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Capitolo
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Capitolo 4
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Modellazione della struttura
Modellazione della struttura
Modellazione della struttura
Modellazione della struttura –
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– Modello agli elementi finiti
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Modello agli elementi finiti
Modello agli elementi finiti
Modello agli elementi finiti
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4.1.1.1 Premessa.1PremessaPremessaPremessa
La fase della modellazione di una struttura è di fondamentale importanza, poichè bisogna cogliere e schematizzare quella che è la situazione più vicina alla realtà, soprattutto per quanto concerne la distribuzione delle masse e la distribuzione delle rigidezze. In alcuni casi, lo stesso edificio può essere concepito con modelli diversi in dipendenza del tipo di azioni che si considerano. Nella risposta alle azioni sismiche, il rapporto fra azioni orizzontali e verticali è piuttosto grande, pertanto nei maschi murari direttamente investiti dal sisma talvolta si verifica una notevole decompressione, legata al comportamento globale. Tale decompressione ha come effetto una diminuzione della capacità portante delle pareti (maggiore parzializzazione della sezione), che non è trascurabile. Come conseguenza, mentre nell’analisi di un edificio in muratura è possibile effettuare due analisi separate nei confronti dei carichi verticali e del carico vento e poi sommarne gli effetti, nell’analisi della risposta alle azioni sismiche non è lecito valutare separatamente gli effetti prodotti dalle azioni orizzontali e da quelle verticali, a causa delle forti non linearità geometriche e meccaniche riscontrabili.
Gli edifici con struttura portante in muratura hanno forme costruttive che possono differire considerevolmente per materiali, tessitura, concezione d’insieme del sistema strutturale e dettagli costruttivi. Il territorio nazionale presenta un elevato numero di strutture in muratura portante, tipiche del passato. Spesso è possibile incontrare, nell’edilizia esistente, edifici realizzati con blocchi non lavorati, di forma irregolare, di diverse dimensioni ed anche di diverso materiale, generalmente mal collegati tra loro, e da malte di scarsa qualità, sia per composizione che per resistenza.
La complessità della tipologia di queste strutture, la loro storia, i danni e gli interventi subiti col trascorrere del tempo, rende difficile e complicata la conoscenza del loro comportamento sotto le azioni sismiche. Non è inoltre semplice riuscire a modellare questo tipo di strutture a causa dell’incertezza nella definizione della distribuzione delle rigidezze e delle resistenze, dovuta sia alla eterogeneità dell’opera in muratura, come detto, sia all’evoluzione e agli interventi subiti nel corso del tempo.
A causa di questa grande varietà, lo studio teorico non è in grado di fornire uno specifico metodo di calcolo relativo al caso studio che può presentarsi; gli strumenti attualmente a disposizione sono adattabili alla maggior parte delle problematiche che possono presentarsi, con l’intento di evitare errori macroscopici nella previsione della vulnerabilità di un edificio nei confronti dell’ azione sismica.
I metodi di calcolo impiegabili si differenziano in metodi capaci di cogliere il comportamento globale e locale della struttura in muratura, e metodi che forniscono una valutazione globale della risposta degli edifici sottoposti ad una qualsiasi azione orizzontale nel piano della
85 parete. I primi hanno il pregio di fornire risultati sullo stato tensionale locale, ma comportano un onere computazionale notevole ed una modellazione più accurata; gli altri sono metodi di modellazione semplificata, basati su schemi semplici, allo scopo di limitare i gradi di libertà del problema e capaci di riprodurre globalmente la risposta strutturale di un edificio. Esiste poi un tipo di modellazione che avviene a mezzo di macroelementi, rappresentativi di un intero pannello murario, capace di cogliere i meccanismi elementari di deformazione, danneggiamento e dissipazione delle strutture murarie (macromodelli di Brencich e Lagomarsino).
La vulnerabilità sismica delle strutture esistenti in muratura è influenzata dal tipo e dalla qualità dei collegamenti tra i vari elementi costituenti, i quali giocano un ruolo fondamentale sulla risposta della struttura nei confronti di un’azione orizzontale. Nella schematizzazione della costruzione è necessario operare delle semplificazioni in maniera tale che il modello risulti contemporaneamente semplice e soddisfacente. Per questo motivo va tenuto conto: − che il complesso strutturale non deve essere ritenuto come un unico organismo ma come
l’unione di più elementi collegati in maniera incerta;
− che il materiale costituente possiede scarsa o trascurabile resistenza a trazione; − dei possibili meccanismi di collasso che possono manifestarsi;
− dell’incertezza sull’effettivo stato di fessurazione del materiale muratura; − del possibile grado di duttilità e capacità dissipativa della struttura;
− dell’incerta valutazione del coefficiente di sicurezza nei confronti dell’azione sismica. Modellare una struttura soggetta ad azione sismica risulta pertanto essere uno degli aspetti più importanti e delicati che ogni progettista deve affrontare per poter poi procedere all’analisi della stessa. Poiché una stessa struttura può essere rappresentata da più modelli, è necessario prendere in considerazione solamente quelli che risultino essere al tempo stesso rappresentativi del comportamento reale e risolubili con gli strumenti e le conoscenze di cui si dispone.
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4.2 Metodi di Analisi.2 Metodi di Analisi.2 Metodi di Analisi dell’azione sismica e modellazione.2 Metodi di Analisidell’azione sismica e modellazionedell’azione sismica e modellazione delle strutturedell’azione sismica e modellazionedelle strutturedelle strutturedelle strutture
Nelle N.T.C. 2008 al §7.3.2 vengono elencati e spiegati i vari metodi di analisi. L’analisi delle strutture soggette ad azione sismica può essere lineare o non lineare.
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che in relazione al fatto che l’analisi sia lineare o non lineare, i metodi d’analisi sono articolati anche in relazione al fatto che l’equilibrio sia trattato staticamente o dinamicamente. Il metodo d’analisi lineare di riferimento per determinare gli effetti dell’azione sismica, sia su sistemi dissipativi sia su sistemi non dissipativi, è l’analisi modale con spettro di risposta o “analisi lineare dinamica”. In essa l’equilibrio è trattato dinamicamente e l’azione sismica è modellata direttamente attraverso lo spettro di progetto definito al § 3.2.3.4 (struttura non dissipativa) o al § 3.2.3.5 (struttura dissipativa). In alternativa all’analisi modale si può adottare una integrazione al passo, modellando l’azione sismica attraverso accelerogrammi, ma in tal caso la struttura deve essere non dissipativa.
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Per le sole costruzioni la cui risposta sismica, in ogni direzione principale, non dipenda significativamente dai modi di vibrare superiori, è possibile utilizzare, sia su sistemi dissipativi sia su sistemi non dissipativi, il metodo delle forze laterali o “analisi lineare statica”. In essa l’equilibrio è trattato staticamente, l’analisi della struttura è lineare, si modella l’azione sismica direttamente attraverso lo spettro di progetto definito al § 3.2.3.4 (struttura non dissipativa) o al § 3.2.3.5 (struttura dissipativa).
Infine, per determinare gli effetti dell’azione sismica su sistemi dissipativi, si possono effettuare analisi non lineari. In esse l’equilibrio è trattato staticamente (“analisi non lineare statica”) modellando l’azione sismica direttamente mediante forze statiche fatte crescere monotonamente o dinamicamente (“analisi non lineare dinamica”) modellando l’azione sismica indirettamente mediante accelerogrammi.
I metodi di analisi descritti e indicati nelle N.T.C. 2008 sono i seguenti: 1) Analisi lineare dinamica;
2) Analisi lineare statica; 3) Analisi non lineare statica; 4) Analisi non lineare dinamica.
Il primo tipo di analisi viene illustrato nel Capitolo 6 del presente lavoro di tesi.
Nell’Analisi lineare statica, l’entità delle forze si ottiene dall’ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo T1e la loro distribuzione sulla struttura segue la forma del modo di
vibrare principale nella direzione in esame, valutata in modo approssimato. Questo metodo può essere applicato a un modello spaziale oppure a due modelli piani separati in caso di edifici regolari.
L’utilizzo dell’analisi statica non lineare permette una valutazione più precisa della risposta attesa per lo studio e la verifica di edifici esistenti. L’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà. Le analisi pushover possono essere utilmente impiegate anche per verificare la coerenza tra i fattori di struttura assunti in base alle indicazioni normative e le reali duttilità e capacità dissipative della struttura.
Infine, l’analisi dinamica di tipo non lineare è in teoria la più completa, in quanto permette di conoscere nel tempo sollecitazioni e deformazioni degli elementi costituenti la struttura. Aspetti fondamentali e critici dell’analisi dinamica non lineare sono la definizione dei legami costitutivi isteretici dei materiali, nonché la scelta degli accelerogrammi da utilizzare come input, i quali devono rappresentare correttamente gli eventi sismici attesi.
I quattro metodi di analisi, appena esposti, proposti dalle attuali normative antisismiche, possono essere elencati in ordine crescente per livello di complessità: “Statica lineare”, “Dinamica modale”, “Statica non lineare”, “Dinamica non lineare”.
87 La scelta di uno dei quattro metodi dovrà essere fatta in base alle caratteristiche e all’importanza della struttura da esaminare. La normativa definisce come “metodo normale” l’analisi modale associata allo spettro di risposta di progetto e applicata ad un modello tridimensionale dell’edificio. In sostituzione al modello tridimensionale è possibile utilizzare due modelli piani separati ed una semplice analisi statica lineare se la struttura presenta i requisiti di regolarità in pianta ed in alzato richiesti dalla normativa.
Per quanto riguarda i metodi impiegati per la modellazione delle strutture in muratura, essi possono essere classificati nel modo seguente :
1) metodi di discretizzazione agli elementi finiti “F.E.M.” 2) metodi semplificati a telaio equivalente
3) metodi di analisi limite
Il primo metodo consente di eseguire tutte le tipologie di analisi previste dalle attuali normative con i seguenti vantaggi :
− possibilità di modellare la struttura nel suo complesso e in maniera dettagliata (con volte, archi, irregolarità, ecc.);
− maggiore accuratezza dei risultati;
− possibilità di effettuare analisi in controllo di forza o spostamenti; − possibilità di introdurre non-linearità geometriche.
Fig. 4 Fig. 4 Fig. 4
88 Per contro gli svantaggi che si riscontrano sono:
− notevole onere nella realizzazione del modello numerico; − difficoltà di convergenza (modelli non lineari).
I metodi semplificati schematizzano le pareti in sottoelementi elementari aventi comportamento meccanico e geometrico differente distinguendo i maschi murari dalle cosidette fasce di piano e da elementi rigidi. Gli elementi “maschio” sono disposti a fianco delle aperture, gli elementi “fascia di piano” sopra e sotto le aperture mentre la parte di muratura restante, che non confina con aperture e risulta “contenuta” dagli altri elementi, viene schematizzata come elemento infinitamente rigido. Dal collegamento opportuno dei sottoelementi sopradescritti deriva una struttura a telaio, detta telaio equivalente.
Fig. 4 Fig. 4 Fig. 4
Fig. 4....2.22.22.2 Modello di calcolo a macroelementi – telaio equivalente. 2.2
Variando il comportamento meccanico degli elementi costituenti il telaio equivalente è possibile ottenere varie tipologie di analisi elencate di seguito :
− il metodo POR; − il metodo SAM; − il metodo VET.
Il terzo metodo introdotto, si fonda sul teorema cinematico dell’analisi limite il cui enunciato può essere riassunto nel modo seguente:
“Il carico limite è il minore di tutti quelli che si possono ottenere disponendo zone di plasticizzazione in posizioni arbitrarie del sistema e calcolando il carico che corrisponde al meccanismo così realizzato.”
89 ed opera ipotizzando che la rottura interessi determinate pareti o zone dell’edificio. I vantaggi di tale metodo sono:
− semplicità operativa e agevole lettura dei risultati; − metodo già molto usato in passato e ben noto; − possibilità di operare anche con verifiche manuali;
− applicabilità alla maggior parte dei casi oggetto di studio.
Per contro gli svantaggi di tale metodo possono essere riassunti nei seguenti punti:
− possibilità di eseguire verifiche locali perdendo informazioni relative al collasso globale dell’edificio;
− elevate approssimazioni;
− stima del limite inferiore del carico di collasso;
− metodo basato su cinematismi ipotizzati dal progettista.
Inoltre i metodi semplificati descritti sommariamente in precedenza, consentono di l’esecuzione analisi non lineari, che se da un lato consentono un certo grado di approssimazione, dall’altro risultano più gestibile a fronte di un ridotto onere computazionale.
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4.2.2.2.1 Il modello agli elementi finiti.2.1 Il modello agli elementi finiti.1 Il modello agli elementi finiti.1 Il modello agli elementi finiti per il caso studioper il caso studioper il caso studio per il caso studio
Attualmente lo strumento di calcolo strutturale più potente è quello degli elementi finiti. Il suo impiego nell’analisi degli edifici storici fornisce una rappresentazione molto fedele che riesce a cogliere anche forme geometriche complesse di ossature di strutture esistenti. Il metodo di discretizzazione agli elementi finiti consiste nel suddividere una struttura in un insieme di elementi di piccola dimensione, connessi tra loro in corrispondenza dei vertici che prendono il nome di “nodi”. La struttura è quindi rappresentata da un insieme di elementi che interagiscono esclusivamente attraverso tali punti materiali; questi elementi sono sottoposti alle azioni esterne di carico, opportunamente schematizzate come carichi nodali equivalenti. I gradi di libertà incogniti della struttura coincidono generalmente con gli spostamenti dei nodi, una volta noti i quali è possibile determinare il campo degli spostamenti all’interno di ciascun elemento attraverso le funzioni di forma, e risalire allo stato di tensione e di deformazione di ciascun elemento.
La modellazione agli elementi finiti permette di analizzare strutture di forma qualunque utilizzando elementi trave, guscio o solidi, in funzione della tipologia del problema oggetto di studio.
Fig. 4 Fig. 4 Fig. 4
Fig. 4....2.1.12.1.12.1.1 Modello di calcolo agli elementi finiti, livello tensionale della muratura. 2.1.1
Al fine di cogliere in maniera corretta la risposta dell’edificio e far si che la soluzione approssimata tenda a quella reale (nel campo degli spostamenti ammissibili e congruenti definiti dalle funzioni di forma), è necessario adottare una mesh sufficientemente fitta nelle zone in cui si prevede un elevato gradiente dello stato di sforzo; contemporaneamente la mesh realizzata non deve essere eccessivamente onerosa al fine di evitare complicazioni nella gestione dei risultati.
91 I risultati ottenuti con analisi di questo tipo forniscono indicazioni relative allo stato di tensione puntuale all’interno della muratura. Il superamento di tale valore rispetto alla tensione di progetto non comporta necessariamente la crisi della struttura. I criteri di resistenza per gli elementi murari sono funzione infatti dei valori delle caratteristiche di sollecitazione globali che interessano l’elemento resistente (maschio murario o fascia), all’interno del quale sono possibili anche ridistribuzioni di tensione legate al comportamento non lineare del materiale edal degrado dello stesso. E’ necessario quindi elaborare i risultati della modellazione, tramite operazioni di media ed integrazione. Appare evidente quindi la dipendenza dell’analisi dal tipo di mesh realizzata (mesh dependent) e la dipendenza del tempo di calcolo dalle dimensioni del modello numerico; infatti per grandi modelli il tempo di calcolo può risultare notevole. Inoltre l’applicazione dei criteri di resistenza a taglio e pressoflessione alla muratura richiede ulteriori operazioni di integrazione dei risultati nodali sui singoli elementi murari.
L’analisi del comportamento statico e dinamico della struttura oggetto di studio è stata affrontata attraverso la creazione di un modello tridimensionale agli elementi finiti costituito da elementi area ed elementi asta. Gli elementi asta o frame, impiegati per la modellazione di fondazioni, cordoli in cemento armato e struttura lignea della copertura, sono elementi a due nodi a sei gradi di libertà per ciascun nodo, tre traslazionali e tre rotazionali. Le parti in muratura sono state modellate invece con elementi area o shell a 4 nodi, assegnando le caratteristiche fisico-meccaniche del materiale muratura e lo spessore reale dell’elemento schematizzato. Ai solai, schematizzati anch’essi con elementi shell, sono state attribuite le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo C25/30; lo spessore assegnato a questi elementi varia in base alla tipologia di solaio, per tenere di conto del diverso contributo irrigidente degli orizzontamenti stessi.
La schematizzazione adottata per l’edificio è tale da rappresentare in maniera adeguata la distribuzione di massa e rigidezza reale attraverso elementi che simulano il comportamento effettivo della struttura.
