RENDICONTI. Franco Algostino Sugli stati di strato limite nei gusci ATTI ACCADEMIA NAZIONALE DEI LINCEI CLASSE SCIENZE FISICHE MATEMATICHE NATURALI

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ATURALI

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Franco Algostino

Sugli stati di strato limite nei gusci

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche,

Matematiche e Naturali. Rendiconti, Serie 8, Vol. 62 (1977), n.6, p. 791–796.

Accademia Nazionale dei Lincei

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(2)

(3)

F r a n c o A lg o s t in o , Sugli stati di strato limite nei gusci 79I

M eccanica.

—

Sugli stati di strato limite nei gùsci.

Nota di Fr a n c o

Al g o s t i n o <*>, presentata^*) dal Socio P. Ci c a l a.

SUMMARY. -—■ Asymptotic approach is used to investigate stress states in shells whose length of variation in terms of one coordinate is small as thickness. In addition to known systems for boundary layer states, a set of eight equations apt to represent load, not edge effects, is found.

In t r o d u z io n e

L a te o ria delle stru ttu re a guscio fo n d a ta sull’ipotesi di conservazione delle norm ali conduce ad un sistem a differenziale di o ttav o ordine. L a t r a t tazio n e asintotica, che di q u ell’ipotesi n o n si vale, p o rta a d istinguere varie classi di soluzioni: però, anche, p er qu esta via, quan d o si tralascin o gli stati di tensione con indice di v ariazione 1 (secondo la denom inazione di G olden- veizer), i sistem i differenziali che intervengono nella costruzione dello stato risu ltan te, com plessivam ente raggiungono l’ordine 8. A lla stessa conclusione si a rriv a p er il guscio p iatto e, in partico lare, per la p arete piana, ove si associno gli stati estensionali e quelli f is s io n a li.

A com pletare l’esam e della situazione al contorno vanno considerati gli stati di indice i, d etti di strato lim ite. P er la p ia stra alcuni tip i di questi stati vennero in d iv id u a ti d a R eissner [1] e d a F riedericks e D ressier [2] e p er il guscio cilindrico d a R eiss [3]. P er la s tru ttu ra a guscio generica si distinguono 4 tip i di tali soluzioni [4]. N ella tra tta z io n e bidim ensionale essi sono retti d a u n sistem a differenziale di dim ensioni infinite. P eraltro , per via asintotica, la risoluzione è ric o n d o tta a ll’esam e di un problem a tridim ensionale assai sem plice: su q u esta base di p rim a approssim azione si determ inano facilm ente i c a ra tte ri essenziali di questi stati.

N ella form ulazione m enzionata, in tro d o tto il p aram etro 8, ra p p o rto fra lo spessore h e u n a lunghezza L di riferim ento, p er ciascun tipo di soluzione si h a u n a classificazione delle incognite, d a ta dagli esponenti qx delle potenze di 8 che, p er 8 ► o, definiscono gli ordini di grandezza della variabili V, com ponenti di spostam ento e di tensione. Secondo q u an to suggerito d a C icala [5]

tali classificazioni possono tro v arsi introducendo term ini noti u n ita ri nel sistem a di equazioni algebriche che dalle differenziali si ottengono tra tta n d o le derivazióni risp etto alle coordinate come fatto ri di p restabilito ordine di g ran d ezza. Così, d alla m atrice [A] dei coefficienti del sistem a si passa alla m atrice [a] che ne contiene gli esponenti sulla base 8: d a questa, con l’uso del p ro g ra m m a di calcolo della N o ta [6], si ottiene la m atrice

[ä]

degli esponenti

(*) Politecnico di Torino.

•(**) Nella seduta del 23 giugno 1977.

(4)

ai term in i fondam entali, form ano, per ciascun g ru p p o u n sistem a « parziale », a tto al calcolo di p rim a approssim azione di a ltre tta n te incognite. T ali concetti sono qui ad o p erati per lo studio degli stati di tensione con indice di variazione i secondo un sistem a di linee coordinate sulla superfìcie m edia e zero sulle tra ie tto rie ortogonali.

St r u t t u r a d e l l a m a t r ic e d’e s p o n e n t i d e l s is t e m a

Si consideri u n a p arete p ia n a rife rita alle coordinate cartesiane ortogonali ,X z , £ : £ corra n o rm alm en te al piano m edio, d a -— h \2 a h \ 2 . Il m ateriale sia elastico, om ogeneo e isotropo con m odulo tangenziale G e coefficiente di P oisson v. S iano hu^ , h u 2 , h u s le com ponenti di spostam ento secondo i tre assi, Gcr^ le com ponenti di tensione. Indican d o con , 3 2 > ^3 Ie derivazioni risp etto alle coordinate, si scrivono le equazioni di equilibrio in assenza di carichi

( 0 (2) (3)

3 1 ® 1 I + 9 2 <*J2 + p

3 = O

9 i <*12 + 9 2°'À2 + ■ 9 3G 23 ⁼ ^O

9 1 ° 1 3 + 9 2 G 2 3 + 9 3 a 3 3 = = O

e le relazioni di elasticità, ag g ru p p ate come segue

( 4 ) ° H — VG22 — Vff33 = 2 ^h ( i + V) ^ ^{U x} ,

(5) (6)

(7) - (8)

( 9 )

I — V^l] --- vcr33 = 2 k (l + v) , G12 = U2 + h ^2 ?-'i

oì3 = hdLUs + k d s Uj , . (7 ?3 = h \ u z + h d 3 u 2 ,

- VG, • vg22 — 2 h (1 -L v) ^3 u z . Le nove v aria b ili vengono sviluppate in serie di L egendre

( i o ) V;

essendo V j.j funzione di ^ , jE,2 e 9 il polinom io P^- di argom ento 2 "Qjh.

Si considerano le soluzioni p e r le quali è (11) 31 v , a3v !=« V/A ; 3äv i%iV/L indicandosi con ^ l’eguaglianza di ordini di grandezza.

(5)

F r a n c o A lg o s t in o , Sugli stati di strato limite nei gusci 793

Si indica con (E 3)^ l’equazione

(12) J ( Z j - K i g ( l ) d Z = 0

h

essendo (i) l’espressione a p rim o m em bro della (i) e l’integrazione essendo estesa d a — h \2 a h \ 2. Poiché h si suppone costante, tenendo conto delle p ro  p rietà dei polinom i P e lim itan d o si ad indicare gli ordini di gran d ezza dei coefficienti dei vari term ini, incluse le derivazioni, si tro v a che la (12) si t r a duce in u n a relazione del tipo

( 1 3) fallo > all j-2 > a13 j - 1) ^ fa fai20' y S — O .

L a fig. i, ric a v a ta d al R if. 5, contiene gli esponenti g per i coefficienti del sistem a caratteriz zato dalle ( l i ) , p er u n guscio generico riferito a coordi

n ate ortogonali sulla superficie m edia fa L a te rn a di righe con E., sulla te s ta ta si riferisce alle equazioni o tten u te m ed ian te la trasform azione (12) dalle con-

U0 L h U1 S: b U2 S2 b

0 • • • ¹ ¹ © 1© . ¹ ² ®

1 1 1 ® © • ^{2 2 2}

0 1 1 © 0 ² • - ® 1 ® 2 1 1 © . . 1 2 2 2 . . 2

0 1 1 10 © 2 . . © 2 2 2 ¹ ¹ © . . 1 2 2 2 . . 2 1 © 1 ² ² © . . ² 1 ® 2 1 1 © . . 1 2 2 2 . . 2

1 2 1 © . . © 1 © 1 2 1

1 • • • ¹ ² ¹ ¹ i ® 1 2 1

2 2 2 • • ® ¹ ¹ © ® 1 . 2 2 2

«3 S³ t3

1 1 © ^{© 2} . © • • ¹ ¹ . 1 1 © ® 2 . 1 1 .

1 1 1

0 2 ® • ¹ ¹ . 1 1 1 2 ® • 1-1 .

1 1 2 ¹ ¹ ¹ . . ¹ 0 © 1 ® ® 2 • • © 1 1 2 1 1 1 . . 1 2 2 2 . . ² 1 2 2 2 ¹ ¹ ¹ . . ¹ 1 © 1 ® ® ² • . © 2 2 2 1 1 1 . . 1 2 2 2 . . ² 1 1 2 ¹ ¹ ¹ . . 1 1 0 1 2 2 ® . . 2 1 1 2 1 1 1 . . 1 2 2 2 . . ²

1 1 . 1 2 © © • • © 1 1 1 © • ^{1 2} ®

2 1 1 • 1 2 © • © • 1 1 © 1 © • 1 2 ©

2 2 2 • • © 1 1 1 @ © • ^{2 2 2} u4 S4 _b

1 ® • • • © © 2 • © • • 1 © • 1 0 ® © 2 . 1 © .

1 ¹^& • • • 1 2 © • • © • 1 © . i © i ² © . 1 © •

1 1 1 . . 1 ® @ 2 • • © • • © 1 1 1 . . 1 ©>® 2 . . 0 1 1 1 . . 1

2 2 2 . . ² 1 ® 2 1 1 © . . ¹ © 1 1 ® ® 2 . . © 1 © ² ¹ ¹© . . 1 2 2 2 . . 2 2 " ’ * ^{2 2 2} . . 2 2 2 2 1 1 © . . 1 1 1 1 ® ® 2 ■ ■ © ^{2 2 2} ¹ ¹ © . .- 1 2 2 2 . . 2

2 2 2 . . 2 1 ® ² V I © . . 1 1 © 1 2 2 © . . 2 1 © ² ¹ ¹¹ © . . 11 2 2 2 • - 2

1 2 1 © 1 © ¹ ¹ . 1 2 1 f a - • © 1 © ¹ ¹ . 1 2 1

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2 2 . 1 1 . 1 1' © I ® 2 . © • • . . . ^{1 1} . 1 1 © ! © 2 •

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1 2 © © 1 1 T © ~ 7 1 2 © ® . . ® 1 1 1 ® .

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2 2 2 1 1 1 © © • ^{2 2 2} . . © 1 1 1 1 ® © •

1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1. 1 0 1 1 1 0 I V I 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Fig. i.

(1) I term ini nulli (p = oo) sono segnati con un punto.

(6)

quelli p er a 13.?- , cr23.?- , g 33.j nelle colonne T^. N ella p rim a rig a delle E n si ritro  vano i term in i della (13) insiem e con i m olti che la c u rv a tu ra della p àrete vi introduce. Si noti che p er j = o ,, 1 , 2 i polinom i a fatto re sono rid o tti a Çj nell’integrazione re la tiv a a gx3 si tenga presente che q uesta tensione si an n u lla p er Ç = ± k / 2 .

D alle (4)-(ó), m oltip lican d o p er ^ j k e integ ran d o nello spessore si ric a  vano le relazioni del g ru p p o I ;-: così per la (I^ - si h a

( 1 4 ) ( P l l - j y ^22- j 1 ^3 3- j y - j ) ^ — O .

I valori di [x re la tiv i alle com ponenti di spostam ento u v j , u 2.j , u 3.x sono rip o rta ti nelle colonne U^. L e equazioni della te rn a N^- sono o tten u te p er in te grazione delle eguaglianze (7)—(9) m oltiplicate p er JL— Si h a così p er l’equazione (N x)j

( 15) OlS-.* y <*130+2 y U S - j +2 y U l - j + i ) § = O .

O sservando nella fig. 1 i blocchi 9 X 9 lungo la diagonale se ne n o ta la form azione rip e titiv a a p a rtire dal 70 elem ento diagonale. P er le sottom atrici adiacenti, la ripetizione si p re sen ta da posizioni sem pre più av a n zate al cre

scere della d istan za d alla diagonale.

La m a t r i c e d’e s p o n e n t i p e r l a r e c i p r o c a d e l s is t e m a

0 a fig. 2 m o stra la tra sp o sta della m atrice [a], m odificata m ed ian te ag  g ru p p a m e n to di righe e colonne uguali. C iascuna delle prim e 8 righe corrisponde all’equazione in d icata a sinistra. Le ultim e 4 corrispondono a g ru p p i infiniti

Q11 . 0 Q 0 a 1 3 . 0 CTn . i w1 . 0 A o u 3. 0 A l A GÌ 2 °21 G22

( A c 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1

( E2 Io 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1

( e 3 ) ⁰ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0

( A i 1 1 2 0 1 t 0 0 1 1 1 0

( A o 2 2 2 2 0 1 1 1 1 2 1 2

( A o , 2 2 2 2 1 0 1 1 1 2 1 2

( A o 2 2 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2

( A i 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1

A 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

A i 2 2 2 1 1 2 1 1 1 0 1 1

E2 L 1 1 1 1 0 1 '1 1 1 1 0 1

A 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 1 £

Fig. 2.

(7)

F r a n c o A lg o s t in o , Sugli stati di strato limite nei gusci 795 di equazioni, e precisam ente: E n ra p p re se n ta le equazioni (N 2)j , (E 2)j+1 , (13)^+2 per j > o p ari, E 12 le anzid ette equazioni p er j > 1 d ispari, E 23 le equazioni (la), , (N g ),, (E 3)3-+J , ( N ^ „ (E,) j+2 5 (I])j>+2 per y > o pari, E 22 le m edesim e p er j > i dispari. N elle colonne sono segnati gli esponenti di ordine di gran d ezza per le variabili: nelle prim e 8 p er le variabili scritte in alto. Seguono i g ru p p i di incognite:

a23-? > «2-jfi °i2 j+i = G n p er j > o pari, = G12 p er j > 1 dispari a22 j ì a 33- j > u i3-j+i ? Gisj+i > u i'j+2 > ffn-j+2 ~ G 2] p er j > o pari,

— G22 p er j > i d ispari.

I valori [x sottolineati indicano la com posizione dei sistem i parziali.

N ella fig. i sotto la p u n teg g iata è segnata la classificazione della rig a E n di fig. 2. Sono distin ti con circolo i term ini fondam entali di ciascuna equazione e con segno speciale quelli del sistem a parziale. Si riconosce che questi co rri

spondono m ed ian te trasfo rm azio n i del tipo (12) al sistem a (l6 ) ^3 ^12 ~ ~ ^ 3 ^ 2 3 > ^32 — 2^2 > ^2 3 = ^^3 ^2

che sono le equazioni (2), (6), (8), rid o tte in base alla classificazione. È noto che uno stato di tensione di questo tip o nasce d all’applicazione su ll’orlo ^>1—

= costante di m om enti di torsione M 12 e sforzi tag lian ti trasv e rsali Q 3 com  binati in m odo d a an n u llare il taglio di K irchhoff Q 3 + 32M 12.

A llo stesso sistem a (16), risu lta n te nell’equazione (d\ A <?|) or23 = o con

duce il sistem a parziale delle E 1?, che ra p p re se n ta stati sim m etrici risp etto al piano Ç = o, risp etto al quale quelli delle E 13 sono antim etrici.

È anche noto che i sistem i parziali E 21, relativo a stati sim m etrici, e E 22, relativ o ad an tim etrici, si esprim ono nelle equazioni

di ° n = — a3^33 > <*n— vcf22— vG33_{= 2 f i}+ v ) A21uì_{, cJo}2_{— va}13_{— va}33_{= o} ( 17/

^1°1 3== J ct33 ~ = 2 (1 H--^) h'à’i ^3 > C13 = U}

che sono le (1), (zj_), (5), (3), (9), (7) rid o tte : l’equazione risu lta n te può scriversi

(A + asa - o .

I sistem i parziali relativ i alle prim e 8 righe di fig. 2 si riducono, ciascuno, ad u n ’equazióne in u n a delle variabili segnate in alto. Così la (E 2)0 assum e la form a

(18) , A C712.0 + £2 = 0

essendo q2 il carico nella direzione £2, costante secondo Ç e ra p id a m en te v a ria  bile in funzione di A n alo g am en te, col term in e di carico in ( I 3) 0, qu esta assum e la form a

(19)

essendo d 2 u n a dislocazione di scorrim ento avente gli stessi c a ra tte ri di q2 •

(8)

L ’esam e dei sistem i p arziali di equazioni differenziali, riv elati dal p ro cedim ento asintotico, h a conferm ato i risu ltati di precedenti indagini. In a g g iu n ta si è tro v a ta u n a ch iara delim itazione dei g ru p p i di incognite ed e q u a zioni p e r le soluzioni di strato lim ite. È risu ltato in fatti che 8 equazioni si staccano n e tta m e n te dai successivi sistem i infiniti, con u n a p ro p ria classi

ficazione delle variabili. L e incognite che sep a ratam en te appaiono in queste equazioni ra p p resen ta n o , nella form a adim ensionale qui a d o ttata, le 4 c a ra t

teristich e di sollecitazione e le 4 di spostam ento che e n tra n o nelle condizioni al contorno p er il sistem a di 8° ordine che govern a le altre classi di soluzioni.

Q ueste equazioni, av en ti la form a delle (18), (19), non forniscono soluzioni om ogenee atte a ra p p re se n ta re gli effetti di orlo: la serie degli stati di strato lim ite che, in p rim a approssim azione, si rica v a dai sistem i (16) e (17) va com p le ta ta con l’ag g iu n ta degli stati che più profondam ente p enetrano nella parete, retti d a sistem i di ottav o ordine nel loro complesso.

Ri f e r i m e n t i

[1] E. R eissn e r (1945) - The effect o f transverse shear deformations on the bending o f elastic plates, « J. Appi. Mech. », 68-78.

[2] K- O. F r ie d e r ic k s e R. F. D r e s s ie r (1961) - A boundary layer theory fo r elastic plates,

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[3] E. L. R eiss (1962) - On the theory o f cyli?idrical shells, « Quart. L Mech Appi. M ath. », 325-338.

[4] P. C ic a la (1962) - Su certi stati di tensione nella parete sottile elastica, « Atti Acc. Scienze Torino», 239-253.

[5] P. C ic a la ('1977) - Asym ptotic approach to linear shell theory, « A IM ETA Res. Rep.», 6, p. 130.

[6] F. ÀLGOSTINO e G. F. D e l C ol — Sistem i lineari con un parametro tendente azero (in corso di stampa).