Prima Prova Scritta 09/03/2000

Prima Prova Scritta 09/03/2000

Si consideri la funzione

f (x) = (1 + x)e^x

A2 Disegnare il grafico di f

B2 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (0, f (0)0

C2 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f (x) di ordine 3 con il resto nella forma di Lagrange D2 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f (x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano

E2 Determinare l’ordine di infinitesimo a di (1 + x)e^x− 1 − 2x nell’origine e calcolare

x→0lim

(1 + x)e^x− 1 − 2x x^a

Seconda Prova Scritta 16/03/2000

Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui `e noto

* il grafico della derivata prima

* i valori f (0) = 0, f (α) = −1, f (β) = −2. f (γ) = 1 A4 Disegnare il grafico di f

B3 Precisare gli intervalli in cui f `e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.

C₁ Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f⁰ D₂ Stimare, usando il teorema di Lagrange, f (a).

2

Terza Prova Scritta 23/03/2000

Si consideri la funzione

f (x) = −1 x ∈ [0, 1) 3x² x ∈ [1, 2]

e la partizione P_n= {^k_n, k = 0, 1, 2, 3, ...., 2n}

A1 Disegnare il grafico di f

B2 Calcolare le somme superiori U (f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn

C2 Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn

D2 Calcolare limnU (f, Pn) e limnL(f, Pn) E3 Calcolare R2

0 f (x)dx

Quarta Prova Scritta 30/03/2000

Si consideri la funzione f il cui grafico `e indicato in figura

A3 Disegnare il grafico di F (x) =Rx 0 f (t)dt

B2 Precisare il valore che la funzione F assume in −1, 0, 1, 2, 3, 4 Si consideri la funzione g il cui grafico `e indicato in figura

C2 Disegnare il grafico di G(x) =Rx 0 g(t)dt D3 Precisare il segno di G

4

Quinta Prova Scritta 06/04/2000

Si consideri la funzione

f (x) =











1 − x² |x| < 1 1

x− 1 x > 1 1

x+ 1 x < −1

A3 Disegnare il grafico di f , precisandone il dominio D B2 Determinare una primitiva di f su D

C2 Determinare tutte le primitive di f su D D₃ Determinare una espressione esplicita per

F (x) = Z x

0

f (t)dt

Sesta Prova Scritta 13/04/2000

Si consideri la funzione

f (x) = 1 x(x − 1)

A₃ Calcolare

Z +∞

4

f (t)dt,

Z 4 1

f (t)dt,

Z 4 2

f (t)dt

B2 Disegnare il grafico di

Z x 4

f (t)dt

C2 Disegnare il grafico di tutte le primitive di f

6

Settima Prova Scritta 13/04/2000

Si consideri il problema di Cauchy

e^y(x)y⁰(x) = 2x(e^y(x)+ 1) y(x₀) = y₀

A₂ Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y₀= 0, precisando il campo di definizione

B₂ Disegnare il grafico della soluzione del problema per x₀ = 1, y₀ = −1 precisando il campo di definizione

C2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= −1, y0= −1 precisando il campo di definizione

C2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y0= 1 precisando il campo di definizione

Ottava Prova Scritta 13/04/2000

Si consideri il problema di Cauchy

y⁰(x) =p³

ln(y(x) + 1) y(x0) = y0

A2 Determinare le soluzioni costanti dell’equazione differenziale data

B2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y0= 1 precisando il campo di definizione ed eventuali prolungamenti.

C2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y0= −1/2 precisando il campo di definizione ed eventuali prolungamenti.

C₂ Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di x0, y₀

8

Nona Prova Scritta 18/05/2000

Si consideri l’equazione differenziale

y⁰⁰⁰(x) + 4y⁰(x) = sin(x) + sin(2x)

A2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata B2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa

C2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0, y⁰(0) = 0 e y⁰⁰(0) = 0 D2

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0 e y(Π) = 0

Decima Prova Scritta 25/05/2000

Si consideri il sistema di equazioni differenziali

 ˙x(t) = −2x(t) + y(t) + f (t)

˙

y(t) = 2x(t) − 2y(t) + g(t)

A₂ Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.

B₂ Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f (t) = sin t e g(t) = 0.

C₂ Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f (t) = 0 e g(t) = e^2t. D2 Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f (t) = sin t e g(t) = e^2t.

10

Undicesima Prova Scritta 25/05/2000

Si consideri la funzione

f (x, y) = x²+ 2xy e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 x} A2 Disegnare le curve di livello di f

B2 Determinare massimi e minimi assoluti di f su D C2 Calcolare

Z Z

D

f (x, y)dxdy

Prima Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x) = (1 + x) ln(x + 1)

A3 Disegnare il grafico di f

B4 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (0, f (0))

D3 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f (x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano

12

Seconda Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui `e noto che f (0) = 0 e che

f⁰(x) =







1 − x² x < 2 x² 2 ≤ x ≤ 3 12 − x x > 3

A₄ Disegnare il grafico di f

B₃ Precisare gli intervalli in cui f `e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.

C₃ Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f⁰

Terza Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x) = x²+ x e la partizione Pn= {^k_n, k = 0, 1, 2, 3, ...., n}

A1 Disegnare il grafico di f

B4 Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 1] rispetto alla partizione Pn

D4 Calcolare limnL(f, Pn) E1 Calcolare R1

0 f (x)dx

14

Quarta Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione f il cui grafico `e indicato in figura

A5 Disegnare il grafico di F (x) =Rx 0 f (t)dt

B₅ Disegnare il grafico di G(x) =Rx² 0 f (t)dt

Quinta Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x) =

(x |x| ≤ 1 1 x > 1

−1 x < −1

A3 Disegnare il grafico di f , precisandone il dominio D B2 Determinare una primitiva di f su D

C2 Determinare tutte le primitive di f su D D₃ Determinare una espressione esplicita per

F (x) = Z x

0

f (t)dt

16

Sesta Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x) = 1 x+ 2

3 − x+ 1

3 + x = 9 + 9x 9x − x³ A5 Calcolare

Z +∞

4

f (t)dt,

Z 1 0

f (t)dt,

Z 2 1

f (t)dt

B₅ Disegnare il grafico di tutte le primitive di f

Settima Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri il problema di Cauchy

y⁰(x) = 2xe^−y(x) y(x₀) = y₀

A₄ Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y₀= 0, precisando il campo di definizione

B₆ Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema al variare di x0, y₀

18

Ottava Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri il problema di Cauchy

y⁰(x) = ln(y(x) + 1) y(0) = y₀

A₄ Disegnare il grafico della soluzione del problema per y0 = 1 e precisare il campo di definizione ed eventuali prolungamenti.

B₆ Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di y0

Nona Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri l’equazione differenziale

y⁰⁰(x) − 3y⁰(x) + 2y(x) = e^2x

A4 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata B3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa

C3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0

20

Decima Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri il sistema di equazioni differenziali

 ˙x(t) = x(t) + f (t)

˙

y(t) = 2x(t) + 3y(t)

A₅ Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.

B₅ Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f (t) = e^t.

Undicesima Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x, y) = y²+ x + y e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x}

A₃ Disegnare le curve di livello di f

B₄ Determinare massimi e minimi assoluti di f su D C₃ Calcolare

Z Z

D

f (x, y)dxdy

22

Undicesima Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x, y) = y²+ x + y e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x}

A₃ Disegnare le curve di livello di f

B₄ Determinare massimi e minimi assoluti di f su D C₃ Calcolare

Z Z

D

f (x, y)dxdy

Esame giugno 12/06/2000

Si consideri la funzione

f (x) = 2 x(1 − x²) A4 Disegnare il grafico di f

B3 Disegnare il grafico di g(x) =Rx 0 f (t)dt

C4 Disegnare il grafico di tutte le primitive di f

24

Si consideri l’equazione

xy⁰⁰(x) − y⁰(x) = |x|

A3 Risolvere l’equazione omogenea associata all’equazione data B3 Risolvere l’equazione data su R+

C₄ Risolvere l’equazione data su R−

D₅ Risolvere l’equazione data su R

Esame giugno 27/06/2000

Si consideri la funzione

f (x) = e^x x²+ x A4 Disegnare il grafico di f

B3 Disegnare il grafico di g(x) =Rx 4 f (t)dt

C₄ Disegnare il grafico di g(x) =Rx

−∞f (t)dt

26

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari

y⁰(x) = y(x) + z(x) + x z⁰(x) = z(x) + 1

A3 Risolvere il sistema omogeneo associato B3 Risolvere il sistema

C4 Trovare la soluzione del sistema omogeneo associato tale che y(0) = z(0) = 0 D5 Trovare la soluzione del sistema tale che y(0) = z(0) = 0

Esame luglio 14/07/2000

Si consideri la funzione

fk(x) = e^2x+ ke^x

A₄ Determinare gk(t) tale che

fk(x) = gk(e^x)

e disegnarne il grafico al variare di k ∈ R

B3 Disegnare il grafico di fk(x) al variare di k ∈ R

28

C4 Per k = 2 Disegnare il grafico di F (x) =Rx 0 f2(t)dt

C4 Per k = 2 determinare un intervallo in cui f2 `e invertibile e trovarne l’inversa.

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari

y⁰⁰(x) + y⁰(x) = z(x) z⁰(x) + z(x) = x

A5 Determinare tutte le soluzioni del sistema dato B3 Determinare tutte le soluzioni del sistema dato

C3 Scrivere un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine equivalente al sistema dato

D4 Trovare una matrice fondamentale del sistema del primo ordine trovato al punto prece- dente.