CAPITOLO 2

CAPITOLO 2

Tecniche di modellazione

2.1 Introduzione

Il progetto del sistema di controllo di un convertitore necessita di un modello matematico che riproduca il più fedelmente possibile il comportamento del convertitore reale, almeno in un range di frequenze fissato e in un intorno del punto di lavoro in cui si desidera operare. A causa della presenza del tasto di commutazione (diodo più transistore), i convertitori switching sono dispositivi intrinsecamente non lineari. Solitamente, per potere applicare le tecniche classiche dei controlli automatici, si preferisce ricondursi ad un modello lineare operando una linearizzazione per piccoli variazioni intorno ad un punto di lavoro. In tal senso, le tecniche più usate per la modellazione dei convertitori DC-DC sono la tecnica di media nello spazio di stato, (State Space Averaging12) e quella di media sugli interruttori, (Averaged Switch Model13). Sia SSA che ASM individuano per via analitica un modello medio lineare di un generico convertitore. Qui saranno illustrate brevemente entrambe le

12 _{Vedere Rif. [6], [7], [10], [11]} 13 _{Vedere Rif. [2]}

tecniche e verrà presentato un metodo particolare di modellazione di più convertitori operanti in parallelo, che fornisce un modello del sistema complessivo combinando i modelli dei singoli moduli. Naturalmente la identificazione accurata di uno o più convertitori ma più in generale di un qualsiasi sistema reale, non può limitarsi al modello ottenuto per via analitica. La Modellazione è, infatti, solo il primo passo del processo di identificazione di un sistema. L’ Identificazione propriamente detta, ovvero l’identificazione dei parametri del modello ottenuto con la modellazione, deve avvenire sulla base di misure sperimentali degli ingressi e delle uscite del sistema. Tra le tecniche di identificazione sperimentale c’è quella delle funzioni modulanti che verrà descritta nel prossimo capitolo e che useremo in questo lavoro di tesi una prima volta per identificare un singolo convertitore boost, una seconda volta per individuare il modello di due convertitori boost operanti in parallelo. In realtà, come sarà chiarito più avanti, applicheremo la tecnica utilizzando, in sostituzione delle misure sperimentali, i dati ottenuti da circuiti simulati al calcolatore.

2.2 State Space Averaging

2.2.1 Il metodo SSA

R.D. Middlebrook e Cuk, alla fine degli anni ’70, hanno sviluppato questa tecnica che permette di ottenere il modello medio per piccoli segnali di un qualunque convertitore DC-DC. Si consideri un convertitore in conduzione continua che abbia un unico tasto, chiuso

nell’intervallo temporale dTS, e aperto nell’intervallo d'TS, con d'=1-d; quando l’interruttore

commuta il convertitore passa da una configurazione circuitale descritta dal sistema:

   = + = x C y u B x A x 1 1 1 1  con u =V_in durante dT (2.1) _S

ad un’altra data da:

   = + = x C y u B x A x 2 2 2 2  durante d'T_S (2.2)

Le equazioni possono essere mediate nel tempo per ottenere un unico sistema lineare, ovvero:     = + = x C y u B x A x con     + = + = + = ' ' ' 2 1 2 1 2 1 d C d C C d B d B B d A d A A (2.3)

Per ottenere un sistema lineare equivalente, valido solo se d=D=costante, che modelli la dinamica del sistema vero per piccole variazioni di d, si riscrivono le equazioni considerando che:

d =D+dˆ x₌ X ₊xˆ y₌Y ₊yˆ u =U =Vin

dove le lettere maiuscole indicano valori di regime e quelle con ^ indicano piccole variazioni di tali valori. Il sistema che si ottiene è:

[

(

) (

) (

)

]

(

) (

)

    + ⋅ − + + = + − + + ⋅ − + + + = d x X C C x X C y Y d U B B x X A A x A BU AX x ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1  (2.4)

trascurando i termini del secondo ordine e le perturbazioni rispetto ai valori di regime si ottiene un modello valido solo a regime di tipo:

   = − = − CX Y BV A X 1 _in (2.5)

Da qui si ricava il guadagno statico, ovvero il rapporto fra la tensione d’ingresso e quella di uscita: CA B V V in o ₌₋ −1 _(2.6)

Se invece si trascurano i valori di regime e i termini del secondo ordine si ottiene il modello del sistema per piccoli segnali:

[

(

)

(

)

]

(

)

    − + = − + − + = d X C C x C y d U B B X A A x A x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 > (2.7)

Da quest’ultimo modello si ricava facilmente la funzione di trasferimento del circuito equivalente per piccole variazioni di d:

C

(

sI A

) (

[

A A

)

X

(

B B

)

V

]

C C X s d s y s G_{P in} ( ) ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( = = − −1 ₁− ₂ + ₁ − ₂ + ₁ − _{2 (2.8)}

determina la funzione di trasferimento controllo-uscita del convertitore boost ideale (senza resistenze parassite).

2.2.2 Applicazione del metodo SSA al PWM

Se si considera un convertitore controllato con la tecnica a modulazione di impulsi (PWM) per ottenere la funzione di trasferimento complessiva fra yˆe dˆ , occorre considerare che l’ingresso vero del sistema è la tensione di riferimento vc(t) che viene data in ingresso al

modulatore per generare il segnale i(t) che ha duty-cycle d. Calcoliamo la funzione di trasferimento del modulatore con il metodo esposto nel paragrafo precedente. Il modulatore PWM confronta la tensione vc(t) con una forma d’onda triangolare vr(t) che si ripete con

periodo 1/fs come in figura 2-11. Analogamente a d, la tensione di controllo subisce piccole

variazioni intorno ad un valore costante

vc(t)=Vc+~ tvc( ) (2.9) fermo restando che stia sempre sotto il valore massimo Vr. Supponiamo che la

perturbazione sia di tipo sinusoidale con frequenza fs nota e ampiezza e fase sconosciute:

~ tv_c( )=a sin(ωt-ϕ) (2.10) Il segnale i(t) viene generato secondo la seguente legge:

  < ≥ = ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( t v t v t v t v t i r c r c _(2.11)

( )= + sin(ωt−ϕ) V a V V t d r r

c _{+ componenti a più alta frequenza. (2.12)}

Le componenti a più alta frequenza non sono considerate in quanto sono eliminate dal filtro passa-basso in uscita al convertitore. Dalle equazioni precedenti segue che:

r c V V D= ~( )= sin(ωt−ϕ) V a t d r (2.13)

e quindi la funzione di trasferimento del modulatore PWM è:

r c m V s v s d s G 1 ) ( ~( ) ~ ) ( = = (2.14)

Tale funzione di trasferimento è molto semplice; di solito nella realtà il comparatore può introdurre anche un piccolo ritardo.

2.2.3 Applicazione del metodo SSA al convertitore boost ideale

Si considerino le due configurazioni circuitali che descrivono il convertitore rispettivamente nel periodo in cui l’interruttore è acceso e nel periodo in cui è spento, come in fig. 2.1

L

V0

Vin C0 Rc

Considerando il circuito di fig.2.2:

1

x L

V_in =  , x₂ =−RCx₂, y= (2.15) x₂

Fig. 2-2 Il convertitore boost con switch on Fig. 2-3 Il convertitore boost con switch off

in V L x x CR x x         +               − =       0 1 1 0 0 0 2 1 2 1  

[ ]

_      = 2 1 1 0 x x y (2.16)         − = RC A 1 0 0 0 1         = 0 1 1 L B C₁ =

[ ]

0 1 (2.17)

Considerando invece il circuito2-3:

in V x C x R x L₁+ ( ₁− ₂)= ) ( _{1 2} 2 R x Cx x = −  (2.18) 2 x y=

in V L x x CR C L x x         +                 − − =       0 1 1 1 1 0 2 1 2 1  

[ ]

_      = 2 1 1 0 x x y (2.19)           − − = RC C L A _{1 1} 1 0 2         = 0 1 2 L B C₂ =

[ ]

0 1 (2.20)

Dalla (2.19) segue che:

          − − = RC C D L D A _{' 1} ' 0 B=B₁ =B₂ C =C₁ =C₂ (2.21) Per la (2.5):           = ⋅                   − − − = ' 1 ' 1 / ' 0 1 0 ' ' 1 2 2 D R D V LC D V L C D L D RC X in _{in (2.22)}

Per calcolare la funzione di trasferimento complessiva:

          _{+ −} ⋅ + + =           + − = − − − s C D L D RC s CL D RC s s RC s C D L D s A sI _' ' 1 ' 1 1 ' ' ) ( ₂ 2 1 1 _(2.23)

          − = − 0 1 1 0 2 1 C L A A (2.24) 1 ' ' ' 1 ' ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 1 + + − = − − = − R D L s s D LC RD Ls D V X A A A sI C s G in _(2.25)

Tale funzione ha il guadagno, i poli e lo zero dipendenti dal punto di lavoro scelto.

2.3 Averaged Switch Model

Ci sono due modi di operare CCM (Continuosly Current Mode) e DCM (Discontinuosly Current Mode). Nel primo caso si suppone che la corrente nell’induttore, sempre presente in qualsiasi configurazione topologica, non sia mai nulla all’interno del periodo di commutazione.. In modalità DCM invece si suppone che la corrente vada a zero prima della fine del periodo di commutazione. E’ possibile anche fare una modellazione mista CCM-DCM14 combinando le due tecniche. Qui sarà trattata solo la modalità CCM. Si rimanda al riferimento [2] per ulteriori approfondimenti.

Illustreremo la tecnica facendo riferimento ad un convertitore boost da momento che a tale topologia appartiene il convertitore che sarà esaminato in questo lavoro. E’ evidente comunque che per le altre configurazioni si procederà in maniera analoga.

14 _{[Rif:2]: A Primer on Smulation,Modeling and Designof the Control Loops of Switching Regulators –}

2.3.1 Modello medio non lineare del tasto

Dal circuito del convertitore DC DC estraiamo la sottorete contenente esclusivamente i dispositivi di commutazione ovvero il transistore e il diodo. La Figura 2-4 illustra la rete di switching di un convertitore boost.

Si considerano i valori medi delle forme d’onda ai capi della rete di commutazione. In relazione alla figura 2-4, sotto le ipotesi di CCM, possiamo scrivere le seguenti equazioni:

> < − >= < > < − >= < ) ( )) ( 1 ( ) ( ) ( )) ( 1 ( ) ( 2 1 1 2 t v t d t v t i t d t i (2.26)

Dove d(t) è il duty-cicle definito in precedenza. Ricorrendo all’uso di generatori controllati, possiamo tradurre tali relazioni in termini circuitali ottenendo lo schema di figura 2-5 che costituisce il modello medio, non lineare, della rete di commutazione del convertitore.

L Q D C0 _R c Vin C i1 i2 1 2

Fig 2-5 Modello medio non lineare del tasto nel convertitore Boost

2.3.2 Modello medio lineare per piccoli segnali

Dal modello medio non lineare, ricaviamo il corrispondente lineare operando una linearizzazione per piccoli segnali intorno ad un punto di lavoro.

Esprimiamo le grandezze di tasto come somma di un contributo costante (statico) più una piccola parte variabile:

sostituendo tali relazioni.in 2.26 e tralasciando in termini in cui compare il prodotto di piccole variazioni,(termini del secondo ordine), abbiamo:

= + ⋅ − − = + >= <i₂(t) I₂ iˆ₂(t) (1 dˆ(t) D) (iˆ₁(t) I₁) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ _{I d i d I D i D I i I d I D i D I} i + − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≅ + − ⋅ − ⋅ − ⋅ = = + ⋅ − − = + >= <v₁(t) vˆ₁(t) V₁ (1 dˆ(t) D) (vˆ₂(t) V₂) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V d v d V D v D V v V d V D v D V v + − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≅ + − ⋅ − ⋅ − ⋅ =

Isolando la parte costante dalla parte variabile otteniamo le relazioni:

; ) ( ˆ ) ( _{j j} j t v t V v >= + < _<i_j(t)_>= I_{j +}iˆ_j(t); ; ) ( ˆ ) (t d t D d = − J=1,2 (2.27)

2 2 ' 2 2 2 2 2 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ) 1 ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) 1 ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) 1 ( ) 1 ( V d v D V d v D v D V d v v I d i D I d i D i D I d i i V D V D V V I D I D I I ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =

che in termini circuitali, ricorrendo all’uso del trasformatore ideale, diventano gli schemi di fig. 2-6 e 2-7

In realtà il modello alle variazioni include quello statico giacché in continua dˆ =0.

2.3.3Applicazione di ASM al convertitore boost

Sostituendo il modello del tasto nel circuito completo del convertitore si ottiene il modello medio lineare del convertitore, illustrato in figura 2.8, che permette di ricavare tutte le funzioni di trasferimento cui siamo interessati.

Fig 2-8 Modello medio lineare del convertitore boost

A titolo di esempio calcoliamo la funzione di trasferimento controllo-uscita del convertitore boost, ovvero: d v s d s v s G o def o ˆ ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( = = ; (vˆin =0)

Occorre considerare il circuito fig.2.8 con (vˆin =0) e fare un’analisi alle variazioni:

Posto 1 ) 1 // ( ) ( + = = = RCs R Cs R s z z si ha:

    ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − = o o in in in o v D V d i Ls I d i D z v ˆ ' ˆ ˆ ) ˆ ˆ ' ( ˆ ⇒ ˆ_o D'(dˆ V_o D'vˆ_o z dˆ I_in) Ls z v = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ) ' 1 ( ) ' ( ˆ ˆ 2 2 D Ls z I z V D Ls z d v o in o + ⋅ − ⋅ = (2.28)

dove le grandezze V e _o I si calcolano dal circuito in continua di fig.2-9 ,che è derivato da _in quello di figura 2.8 cortocircuitando l’induttore e aprendo il condensatore.

Fig. 2-9 Circuito per l’analisi in continua del circuito di fig 2.8

in o V D V ' 1 = ; ₂ ' RD V I in in = (2.29) sostituendo le 2.29 in 2.28 si ha: ) (z_⋅Vin ₋z Vin

sostituendo il valore di z si ottiene: 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − ⋅ = + + − ⋅ = s RD L s D CL s RD L D V RD Ls RCLs Ls RD D V d v_{o in in} (2.31)

che, chiaramente, coincide con il valore trovato con il metodo SSA in 2.25 .

2.4 Modellazione di convertitori operanti in parallelo

2.4.1 Introduzione

In questa sezione viene descritto un modello lineare per piccole variazioni di un sistema di più convertitori operanti in parallelo.. L’approccio usato fa riferimento all’articolo “Modelling Parallel Operating PWM DC/DC Power Supplies” di Garabandic e Petrovic 15. Un’analisi accurata dello stesso ha però evidenziato dei punti poco chiari e delle imprecisioni sul modello presentato. Pertanto, seguendo la stessa linea di sviluppo adottata dagli autori, è stato ricavato un modello diverso da quello originario ma coerente con il comportamento del sistema simulato al calcolatore. Tale modello inoltre risulterà conforme a quello ottenuto dall’identificazione sperimentale del sistema che verrà presentata più avanti al capitolo 6.

15 _{.[Rif. 3]: Garabandić e T. B. Petrović, “Modelling Parallel Operating PWM DC/DC Power Supplies”,}

2.4.2 Modellazione di una singola unità

Il generico convertitore controllato con tecnica PWM può essere descritto dal circuito equivalente di figura 2-10, avendo definito opportunamente le fdt riportate in tab. 2-1.

Tab. 2-1

fdt. per piccoli segnali del convertitore DC-DC controllato in PWM Audiosuscettibilità ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( s v s v s A in out s = Ammettenza d’ingresso ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( s v s i s Y in in in = 0 ) ( ˆ ) ( ˆ _{t = td =} i_g Impedenza di uscita ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( s i s v s Z g out out = Guadagno in corrente uscita -ingresso ˆ ( ) ) ( ˆ ) ( s i s i s T g in = 0 ) ( ˆ ) ( ˆ t _{= t}d ₌ v_in Guadagno in tensione controllo-uscita ~( ) ) ( ˆ ) ( s d s v s P out v = Guadagno in corrente controllo-ingresso ˆ( ) ) ( ˆ ) ( s d s i s P in i = 0 ) ( ˆ ) ( ˆ _{t =v t =} i_{g in} in

vˆ

* g

iˆ

out

vˆ

* * * Zout d P_i⋅ ˆ in Y R in s v A ˆ⋅ d P_v⋅ ˆ dˆ in iˆ

Fig 2.10 Circuito equivalente per piccoli segnali del convertitore DC-DC

controllato in PWM

g

i T ˆ⋅

Applicando la sovrapposizione degli effetti, le equazioni costitutive del circuito sono: d P i T v Y iˆ_in = _in ⋅ˆ_in + ⋅ˆ_g + _i⋅ ˆ; vˆ_out = A_s⋅vˆ_in +Z_out ⋅iˆ_g +P_v⋅dˆ (2.32)

Sfruttando la relazione di proporzionalità tra duty-cycle e tensione di controllo ( s c

V v dˆ = ), la ˆ 6.1 e la 6.2 possono riscriversi anche nel modo seguente:

c i g in in in Y v T i G v iˆ _{= ⋅}ˆ _{+ ⋅}ˆ _{+ ⋅}ˆ ; vˆ_{out =} A_{s ⋅}vˆ_{in +}Z_{out ⋅}iˆ_{g +}G_v⋅vˆ_c (2.33) dove: ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( s v s v s G c out Def v = ; ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( s i s v s G in out Def i = ; (2.34)

2.4.3 Modellazione di più unità in parallelo

Il diagramma a blocchi di un sistema di N+1 unità in parallelo è mostrato in figura 2-11. Relativamente a tale figura, i_g rappresenta la somma delle N correnti di carico ovvero la somma dei disturbi degli N carichi collegati in parallelo. Negli schemi presentati i carichi non compaiono perché inglobati nel modello del convertitore.

Si noti che abbiamo usato le tensioni di controllo al posto dei duty-cycle. ma possiamo ugualmente sostituire ogni unità con il circuito equivalente di figura 2-10, opportunamente modificato in base alle relazioni 2.33 e 3.34, ottenendo così il sistema di figura 2-12

PWM DC-DC Converter

)

(

1

t

v

_in

i

g

(t

)

)

(

1

t

i

_in

)

(t

v

_out

Fig. 2-11 Schema di N+1 convertitori DC-DC in parallelo

* PWM DC-DC Converter

)

(t

v

_inN

)

(t

i

N in * PWM DC-DC Converter

)

(

0

t

v

_c

)

(

0

t

v

_in

)

(

0

t

i

_in *

.

.

.

.

)

(

1

t

v

_c

)

(t

v

N c

.

Si noti che la schematizzazione usata in fig. 2.12 permette di considerare la distribuzione delle correnti di carico nei vari convertitori e, conseguentemente, di modellare correttamente tutte le interazioni tra i vari convertitori connessi in parallelo. Questo è reso possibile dal fatto che si è scelto di inglobare nel modello del singolo convertitore la

g

iˆ

out

vˆ

1 out

Z

1 ˆ 1 in s v A ⋅ 1 _ ˆ in i * * * 1 ˆ 1 c i v G ⋅ 1 in Y 1 1 Gi1⋅vˆc1 ˆ g i T ⋅ * * * c i v G ˆ 0 ⋅ 0 in Y 0 0 ˆin s v A ⋅ 0 ˆ 0 c v v G ⋅ N c vˆ 0 0 iˆg T ⋅ * * * N N c i v G _⋅ ˆ N in Y N N in s v A _⋅ˆ N N c v v G _⋅ ˆ gN N i T ⋅ˆ 0 ˆ_in v 1 ˆ_in v N in vˆ 0 ˆ in i N in iˆ _{_}

.

.

.

0 out

Z

N out

Z

* * * …. 0 ˆ_c v vˆ_c1

Fig. 2-12 Modello per piccoli segnali del sistema di figura 2-11

0 g i 1 g i gN i

relativa resistenza di carico.(La modellazione presentata da Garabandic e Petrovic16 nell’articolo di riferimento non adotta la stessa soluzione).

Applicando la sovrapposizione degli effetti, il comportamento della rete di figura 2-12 è descritto dal sistema di equazioni seguenti:

      _{+ +} =

∑

∑

∑

= = = N i g in N i out s c out v N i out out G Z v A Z v i Z v _{i i i i i i} i 0 0 0 ˆ ] ˆ ) / [( ] ˆ ) / [( / 1 1 ˆ (2.35)

∑

≠ =

+

+

−

+

+

⋅

−

+

=

N j K K c out v k j in out s j j in in c out v j j c i in k k k j j j j j j j j j j j

Z

v

G

T

v

Z

A

T

v

Y

v

Z

G

T

v

G

i

0

ˆ

ˆ

)

1

(

ˆ

ˆ

)

1

(

ˆ

ˆ

_λ

_λ

_λ

g j j N j K K in out s k j

v

T

i

Z

A

T

k k k

ˆ

ˆ

0

λ

λ

∑

≠ =

+

+

_{( j=0...N )} (2.36) dove:

∑

=

≠ = N j i i out Def j i Z 0 / 1 1 α j out j Def j j Z α α λ +

=

(2.37) Definendo le variabile di controllo u , la variabile dei disturbi n, e quella di uscita y rispettivamente nel modo seguente:

n = T g in in in v v i vˆ , ˆ , ..., ˆ _N, ) ( _{0 1} (2.39) y = T in in in out i i i N v , , , ... ) ( 1 0 (2.40) possiamo scrivere : y = P u + ₁ P n (2.41) ₂ Le matrici P e₁ P , ricavabili direttamente da 2.35 e 2.36, sono: ₂

P

1

=









































− ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

...

...

...

...

2 , 1 , 0 , , 1 1 2 , 1 1 0 , 1 , 0 2 , 0 1 , 0 0 2 1 0 N N N N N N N N i x x x x x x i x x x x i v v v v

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G









; (2.42)

P

2 =









































− ' ' ' ' ' ' ' 1 ' ' ' ' 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 , 1 , 0 , , 1 1 0 , 1 , 0 2 , 0 1 , 0 0 2 1 0

...

...

...

N in x x x x x in x x x x in out s s s s

T

Y

Y

Y

Y

Y

T

Y

Y

Y

T

Y

Y

Y

Y

Z

A

A

A

A

N N N N N N N N N















con

∑

₌ = = _N i out g out out i Z i v Z 0 ' / 1 1 ˆ ˆ

;

j j out j j g in j

Z

T

i

i

T

'

_{= ˆ}

ˆ

₌

_λ

(2.43)

∑

₌ = = N i out out v c out v i j j j j Z Z G v v G 0 ' / 1 / ˆ ˆ

_;

∑

₌ = = N i out out s in out s i j j j j Z Z A v v A 0 ' / 1 / ˆ ˆ

;

(2.44) k k k j jk out v k j c in x

Z

G

T

v

i

G

₌

₌

_λ

ˆ

ˆ

' ; k k k j jk out s k j in in x

_Z

A

T

v

i

Y

₌

₌

_λ

ˆ

ˆ

' ; (j≠k) (2.45)

);

)

1

(

(

ˆ

ˆ

' j j j j j j out v j j i c in i

Z

G

T

G

v

i

G

=

=

+

λ

−

j j j j j j out s j j in in in in

Z

A

T

Y

v

i

Y

(

1

)

ˆ

ˆ

'

−

+

=

=

λ

(2.46)

Nelle relazioni sopra riportate dove le espressioni apostrofate si riferiscono al sistema di convertitori in parallelo mentre le funzioni che compaiono a destra del simbolo di

uguaglianza sono relativi alla singola unità.

Nel modello presentato da Garabandic e Petrovic (Rif.[3]) i termini relativi a 2.45 sono identicamente nulli. Questo vorrebbe significare che le variazioni applicate alla tensione di

correnti di ingresso degli altri moduli (variazioni nulle). In realtà questo non corrisponde al vero. Simulando al calcolatore un sistema di due convertitori boost connessi in parallelo, sono state misurate le correnti di ingresso e di uscita in entrambi i moduli in risposta a variazioni della tensione di linea e della tensione di controllo. La figura seguente riporta lo schema Orcad-Capture usato per la simulazione. In figura 2-14 sono riporta le correnti misurate sull’ingresso e sull’uscita dei due moduli in risposta ad una variazione di 0.12 V della tensione di controllo del primo convertitore.

Fig. 2-14 Correnti di in/out nei due convertitori simulati

2.4.4 Modello analitico del Boost

Le funzioni di 2.42, relative al singolo convertitore, possono essere calcolate analiticamente applicando le tecniche di media e linearizzazione viste precedentemente. In tabella 2.2 sono riportate le corrispondenti espressioni calcolate mediante tecnica ASM, supponendo corrente continua, e tralasciando tutte le resistenze parassite. Il procedimento adottato per il calcolo delle sei funzioni è quello esposto nel paragrafo 2.3.3, dove abbiamo gia calcolato il guadagno duty-cycle uscita (Pv). Nelle figure 2.13 a),b),c) sono riportati per completezza i circuiti medi lineari ASM, dai quali sono state ricavate le espressioni di tabella 2-2

Fig 2-13 (a) Circuito ASM per ricavare Gv e Gi

Tab 2-2 Funzioni di trasferimento del Boost

ottenute con tecnica ASM

1 ' ' ' 1 ' ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 2 2 2 + + − ⋅ = ⋅ = s RD L s D CL s RD L D V V V s d s v G s in s o v in s in s in s in i Y RD V R V s RD L s D CL RCs RD RD V R V V s d s i G = + ⋅ + + + ⋅ + = ⋅ = ' ) 1 ( 1 ' ' 1 ' 1 ' ) 1 ( ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 2 2 1 ' ' 1 ' 1 ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 2 0 + + ⋅ = = s RD L s D CL D s v s v A in s 1 ' ' 1 ' 1 ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 2 2 + + + ⋅ = = s RD L s D CL RCs RD s v s i Y in in in s g in _A s RD L s D CL D s i s i T =− + + − ⋅ = = 1 ' ' 1 ' 1 ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 2 1 ' ' ' 1 ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 2 2 0 + + ⋅ = = s RD L s D CL Ls D s i s v Z g out

Tutte le funzioni di trasferimento elencate in tabella 2-2 presentano lo stesso denominatore. I poli, infatti, di una rete elettrica lineare sono una proprietà topologica del circuito, e pertanto, indipendenti dalla particolare scelta degli ingressi e delle uscite.

2.4.5 Modello analitico di 2 Boost in parallelo

Sostituendo le espressioni di tabella 2-2 nelle relazioni di 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, si possono ricavare le fdt relative al sistema complessivo di N+1 convertitori boost connessi in parallelo. Nel caso di due boost uguali si hanno le seguenti semplificazioni:

2 / 1 0 1 =λ =λ = λ e quindi: 2 ' v v G G = ; A_s A_s 2 1 ' _{= ;} 2 ' T T = ; 2 ' out out Z Z = ; (2.47) 2 ' ⋅ ⋅ − = out v i i Z G T G G ; out s in in Z A T Y Y ⋅ ⋅ − = 2 ' _; 2 ' ⋅ ⋅ = out v x Z G T G ; out s x Z A T Y ⋅ ⋅ = 2 ' _(2.48)

Tab. 2-3 Modello analitico di 2 boost operanti in parallelo ) ( ' 1 ' 2 1 1 ' ' ' 1 ' 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ' s Den s RD L D V V s RD L s D CL s RD L D V V G s in s in v − ⋅ ⋅ = + + − ⋅ ⋅ = ) ( 1 ' 1 2 1 1 ' ' 1 ' 1 2 1 2 2 2 ' s Den D s RD L s D CL D A_s = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = 2 ) ( 1 ' 2 1 1 ' ' 1 ' 2 1 ' 2 2 2 s A s Den D s RD L s D CL D T = ⋅ − =− + + − ⋅ = ) ( ' 2 1 1 ' ' ' 2 1 2 2 2 2 2 ' s Den Ls D s RD L s D CL Ls D Z_out = ⋅ + + ⋅ = ) ( ) 1 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 ' ' ' s Den s Ls R D R LCs R D R D L V V G s in i ⋅         + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ = ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 2 ' ' s Den s Ls R D RLCs R D L Y_iin ⋅     _{⋅ + ⋅ +} = ) ( ) 1 ( 2 1 _'2 ' ' s Den s RD Ls V V LD G s in X ⋅ − ⋅ ⋅ − = ) ( 2 1 ' s Den Ls Y_X ⋅ − =