Capitolo 2 L'AMPLIFICATORE OTTICO A SEMICONDUTTORE

A SEMICONDUTTORE

2.1 – Caratteristiche dell’amplificatore ottico a semiconduttore

L’incremento del traffico ed i vantaggi della trasmissione su fibra ottica sono le ragioni principali dell’interesse nello sviluppo di componenti ottici, specialmente quelli capaci di processare segnali nel dominio ottico. Uno di questi è l’Amplificatore Ottico a Semiconduttore (Semiconductor Optical Amplifier - SOA).

Il motivo del crescente interesse verso i SOA è da ricercare nella loro capacità di amplificare e processare segnali ottici ad alta velocità richiedendo una modesta corrente di polarizzazione ed occupando un volume ridotto, pur presentando elevato guadagno ed alti effetti non lineari.

Figura 2-1: Disegno schematico di un Amplificatore Ottico a Semiconduttore

La figura mostra la struttura base di un SOA. Il segnale ottico è accoppiato con la guida d’onda del SOA che rappresenta la zona attiva. Il dispositivo può essere semplicemente descritto mediante un sistema a due livelli, in cui il livello fondamentale è rappresentato dalla banda di valenza del semiconduttore, mentre il livello metastabile da quella di conduzione. Nella zona attiva, l’inversione della popolazione dei portatori liberi, che avviene

per pompaggio elettrico, garantisce un certo guadagno ottico. Così il segnale luminoso è amplificato per emissione stimolata durante l’attraversamento del dispositivo ed emerge dalla faccia opposta con maggiore potenza.

I SOA sono compatti, necessitano di un pompaggio elettrico anziché ottico ed hanno una larghezza di banda ottica relativamente ampia. Inoltre la tecnologia a semiconduttore offre una buona flessibilità nella scelta della posizione della banda operativa, utilizzando semplicemente materiali appropriati nella composizione dello strato attivo.

Un altro vantaggio fondamentale è che questi dispositivi possono essere integrati con altri componenti ottici passivi per raggiungere funzionalità più complesse. Infine sono potenzialmente economici, grazie alla maturità della tecnologia su cui si basano e alla prospettiva di una produzione su larga scala.

I SOA possono essere usati sia in condizioni di regime lineare, come amplificatori, sia in regime non lineare. In quest’ultima modalità, sfruttando le sue dinamiche ultraveloci, è possibile processare segnali completamente a livello ottico.

Le proprietà del SOA permettono di realizzare numerose funzioni e lo rendono un dispositivo altamente versatile.

I principali effetti fisici che andremo ad analizzare sono riportati sotto.

Guadagno ottico: il segnale ottico viene amplificato tramite emissione stimolata

Amplified Spontaneous Emission (ASE): i fotoni generati per emissione spontanea

vengono amplificati durante il loro transitare attraverso la zona attiva.

Self Phase Modulation (SPM): è la modulazione di fase autoindotta del segnale ottico. Si

genera per la variazione dell’indice di rifrazione della zona attiva causata dalle variazioni di potenza del segnale stesso.

Self Gain Modulation (SGM): è la modulazione del guadagno del dispositivo creata dalle

variazioni di potenza del segnale transitante.

Cross Gain Modulation (XGM): è la modulazione del guadagno indotta da un segnale

ottico più potente che si ripercuote sul guadagno sperimentato da altri segnali ottici, contemporaneamente transitanti.

Cross Phase Modulation (XPM): parallelamente al XGM, è la modulazione di fase di

segnali ottici contemporaneamente propaganti creata dal cambiamento di indice di rifrazione indotto da un segnale potente.

Four Wave Mixing (FWM): il battimento tra due o più segnali ottici a diversa frequenza

che si propagano attraverso il SOA genera nuove componenti a differenti lunghezze d’onda.

Rotazione della polarizzazione: effetti di birifrangenza causano la rotazione della

2.2 – Struttura del SOA

I termini Semiconductor Optical Amplifier (SOA), Laser Diode Amplifier (LDA), Semiconductor Laser Amplifier (SLA), Travelling Wave Amplifier (TWA), e Fabry-Perot Amplifier (FPA) sono tutti nomi usati in letteratura per indicare il medesimo dispositivo. Il SOA è molto simile ad un laser a semiconduttore in cui è assente (o quantomeno trascurabile) la retroazione introdotta dalle facce laterali.

Il segnale ottico si propaga nella guida d’onda ottica ed è amplificato grazie l’emissione stimolata. L’inversione di popolazione è ottenuta tramite pompaggio elettrico.

Tutte le differenti strutture dei SOA disponibili oggi sono basate su una doppia eterogiunzione pn che garantisce il confinamento dei portatori e del segnale ottico.

Tipicamente i materiali utilizzati sono compositi a gap diretto: AlGaAs e InGaAsP. Con questi materiali si riesce a coprire il range di lunghezze d’onda da 0,7 a 1,6 µm.

Si distinguono due tipi di SOA in base alla loro struttura interna: bulk e Multi Quantum Well (MQW) [15]. Il primo impiega una doppia eterogiunzione in cui la corrente è iniettata solo in una sottile striscia di semiconduttore tra due strati di ossido, e quindi lo strato eterogeneo è attivo solo nella zona centrale (meccanismo di confinamento dell'emissione detto gain-guiding). Un perfezionamento della struttura a striscia d'ossido è realizzato nell'amplificatore ridge waveguide in cui l'ossido viene depositato ai lati di una "cresta" creata rimuovendo parte del materiale p dell’eterogiunzione in tal modo si confina la corrente in una zona ristretta ed inoltre si crea una discontinuità laterale dell'indice di rifrazione del materiale p rispetto all'ossido. Si crea dunque un fenomeno di guida dell'emissione che confina i fotoni nell'area del ridge.

Il secondo è un dispositivo del tipo ad eterogiunzione, in cui lo strato attivo (od i molti strati attivi alternati a strati di semiconduttore eterogeneo per i Multi QW) viene ridotto ad uno spessore così piccolo (qualche decina di nm) da essere confrontabile con la lunghezza dell'onda quantistica associata ad un elettrone all'interno del semiconduttore.

I vantaggi dei dispositivi basati su MQW sono maggior guadagno, una più ampia banda di guadagno, maggior potenza di saturazione ed una cifra di rumore più bassa. Dall’altra parte i bulk SOA garantiscono un maggiore fattore di confinamento della potenza ottica, che risulta vantaggioso quando si tratta di utilizzare gli effetti non lineari del SOA.

La più semplice struttura di un SOA consiste in una guida d’onda monomodo che può essere di tipo sepolta o sporgente. In più, per incrementare l’efficienza d’accoppiamento tra la fibra

ed il chip e per ridurre la riflettività delle facce, si tende a realizzare la guida d’onda inclinata rispetto al blocco sottostante.

Figura 2-2: Schema di un SOA ridge waveguide inclinata.

La figura mostra la struttura di un SOA con guida d’onda sporgente (ridge waveguide) [16]. I vari strati sono cresciuti epitassialmente su un substrato di semiconduttore drogato con InP di tipo n. Lo strato attivo composto da InGaAsP garantisce un picco di guadagno intorno ai 1,55 µm (lunghezza d’onda di interesse nella trasmissione in III finestra).

Il mantello superiore è drogato con InGaAsP di tipo p con un gap maggiore rispetto a quello del materiale dello strato attivo. Il materiale sporgente è di tipo p InP. La metallizzazione evaporata sulla cima dello strato sporgente è il polo positivo per fornire la corrente di polarizzazione.

2.3 – Emissione Spontanea Amplificata (ASE)

Guadagno ottico, banda di guadagno, potenza di saturazione cifra di rumore ed emissione spontanea amplificata (ASE) sono considerate tra le più importanti caratteristiche degli amplificatori ottici. Vediamo come questi parametri variano a seconda delle condizioni in cui facciamo operare il SOA.

Una delle caratteristiche strutturali che influenza maggiormente i valori dei parametri suddetti è la lunghezza della regione attiva.

Osservando la densità di portatori liberi lungo tutta la zona attiva ci accorgiamo che il suo andamento è fortemente dipendente dalla dimensione della regione stessa.

Figura 2-3: A sinistra: Distribuzione della densità dei portatori liberi lungo la regione attiva. A destra: Potenza d'ASE viaggiante in un senso e nell'altro lungo la zona attiva.

Tre aspetti della densità dei portatori è importante rilevare: il livello di densità, la sua distribuzione spaziale e quella spettrale (il livello di densità è ovviamente legato fortemente alla corrente di iniezione utilizzata).

La causa principale di questo variare della densità dei portatori è l'ASE. Dentro la regione attiva sono presenti componenti di ASE (fotoni prodotti dall'emissione spontanea) che viaggiando verso le facce vengono amplificate. Così, vicino le facce, il consumo di portatori liberi, dovuto all'emissione stimolata indotta dai fotoni dell'ASE, è maggiore che al centro

della zona attiva. Quando non sono presenti segnali in ingresso al SOA, l'ASE crea una distribuzione spaziale simmetrica della densità dei portatori liberi, come possiamo vedere dalla figura. Dunque, quando la lunghezza del dispositivo viene aumentata l'amplificazione dell'ASE è maggiore ed induce perciò un maggior consumo di portatori liberi. Questo è il motivo per cui la densità media dei portatori liberi si abbassa incrementando la lunghezza del SOA.

La distribuzione della densità dei portatori liberi è anche influenzata dal passaggio dei fotoni di un segnale ottico immesso nel SOA.

Osserviamo come tale distribuzione cambia al variare della potenza del segnale.

Figura 2-4: Distribuzione della densità dei portatori liberi lungo la regione attiva in presenza di un segnale CW in ingresso.

Come ci aspettiamo, la densità media diminuisce con l'aumentare della potenza in ingresso (i portatori si ricombinano per emissione stimolata).

Inoltre possiamo notare che vicino alla faccia d'uscita la densità tende a calare con l'aumentare della potenza, mentre vicino alla faccia d'ingresso avviene il contrario.

Ciò è spiegabile ragionando in questo modo: vicino all'uscita i portatori sono consumati dall'emissione stimolata che amplifica il segnale; essendoci pochi portatori si riduce anche l'ASE che "viaggia" dall'uscita verso l'ingresso e così, essendoci meno ricombinazioni, la densità di portatori aumenta in ingresso.

Il ruolo dell'ASE, come abbiamo potuto già considerare, ha una notevole influenza sui comportamenti del SOA, sia sulle sue prestazioni statiche che dinamiche.

L'ASE è il risultato della combinazione dell'emissione spontanea e quella stimolata.

A causa della grande densità di potatori liberi nella banda di conduzione, vengono generati numerosi fotoni per emissione spontanea. Una frazione di questi fotoni risulta accoppiata col modo fondamentale in guida e dunque propagandosi viene amplificata. Come risultato all'uscita del SOA si può osservare un spettro ottico ampio (causa Emissione Spontanea) e ad alta intensità (causa Emissione Stimolata). Dalla forma dello spettro dell'ASE è possibile ottenere delle informazioni su un certo numero di parametri del SOA: guadagno, banda, posizione del picco di guadagno e riflettività delle facce.

In generale l'ASE è un elemento di "disturbo", aggiunge rumore ai segnali amplificati e limita il massimo guadagno ottenibile perché esaurisce i portatori.

Sperimentalmente parlando, l'ASE è la caratteristica ottica del SOA più facile da misurare dato che non è necessario usare nessun segnale esterno.

Cerchiamo di capire come la potenza dell'ASE dipenda da numerosi fattori.

La prima e più logica dipendenza che è possibile rilevare è quella dalla corrente di polarizzazione.

Figura 2-5: Potenza d'ASE al variare della densità di corrente in SOA con lunghezze della regione attiva differenti.

La curva Potenza - Intensità di corrente è molto simile alla caratteristica di un diodo laser (è presente cioè una certa corrente di soglia). Possono essere identificate due modalità di

emissione. Nella prima, per basse correnti, il SOA emette per emissione spontanea e funziona come un LED (Light Emitting Diode). Nella seconda, quando la corrente raggiunge un certo valore di soglia, la potenza aumenta notevolmente. In questo regime l'effetto dominante è l'emissione stimolata, la potenza d'uscita è data principalmente da fotoni che, accoppiati nella regione attiva, vengono amplificati.

Come vediamo dai due grafici sopra riportati, la lunghezza della zona attiva gioca un ruolo rilevante nella potenza d'uscita. Come è prevedibile, aumentando la lunghezza del dispositivo aumenta anche la potenza d'uscita. Questo è vero finché non si raggiunge una lunghezza per cui la potenza non aumenta più; ciò si può spiegare considerando che l'ASE alla fine impoverisce totalmente la banda di conduzione per cui non si ha più amplificazione.

Figura 2-6: Potenza d'ASE totale al variare della lunghezza del SOA

Insieme alla potenza d'uscita, un altro aspetto chiave di un amplificatore ottico è la larghezza di banda. La densità spettrale di potenza dell'ASE ci dà un'idea di questa caratteristica.

Figura 2-7: A sinistra: Spettro d'ASE al variare della corrente di polarizzazione. A destra: Spettro d'ASE al variare della lunghezza del SOA.

Aumentando la corrente di polarizzazione aumenta la densità di portatori liberi e si ottiene un tasso maggiore di emissione stimolata. Ecco che la densità spettrale di potenza aumenta di conseguenza. Si ha inoltre uno spostamento verso lunghezze d'onda più corte del picco d'ASE.

2.4 - Guadagno

Il parametro operazionale di maggior rilevanza di un amplificatore è certamente il suo guadagno. Ci occuperemo del comportamento del guadagno sia in condizioni statiche (con laser che emettono una potenza continua) che dinamiche (con laser che emettono una potenza variabile nel tempo).

Per operazioni lineari il SOA manifesta in generale prestazioni inferiori a quelle di un Amplificatore in Fibra Drogata all’Erbio (Erbium Doped Fiber Amplifier - EDFA), sia per quanto riguarda la potenza d'uscita di saturazione sia per le dinamiche del guadagno.

Come tutti gli amplificatori, anche il SOA mostra la saturazione del guadagno quando i segnali di ingresso sono troppo potenti. Il più alto guadagno disponibile è chiamato guadagno di piccolo segnale, proprio perché è ottenuto ponendo in ingresso un segnale a bassa potenza.

Figura 2-8: Guadagno in funzione della potenza di uscita.

La figura mostra una tipica curva di guadagno.

Per basse potenze di ingresso il guadagno è pari al guadagno di piccolo segnale. Quando la potenza di ingresso è sufficientemente elevata da abbassare la densità dei portatori liberi, il guadagno del SOA comincia ad abbassarsi. La potenza di uscita per cui si ottiene una riduzione del guadagno pari a 3 dB è chiamata potenza di saturazione d’uscita (Psatout).

La relativa potenza di ingresso è chiamata potenza di saturazione di ingresso (Psatin).

La potenza di saturazione di uscita è il parametro che viene generalmente usato per indicare il limite superiore delle operazioni lineari del SOA. Il valore della Psatout è determinato dalla

combinazione di più fattori, quali i materiali di cui è composto il SOA, il fattore di confinamento, il coefficiente di perdita e la saturazione indotta dall’ASE.

Comunque, uno dei principali elementi che fa variare la potenza di saturazione ed il guadagno di piccolo segnale è la corrente di polarizzazione.

Figura 2-9: Guadagno di piccolo segnale al variare della lunghezza del dispositivo.

Come è facile prevedere, il guadagno di piccolo segnale aumenta con la corrente. Si osserva inoltre un fenomeno di saturazione per alte correnti di polarizzazione.

Fino ad ora abbiamo parlato del guadagno considerando un segnale in ingresso avente lunghezza d’onda pari a quella del picco di guadagno. Vediamo adesso la dipendenza spettrale del guadagno.

Figura 2-10: Guadagno di piccolo segnale al variare della lunghezza d'onda per un SOA lungo 0,25 mm ed uno lungo 1,5 mm

La figura evidenzia un tipico andamento del guadagno di piccolo segnale al variare della lunghezza d’onda. Il dispositivo garantisce quindi una certa banda di tutta rilevanza (tipicamente, intorno a 1550 nm i SOA presentano una larghezza di banda di 40 nm –5 THz). Come si può notare, cambiando la lunghezza della zona attiva si ha un cambiamento della banda stessa ed uno spostamento del picco di guadagno (a parità di tutte le altre caratteristiche).

Esaminando lo spettro d’ASE è possibile risalire immediatamente alla posizione del picco di guadagno ed alla banda del dispositivo.

2.5 – Dinamiche del guadagno

Nel paragrafo precedente abbiamo analizzato il comportamento del guadagno del SOA in differenti situazioni di operatività, ma sempre in condizioni di regime, utilizzando segnali ad Onda Continua (Continuos Wave – CW).

E’ nostro intento investigare l’evoluzione temporale del guadagno del dispositivo.

In generale le non linearità del guadagno sono dannose in quanto distorcono il segnale e provocano diafonia tra canali differenti. Quando le dinamiche del guadagno dell’amplificatore sono più lente delle variazioni del segnale in ingresso l’effetto non disturba in maniera considerevole le prestazioni dell’amplificatore. Questo è quello che accade negli EDFA, largamente impiegati negli odierni sistemi di telecomunicazione.

Il SOA, al contrario, manifesta delle dinamiche altamente veloci. Questa caratteristica si rivela appetibile in previsione di uno sfruttamento per applicazioni non lineari al fine di ottenere un processing di segnali ottici.

In particolare, effetti come Self- e Cross-Gain Modulation (SGM XGM) sono già stati impiegati per ottenere funzioni come conversione di lunghezza d'onda, transmultiplexing, recupero del clock e generazione di impulsi.

Le dinamiche del guadagno del SOA sono legate direttamente a quelle dei portatori liberi. Le variazioni della densità totale dei portatori e della loro distribuzione d'energia nella banda di valenza e quella di conduzione sono causate da fenomeni di transizione detti interbanda ed intrabanda [17, 18]. Il primo riguarda le transizioni dei portatori tra la banda di valenza e quella di conduzione, il secondo modifica la distribuzione di energia dei portatori all'interno della stessa banda.

Le transizioni interbanda sono determinate da pompaggio elettrico, emissione stimolata, ricombinazioni non radiative e Assorbimento di Due Fotoni (Two Photon Absorption - TPA). Variando la densità dei portatori, la distribuzione di energia all'interno della banda viene modificata. In più, contribuiscono a cambiarla fenomeni come Spectral Hole Burning (SHB), Free Carier Absorption (FCA), Carrier Heating (CH) e Carrier Cooling (CC).

Per capire bene i principi dietro l'evoluzione temporale della densità dei portatori e la loro distribuzione energetica ci mettiamo in una situazione in cui un impulso ottico ultracorto è iniettato nel SOA.

Figura 2-11: Evoluzione temporale della distribuzione della densità dei portatori liberi nella banda di conduzione al passaggio di un impulso ottico corto

Prima che l'impulso arrivi, la densità dei portatori mostra una distribuzione di Fermi (figura 2-11). Quando l'impulso transita nel SOA effetti come FCA, TPA e SHB alterano la distribuzione di Fermi. L'impulso ottico induce la ricombinazione solamente per quei portatori che hanno energia appartenente ad un certo range, corrispondente all'energia dei fotoni dell'impulso. Questo causa un buco nella distribuzione dei portatori, da qui il nome SHB. Inoltre l'intera densità di portatori nella banda si è ridotta.

Contemporaneamente, data l'alta densità di fotoni nella regione attiva, può accadere TPA, cioè due fotoni sono assorbiti ed un solo elettrone è trasferito dalla banda di valenza ad un livello energetico molto alto in quella di conduzione. In più accadono fenomeni di FCA dove un portatore assorbe un fotone e si muove su un livello energetico più alto nella stessa banda. Quando l’impulso ha lasciato il SOA, la distribuzione di Fermi è ristabilita attraverso la diffusione dei portatori. La relativa costante di tempo viene spesso chiamata tempo di rilassamento dello SHB.

L’emissione stimolata ha rimosso portatori con energia inferiore a quella che è l’energia media nella banda. In più fenomeni come FCA e TPA contribuiscono ad incrementare l’energia media. Come risultato otteniamo che la temperatura media dei portatori è ora più alta rispetto a prima dell’arrivo dell’impulso, ecco che viene usata l’espressione Carrier Heating. Sebbene la distribuzione di Fermi sia stata ripristinata, la temperatura dei portatori è più alta della temperatura del reticolo. Attraverso l’emissione di fononi la distribuzione si “raffredda” fino al valore iniziale. La costante di tempo associata è chiamata CH o costante di tempo di rilassamento della temperatura.

Infine il pompaggio elettrico provvede a ristabilire l’iniziale livello di densità dei portatori, dopo un tempo che può durare da alcune centinaia di picosecondi a pochi nanosecondi.

Figura 2-12: Variazione del guadagno modale nel tempo indotto da un impulso ottico gaussiano di durata 100 fs. Le dinamiche di intrabanda ed interbanda sono evidenziate

rispettivamente a sinistra e a destra.

Dal momento che il guadagno del SOA è legato alla densità dei portatori liberi, gli effetti sopra elencati si ripercuotono sull’evoluzione temporale del guadagno del dispositivo.

Le figure riportano l’andamento del guadagno modale quando un impulso corto è iniettato nel SOA. Nella figura di sinistra osserviamo le dinamiche del guadagno associate alle transizioni intrabanda, mentre in quella di destra osserviamo il recupero del guadagno dato dal pompaggio elettrico. Si nota che i tempi di rilassamento dello SHB e CH sono più brevi del tempo impiegato per il reintegro dei portatori.

MODELLO MATEMATICO DELLE DINAMICHE DI GUADAGNO

Supponendo il SOA composto da un sistema a due livelli è possibile sviluppare una teoria basata sulle “rate equation”; il comportamento del semiconduttore quando un segnale ottico si propaga nel dispositivo è descritto da una serie di equazioni alle derivate [19]. In queste equazioni alcune grandezze macroscopiche che caratterizzano la distribuzione dei portatori sono rese esplicite.

Introduciamo le grandezze densità dei portatori N(t) e densità di energia Ux,k:

, 1 ( ) x k k N t V ρ =

∑

∑

Dove V è il volume della regione attiva e la somma della distribuzione degli elettroni (x=c) e delle lacune (x=v) dà risultati identici per rispettare la neutralità di carica.

Se il tempo caratteristico di diffusione dei portatori è considerato piccolo in confronto con la scala dei tempi di interesse, si può ricavare un ristretto numero di equazioni e conseguentemente l’evoluzione temporale di N(t) e Ux,k .

Queste equazioni includono i cambiamenti dinamici della densità e della temperatura dei portatori (che possono essere calcolati una volta che la densità dei portatori e la densità di energia sono noti) dovute all’interazione con il campo ottico nella guida d’onda.

L’approssimazione introdotta nel trascurare il tempo di diffusione portatore-portatore, pur sempre finito, comporta che l’effetto dello SHB non sia incluso e spesso questa approssimazione risulta grossolana in particolare nel caso di FWM non degenere o nel caso di intensi campi ottici.

L’influenza dello SHB può essere tenuta di conto attraverso l’introduzione della “densità locale di portatori” nx che misura effettivamente il numero di portatori nella regione spettrale

della banda con cui il campo ottico interagisce. Le equazioni che si ottengono sono il numero minimo necessario per trattare simultaneamente gli effetti dello svuotamento di portatori, CH e SHB. Il risultante set di equazioni è il seguente:

_ 1 1 0 ,0 x x x x g x g s x x x x x x g T x _N h n n n v gS t N I N v gS t eV T U Nh U T E v gS t T g N τ τ σ ω τ − ⎧ ∂ − ⎪ _{= − −} ⎪ ∂ ⎪ ∂ ⎪ _{= − −} ⎨ ∂ ⎪ ⎪ _{⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤} ∂ ∂ ⎛∂ ⎞ − ⎪ _{=⎜ ⎟ ⎢ +⎜ − ⎟⎥} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ⎢⎣ ⎝⎝ ∂ ⎠ ⎠⎥⎦ ⎩ L x T −

)

Il guadagno g è un a funzione delle densità locali:

(

g =σ n + −n n (2-4)

dove n0 è la densità degli stati disponibili nella regione di accoppiamento ottico e σ è il

vg è la velocità di gruppo, Tx è la temperatura della corrispondente popolazione di portatori, I

è la corrente iniettata, σx è il coefficiente di assorbimento dei portatori liberi, S è il campo

ottico e è la densità di Fermi definita tramite la funzione di Fermi f valutata

nell’istantaneo valore della densità e della temperatura dei portatori: _ x n

(

)

(

)

(

)

{

}

Qui Ef,x è il livello di Fermi che dipende dalla densità e dalla temperatura dei portatori e Ex,0

è il valore medio dell’energia dei portatori. Gli altri parametri che appaiono in questa equazione sono il tempo di diffusione portatore-portatore τ1β, li tempo di rilassamento della

temperatura τhβ, il tempo di vita di un portatore τs e hω0=Eg+Ec,0+Ev,0 con Eg gap di energia.

Vediamo alcune caratteristiche di questo modello basato sulle rate equations. Prima di tutto il guadagno dipende unicamente dal valore della densità dei portatori locale, nc e nv. La densità

dei portatori e la loro temperatura influenza il guadagno attraverso la variabile

verso cui la densità locale di portatori si muove per raggiungere l’equilibrio. Da questa descrizione è abbastanza chiaro che i cambiamenti indotti nella densità dei portatori e nella temperatura dei portatori dal campo ottico influenzano il guadagno solo dopo un ritardo dell’ordine del tempo di diffusione portatore-portatore.

(

_ _

,

x x _x

n =n N T

)

L’equazione (2-4) può essere trasformata in equazione differenziale che regola le dinamiche della saturazione del guadagno operata principalmente dallo svuotamento dei portatori dovuto all’emissione stimolata.

2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) s sat V g g g g E τ τ τ _τ τ τ − ∂ _{= −} ∂ (2-6)

dove g0 è il guadagno di piccolo segnale (cm-1), V(τ) l’ampiezza dell’impulso e Esat è

l’energia di saturazione dello svuotamento dei portatori, espresso come:

0 sat N h wd E a ω = Γ

aN è il coefficiente di guadagno, Γ il fattore di sconfinamento, w e d sono rispettivamente

larghezza e spessore della cavità attiva.

Nell’equazione (2-6) è implicita l’assunzione che la diffusione dei portatori possa essere trascurata perché le dimensioni traverse del volume attivo sono più piccole e la sua lunghezza è più grande della lunghezza di diffusione. Ciò potrebbe risultare non vero in alcuni dispositivi. La soluzione dell’equazione (2-6) per impulsi la cui durata è minore di τs

è: 2 / 0 1 ( ) exp s s ( ) sat g g e V s d E τ _τ τ −∞ ⎧ ⎫ = _⎨− ⎩

∫

Quest’equazione non tiene conto dello SHB. Considerando campi non troppo elevati è possibile ottenere un’espressione approssimata del guadagno che tiene conto dello SHB, risolvendo la prima delle equazioni 2-3.

1 1 2 / 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) s N N SHB g g g u s e V s f P τ τ τ τ τ τ τ ds − +∞ ₋ −∞ ⎡ ⎤ = = _⎢ + − _⎥ ⎣

∫

dove PSHB è la potenza di saturazione dello SHB e τl il tempo di rilassamento di intrabanda.

Si riporta una tabella in cui si elencano i valori tipici dei parametri del SOA utilizzati in queste equazioni.

Parametro Simbolo Valore

Tempo di vita di un portatore τS 200 ps

Tempo di rilassamento del CH τCH 0,7 ps

Tempo di rilassamento dello SHB τSHB 0,05 ps

Potenza di saturazione dello SHB PSHB 28,3 W

Larghezza w 2,5 µm

Spessore d 0,15 µm

2.6 – Dinamiche di fase

Come abbiamo detto sin dall’inizio, i comportamenti non lineari del guadagno e dell’indice di rifrazione sono usati per ottenere numerose funzionalità. Alcune delle operazioni più veloci sono raggiunte proprio usando le non linearità dell’indice di rifrazione.

Il meccanismo fisico che c’è dietro i fenomeni non lineari del guadagno e dell’indice di rifrazione è il medesimo: le transizioni intrabanda ed interbanda. Il cambiamento della densità dei portatori o della loro distribuzione energetica, indotto dal segnale ottico propagante, causa variazioni dell’indice di rifrazione del semiconduttore. Quindi, in aggiunta allo spostamento di fase associato alla propagazione all’interno della guida, ci sarà un ulteriore contributo dovuto al cambiamento dell’indice di rifrazione [20]. Lo sfasamento totale risulta allora:

0 0 2 _s g Lb S S S Φ = Φ + ⋅ + (2-9)

dove Φ =₀ 2 /π λLn è lo sfasamento in assenza di segnale in ingresso e b, comunemente

detto fattore di allargamento di riga, è il rapporto tra la parte reale e quella immaginaria

della variazione di indice di rifrazione (b = 3 – 6).

Le nonlinearità dell’indice di rifrazione sono più veloci di quelle del guadagno perché è necessaria una minor variazione della densità dei portatori per ottenere fenomeni come il XPM, rispetto al XGM che richiede un forte svuotamento della banda. Questo implica che per avere XPM si necessita una minore potenza ottica, il tempo di recupero è più breve e il chirp della lunghezza d’onda è meno rilevante.

2.7 – Four Wave Mixing

Il Four Wave Mixing (FWM) è un fenomeno non lineare che si ottiene per battimento di due o più segnali ad alta potenza non troppo distanti in frequenza che si propagano simultaneamente nel SOA. Tali campi, alle frequenze fi, fj e fk, interagiscono tra loro per

effetto della suscettibilità non lineare del terzo ordine, creando componenti a nuove frequenze ff, non presenti nello spettro del segnale d’ingresso [20].

Il fenomeno del FWM è originato da l’interazione due fotoni alle frequenze fi e fj che

annichilendosi ne generano altri due alle frequenze fk e ff tali da rispettare il principio di

conservazione dell’energia (Efotone= h *f ), seguendo l’equazione fi + fj = fk + ff.

L’unica relazione che devono rispettare le quattro frequenze affinché si possa parlare di FWM è fi, fj ≠ fk, ff ; diversamente si generano contributi di SPM o XGM.

Il fatto che fi possa coincidere con fj suggerisce la seguente distinzione tra due tipi di FWM:

fi = fj, FWM parzialmente degenere: solo due pompe interagiscono tra loro per generare una

terza frequenza ff =2fi – fk.

fi ≠ fj, FWM non degenere: le due combinazioni i, j, k e j, i, k danno origine alla stessa

frequenza ff = fi + fj - fk.

Dunque, dati due soli segnali ottici a frequenza f1 e f2, le componenti di FWM parzialmente

degenere che nascono si trovano alle frequenze 2f1 - f2 e 2f2 - f1. Questi nuovi campi possono

a loro volta generarne altri per lo stesso effetto, sebbene l’efficienza di queste generazioni secondarie sia notevolmente più bassa da poter essere trascurata in molti casi di interesse. Il FWM è un’effetto additivo, ovvero aggiunge al campo, eventualmente già presente a quella frequenza, un nuovo termine che si propaga insieme ad esso ed indipendentemente da esso. La potenza dei segnali generati per FWM è ovviamente legata a quella dei due segnali di pompa secondo una relazione crescente, ma dipende anche dalla loro separazione frequenziale e dalla loro posizione nello spettro (a seconda della collocazione spettrale i due segnali pompa possono ottenere maggiore o minore guadagno).

Inoltre il fenomeno del FWM dipende fortemente dallo stato di polarizzazione dei segnali che lo generano. Si osserva che per massimizzare la potenza della componente creata è necessario che i due segnali pompa abbiano polarizzazioni parallele. Se per assurdo avessero polarizzazione esattamente lineari ed ortogonali non si avrebbe nessuna generazione di nuove componenti di segnale.

Al contrario di tutti i fenomeni elencati finora, il FWM è un processo coerente, per cui la fase del segnale generato è uguale ed opposta alla fase del segnale di pompa (da qui il nome “coniugato” che si dà alla nuova componente).

Contributo di FWM Contributo di FWM

Figura 2-13: Spettro misurato in uscita al SOA con due canali in ingresso di potenza 8 dBm