bnc

Per calcolare ^A _possiamo gridi applicare ^la

formla determinato ⁱⁿ precedenza _per la proiezione

su ^un piano

A Bac

A A Baci A L Bac

H Bac ¹¹

A Bac

con Il Bacile Quivi

E _di.tt ^{A A} HA ^A Il ^{11 a} Bach talkback

A Bac A Bn ^c I

ll D ^{a c} Il

ll B ^a ch il Bach

e infin

Io ^{li baci A}_{il Bach} ^{A Bac}

Espanderlo il prodotto ^{vettoriale e il} prodotto

colore si trova la Z'fossile