Ordinamento: Nuovo (DM 270) Vecchio (ex DM 509) Firma ... Ritirato

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ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA II (B) Compito A - 3 settembre 2009

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Ordinamento: Nuovo (DM 270) Vecchio (ex DM 509) Firma ... Ritirato

Esercizio 1 Calcolare il seguente integrale indefinito:

Z 1

2 − 2 sin x + cos x dx

Esercizio 2 Stabilire per quali valori del parametro x ∈ R la serie

∞

X

k=0

1

4 ^k (1 − sin x) ^2k risulta convergente.

Esercizio 3 Data la funzione f (x, y) := e ^x − x − y ² + 2y, determinarne massimi e minimi assoluti sul dominio D := {(x, y) ∈ R ² : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.

Esercizio 4

a) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

b) Calcolare la derivata F ⁰ (x) della funzione F (x) := R e

1

log t 1+(sin t)

dt.

c) Trovare massimi e minimi assoluti su R della funzione F . (Suggerimento:

sfruttare il punto b)).

Esercizio 5

a1) Si enunci il criterio del confronto asintotico per integrali impropri di funzioni f : [0, +∞) → R “con una sola singolarit`a in +∞”.

a2) Si dica se l’integrale improprio R +∞

0

2x+e

5x

+e

dx ` e convergente o no.

b) Si dia la definizione di differenziabilit` a nel punto (x ₀ , y ₀ ) ∈ D per una funzione f : D → R continua su un aperto D ⊂ R ² .

1