Analisi I Ingegneria Chimica e Aerospaziale Primo compitino

(1)

Primo compitino 14 febbraio 2017 Test di ammissione

1. Determinare il numero dei massimi relativi della funzione f (x) = sin(10πx) nell’intervallo [0, 10].

2. Si determini il polinomio di Taylor di grado 4 di f (x) = cos(sin(x)) intorno a 0.

3. Si calcoli _∞

X

n=0

(−1)ⁿ 1 3ⁿ .

Note:

Tempo a disposizioone: 30 minuti.

Non `e necessaria una giustificazione delle risposte.

Il test risulta superato solo se TUTTE E 3 le risposte sono esatte.

(2)

Analisi I – Ingegneria Chimica e Aerospaziale

Esercizi 14 febbraio 2017

1. Dimostrare che per ogni intero n ≥ 1 vale la formula 1

n + 1 + 1

n + 2+ · · · + 1

2n = 1 −1 2 +1

3− 1

4+ · · · − 1 2n. 2. Si calcoli

n→∞lim 2ⁿ √ⁿ

2ⁿ+ n − 2 . 3. Si determini se la serie

∞

X

n=1

1 2^{log n!}

converge, diverge o `e indeterminata.

4. Si consideri la funzione

f : R → R , f (x) = x³e^−x² .

(a) Si determinino i punti stazionari di f , e si dica quali tra di essi sono punti di massimo locale e quali di minimo locale.

(b) Si calcoli l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 1.

Note:

Tempo a disposizione: 2 ore.

Ogni risposta deve essere motivata.

Ogni esercizio vale 8 punti.

(3)

2^o compitino 5 giugno 2017

1. Si consideri la funzione

f : R → R , f (x) = (x − 2)e^−x² .

(a) Se ne calcolino i limiti all’infinito, i massimi locali, i minimi locali, specificando quali di essi siano anche massimi e minimi assoluti.

(b) Si determini il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = −2 (suggerimento: si calcoli f (0)).

(c) Si determini il numero di flessi di f .

2. (a) Determinare tutti i valori di (a, b) ∈ R² per i quali Z _+∞

0

1

x^a(4 + 9x)^b+1dx converge.

(b) Calcolare

Z +∞

0

√ 1

x(4 + 9x)dx.

3. Si consideri l’equazione differenziale

u⁰+ 2tu = 4t sin t² . (a) Se ne determini la soluzione generale.

(b) Si consideri la soluzione dell’equazione data tale che u(0) = α. Si determini α in modo che u sia periodica.

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Note:

Ogni risposta deve essere motivata.

L’esercizio numero 1 vale 12 punti; gli esercizi numero 2 e numero 3 valgono 10 punti ciascuno.

(4)

NOME E COGNOME (in stampatello):

NUMERO DI MATRICOLA:

Analisi I – Ingegneria Chimica e Aerospaziale

12 giugno 2017

Ammissione

1. Sia a un parametro reale. Calcolare, in funzione di a, il coefficiente di x⁴ nello sviluppo dell’espressione

(ax²+ a²)(x + 1)⁴.

2. Determinare per quali valori α ∈ R la serie

∞

X

n=1

n² e^(α²^−α)n converge.

3. Si determini una funzione u : R → R tale che u⁰⁰(t) = u(t) per ogni t ∈ R, u(0) = 0 e u⁰(0) = 2.

Note:

Tempo a disposizione: 30 minuti.

Scrivere il proprio nome e cognome, il proprio numero di matricola, e le risposte su questo stesso foglio accanto al testo. Non sono necessarie spiegazioni. Al termine, consegnare questo foglio e nient’altro.

Il test risulta superato se ci sono almeno due risposte corrette.

Ai fini dello scritto complessivo, ogni risposta corretta vale 3 punti.

(5)

12 giugno 2017

Esercizi 1. Si calcolino

n→∞lim

p(n + 1)! − n! , lim

x→0

e^x− e^{sin x} x sin²x . 2. Sia f : R → R una funzione continua tale che

f (x) = e⁻

1

|x2−1|

per ogni x 6= ±1.

(a) Si calcolino f (1) e f (−1).

(b) Si determinino gli asintoti di f .

(c) Si calcolino gli intervalli di monotonia, ed i massimi e minimi assoluti e relativi di f .

(d) Si calcoli il numero delle soluzioni dell’equazione f (x) = λ al variare di λ ∈ R.

3. (a) Discutere la convergenza dell’integrale Z 1

0

log(1 +√ x) (|1 −√

x|) sin xdx . (b) Discutere la convergenza dell’integrale

Z π 0

log(1 +√ x) (|1 −√

x|) sin xdx .

Note:

Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate.

(6)

Analisi I – Ingegneria Chimica e Aerospaziale

3 luglio 2017

Ammissione

1. Si calcoli il polinomio di Taylor di grado 4 della funzione f (x) = log cos x intorno a 0.

2. Calcolare una primitiva della funzione f : R → R definita da f (x) = x²sin x.

3. Si determini una funzione u : R → R tale che u⁰⁰− 2u⁰+ 2u = 0, u(0) = 0, u⁰(0) = 2.

Note:

(7)

3 luglio 2017

Esercizi

1. (a) Siano a, b numeri reali tali che a > b > 0. Calcolare

n→∞lim(aⁿ− bⁿ)ⁿ¹ . (b) Sia α un parametro reale, e consideriamo il limite

lim

x→0⁺

sin(2x²)(√

1 + 3x − 1)

x^α .

Determinare per quali valori di α questo limite esiste ed `e diverso da 0, ±∞. Calco- lare il limite per questi valori.

2. Determinare i valori del parametro reale positivo α per i quali la serie

∞

X

n=2

log(3ⁿ+ 1) n^{α log(3n)}

n sin(_3n¹)

converge.

3. Si consideri la funzione f : R \ {0} → R data da f (x) = e(^x+^x¹) . (a) Si determinino eventuali asintoti della funzione f .

(b) Si determinino massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f .

(c) Si determini il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = λ al variare di λ ∈ R.

(d) Si mostri che la funzione f ha almeno 2 flessi.

Note:

(8)

Analisi I – Ingegneria Chimica e Aerospaziale

24 luglio 2017

Ammissione 1. Calcolare il limite

n→∞lim

(n + 3)ⁿ (n + 1)ⁿ.

2. Determinare per quali valori di x ∈ R la serie

∞

X

n=1

xⁿ n²3ⁿ converge.

3. Si determini il valore di a ∈ R per cui la funzione f (x) = e^ax²− cos(3x) sia un o(x³) per x che tende a 0.

Note:

(9)

24 luglio 2017

Esercizi

1. (8 punti) Si determini il numero delle soluzioni dell’equazione tan 2x

1 + x² = λ al variare di λ in R.

2. (11 punti) Si consideri il problema di Cauchy

u⁰−^2u_t = sin t u(1) = α

(a) Se ne determini una soluzione, lasciando eventualmente indicati gli integrali che non si sappiano risolvere.

(b) Si mostri che esiste un valore β ∈ R tale che limt→+∞u(t) = +∞ se α > β e limt→+∞u(t) = −∞ se α < β.

(c) Si calcoli lim_t→0⁺u(t).

3. Determinare per quali valori di a, b, con 0 ≤ a < b ≤ 1, l’integrale Z b

a

1 x log²xdx converge.

Note:

(10)

Analisi I – Ingegneria Chimica e Aerospaziale

14 settembre 2017

Ammissione 1. Si determini il numero delle soluzioni dell’equazione

3x⁵− 10x³+ 15x = π .

2. Si determini l’equazione dell’asintoto obliquo destro della funzione f (x) =√ x²+ x.

3. Si calcoli

∞

X

n=0

2⁻²ⁿ n! .

Note:

(11)

14 settembre 2017

Esercizi

1. Si determini la soluzione generale dell’equazione differenziale u⁰⁰⁰− 3u⁰+ 2u = 4e^−t . Si determini poi una soluzione u(t) tale che

Z +∞

0

u(t)dt = 2 .

2. (a) Determinare per quali valori del parametro reale α la seguente serie converge:

∞

X

n=1

n²3^αn 4ⁿ√

n + 1.

(b) Determinare se la seguente serie converge:

∞

X

n=2

(−1)ⁿn + sin n n²log n .

3. Si calcolino i seguenti limiti:

x→0lim

2 ln(cos x) + sin x²

x⁴ , lim

n→∞

n

s (3n)!

(n!)³ . Note: