A nalisi termica del serbatoio conrapporto di miscelamento variabile

(1)

A

nalisi termica del serbatoio con

rapporto di miscelamento variabile

CAPITOLO 4.

Analisi termica del serbatoio con

rapporto di miscelamento variabile

4.1. Introduzione

In questo capitolo ci proponiamo di analizzare il comportamento del serbatoio in modo più accurato, in particolare abbandoniamo l’ipotesi di rapporto di miscelamento costante. Durante lo svuotamento del serbatoio, come precedentemente visto, la pressione di alimentazione diminuisce. Tale pressione controlla l’iniezione di entrambi i propellenti e le portate in massa di quest'ultime varieranno quindi di conseguenza; il rapporto tra le due portate risentirà quindi del legame diverso tra esse e la pressione di serbatoio, la pressione in camera di combustione e la forma delle perdite di carico lungo le due linee di alimentazione. Nello studio che segue ipotizzeremo che la dipendenza delle portate possa scriversi:

2 6 2 6( , ) ( , ) C H C H SERBATOIO CAMERA HP HP SERBATOIO CAMERA m m p p m m p p = = & & & & (4.1)

segue quindi il rapporto di miscelamento variabile durante lo svuotamento:

2 6 HP C H

m

ϕ =

&

(4.2)

Eliminare l’ipotesi di rapporto di miscelamento costante nell’analisi dello svuotamento del serbatoio impedisce di poter costruire un modello termodinamico che prescinda dal funzionamento del

(2)

motore vero e proprio; le (4.1) e la (4.2) mostrano come ϕ dipenda dalla pressione del serbatoio ma anche dalla pressione in camera di combustione. Il modello deve quindi permettere di calcolare le condizioni del serbatoio al progredire dello svuotamento considerando anche la variazione delle portate in uscita da quest’ultimo e le condizioni conseguentemente registrate in camera di combustione. Come vedremo in seguito tale calcolo obbliga a passare dal dominio della temperatura a quello del tempo. Si tenga presente che questo capitolo ha il solo scopo di analizzare il comportamento del serbatoio, l’analisi e il dimensionamento dettagliato del motore verranno effettuati nei capitoli successivi. Lo scopo principale di questa analisi è quello di capire quali sono i sistemi migliori per iniettare e regolare la portata dei due propellenti; considerata la semplicità del dispositivo è automatico non prendere in considerazione l’opportunità di utilizzare sistemi attivi a tale scopo. La variazione, durante il funzionamento, della pressione del serbatoio che corrisponde alla pressione di alimentazione porta ad una variabilità nel tempo delle grandezze riportate in Tabella 4.1. Tale tabella riassume inoltre altri aspetti importanti da tenere in considerazione nella scelta.

Grandezza Effetto della variazione

ϕ L'effetto principale è quello di rendere inefficiente

la combustione abbassando la temperatura di combustione. Inoltre è preferibile non lavorare in eccesso di carburante per evitare fumi.

sp

I Il diminuire dell'impulso specifico è naturalmente

l'indice delle prestazioni più importante: al diminuire di esso crescono naturalmente i consumi

F La diminuzione della spinta è un effetto meno

importante del precedente: il livello di tollerabilità dipende dal tipo di missione

Sicurezza, affidabilità Instabilità di combustione

Accoppiamento dinamico tra la camera di combustione e il sistema di alimentazione

Altri aspetti

Mescolamento

Tabella 4.1 Aspetti importanti nella scelta del metodo di iniezione e controllo delle portate.

4.2. Dimensionamento preliminare del motore

Alla luce di quanto detto precedentemente, il comportamento del serbatoio e il motore sono intimamente legati. Il primo passo è quindi quello di effettuare un dimensionamento preliminare del motore; ciò è possibile partendo dai valori di progetto delle grandezze definite nei sottoparagrafi a seguire.

(3)

4.2.1. Rapporto di miscelamento

Un rapporto di miscelamento uguale al rapporto stechiometrico è naturalmente quello che in prima approssimazione massimizza le prestazioni. Vogliamo evitare di lavorare in eccesso di etano per evitare la presenza di etano non combusto. Come vedremo, durante lo svuotamento, tale valore tende ad aumentare; un valore di progetto di 8 è accettabile in questa fase.

4.2.2. Pressione in camera di combustione

La pressione in camera ha vari effetti: da una parte diminuisce la dissociazione in camera aumentando così le prestazioni ma a valori troppo alti rende difficile il raffreddamento delle pareti e presenti gli ovvi inconvenienti strutturali. Un valore ragionevole basato su dati storici può essere 10 atmosfere.

4.2.3. Pressione ambiente

Il motore deve naturalmente funzionare nel vuoto ma per permettere prove anche a terra si è svolto uno studio delle prestazioni al variare della pressione ambiente.

4.2.4. Spinta

La spinta di progetto viene direttamente dalla specifica dove è stata fissata in 50 N. La spinta tende a decrescere durate lo svuotamento del serbatoio, un valore leggermente sovradimensionato, all’inizio di tale svuotamento, potrebbe essere interessante a seconda delle specifiche di missione.

Calcolando la temperatura in camera (nonché il valore del rapporto dei calori specificiγ e

della costante dei gas del miscuglio dei gas combustiR) attraverso un calcolo termochimico chiarito

nei paragrafi successivi e facendo le ipotesi di:

• Flusso monodimensionale.

• Flusso stazionario.

• Gas perfetto.

• Flusso congelato.

• Calori specifici costanti con la temperatura.

• Flusso isoentropico

è possibile ottenere le relazioni classiche della gasdinamica monodimensionale, calcolare quindi il coefficiente di spinta (sotto l’ipotesi di espansione completa)

(4)

( ) 1 ₁ 1

2

1

e e ambiente e F C C t

p

A

C

p

A

γ _γ _γ γ

γ

+ ₋ −













_

_

−

=

_

_

−

_

_

+

− 







_





_

(4.3)

e la velocità caratteristica di scarico

1 2( 1) *

1

2

c

R T

c

γ γ

γ

+ −

⋅



+



=

_

_





(4.4)

Utilizzando inoltre le seguenti equazioni:

( ) ( )

(

)

( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 0

1

2

1

2

1

e e t e e C e F sp

A

M

A

M

p

M

c

C c

c

I

g

γ γ γ γ

γ

+ − − ∗





−





=

_

_

+

_

_

+ 











=

_

+

−

_

=

(4.5)

è possibile valutare il rapporto di espansione dell’ugello e

t

A

avendo stabilito l’impulso

specifico o la pressione di scarico. Dove:

γ Rapporto dei calori specifici dei gas in camera di combustione.

ambient

p

Pressione ambiente.

c

p

Pressione in camera di combustione.

e

p

Pressione in uscita ugello.

e

M

Numero di Mach in uscita ugello.

c

T

Temperatura in camera di combustione.

R Costante dei gas in camera di combustione.

e

A

Area di uscita ugello.

t

A

Area di gola ugello.

Possiamo quindi dimensionare il motore in base ai requisiti di specifica utilizzando le espressioni:

(5)

1 0 1 * T t F sp T t

F

p A C

g I m

p A

m

c

=

&

(4.6)

dalle quali si ricavano:

t

A

Sezione di gola ugello.

m& Portata in massa ugello,

Nota la portata complessiva è così possibile ricavare le portate distinte di ossidante e combustile tramite le seguenti relazioni:

2 6 1 1 1 HP C H m m m m φ φ φ = + = + & & & & (4.7)

4.3. Dimensionamento degli iniettori

Una volta calcolate le portate in massa di progetto è possibile dimensionare le linee di iniezione dei propellenti. Nei paragrafi a seguire vengono analizzate quattro possibilità di iniezione e regolazione delle portate:

• Regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica mentre il

perossido di idrogeno è portato sul catalizzatore senza particolari accorgimenti.

• Regolazione della portata di etano in modo subsonico mentre il perossido di idrogeno

è portato sul catalizzatore senza particolari accorgimenti.

• L’etano è estratto dal serbatoio e immesso in camera in fase liquida mentre il

perossido di idrogeno è portato sul catalizzatore senza particolari accorgimenti.

• Regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica mentre la

portata di perossido di idrogeno è regolata attraverso l’utilizzo di un venturi cavitante.

4.3.1. Regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una

gola sonica

In questo caso la regolazione della portata di perossido può essere effettuata attraverso un corretto dimensionamento della linee di adduzione, dimensionamento riassunto nel valore stimato

(6)

delle perdite di pressione totale. In questa situazione il legame tra la portata di perossido di idrogeno (

m

&

_HP), la pressione del serbatoio (

p

_T) e la pressione in camera (

p

_c) può essere espresso come:

HP HP T c

m

&

=

K

p

−

p

(4.8)

dove

K

HPtrascurando l’attrito può scriversi:

2

HP

K =A ρ in cui A è l’area dell’iniettore e ρ la densità del perossido di idrogeno.

La portata di etano può essere regolata introducendo una gola sonica nella linea di adduzione (si noti che la gola sonica è posizionata lungo la linea cioè, il propellente non è iniettato sonicamente in camera ma viene precedentemente riespanso in una camera toroidale che circonda la camera di combustione). La portata di etano in questo caso dipende soltanto dalla pressione del serbatoio:

2 6 2 6

C H C H T

m& =K ⋅p (4.9)

Come accennato precedentemente,

K

_HP è un parametro in prima approssimazione costante

dipendente dalla geometria della linea di adduzione dell’ossidante e dalla densità del perossido di idrogeno mentre

2 6

C H

K , nell’ipotesi di una regolazione sonica della portata dell’etano, si calcola

attraverso la teoria classica dei condotti a sezione variabile sotto le stesse ipotesi delle (4.3) e (4.5) :

2 6 2 1 1 1 t C H A K R T γ γ γ γ γ + ⋅ ⋅ + − = ⋅ ⋅ (4.10) dove: t

A

Sezione di gola dell’etano.

T Temperatura dell’etano nel serbatoio.

R Costante dei gas per l’etano.

Attraverso quindi le (4.8) e (4.9), previa conoscenza delle portate date dalle (4.7) è possibile

dimensionare il sistema di alimentazione, dimensionamento che qui si riduce al calcolo di

K

HP e

2 6 C H K : 2 6 2 6 _ _

2

1

t C H C H T iniziale HP HP T iniziale c

A

m

K

p

R T

m

K

p

γ

+

⋅ ⋅

+

−

=

⋅ ⋅

=

−

&

(4.11)

(7)

dove:

_

T iniziale

p Pressione iniziale nel serbatoio.

La p_T_{_}_inizialecorrisponde quindi alla pressione per la quale si dimensionano gli iniettori; quest’ultimi daranno quindi le portate correte solo quando la pressione del serbatoio corrisponde a questo valore. Durante il funzionamento del sistema la pressione nel serbatoio diminuisce, le portate dei propellenti di conseguenza si discosteranno dal valore di progetto cui corrisponde la spinta di specifica.

4.3.2. Regolazione subsonica della portata di etano

La regolazione della portata di etano è ottenuta attraverso un corretto dimensionamento della linea di adduzione, dimensionamento riassunto nel valore stimato della perdita di pressione totale su tale linea. La portata di perossido è quindi ancora regolata dalla (4.8) mentre la portata di etano dalla:

2 6 2 6

C H C H T c

m

&

=

K

p

−

p

(4.12)

Per semplicità si è trascurata nei calcoli la dipendenza di 2 6

C H

K dalla temperatura nel

serbatoio, dalla pressione nel serbatoio e dalla pressione in camera, ciò equivale a considerare il fluido incomprimibile (naturalmente il risultato ottenuto non è rigoroso e risulta tanto più accurato quanto il numero di Mach è basso). Come prima si dimensiona il sistema di alimentazione:

2 6 2 6 _ _ si _ _ si C H C H T iniziale C de gn HP HP T iniziale C de gn

m

K

p

m

K

p

=

−

=

−

&

(4.13)

4.3.3. Iniezione dell’etano in fase liquida

In questo caso la regolazione della portata può essere effettuata attraverso un corretto dimensionamento delle linee di adduzione per entrambi i propellenti, dimensionamento riassunto nel valore stimato della perdite di pressione totale. Mantenendo sulla linea di iniezione anche l’etano in fase liquida, entrambi i propellenti sono incomprimibili, si possono quindi scrivere le seguenti:

(8)

2 6 2 6 HP HP T c C H C H T c m K p p m K p p = − = − & & (4.14) dove

K

_HP e 2 6 C H

K sono parametri costanti dipendenti dalla geometria delle linee e dalla

densità del fluido. Ancora una volta il dimensionamento del sistema di alimentazione si scrive:

2 6 2 6 _ _ si _ _ si C H C H T iniziale C de gn HP HP T iniziale C de gn

m

K

p

m

K

p

=

−

=

−

&

(4.15)

4.3.4. Regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una

gola sonica e regolazione della portata di perossido attraverso

l’utilizzo di un venturi cavitante

In questo caso la regolazione della portata di perossido può essere effettuata attraverso l’utilizzo di un venturi cavitante. In questa situazione quindi, come descritto nel Capitolo 5, la portata di perossido è regolata dalla

HP HP T v

m

&

=

K

p

−

p

(4.16) con: * 2 HP K =A ρ dove: *

A

Sezione di gola del venturi cavitante.

v

p

Pressione di vapore del perossido di idrogeno.

ρ Densità del perossido di idrogeno.

La portata di etano è ancora regolata dalla (4.9). E’ possibile dimensionare quindi il sistema di alimentazione:

(9)

2 6 2 6 _ _

2

1

t C H C H T iniziale HP HP T iniziale v

A

m

K

p

R T

m

K

p

γ

+

⋅ ⋅

+

−

=

⋅ ⋅

=

−

&

(4.17)

4.4. Integrazione del modello

Il modello da integrare è costituito da due parti che descrivono il comportamento del serbatoio. Le equazioni differenziali che descrivono il legame tra la temperatura, la pressione e le masse contenute nel serbatoio sono le stesse descritte nel capitolo precedente con l’ovvia modifica che il rapporto di miscelamento non è qui considerato costante; questo comporta che esse da sole non sono sufficienti a risolvere il problema. La prima parte (stato bifase dell’etano) può essere agevolmente integrata nel dominio della temperatura attraverso le:

(

)

(

)

V V O O L L L v v v v V V O O V L L L V L L V v v v V O V O V V V O O L L L L V O L v v v V V V O m dh m dh dm m dh V dp dT Q dT Q dT Q dT Q dT m dh m dh dv m dh V dp dv v v m m Q dT Q dT Q dT Q dT dT dT dm dT v v dv m dh m dh dv m dh V dp m m v v dT dT Q dT Q dT Q dT Q dT dm dT v v φ φ φ φ φ = + + −   − _ + + − _− −   = +   + + + _ + + − _   = − + (4.18)

E’ possibile successivamente passare ad una descrizione nel dominio del tempo con:

L L V V O O

dm

dm dt

dT

dt dT

dm

dt

dT

dt dT

dm

dt

dT

dt dT

=

(4.19)

Nell’integrazione della seconda parte, descritta dalla:

(

)

2

2 (

)(

)

V vV O pO V O V V O V V V V

m c

dm

a

R T

v

dT

_v

v

b

φ

+

=

−

+

−

(4.20)

(10)

si è incontrato invece un problema: per particolari combinazioni dei valori delle variabili in gioco , il termine

(

)

2

2 (

V V

)

V V V

a

R T

v

−

v

−

b

nella fase iniziale di sola presenza di fase vapore del C2H6 passa

da positivo a negativo comportando dei problemi di integrazione. L’integrazione del modello è fatta con un metodo di Runge Kutta del quarto ordine implementato nella funzione ODE45 del Matlab 6.0. Tale funzione non permette alla variabile di integrazione, in questo caso T, di avere un comportamento non monotono (può solo crescere o decrescere). Inizialmente la temperatura tende a diminuire, all’inversione del termine sopraccitato la funzione di integrazione forza il modello a far crescere le masse nel serbatoio, comportamento fisicamente impossibile dettato dal fatto che in realtà è la temperatura che tenderebbe a risalire. Il problema può essere risolto passando direttamente nel dominio del tempo e integrando il seguente sistema:

(

)

2

2 (

)(

)

V V O HP V V vV O pO V V O V V V V

dm

m

dt

dm

m

dt

m

dT

m c

dt

a

R T

v

b

φ

=

₊

−

+

−

&

(4.21)

Le equazioni descritte permettono quindi il dimensionamento del motore. Partendo dall’imposizione dei valori di progetto della spinta, della pressione in camera, del rapporto di miscelamento e della pressione in uscita dall’ugello si dimensiona il motore come descritto al Paragrafo 4.2. Il sistema di alimentazione può essere dimensionato come descritto al Paragrafo 4.3 e si riduce qui alla valutazione delle costanti

2 6

C H

K e

K

_HP o

A

_* dipendentemente dal sistema di

regolazione della portata utilizzato. Resta naturalmente da valutarsi la temperatura in camera di combustione, il prossimo paragrafo riporta il metodo utilizzato a tale fine. Dimensionato quindi il motore e il sistema di alimentazione come descritto precedentemente e utilizzando il calcolo termochimico illustrato ci proponiamo di analizzare l’andamento delle prestazioni in condizioni fuori-progetto cioè all’avanzare dello svuotamento del serbatoio con conseguente diminuzione della temperatura del serbatoio e della pressione di alimentazione nonché del rapporto di miscelamento. In particolare ci proponiamo quindi di valutare, a partire dalla condizione di progetto corrispondente al dimensionamento del motore eseguito per un certo valore preciso della pressione nel serbatoio e del rapporto di miscelamento, l’evoluzione temporale delle prestazioni del motore e del rapporto di miscelamento medesimo causata dallo svuotamento del serbatoio. L’algoritmo a seguire mostra schematicamente i passi utilizzati.

(11)

2 6

HP C H

m =ϕm Massa iniziale di perossido di idrogeno.

2 6 0

1

TOTALE C H sp

I

m

I g

α

ϕ

=

+

Massa iniziale di etano. (4.22)

SERBATOIO

T

Temperatura iniziale del serbatoio.

(

)

T SERBATOIO

p

=

f T

Pressione iniziale del serbatoio,

dove

I

_TOTALE e I_sp sono valori di progetto definiti da specifica e

α

indica la percentuale aggiuntiva di etano imbarcato inizialmente rispetto alla quantità

2 6,

C H Stechiometrica

m (quantità di etano

stechiometrica cioè la massa di etano necessaria per ottenere l’impulso totale di progetto in condizioni

ideali di funzionamento costante). La seguente equazione definisce

α

2 6 2 6 2 6, 0

1

C H C H TOTALE C H Stechiometrica sp

m

I

m

I g

α

ϕ

=

+

(4.23)

Dimensionato l’ugello come illustrato al Paragrafo 4.2, le incognite del problema, al variare del tempo e/o della temperatura:

2 6 *

, _HP, _{C H} , _c, _C, _TANK, _TANK, , _O, _V, _L, , _L, _O, _V

m m& & m& p T P T C m m m φ m m m

si ottengono risolvendo il sistema per la parte di modello che descrive l’equilibrio bifase:

2 6 * C t HP C H

P

A

m

c

m

⋅

=

+

&

& &

&

Con: • 2 6 2 6 HP HP T c C H C H T

m

K

p

m

K

p

=

−

=

⋅

&

nel caso trattato al paragrafo 4.3.1

o • 2 6 2 6 HP HP T c C H C H T c m K p p m K p p = − = − &

& nel caso trattato ai paragrafi 4.3.2 e 4.3.3, si noti che aver

considerato 2 6

C H

K costante rende i due metodi, nelle approssimazione qui fatte,

identici.

(12)

• 2 6 2 6 HP HP T v C H C H T

m

K

p

m

K

p

=

−

=

⋅

&

nel caso trattato al paragrafo 4.3.4 dm_L dT = m_L Q_v dh_L dT + m_V Q_v dh_V dT + m_O Q_v dh_O dT − V Q_v dp dT

dm

_O

dT

=

v

V

−

v

L

(

)

m

_L

Q

_v

dh

_L

dT

+

m

_V

Q

_v

dh

_V

dT

+

m

_O

Q

_v

dh

_O

dT

−

V

Q

_V

dp

dT











−

m

L

dv

_L

dT

−

m

V

dv

_V

dT

φ

v

V

+

v

O

dm

_V

dT

= −

φ

m

_L

dv

L

dT

+φ

m

V

dv

_V

dT

+

(

v

O

+φ

v

L

)

m

_L

Q

_v

dh

_L

dT

+

m

_V

Q

_v

dh

_V

dT

+

m

_O

Q

_v

dh

_O

dT

−

V

Q

_V

dp

dT













φ

v

_V

+

v

_O dT dt dt dm dT dm_L _L = dT dt dt dm dT dm_V _V = dT dt dt dm dT dm_O _O = V O

dm

=

φ

( )1 2 1 *

1

2

C

RT

c

γ γ

γ

+ −

+





=

_

_





+2 equazioni in

T

_c e

p

_c che descrivono l’equilibrio termochimico in camera come descritto

sotto e una equazione di stato che lega Pressione e Temperatura.

Al momento in cui la fase liquida dell’etano finisce il modello matematico che descrive lo svuotamento del serbatoio deve essere modificato; in particolar modo le (4.18) devono essere sostituite dalle (4.21). La prima parte di modello descrive quindi lo svuotamento del serbatoio fino a quando il gas non è uscito dalla campana dei vapori saturi, eseguendo l’integrazione si ottengono quindi anche le condizioni iniziali necessarie all’integrazione del modello successivo.

Nell’integrazione del modello si sono considerati 2 6

C H

K e

K

_HPcostanti. Tale assunzione non è

rigorosa e necessita di una appropriata analisi per stabilirne l’attendibilità. Il sistema per essere risolto richiede naturalmente la conoscenza delle opportune condizioni al contorno e di aver fissato alcune grandezze da specifica. Il diagramma riportato in Figura 4.1 chiarisce il metodo utilizzato per effettuare l’integrazione.

(13)

Dati di progetto:

•Spinta

•Pressione ambiente

•Pressione in camera di progetto •Rapporto di miscelamento di progetto •Pressione e temperatura nel serbatoio •Impulso specifico

•Impulso totale

Si calcolano:

•Le masse iniziali contenute nel serbatoio •Portata in massa dei singoli propellenti •Sezione di gola ugello

•Sezione di uscita ugello

Con il modello termochimico di combustione e di dissociazione del perossido si valutano:

•Temperatura adiabatica di fiamma

•Composizione molare dei gas in camera di combustione •Calori specifico e peso molecolare del miscuglio dei

gas combusti

Si dimensiona il sistema di regolazione delle portate cioè si calcolano:

o

2 6

C H

K KHP KC H2 6 A*

Si esegue l’integrazione del sistema composto da:

Modello termochimico Modello termodinamico del serbatoio

Modello delle prestazioni del propulsore

(14)

4.5. Equilibrio termochimico

Il modello di calcolo per l’equilibrio termochimico consta di due parti: nella prima viene risolto il problema dell’equilibrio chimico delle reazioni che avvengono in camera di combustione, nella seconda si calcola la temperatura in camera di combustione.

4.5.1. Equilibrio chimico

Le condizioni presenti in camera di combustione possono essere valutate attraverso modelli ottenibile con opportune semplificazioni; nella camera avviene la reazione chimica di combustione tra l’etano e l’ossigeno derivante dalla catalisi del perossido di idrogeno. In camera è quindi presente un

miscuglio che può essere considerato composto da

C H

₂ ₆,

O

₂,

H O

₂ ,

H O

₂ ₂,

CO

₂,CO in quanto,

stimando la temperature in camera di combustione inferiori ai 3000 K si ritiene che la sola reazione di dissociazione rilevante sia quella dell’anidride carbonica. Facciamo le seguenti ipotesi semplificative:

• Pressione uniforme.

• Flusso stazionario.

• Flusso di calore verso l’esterno nullo.

Sotto queste ipotesi la reazione di combustione in camera può scriversi:

2 6 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 C H O H O H O CO CO aC H bO cH O dH O n C H n O n H O n H O n CO n CO + + + → + + + + +

Le quantità a, b, c, d possono essere ricavate dai dati in ingresso:

HP

m

&

, 2 6

C H

m& Portate in uscita dal serbatoio. %

wt

Concentrazione in peso usata per il perossido di idrogeno.

cat

k

Indice del grado di decomposizione ottenibile sul letto catalitico.

Se per la decomposizione del perossido si scrive

2 2 2 2 2 2 1 ( ) (1 ) 2 cat cat H O →k H O+ O + −k H O con

0 ≤

k

cat

≤

1

si ricava: 6 2 6 2 H C H C M m a= &

(15)

2 2 %

2

cat HP H O

k

wt m

b

M

=

&

2 2 2 % %

(1

)

HP HP cat H O H O

wt m

m

c

k

wt

M

=

&

+ −

&

2 2 %

(1

)

HP cat H O

wt m

d

k

M

= −

&

con 2 6 C H M , 2 2 H O M , 2 H O

M pesi molecolari di etano, perossido e acqua.

Sono dunque da trovare le 6 incognite

2 6, 2 , 2, 2 2, 2,

C H H O O H O CO CO

n n n n n n . Le equazioni

disponibili sono le 3 equazioni di bilancio di massa degli atomi di carbonio, ossigeno e idrogeno:

2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 C H CO CO C H H O H O O H O H O CO CO Carbonio a n n n Idrogeno a c d n n n Ossigeno b c d n n n n n   = + +    + + = + +    + + = + + + +  (4.24)

e le 3 equazioni di equilibrio chimico delle sotto reazioni:

)

         + ↔ + ↔ + ↔ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 1 2 1 3 2 2 7 O O H O H III O CO CO II O H CO O H C I ) ( ) ( ) ( T K T K T K III II I (4.25) Dove i vari K(T) sono le costanti di equilibrio delle rispettive sotto reazioni.

In questa fase è impossibile stimare l’efficienza del letto catalitico ma se il catalizzatore è ben fatto la catalisi provoca solitamente la decomposizione quasi completa del perossido di idrogeno; facciamo le ipotesi semplificative che seguono.

• Completa decomposizione del perossido di idrogeno sul letto catalitico.

• Completa reazione di combustione dell’etano.

La prima ipotesi porta alla scomparsa del perossido fra le specie presenti nella reazione, perde quindi di significato anche la relazione per l’equilibrio della decomposizione del perossido in camera di combustione. Si ha pertanto:

(16)

1 =

cat

k

0 = d 0 2 2O = H n

Il

∆

G

0II (entalpia libera di formazione della combustione dell’etano) ha, come si è detto, un

valore molto negativo, il che fa presupporre che la reazione sia molto spostata verso i prodotti; questo rende superflua la relazione di equilibrio sulla combustione dell’etano da cui:

2 6 0

C H

n = nel caso di lavorare in eccesso di ossidante

2 6

1

1 7 2

C H

n

= −

b

nel caso di lavorare in eccesso di etano.

Con tali ipotesi le incognite si riducono a quattro ed è quindi necessaria la sola equazione di

equilibrio della decomposizione dell’anidride carbonica e quindi la valutazione della sola

K

_II

( )

T

.

L’equilibrio chimico di una reazione è esprimibile attraverso la legge dell’azione di massa espressa attraverso l’uso della costante di equilibrio

K T

( )

:

0

( )

i i i i TOT

n

p

K T

n

p

ν −

∑

ν





₌





















∏

(4.26)

dove la costante di equilibrio può scriversi

( ) ( ) i i i T K T e ν −∑ Φ = (4.27)

e

φ

_i

( )

T

, sotto l’ipotesi di avere a che fare con un gas perfetto, si può calcolare con

l’espressione a seguire. 0 0 0

(

0

)

( )

T T pi i pi i T T i

C

H

C dt T S

dt

T

+

−

+

Φ

=

ℜ

∫

(4.28)

Il significato dei simboli è il seguente:

i

n

Moli della specie i-ma nella sotto reazione.

TOT

n

Moli totali di tutte le specie presenti nella reazione globale.

(17)

0

p

Pressione standard a cui sono riferiti i dati termochimici (solitamente 1 Atm).

0

T

Temperatura standard a cui sono riferiti i dati termochimici (solitamente 298.15 K).

i

ν

Coefficiente stechiometrico della specie i-ma che partecipa alla sotto reazione, preso

positivo se nei prodotti e negativo se nei reagenti. 0i

H Entalpia molare di formazione della specie i-esima.

0i

S Entropia molare standard della specie i-esima.

pi

C

capacità termica molare a pressione costante della specie i-esima

R Costante universale dei gas.

Quindi per la dissociazione dell’anidride carbonica possiamo scrivere:

2 2 2 2 0 0 1 1 1 (1 1) 2 2 0 1 2 0 0

( )

(

)

( )

CO O CO O CO CO II

TOT TOT TOT

) II T T pi i pi i T T i

n

p

K

T

n

p

K (T)

e

C

H

C dt T S

dt

T

− − + − − + −



 







=



 













 



=

+

−

+

Φ

=

ℜ

∫

(4.29) con 2 6 2 2 2 TOT C H O H O CO CO n =n +n +n +n +n

Il sistema formato dalle (4.24) e dalle (4.29) permette dunque di ricavare le moli delle specie all’equilibrio una volta calcolata la temperatura come descritto nel prossimo paragrafo.

4.5.2. Equilibrio termico

Le equazioni del paragrafo precedente descrivo l’equilibrio chimico della reazione che avviene in camera; resta da costruirsi un modello che permetta di valutare la temperatura. Facciamo innanzitutto le seguenti ipotesi semplificative:

• Le specie chimiche presenti sono considerate come gas perfetti.

• Si considera la camera di combustione come un sistema adiabatico.

(18)

0 0 ( ) 0 Tc prodotti reagenti _i i _i i _pi i i T H H H n H n H C dt ∆ = − =

∑

=

∑

+

∫

= (4.30) dove: i

n

Moli della i-esima specie chimica presente nella reazione globale di combustione

positive se nei prodotti e negative se nei reagenti.

i

H Entalpia molare della i-esima specie chimica calcolata come mostrato tramite le

entalpie molari di formazione e le capacità termiche molari a pressione costante.

In particolare nel nostro caso, gli

n

_i per i reagenti sono i coefficienti a, b, c, cambiati di segno

e per i prodotti le moli che sono state ricavate dall’equilibrio chimico. Questa equazione integrale

nell’unica incognita

T

_C fornisce la temperatura adiabatica di combustione, note le moli delle specie

chimiche coinvolte nella reazione derivanti dal modello sull’equilibrio chimico.

Si nota quindi come i due modelli siano accoppiati (dipendendo le moli all’equilibrio dalla temperatura in camera di combustione) e vadano quindi risolti con un metodo numerico; in particolare il sistema da risolvere è formato dalle (4.24), (4.29) e (4.30).

Risolto il sistema è possibile calcolare:

Calore specifico a pressione costante dei gas combusti

2 6 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 , , , , , , C H p C H O p O H O p H O H O p H O CO p CO CO p CO p C H O H O H O CO CO n C n C n C n C n C n C C n n n n n n + + + + + = + + + + + (4.31)

Calore specifico a volume costante dei gas combusti

2 6 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 , , , , , , C H v C H O v O H O v H O H O v H O CO v CO CO v CO v C H O H O H O CO CO n C n C n C n C n C n C C n n n n n n + + + + + = + + + + + (4.32)

Rapporto dei calori specifici dei gas combusti

p

v

C

γ =

(4.33)

Peso molecolare dei gas combusti

2 6 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 C H C H O O H O H O H O H O CO CO CO CO C H O H O H O CO CO n M n M n M n M n M n M M n n n n n n + + + + + = + + + + + (4.34)

(19)

dove le grandezze termodinamiche sono valutate alla temperatura raggiunta in camera.

4.6. Risultati e analisi

Il sistema può quindi essere risolto sotto diverse condizioni iniziali e per tutte le possibili configurazioni del sistema di iniezione e di regolazione delle portate descritte. A seguire si riportano i grafici che descrivono il comportamento del sistema. Si noti che il modello non permette un’analisi del transitorio; in questo senso i diagrammi temporali si leggono ipotizzando che il sistema “parta” dalla condizione corrispondente alla pressione in camera di progetto e si evolva in seguito alla diminuzione di pressione nel serbatoio con conseguente variazione della pressione in camera, del rapporto di miscelamento e della temperatura di combustione. Si è cercato di confrontare le prestazioni ottenibili effettuando scelte progettuali diverse, in particolar modo per quanto riguarda i sistemi di iniezione e regolazione delle portate come descritto all’inizio del capitolo. Si è altresì cercato di valutare il

guadagno derivante dall’imbarcare una quantità di etano maggiore di quella stechiometrica (α ≠1).

Tale procedura ha permesso di comprendere l’andamento temporale delle seguenti grandezze:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sp sp c c c c m m t I I t t p p t T T t ϕ ϕ = = = = = & & (4.35)

La conoscenza delle funzioni (4.35) al variare del tempo, e per ogni scelta progettuale effettuata, permette di costruire i grafici riportati nei prossimi paragrafi. Per ogni configurazione è quindi stato calcolato l’impulso totale effettivo espresso da

0 0

t

TOTALE EFFETTIVO sp

I =g

∫

I ⋅ ⋅m dt& (4.36)

dove t è il tempo al quale finisce uno dei due propellenti. Il valore di

I

_{TOTALE EFFETTIVO}

fornisce un utile termine di confronto tra le prestazioni ottenute con le diverse scelte progettuali in quanto, a parità di propellenti consumati, fornisce una indicazione sull’impulso totale effettivamente ottenuto. Il calcolo completo, cioè il dimensionamento e la successiva integrazione temporale, è stato effettuato considerando un’espansione sia nel vuoto sia in atm standard. Tutti i calcoli sono stati eseguiti con le condizioni di progetto e le ipotesi riassunte nella Tabella 4.2.

(20)

_

T DESIGN

p 43.9 [atm] Pressione iniziale serbatoio

T 300 [°K] Temperatura iniziale serbatoio

sp

I 220 [s] Impulso specifico

F 50 [N] Spinta

ϕ 8 [--] Rapporto di miscelamento

ambiente

p

1 0 [atm] Pressione ambiente

_

c DESIGN

p 10 [atm] Pressione in camera di progetto

Tabella 4.2 Condizioni di progetto generali di integrazione.

La condizione di fine integrazione imposta corrisponde all’esaurimento di uno dei due propellenti o al raggiungimento della temperatura di congelamento del perossido di idrogeno.

Si noti che i risultati mostrati nei grafici a seguire, per il caso di espansione in atmosfera, si sono ottenuti dimensionando l’ugello di espansione in modo da ottenere all’inizio dello sparo il valore di progetto dell’impulso specifico.

4.6.1. Risultati ottenuti ipotizzando l’impiego di una gola sonica per

la regolazione della portata di etano

Le Tabella 4.3 mostra i risultati ottenuti imbracando una quantità di etano maggiore di quella

stechiometrica (α =1.35) e imbracando una quantità stechiometrica (α =1):

Dati

Pressione in camera di progetto 10 10 10 10 [atm]

Pressione ambiente 1 1 0 0 [atm]

Temperatura iniziale del serbatoio 300 300 300 300 [°K]

α

1 135% 1 135% [%]

Massa iniziale C2H6 0,5148 0,6950 0,5148 0,6950 [kg]

Massa iniziale HP 4,1187 4,1187 4,1187 4,1187 [kg]

Volume serbatoio 4,7 5,3 4,7 5,3 [l]

Impulso totale di progetto 10000 10000 10000 10000 [s]

Impulso totale ottenuto 8302 9151 8626 9412 [N s]

(21)

Si riportano anche gli andamenti delle grandezze più significative al variare del tempo. 0 50 100 150 200 250 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 Rapporto di miscelamento [--] Rap porto di mi s c elame nt o [--] Tempo [s]

alpha = 1.35, P ambiente = 1 e 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 e 0 [atm]

Figura 4.2 Rapporto di miscelamento [--] con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica in funzione del tempo [s].

La Figura 4.2 riporta l’andamento del rapporto di miscelamento in funzione del tempo, si evince dalla medesima che questo tipo di regolazione comporta un aumento del rapporto di miscelamento del 50 % rispetto al valore iniziale alla fine dello sparo. Imbarcare una quantità di etano maggiorata del 35% rispetto a quella stechiometrica abbassa questa crescita al solo 15 %.

0 100 200 300 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Coefficiente di spinta [--] Coe ff ic ient e di s pinta [--] Tempo [s] 0 100 200 300 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 Impulso specifico [s] Imp u lso s p e cif ic o [s ] Tempo [s] alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm]

alpha = 1.35, P ambiente = 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1, P ambiente = 0 [atm]

Figura 4.3 Coefficiente di spinta [--] (sinistra) e impulso specifico [s] (destra) con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica in funzione del tempo [s].

(22)

La Figura 4.3 mostra, come era lecito attendersi, che per l’espansione nel vuoto il degradamento dell’impulso specifico e del coefficiente di spinta è nullo almeno fino a quando il rapporto di miscelamento non cresce così tanto, cosa che si verifica verso la fine dello sparo, da diminuire in modo sostanziale la temperatura in camera di combustione. Per espansione in atmosfera il degradamento invece si fa sentire a causa della diminuzione della pressione in camera come si vede dalla Figura 4.4. 0 100 200 300 4 5 6 7 8 9 10

Pressione in camera di combustione [atm]

Pres s ione in c am er a d i c om bu s tione [atm ] Tempo [s] 0 100 200 300 20 25 30 35 40 45 50 Spinta [N] S pi n ta [N] Tempo [s] alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm]

Figura 4.4 Pressione in camera di combustione [atm] (sinistra) e spinta [N] (destra) con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica in funzione del tempo [s].

La Figura 4.4.mostra come la spinta risenta fortemente della diminuzione della pressione di alimentazione. Anche in questo caso un leggero miglioramento si ha nell’imbarcare una quantità di etano maggiorata come descritto precedentemente.

0 50 100 150 200 250 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Serbatoio, Regolazione C2H6 sonica (alpha = 1, P ambiente = 1 [atm])

Tempo [s]

C2H6 liquido [kg] C2H6 vapore [kg] H2O2 [kg]

Pressione nel serbatoio[MPa]

0 50 100 150 200 250 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Serbatoio con regolazione C2H6 sonica (alpha = 0.35, P ambiente = 1 [atm])

Tempo [s]

Pressione nel serbatoio [MPa]

Figura 4.5 Dinamica del serbatoio con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica eα =1(sinistra) eα =1.35(destra).

(23)

La Figura 4.5 mostra come la massa aggiuntiva di etano permetta di arrivare ad esaurimento del perossido di idrogeno. In questo caso l’integrazione è stata interrotta al momento in cui si raggiunge la temperatura di congelamento del perossido; questo accade nella situazione mostrata nella Figura 4.4 (sinistra) dove si vede che resta del perossido inutilizzato nel serbatoio e una piccola quantità di etano. Si vede anche dalla Tabella 4.3 come la massa aggiuntiva di etano permetta di ottenere un impulso totale del 10% in più rispetto alla stessa condizione di progetto ma con massa inizialmente imbarcata pari a quella stechiometrica.

4.6.2. Risultati ottenuti ipotizzando la regolazione subsonica della

portata di etano

Si noti che questa condizione, con l’approssimazione di 2 6

C H

K costante, la (4.12) corrisponde

alla (4.14) cioè l’iniezione-regolazione subsonica o liquida sono equivalenti ad eccezione del fatto che estrarre l’etano in fase liquida dal serbatoio comporta che la fase liquida stessa finisca prima con conseguente peggioramento delle condizioni del serbatoio come mostrato anche attraverso la semplice integrazione con rapporto di miscelamento costante.

Le Tabella 4.4 mostra i risultati ottenuti imbarcando una quantità di etano maggiore di quella

stechiometrica (α =1.35) e imbracando una quantità stechiometrica (α =1):

Dati

α

1 135% 1 135% [%]

Tabella 4.4 Dati iniziali con regolazione subsonica della portata di etano.

(24)

0 50 100 150 200 250 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 Rapporto di miscelamento [--] Rapp ort o di mi s c e lam en to [--] Tempo [s]

alpha = 1.35, P ambiente = 1 e 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 e 0 [atm]

Figura 4.6 Rapporto di miscelamento [--] con regolazione subsonica della portata di etano al variare del tempo [s].

Come si può vedere dalle equazioni che regolano la portata dei due propellenti

2 6 2 6 HP HP T c C H C H T c m K p p m K p p = − = − & &

nell’ipotesi fatta che i parametri

K

_HP e

2 6

C H

K dipendano sola dalla geometria, il rapporto di

miscelamento non cambia al diminuire della pressione del serbatoio

0 100 200 300 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Coefficiente di spinta [--] C o efficien te d i s p in ta [--] Tempo [s] 0 100 200 300 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 Impulso specifico [s] Imp u lso s p e cif ic o [s ] Tempo [s]

alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1.35, P ambiente = 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1, P ambiente = 0 [atm]

Figura 4.7 Coefficiente di spinta [--] (sinistra) e impulso specifico [s] (destra) con regolazione subsonica della portata di etano in funzione del tempo [s].

(25)

La Figura 4.7 mostra come, in virtù del fatto che il rapporto di miscelamento resta costante, per espansione nel vuoto l’impulso specifico e il coefficiente di spinta restano sostanzialmente immutati (un piccolissimo degradamento dell’impulso specifico è da attribuirsi alla diminuzione della pressione in camera che favorisce la dissociazione)

0 100 200 300 4 5 6 7 8 9 10

Pr e ssio n e i n c a me ra d i co mb u stio n e [a tm] Tempo [s] 0 100 200 300 15 20 25 30 35 40 45 50 Spinta [N] Spinta [ N] Tempo [s] alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm]

Figura 4.8 Pressione in camera di combustione [atm] (sinistra) e spinta [N] (destra) con regolazione subsonica della portata di etano in funzione del tempo [s].

0 50 100 150 200 250 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Serbatoio, Reg. del C2H6 subsonica (alpha = 1, P ambiente = 1 [atm])

Tempo [s]

0 50 100 150 200 250 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Serbatoio con reg. portata del C2H6 subsonica (alpha = 0.35 p ambiente = 1 [atm])

Tempo [s]

Pressione nel serbatoio [MPa]

Figura 4.9 Dinamica del serbatoio con regolazione subsonica della portata di etano e

1

α = (sinistra) e α =1.35(destra).

La diminuzione della spinta e della pressione in camera nonché dell’andamento delle masse contenute nel serbatoio è molto simile al precedente sistema di regolazione della portata ottenuto ipotizzando l’utilizzo di una gola sonica nella linea dell’etano. Dalla Tabella 4.4 si vede un leggero miglioramento dell’impulso totale ottenuto.

(26)

4.6.3. Risultati ottenuti ipotizzando l’impiego di una gola sonica per

la regolazione della portata di etano e di un venturi cavitante

per la regolazione della portata di perossido

Le Tabella 4.5 mostra i risultati ottenuti imbarcando una quantità di etano maggiore di quella

stechiometrica (α =1.35) e imbarcando una quantità stechiometrica (α =1):

Dati

α

1 135% 1 135% [%]

Tabella 4.5 Dati iniziali con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica e regolazione della portata di perossido attraverso l’utilizzo di un venturi cavitante.

Si riportano anche gli andamenti delle grandezze più significative al variare del tempo. Gli andamenti dei grafici, come si vede, sono simili a quelli ricavati senza l’utilizzo del venturi cavitante.

0 50 100 150 200 250 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Serb., Reg. C2H6 sonica,Reg. HP con vent. cav. (alpha=1, Pambiente=1[atm])

Tempo [s]

C2H6 liquido [kg] C2H6 vapore [kg] H2O2 [k g]

0 50 100 150 200 250 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Serb., Reg. C2H6 sonica,HP con vent. cav. (alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm])

Tempo [s]

Figura 4.10 Dinamica del serbatoio con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica e della portata di perossido attraverso l’utilizzo di un venturi cavitante eα =1(sinistra) e

1.35

(27)

0 50 100 150 200 250 8 9 10 11 12 13 14 Rapporto di miscelamento [--] R ap p or to di mis celame n to [--] Tempo [s] alpha = 1.35, P ambiente = 1 e 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 e 0 [atm]

Figura 4.11 Rapporto di miscelamento [--] con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica e regolazione della portata di perossido attraverso l’utilizzo di un venturi

cavitante in funzione del tempo [s].

0 100 200 300 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Coefficiente di spinta [--] Coe ff ic ient e di s pinta [--] Tempo [s] 0 100 200 300 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 Impulso specifico [s] Imp u lso s p e cif ic o [s ] Tempo [s] alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1.35, P ambiente = 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1, P ambiente = 0 [atm]

Figura 4.12 Coefficiente di spinta [--] (sinistra) e impulso specifico [s] (destra) con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica e regolazione della portata di perossido

(28)

0 100 200 300 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

Pr e ssio n e i n c a me ra d i co mb u stio n e [a tm] Tempo [s] 0 100 200 300 20 25 30 35 40 45 50 Spinta [N] Spinta [ N] Tempo [s] alpha = 1.35, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1.35, P ambiente = 0 [atm] alpha = 1, P ambiente = 1 [atm] alpha = 1, P ambiente = 0 [atm]

Figura 4.13 Pressione in camera di combustione [atm] (sinistra) e spinta [N] (destra) con regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica e regolazione della portata di

perossido attraverso l’utilizzo di un venturi cavitante in funzione del tempo [s].

4.6.4. Analisi e confronti

I grafici riportati nei paragrafi precedenti mostrano le prestazioni ottenute con le diverse configurazioni analizzate al variare della pressione ambiente e della quantità di etano imbarcata. I risultati su questo fronte sono sostanzialmente analoghi; imbarcare più etano del necessario permette di conservare la fase liquida più a lungo, al limite di raggiungere una condizione tale da finire il perossido di idrogeno nel momento in cui finisce la fase liquida di etano. Ciò permette di rimanere per tutto il funzionamento in condizioni “ottimali”, mantenendo alta la pressione nel serbatoio con conseguente mantenimento delle prestazioni intorno al valore di progetto a scapito naturalmente dello spreco del surplus di etano che resta inutilizzato nel serbatoio. Tale quantità di etano comunque risulta contenuta (intorno al 30%) inoltre non incide sul costo della missione e può essere utilizzato come generatore di spinta a gas freddi. La pressione ambiente ha l’ovvio effetto di aumentare il degradamento delle prestazioni che vengono a dipendere in modo sostanziale, se la pressione ambiente sale, dalla pressione in camera che diminuisce durante lo sparo. Al fine di rendere evidente le differenze tra le vari configurazioni la Tabella 4.6 riassume l’impulso specifico ottenuto nelle varie configurazioni calcolato con la (4.36) basato sui risultati dell’integrazione sopra descritta.

(29)

Impulso totale ottenuto [s]

1

α = α =1.35

Regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica

8626 9412

Regolazione subsonica della portata di etano 8392 9528

Regolazione della portata di etano attraverso l’utilizzo di una gola sonica e regolazione della portata di perossido attraverso l’utilizzo di un venturi cavitante

8434 9161

Tabella 4.6 Impulso totale ottenuto con le varie configurazioni.

Si riportano anche a seguire dei grafici che mettono a confronto le prestazioni al variare del tempo nelle diverse configurazioni esaminate, ancora una volta nell’ipotesi di imbarcare soltanto l’etano stechiometrico o imbarcando una quantità in più. Questi grafici sono stati ottenuti ipotizzando espansione nel vuoto.

0 50 100 150 200 250 8 9 10 11 12 13 14 Rapporto di miscelamento [--] Rap po rto di mis c ela mento [ --] Tempo [s]

Reg. portata HP con venturi cav., Reg. portata C2H6 con gola son. Reg. portata HP con dim. linea, Reg. portata C2H6 sub. Reg. portata HP con dim. linea, Reg. portata C2H6 con gola son.

0 50 100 150 200 250 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 Rapporto di miscelamento [--] Rap po rto di mis c ela mento [--] Tempo [s]

Figura 4.14 Rapporto di miscelamento per tutte le possibili configurazioni di controllo della portata eα =1(sinistra) e α =1.35(destra).

La Figura 4.14 riassume l’andamento del rapporto di miscelamento per le diverse configurazioni del controllo della portata. Si noti come l’utilizzo o meno del venturi cavitante non influisca sostanzialmente su questa grandezza.

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0 50 100 150 200 1.265 1.266 1.267 1.268 1.269 1.27 1.271 1.272 1.273 1.274 Coefficiente di spinta [--] Coe ff ic ient e di s pinta [--] Tempo [s] 0 50 100 150 200 210 212 214 216 218 220 222 Impulso specifico [s] Imp u lso s p e cif ic o [s ] Tempo [s]

Figura 4.15 Coefficiente di spinta [--] (sinistra) e impulso specifico [s] (destra) per tutte le possibili configurazioni di controllo della portata e α =1.

La Figura 4.15 mostra l’andamento del coefficiente di spinta e dell’impulso specifico con etano imbarcato pari alla quantità “stechiometrica”. Avendo ipotizzato espansione nel vuoto, il coefficiente di spinta resta costante. L’impulso specifico invece, come si è visto, resta costante nel caso della regolazione subsonica della portata di etano mentre diminuisce del 5% dall’inizio alla fine dello sparo negli altri due casi analizzati. Le piccoli oscillazioni nei grafici sono da imputarsi a fenomeni numerici. 0 50 100 150 200 1.265 1.266 1.267 1.268 1.269 1.27 1.271 1.272 1.273 1.274 Coefficiente di spinta [--] C o e ff ic ien te d i s p int a [--] Tempo [s] 0 50 100 150 200 210 212 214 216 218 220 222 Impulso specifico [s] Imp u lso s p e cif ic o [s ] Tempo [s]

Figura 4.16 Coefficiente di spinta [--] (sinistra) e impulso specifico [s] (destra) per tutte le possibili configurazioni di controllo della portata eα =1.35.

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La Figura 4.16 mostra sostanzialmente come imbarcando il 35% in più di etano la perdita di impulso specifico si riduca al 2% dell’impulso specifico iniziale di progetto e lo sparo duri circa 20 secondi in più. 0 100 200 300 4 5 6 7 8 9 10

Pr e ssio ne i n c a me ra d i co mb u stio n e [a tm] Tempo [s] 0 100 200 300 20 25 30 35 40 45 50 Spinta [N] Spinta [N] Tempo [s]

Figura 4.17 Pressione in camera di combustione [atm] (sinistra) e spinta [N] (destra) per tutte le possibili configurazioni di controllo della portata eα =1.

0 100 200 300 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

Pr e ssio ne i n c a me ra d i co mb u stio n e [a tm] Tempo [s] 0 100 200 300 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Spinta [N] Spinta [N] Tempo [s]

Figura 4.18 Pressione in camera di combustione [atm] (sinistra) e spinta [N] (destra) per tutte le possibili configurazioni di controllo della portata eα =1.35.

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Le Figura 4.17 e Figura 4.18 mostrano come l’andamento della spinta e della pressione in camera di combustione siano sostanzialmente gli stessi in tutti i casi.

4.7. Conclusioni

La regolazione subsonica della portata di etano, se è possibile trascurare la variazione di 2 6

C H

K con la pressione, presenta il vantaggio di mantenere costante il rapporto di miscelamento.

Questo permette di mantenere costante la temperatura di combustione e con essa la velocità

caratteristica

c

_*. Ricordando l’espressione per l’impulso

0 *

g

C

Isp

=

F

⋅

Tale metodo di regolazione potrebbe permettere quindi di diminuire il degradamento delle prestazioni mantenendo così costante l’impulso specifico; la stessa tendenza si vede anche dai grafici (una piccola diminuzione dell’impulso specifico è probabilmente dovuta al fatto che la combustione risente leggermente della pressione in camera per quanto riguarda la dissociazione della CO2). Naturalmente questo è vero a patto di ammettere pressioni ambienti basse. Con pressioni ambiente dell’ordine di 1 atmosfera (condizioni da laboratorio se non utilizziamo una camera a vuoto) la

diminuzione dell’impulso specifico viene quasi totalmente dalla componente e ambiente e

C t

p

A

p

A

−

(nel calcolo del coefficiente di spinta, vedasi espressione (4.3)). Tale termine, al diminuire della pressione

in camera di combustione diminuisce perché il rapporto

p

_e

p

_c resta costante dipendendo

esclusivamente dal rapporto di espansione dell’ugello mentre il rapporto

p

ambiente

p

c aumenta

provocando una diminuzione del coefficiente di spinta comparendo con il segno meno nella (4.3). Se lavoriamo invece a pressioni più basse, al limite per espansione nel vuoto sparisce la dipendenza del coefficiente di spinta dalla pressione di combustione (e quindi dalla pressione del serbatoio) in quanto

scompare il termine

p

ambiente

p

c , ne consegue che il degradamento in impulso specifico può venire

solo dalla diminuzione della temperatura di combustione legata alla variabilità del rapporto di miscelamento. Alla luce di questo, allo scopo di mantenere costante il rapporto di miscelamento e con esso l’impulso specifico nel vuoto, la realizzazione di un controllo subsonico della portata di entrambi i propellenti presenta un piccolo vantaggio. Si noti comunque che gli altri due sistemi di controllo e regolazione della portata presentano una diminuzione dell’impulso specifico di soli 10 secondi rispetto alle condizioni di progetto; questo era prevedibile anche comunque per quanto riportato al Capitolo 1 e da Mosar [6] dove si vede che la propulsione con HP-etano presenta una buona tolleranza a variazioni di rapporto di miscelamento; questo si vede qui sia dalle Figura 4.15 e Figura 4.16 e dalla Tabella 4.6 dove è evidente che l’impulso totale delle diverse configurazioni non differisce per più di 500 secondi su un totale di progetto di 10000 secondi.

Si conclude quindi che gli altri aspetti importanti al fine della scelta finale del sistema di controllo e regolazione della portata riportati nell’ultima riga della Tabella 4.1 sono sicuramente i più

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determinanti. Considerazioni sull’affidabilità e la sicurezza appaiono determinanti. Tenendo presente che l’iniezione gassosa dell’etano favorisce il mescolamento dei propellenti in camera ed elimina il tempo necessario all’evaporazione del propellente con ovvio miglioramento dell’efficienza di combustione rende questa scelta la più opportuna. Le regolazione della portata di etano ottenuta attraverso l’utilizzo di una gola sonica disaccoppia la dinamica della camera da quella del sistema di alimentazione con ovvi benefici sul controllo delle instabilità, inoltre garantisce la portata di progetto anche se le perdite stimate presentano un certo errore rispetto a quelle reali.

La regolazione della portata di perossido di idrogeno ottenuta attraverso l’utilizzo del venturi cavitanti, dispositivo provato da Alta e che ha dimostrato un ottimo funzionamento, presenta gli stessi vantaggi in termini di sicurezza, affidabilità e disaccoppiamento dinamico.