La collezione di figurine

La collezione di figurine

Autore: Antonio Perrone

Email: Antonio@zibaldonesemiserio.it 1ᵃ edizione 19/02/2021

Introduzione

Questo breve studio, di natura probabilistica, si pone come obiettivo quello di analizzare alcuni aspetti del processo di collezione delle figurine.

L’interesse per la collezione di figurine è sempre stato, e lo è tuttora, molto diffuso soprattutto fra le giovanissime generazioni. I temi sono i più disparati: soprattutto il calcio, ma anche eroi dei fumetti, serie televisive, il mondo della natura, ecc.

Il completamento di una collezione può però comportare esborsi significativi, in particolar modo per quelle persone che, per impedimenti vari o per “orsaggine”, non utilizzano lo strumento basilare dello scambio dei doppioni.

Due sono le questioni affrontate e sviluppate in questa breve analisi:

 Problema A - stimare il numero medio di figurine valide (cioè non doppioni) che si ottengono acquistando una bustina, quando l’album è solo parzialmente riempito

 Problema B – effettuare una stima probabilistica della percentuale di

completamento dell’album dopo l’acquisizione di un determinato numero di bustine, nell’ipotesi che il riempimento avvenga in assenza di scambi

In entrambe i casi sussiste l’ipotesi di base che tutte le figurine siano distribuite casualmente, e dunque equamente, nelle bustine.

Sviluppo del problema A

Definiamo qui di seguito i seguenti parametri:

M, numero di figurine in una bustina

m, numero di figurine valide in una bustina N, numero di figurine della collezione completa n, stato di riempimento dell’album

La probabilità che, avendo l’album già riempito con un numero n di figurine, l’acquisizione di una nuova bustina produca un incremento nello stato di

riempimento pari a m (cioè in pratica che la bustina contenga m figurine valide e M- m doppioni), è dato dalla seguente formula:



 







 





 



 



 



M N

m M

n m

n N

p_n,m [1]

dove il denominatore fornisce il numero totale di bustine differenti, mentre il numeratore fornisce il numero di bustine differenti aventi m figurine valide (e ovviamente M-m doppioni).

Le probabilità pn,m (con m = 0,1,2,…,M) sono le probabilità di transizione che modellano il passaggio dallo stato n allo stato n+m, così come più ampiamente descritto nell’ Appendice.

Una verifica della correttezza della formula di pn,m deriva dall’applicazione del criterio di completezza per il quale deve risultare:

1 p

M 0 m

m ,

n 

 [2]

Sostituendo la [1] nella [2] si ha:



 





 



 





 



 



 

 



 







 





 



 



 

  ^





M N

m M

n m

n N

M N

m M

n m

n N p

M 0 M m

0 m M

0 m

m , n



 



 



 





  



 





 h

i j k h

i k

h j

0 k

[3]

si ha in definitiva la verifica attesa:

1 M

N M N p

M 0

m n,m 



 







 





 



Per l’analisi del problema andiamo ad utilizzare la metodologia delle transizioni di stato (vedi l’Appendice per dettagli), un estratto del cui diagramma è riportato nella figura che segue. Essa evidenzia in maniera inequivocabile il ruolo delle probabilità pn,m, che è quello di spostare il livello di riempimento dallo stato n agli stati n, n+1, n+2, …, n+M.

Il valore medio del numero di figurine valide dipende dallo stato di riempimento n ed è definito da:



 





 

 





 



 



 

 



 







 





 



 



 



 ^



M N

m M

n m

n m N

M N

m M

n m

n N m m

M 0 M m

0 m n

n p_n,0

p_n,1 p_n,2

p_n,3

p_n,m

p_n,M

Diagramma di transizione degli stati – caso A

n+1 n+2 n+3 n+m n+M

n p_n,0

p_n,1 p_n,2

p_n,3

p_n,m

p_n,M

Diagramma di transizione degli stati – caso A

n+1 n+2 n+3 n+m n+M

questa formula, attraverso una semplice manipolazione algebrica, può essere espressa in una forma più semplice:



 





 

 





 



 









 



 ^

M N

m M

n 1

m 1 n ) N

n N ( m

M 1 m

n

Ed applicando la [3] si ha in definitiva:

N ) M n N ( M

N 1 M

1 N ) n N (

m_n   



 







 















Nel seguito vengono riportati alcuni grafici, ottenuti ipotizzando un possibile scenario, che meglio aiutano a comprendere le prestazioni del processo in esame.

La figura qui sotto mostra la dipendenza lineare del numero medio di figurine valide mndallo stato di riempimento dell’album.

Numero medio figurine valide in una bustina in funzione dello stato dell'album [N=300, M=5]

0 1 2 3 4 5 6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Stato album (n)

Numero medio figurine valide

Si definisce a questo punto il costo marginale figurativo di una figurina valida, Cn, inteso come il numero di bustine (medio) che deve essere acquistato dal

collezionista per incrementare di un’unità lo stato del suo album. Risulta ovviamente:

n

n m

C  1

La prossima figura mostra l’andamento di tale funzione. Da essa risulta evidente che a partire da un certo stato in poi, in pratica man mano che ci si avvicina al

riempimento completo dell’album, il costo di una figurina valida (da intendersi come numero medio di bustine da acquistare) può impennarsi notevolmente, arrivando a valori considerevoli.

Un’altra figura che aiuta meglio a capire l’entità dello sforzo economico da sostenere per portare a completamento l’album, assumendo però come ipotesi quella di non utilizzare lo scambio, è quella che segue. In questo caso l’ordinata fornisce il costo complessivo (in media), cioè il numero totale di bustine da

acquistare, per ogni prefissato stato dell’album. In particolare si può notare, nello scenario utilizzato, che occorrono circa 370 bustine (in media) per il completamento dell’album, cosa che corrisponde all’acquisto di 1850 figurine di cui solo 300

ovviamente valide.

Costo marginale figurativo in funzione dello stato di riempimento dell'album [N=300, M=5]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Stato album (n)

Costo marginale figurativo

Nota: per ottenere il costo monetario reale nello scenario illustrato è sufficiente moltiplicare il costo (marginale o complessivo) in figura per il prezzo unitario della bustina.

Osservazione: eventuali scambi di figurine intesi a ridurre i costi di riempimento dell’album sicuramente agevolano la “missione” del collezionista, però il valore di scambio è poco significativo nella fase iniziale/media di raccolta, mentre diventa sempre più considerevole nella fase finale.

Costo complessivo figurativo in funzione dello stato dell'album [N=300, M=5]

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Stato album (n)

Costo complessivo figurativo

Sviluppo del problema B

Ipotesi base: la collezione avviene in assenza di scambi.

Anche in questo caso per la formulazione matematica del problema possiamo utilizzare la metodologia delle transizioni di stato.

Il diagramma nella figura che segue illustra in maniera evidente il processo sottostante.

In figura j identifica la situazione degli stati dopo l’acquisto di j bustine; all’atto dell’acquisto della j+1-esima bustina alcuni di questi stati (M+1 per l’esattezza) concorrono attraverso le transizioni pn,m a definire la situazione del nuovo stato n.

Definita come Pn,j la probabilità dello stato di riempimento (n) dopo l’acquisto di j bustine, sulla base del processo evidenziato nel diagramma precedente, si ha chiaramente:

Tale formula consente dunque di calcolare con una procedura ricorsiva i valori delle probabilità di tutti gli stati ad ogni singolo acquisto di bustine.

A tal fine le seguenti condizioni iniziali devono valere:

m , m n M

0

m n m,j 1

j ,

n P p

P _

 

   

n-2 n-3

n-m n-M

p_n,0 p_n-1,1

p_n-2,2 p_n-3,3

p_n-M,M

n

Diagramma di transizione degli stati - caso B

n-1

n j

j+1

n-2 n-3

n-m n-M

p_n,0 p_n-1,1

p_n-2,2 p_n-3,3

p_n-M,M

n

Diagramma di transizione degli stati - caso B

n-1

n j

j+1

1 0 ,

P0 _

 

Pn _{  }









0 j 1, j

, P0













0 n M,0 , j 0, j

,

Pn









n 0 m ,

pn _{    } 0

0 ,

p0 _

Inoltre vale la seguente condizione probabilistica di completezza:









 

 P 1 j 0,

N 0 n

j , n

Il grafico sottostante riporta un esempio di applicazione del calcolo della PN,j. Dalla figura si evince per esempio che persino l’acquisto di 600 bustine, con una probabilità di completamento del 98%, non garantisce la fine della raccolta.

Un altro grafico parimenti interessante, in quanto riporta i risultati da una prospettiva diversa, è quello visualizzato nella prossima figura. Esso mostra le

Probabilità di completamento dell'album in funzione del numero di bustine [N=300, M=5]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Numero di bustine

Probabilità riempimento (%)

Come risulta evidente, solo per valori elevati di Nb, la probabilità degli stati prossimi a 300 si avvicina al 100%.

Lo stato di riempimento (n) medio per ogni j (numero di bustine totali acquistate) si ottiene dalla seguente formula:

Da questa si ottiene la percentuale di riempimento:

Nella figura che segue è mostrato il grafico della percentuale di riempimento in funzione del numero di bustine da acquistare.







  

  n P j 0,

n

N 0

n n,j

j











 j 0,

N R_j n^j

Probabilità dello stato per 3 valori del numero di bustine Nb [N=300, M=5]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Stato dell'album (n)

Probabilità dello stato

Nb=150 Nb=300 Nb=600

Grado di riempimento in funzione del numero di bustine [N=300, M=5]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 Numero di bustine

Percentuale di riempimento dell'album

Conclusioni

L’analisi prodotta conferma in gran parte quanto preannunciato nella premessa e come d’altra parte risulta intuitivo a livello del senso comune. Ciò che invece appare

“sconcertante” è l’alto numero di bustine da acquistare, quando la raccolta avviene in assenza di scambi, per arrivare con una ragionevole certezza al completamento dell’album. Come pure è impressionante apprendere che nella fase finale di

riempimento dell’album, quando cioè mancano poche figurine al completamento, l’acquisizione di una figurina valida, in termini probabilistici, comporta l’acquisto di una quantità abbastanza elevata di bustine. L’insegnamento che ne consegue è quindi quello di utilizzare al massimo il meccanismo dello scambio di doppioni, specialmente nella fase finale di completamento dell’album.

Strumento di analisi

Cliccando su Collezione Figurine.xls è possibile scaricare localmente un file Excel costituito da tre fogli che consentono di effettuare un’analisi personalizzata di una collezione di figurine.

Il foglio “Sintesi” consente di introdurre i parametri significativi del problema e di ottenere alcuni risultati parziali.

Il foglio “ProblemaA” mostra una tabella più dettagliata di risultati che si ottengono automaticamente sulla base dei parametri di input impostati nel foglio “Sintesi”.

Il foglio “ProblemaB” mostra una tabella aggiuntiva di risultati sempre basati sui parametri di input impostati nel foglio “Sintesi” e ottenibile cliccando sulla casella rossa.

Nota: il foglio Excel contiene una Macro, cioè un programma atto ad effettuare i calcoli matematici. Verosimilmente il PC, per questioni di sicurezza, può bloccarsi ed eventualmente richiedere di abilitare l’uso delle macro. La macro inserita è

accessibile, e comunque l’autore dichiara che la versione originale¹ non contiene dispositivi pericolosi.

1 Per versione originale si intende quella presente nel sito e da lì direttamente scaricabile. L’autore

Appendice

Le situazioni probabilistiche descritte in questo documentino possono essere modellate con la metodologia delle catene di Markov, ampiamente utilizzate nell’analisi dei processi aleatori a stati discreti.

In un processo del tipo sopra descritto lo stato identifica una possibile situazione e quindi l’insieme di tutti gli stati e le relative interconnessioni definiscono l’intero processo. Ad ogni stato è ovviamente associata una probabilità.

La caratteristica specifica della catena markoviana è quella per cui la probabilità di uno stato dipende unicamente dallo stato precedente e non dal percorso per raggiungere quello stato. Ciò comporta che il passaggio da uno stato all’altro è definito attraverso una probabilità di transizione.

Una catena di Markov può essere rappresentata graficamente attraverso un grafo orientato, costituito da archi (transizioni) e nodi (stati), come per esempio quello mostrato nella figura che segue.

Nell’esempio in figura, gli stati (i cerchietti gialli) sono 5, numerati da 0 a 4, e per ciascuno di essi è definita la probabilità Ps.

Gli stati sono collegati tra di loro tramite archi orientati, cui sono associati le probabilità di transizione pi,j.

 Ad uno stato può anche essere associata una transizione su sè stesso, per p_1,,3

Catena di Markov - Grafo orientato

0

1

2 3

4

p_0,1

p_2,3

p_1,2

p_3,4 p_0,,3

p_2,2

P₀ P₃

P₄

P₂ P₁

p_1,,3

Catena di Markov - Grafo orientato

0

1

2 3

4

p_0,1

p_2,3

p_1,2

p_3,4 p_0,,3

p_2,2

P₀ P₃

P₄

P₂ P₁

 Uno stato, necessariamente unico, può avere solo transizioni uscenti, per esempio lo stato 0, detto in tal caso stato origine o iniziale.

 Uno stato può avere solo transizioni entranti, per esempio lo stato 4, in tal caso è detto stato finale. È evidente che in tal caso il processo si arresta.

 Le probabilità di transizione per stati non collegati è pari a 0, per esempio p0,2 = 0.

 Regola di completezza: la somma delle probabilità di transizione uscenti deve essere uguale all’unità, in formula:

i 1 p

j j ,

i  



 La probabilità del j-esimo stato risulta definita dalla seguente formula:

 

i

j , i i

j P p

P

dove l’indice i della sommatoria si riferisce a tutti gli stati afferenti lo stato j, per esempio   

 2 0

i i i,3

3 P p

P

 Lo stato origine ha necessariamente probabilità pari ad 1, cioè P₀ 1.