PROBLEMA 1
I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 5 m e 12 m. Quanto misura l’ipotenusa?
Per rispondere alla domanda del problema, ci basta applicare il teorema di Pitagora:
Nel nostro caso
PROBLEMA 2
I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 8 dm e 15 dm. Quanto misura il perimetro del triangolo?
Come vedete dallo schema a lato, per rispondere alla domanda del problema ci manca un dato, la misura dell’ipotenusa AB. Per calcolarla, ci basta applicare il teorema di Pitagora:
Il perimetro del triangolo rettangolo misura quindi:
P = 8+15+17 = 40 dm
PROBLEMA 3
Le lunghezze di un cateto e dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 6 dm e 10 dm. Quanto misura l’altro cateto?
Questa volta dobbiamo applicare il teorema di Pitagora nella sua formulazione inversa.
Ovvero:
PROBLEMA 4
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 13 cm e un cateto 5 cm. Calcola la lunghezza dell’altro cateto.
Come nel PROBLEMA 3, dobbiamo applicare il teorema di Pitagora nella sua formulazione inversa. Ovvero:
PROBLEMA 5
Le lunghezze di un cateto e dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 40 mm e 50 mm. Quanto misura l’altro cateto?
Anche questa volta dobbiamo applicare il teorema di Pitagora nella sua formulazione inversa.
Un triangolo rettangolo ha l’area di 240 cm² e il cateto minore lungo 16 cm .Calcola il perimetro del triangolo.
Questa volta dobbiamo ragionare un pochino di più. Per rispondere al quesito, infatti, ci
mancano le lunghezze del cateto maggiore e dell’ipotenusa.
Siccome ci viene fornita l’area del triangolo e la lunghezza del cateto minore, sapendo che : A = (AB x AC) : 2
Possiamo calcolare la lunghezza di AB:
AB = 2 A : AC = 480 : 16 = 30 cm
Dobbiamo ora calcolare la misura dell’ipotenusa BC. Per farlo, ci basta applicare il teorema di Pitagora nella sua formulazione diretta :
Infine possiamo calcolare il perimetro:
P = AB + BC + AC = 30 + 16 + 34 = 80 cm
PROBLEMA 7
L’ipotenusa e il cateto minore di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente 17,5 cm e 10,5 cm. Calcola l’area del triangolo.
Per calcolare l’area del triangolo, abbiamo bisogno di conoscere la lunghezza del cateto maggiore. Risulta infatti :
A = (AB x AC) : 2
Dobbiamo quindi applicare il teorema di Pitagora nella sua formulazione inversa.
Adesso possiamo rispondere alla domanda del problema e calcolare l’area richiesta:
A = (14 x 10.5) : 2 = 73.5 cm
PROBLEMA 8
I due cateti di un triangolo rettangolo sono 14 m e 48 m. Calcola l’ipotenusa.
Ci basta applicare il teorema di
Pitagora nella sua formulazione diretta :
PROBLEMA 9
La somma di due cateti è 142 cm e la loro differenza è 98 cm. Calcola la misura del perimetro e dell’area.
Quando si parla di cateti significa che abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo per cui sappiamo che vale il teorema di Pitagora.
Siccome ci viene chiesto di calcolare il perimetro e l’area del triangolo in questione, dobbiamo ricavare le lunghezze di tutti e tre i lati della figura.
Per calcolare le misure dei cateti ci viene in aiuto l’algebra, che ci insegna che, se di due numeri a e b, con a>b, conosco la somma S e la differenza D, posso calcolarli facilmente come :
a = (S+D) : 2
In questo caso abbiamo:
S = 142 cm
D = 98 cm
Per cui:
AB = (142 + 98) : 2 = 120 cm AC = (142 - 98) : 2 = 22 cm Calcoliamo anche l’ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora:
Possiamo ora calcolare il perimetro P e l’area A:
P = AB +AC + BC = 120 + 22 + 122 = 264 cm A = (AB x AC) : 2 = 1320 cm2
PROBLEMA 10
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto minore misura 12 cm e il cateto maggiore è i 4/3 del minore.
Per calcolare il perimetro e l’area ci serve ricavare la misura del cateto maggiore e la lunghezza
dell’ipotenusa.
Calcoliamo facilmente il cateto maggiore. Sappiamo infatti che esso è i 4/3 del cateto minore:
AB = 4/3 AC = 4/3 x 12 = 16 cm
Applichiamo ora il teorema di Pitagora per calcolare BC :
Calcoliamo quindi con facilità il perimetro P e l’area A del triangolo rettangolo dato:
P = AB + AC + BC = 16 + 12 + 20 = 48 cm A = (AB x AC) : 2 = 96 cm2
PROBLEMA 11
Uno dei cateti di un triangolo rettangolo è i 4/3 dell’altro. Sapendo che la sua area misura 216 cm², calcola il perimetro del triangolo.
Per calcolare il perimetro del triangolo rettangolo dato ci serve conoscere le misure dei due cateti e dell’ipotenusa. Possiamo ricavare le lunghezze dei cateti ragionando sui dati a nostra disposizione.
Dall’algebra sappiamo che, se conosciamo il prodotto di due numeri e il loro rapporto, possiamo calcolarli dividendo ciascun numero
nelle parti indicate da numeratore e denominatore. Nel nostro caso, divideremo AB in 4 parti e AC in 3 parti.
Otterremo un rettangolo diviso in 4 x 3 = 12 quadratini.
Conoscendo l’area del rettangolo, pari al doppio di quella del triangolo dato, possiamo ricavare l’area di un quadratino e quindi il suo lato. Conosceremo così la lunghezza di un pezzetto dei due lati. Ci basterà poi moltiplicare per il numero di pezzetti che compongono ciascun lato per conoscere la loro misura.
Abbiamo quindi
A rett= 2 AABC = 2 x 216 = 432 cm2 L’area di ciascun quadratino misura :
AQ = 432 : 12 = 36 cm2 Il lato di ciascun quadratino misura quindi:
lQ = √36 = 6 cm Di conseguenza abbiamo.
AB = 6 x 4 = 24 cm AC = 6 x 3 = 18 cm
Applicando il teorema di Pitagora, possiamo ricavare la misura dell’ipotenusa:
Calcoliamo infine il perimetro P del nostro triangolo :
P = AB + AC + BC = 24 + 18 + 30 = 72 cm
Calcola la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa in un triangolo rettangolo avente i cateti di 15 dm e 20 dm.
Per calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa, dobbiamo conoscere l’area del triangolo e l’ipotenusa BC. In questo modo potremo ricavare CH dalla formula inversa dell’area del triangolo, che calcoleremo come semi – prodotto dei due cateti.
Calcoliamo intanto l’ipotenusa AB con il teorema di Pitagora:
Calcoliamo ora l’area :
A = (AC x BC) : 2 = 150 dm2 Siccome è anche
A = (AB x CH) : 2 Abbiamo :
CH = 2 A : AB = 300 : 25 = 12 dm
PROBLEMA 13
In un triangolo rettangolo un cateto è i 3/4 dell’altro e l’ipotenusa misura 40 cm. Calcola il perimetro del triangolo.
Anche in questo problema dobbiamo ragionare un po’ sui dati a nostra disposizione.
Sappiamo che un cateto è stato diviso in 3 parti e l’altro in 4. Grazie al teorema di Pitagora sappiamo che l’ipotenusa sarà formata da un numero di parti proporzionale a quelle che formano i cateti. Applichiamo il teorema di Pitagora con il numero delle parti invece che con le lunghezze, per scoprire da quante parti è formata l’ipotenusa. Divideremo poi la lunghezza dell’ipotenusa per il numero delle parti che la compongono e sapremo quanto misura ciascuna parte. A questo punto ci basterà moltiplicare la lunghezza di un pezzetto per 3 e per 4 per avere le lunghezze dei cateti. Procediamo :
PARTI (BC) = √
Significa che l’ipotenusa è formata da 5 parti, ciascuna di lunghezza pari a : lunghezza (parti) = 40 : 5 = 8 cm
Possiamo ora calcolare le lunghezze di AC e AB
AB = 8 X 4 = 32 cm AC = 8 X 3 = 24 cm Possiamo ora calcolare il perimetro richiesto :
P = AB + AC + BC = 32 + 24 + 40 = 96 cm
PROBLEMA 14
Un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° ha l’ipotenusa lunga 21,21 cm. Calcola il perimetro.
Abbiamo un triangolo rettangolo isoscele che è pari alla metà di un quadrato. Possiamo quindi calcolare facilmente la lunghezza dei due cateti. Siccome l’ipotenusa AB coincide con la diagonale del quadrato, abbiamo che
essa è pari a :
AB = AC √2 Di conseguenza:
AC = BC = AB : √2 = 21.21 : 1.414 = 15 cm Possiamo quindi calcolare il perimetro:
P = 2 AC + AB = 15 x 2 + 21.21 = 51.21 cm
PROBLEMA 15
In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, l’ipotenusa è lunga 42 dm. Calcola l’area del triangolo.
Per risolvere velocemente questo problema ci basta osservare che il triangolo dato è la metà di un triangolo equilatero, per cui i calcoli sono velocissimi. (vedi figura pagina seguente)
Infatti il cateto minore AB misura la metà dell’ipotenusa BC : AB = BC : 2 = 42 : 2 = 21 dm
Invece CH è pari a
