Analisi Matematica 2

(1)

Prove scritte di

Analisi Matematica 2

Ingegneria Industriale a.a. 2009–2010

Grafico della funzione f (x, y) := sin(2x²− y) cos(x − 2y²) in [−π/2, π/2]²

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 2 ” per Ingegneria classe Industriale Facolt`a di Ingegneria, Universit`a del Salento

(2)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010, traccia A

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni:

f

_n

(x) = n sin x n .

2. Scrivere i coeﬃcienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa

` e sviluppabile in serie di Fourier:

f (x) = |x| sin x , −π < x ≤ π

ed estesa per periodicit` a all’esterno dell’intervallo ] − π, π].

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (x − y)

²

− (y − 1)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (0, 1) e (1, 1) giustificandone l’esistenza.

4. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

a) Definizione e propriet` a del raggio di convergenza di una serie di potenze.

b) Definizione di derivata direzionale. Relazioni con la diﬀerenzia-

bilit` a ed espressione del diﬀerenziale.

(3)

Cenni sulla soluzione

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010, traccia A

1. Per ogni x ∈ R risulta

n→+∞

lim n sin x

n = lim

n→+∞

x sin

^x_n

x n

= x

e quindi la successione di funzioni converge puntualmente verso f (x) = x in tutto R.

Inoltre, considerata la funzione φ

_n

(x) = n sin

^x_n

− x, risulta φ

^′n

(x) = cos

^x_n

− 1 e tale derivata si annulla nei punti 2knπ con k ∈ Z; in tali punti risulta

n sin 2knπ

n − 2knπ

= 2knπ

e quindi la convergenza non pu` o essere uniforme in tutto R.

Considerato un intervallo [ −a, a] si ha, per ogni x ∈ [−a, a],

|φ

n

(x) | = n sin x

n − x = x (

sin

^x_n

x n

− 1 )

≤ a x

²

6n

²

≤ a

³

6n

²

e quindi la successione converge uniformemente in ogni intervallo limitato.

2. La funzione ` e regolare a tratti (la derivata presenta discontinuit` a di prima specie solo nei punti kπ con k ∈ Z) e quindi `e sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre f ` e dispari e quindi ` e sviluppabile in serie di soli seni. Allora, per ogni n ∈ N, si ha a

n

= 0 e, per ogni n ≥ 1, utilizzando la regola di integrazione per parti e le formule di prostaferesi

b

n

= 2 π

∫

_π

0

x sin x sin nx dx =

{ 0 , n dispari,

−

_π(n⁸ⁿ2−1)²

, n pari.

3. Si lascia per esercizio.

(4)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010, traccia B

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni:

f

_n

(x) = n

²

(

1 − cos x n )

.

2. Scrivere i coeﬃcienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa

` e sviluppabile in serie di Fourier:

f (x) = |x| cos x , −π < x ≤ π

ed estesa per periodicit` a all’esterno dell’intervallo ] − π, π].

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (x − 1)

²

− (x − y)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) giustificandone l’esistenza.

4. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

a) Definizione di diﬀerenziabilit` a e teorema del diﬀerenziale totale.

b) Criterio di sviluppabilit` a in serie di Taylor.

(5)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la seguente serie di potenze:

+∞

∑

n=0

n sin

ⁿ

x ,

e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

xy

(x

²

+ y

²

)

³

dx dy

dove D ` e la parte la corona circolare di centro l’origine e raggi 1 e 2 compresa nel secondo quadrante.

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (x − 1)

²

− (x − y)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) giustificandone l’esistenza.

4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

 



y

^′′

− y = x e

^x

,

y(0) = 1 ,

y

^′

(0) = 0 .

(6)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica II 12 gennaio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la seguente serie di potenze:

+∞

∑

n=1

(cos x + sin x)

ⁿ

n 2

^n/2

, e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x

²

log(1 + x

²

+ y

²

) x

²

+ y

²

dx dy

dove D ` e la parte di corona circolare di raggi 1 e 2 compresa nel primo quadrante e delimitata dalle rette di equazione

y =

√ 3

3 x , y = √ 3 x .

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = xy(x − 1) − (y − 1)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel quadrato di

vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), giustificandone l’esistenza.

(7)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia A

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=1

n sin x n

³

.

2. Scrivere i coeﬃcienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa

` e sviluppabile in serie di Fourier:

f (x) =

{ cos x , 0 ≤ x ≤ π ,

− cos x , −π < x < 0 , ed estesa per periodicit` a all’esterno dell’intervallo ] − π, π].

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (y

²

− x)

²

− (x − y)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nell’insieme limita- to delimitato dall’arco di parabola di equazione x = y

²

con −1 ≤ y ≤ 1 e dal segmento S[(1, −1), (1, 1)], giustificandone l’esistenza.

4. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

a) Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata per le successioni di funzioni.

b) Diﬀerenziale delle funzioni vettoriali, matrice jacobiana e teorema

di diﬀerenziabilit` a delle funzioni vettoriali composte.

(8)

Cenni sulla soluzione della

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia A

1. Si fissi x ∈ R. Poich´e il termine sin

_n^x3

` e un infinitesimo di ordine 3, il termine generale f

_n

(x) della serie risulta essere un infinitesimo di ordine 2 e quindi la serie converge assolutamente puntualmente in ogni x ∈ R.

Inoltre si ha f

_n^′

(x) = cos(x/n

³

)/n

²

e tale derivata si annulla nei punti n

³

(π/2 + kπ) con k ∈ Z; in tali punti risulta |f

n

(n

³

(π/2 + kπ)) | = n e ci` o esclude la convergenza totale in tutto R. Infine, fissato un intervallo [−a, a] con a > 0, risulta

|f

n

(x) | = n sin x n

³

≤ n |x|

n

³

≤ a n

²

, e poich´ e la serie ∑

₊_∞

n=1

a/n

²

` e convergente, dal criterio di Weierstrass segue la totale e quindi l’uniforme convergenza della serie in [−a, a].

2. La funzione ` e regolare a tratti (la derivata presenta discontinuit` a di prima specie solo nei punti kπ con k ∈ Z) e quindi `e sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre f ` e dispari e quindi ` e sviluppabile in serie di soli seni. Allora, per ogni n ∈ N, si ha a

n

= 0 e, per ogni n ≥ 1, utilizzando le formule di prostaferesi

b

n

= 2 π

∫

_π

0

cos x sin nx dx

= 2 2π

∫

_π

0

(sin((n + 1)x) + sin(n − 1)x) dx

= − 1 π

( cos(n + 1)x

n + 1 + cos(n − 1)x n − 1

)

=

 



0 , n dispari,

2 π

(

1

n+1

+

_n₋₁¹

)

, n pari.

3. La funzione ` e diﬀerenziabile in tutto R

²

e quindi i punti di massimo e minimo relativo sono anche punti stazionari per f . Annullando le derivate parziali si ottiene il sistema

{ 2y(1 − y) = 0 ,

4y

³

− 4xy + 2x − 2y = 0

che ha come soluzioni i punti (0, 0) e (1, 1). Calcolando l’Hessiano in

tali punti si riconosce che essi sono entrambi punti di sella in quanto

il determinante della matrice hessiano risulta strettamente negativo.

(9)

Infine si studiano il massimo e il minimo assoluto di f nel dominio assegnato; essi esistono per il teorema di Weierstrass in quanto f ` e continua e l’insieme assegnato ` e chiuso e limitato.

Si studia prima la funzione lungo la curva x = y

²

con −1 ≤ y ≤ 1.

Quindi bisogna studiare la funzione φ(y) = f (y

²

, y) = −y

²

(y − 1)

²

; la derivata prima di φ si annulla nei punti 0, 1/2 e 1 e inoltre bisogna considerare anche il punto −1 in quanto estremi dell’intervallo in cui φ ` e definita. Pertanto si ottengono i seguenti valori della funzione nei punti corrispondenti:

f (0, 0) = 0 , f ( 1

4 , 1 2

)

= − 1

16 , f (1, 1) = 0 , f (1, −1) = −4 . Sul segmento congiungente i punti (1, −1) e (1, 1), la funzione diventa

ψ(y) = f (1, y) = y(y + 2)(y − 1)

²

, −1 ≤ y ≤ 1 . La sua derivata prima si annulla nei punti 1, ( −1 + √

3)/2 (il punto ( −1 − √

3)/2 ` e da escludere in quanto non appartenente all’intervallo [ −1, 1]) e inoltre bisogna considerare l’estremo 1. Quindi tenendo conto dei punti gi` a considerati si calcola il valore di f nel punto corrispondente non ancora considerato:

f (

1, − 1 2 +

√ 3 2

)

= − 9 4 − 3

2 √ 3 .

Confrontando i valori ottenuti si ottiene che il massimo assoluto di f

` e 0 e viene assunto nei punti (0, 0) e (1, 1) mentre il minimo assoluto

` e −9/4 − 3 √

3/2 assunto nel punto (1, −1/2 + √

3/2).

(10)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia B

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=1

n

²

(

1 − cos x n

²

) .

2. Scrivere i coeﬃcienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa

` e sviluppabile in serie di Fourier:

f (x) =

{ x + 1 , 0 ≤ x ≤ π , x − 1 , −π < x < 0 ,

ed estesa per periodicit` a all’esterno dell’intervallo ] − π, π].

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (y − x

²

)

²

− (x − y)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nell’insieme limita- to delimitato dall’arco di parabola di equazione y = x

²

con −1 ≤ x ≤ 1 e dal segmento S[( −1, 1), (1, 1)], giustificandone l’esistenza.

4. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

a) Teorema di inversione dei limiti e conseguenza sulla continuit` a del limite uniforme di una successione di funzioni.

b) Multi-indici, potenze simboliche e formula di Taylor per le fun-

zioni di pi` u variabili.

(11)

Cenni sulla soluzione della

Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia B

1. Si fissi x ∈ R. Poich´e il termine 1−cos x/n

²

` e un infinitesimo di ordine 4, il termine generale f

_n

(x) della serie risulta essere un infinitesimo di ordine 2 e quindi la serie converge assolutamente puntualmente in ogni x ∈ R.

Inoltre si ha f

_n^′

(x) = sin(x/n

²

) e tale derivata si annulla nei punti n

²

kπ con k ∈ Z; in tali punti risulta |f

n

(n

²

kπ) | = 2 per k dispari e

|f

n

(n

²

kπ)| = 0 per k pari e ci`o esclude la convergenza totale in tutto R. Infine, fissato un intervallo [−a, a] con a > 0, risulta

|f

n

(x) | = n

²

1 − cos x n

²

≤ x

²

2n

⁴

≤ a

²

2n

⁴

, e poich´ e la serie ∑

₊_∞

n=1

a

²

/(2n

⁴

) ` e convergente, dal criterio di Weier- strass segue la totale e quindi l’uniforme convergenza della serie in [ −a, a].

2. La funzione ` e regolare a tratti (la derivata presenta discontinuit` a di prima specie solo nei punti kπ con k ∈ Z) e quindi `e sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre f ` e dispari e quindi ` e sviluppabile in serie di soli seni. Allora, per ogni n ∈ N, si ha a

n

= 0 e, per ogni n ≥ 1, utilizzando la regola di integrazione per parti

b

n

= 2 π

∫

_π

0

(x + 1) sin nx dx =

{

_2(2+π)

nπ

, n dispari,

−

²_n

, n pari.

3. Lo studio ` e del tutto simile a quello condotto per la traccia A scam-

biando i ruoli delle variabili x e y.

(12)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 10 febbraio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

xy

1 + x

²

+ y

²

dx dy , dove

D = {(x, y) ∈ R

²

| x ≥ 0 , y ≥ 0 , x ≤ y , (x − 1)

²

+ y

²

≤ 1} .

2. Determinare le eventuali soluzioni del seguente problema di Cauchy

 

 

 



(x + 1) y

^′′

= 4(y

^′

)

²

− 4y

^′

+ 1 , y(1) = 0 ,

y

^′

(1) = 1 .

3. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

a) Teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli. Tra- sformazioni in coordinate sferiche e cilindriche.

b) Lemma di Gronwall e teorema di unicit` a per il problema di Cau-

chy del primo ordine in forma normale.

(13)

Cenni sulla soluzione

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 10 febbraio 2010

1. Trasformando in coordinate polari, il dominio D viene descritto dalle condizioni

π

4 ≤ θ ≤ π

2 , 0 ≤ ρ ≤ 2 cos θ e l’integrale diventa

∫

_π/2

π/4

cos θ sin θ dθ

∫

_{2 cos θ}

0

ρ

³

1 + ρ

²

dρ

=

∫

_π/2

π/4

cos θ sin θ dθ

∫

_{2 cos θ}

0

(

ρ − ρ 1 + ρ

²

) dρ

=

∫

_π/2

π/4

cos θ sin θ (

1 + cos(2θ) − 1

2 log(3 + 2 cos 2θ) )

dθ

= [

− 1

2 cos

²

θ − 1

8 cos 2θ − 1

16 cos 4θ + 3

16 log(3 + 2 cos 2θ) + 1

8 cos 2θ log(3 + 2 cos 2θ) ]

_π/2

π/4

= 4 − 3 log 3

16 .

2. Posto z = y

^′

, si ottiene l’equazione diﬀerenziale del primo ordine (x + 1)z

^′

= (2z − 1)

²

che ` e a variabili separabili; osservato che la soluzione y

^′

= z = 1/2 non soddisfa il problema di Cauchy assegnato, si divide per (2z − 1)

²

e si ottiene l’equazione

z

^′

(2z − 1)

²

= 1 x + 1 .

Integrando tra 1 ed x (con x > −1) tenendo presente la condizione iniziale z(1) = y

^′

(1) = 1 si ottiene

1 1 − 2z + 1 = 2 log x + 1 2 da cui

₁¹_−2z^−z

= log

^x+1₂

e quindi

y

^′

= z = 1 − log

^x+1₂

1 − 2 log

^x+1₂

;

integrando nuovamente tra 1 e x e tenendo presente la condizione iniziale y(1) = 0 si ottiene infine

y(x) =

∫

_x

1

1 − log

^t+1₂

1 − 2 log

^t+1₂

dt .

(14)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 11 febbraio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x(1 − x

²

− y

²

) dx dy ,

dove D ` e il sottoinsieme di R

²

delimitato dalle seguenti condizioni y ≤ x , − 1

2 ≤ y ≤ 0 , x

²

+ y

²

≤ 1 .

2. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy { xy

^′

= −2y + y

²

log x ,

y(1) = 1 .

3. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

a) Misurabilit` a di insiemi limitati e dotati di punti interni. Defini- zione e caratterizzazione.

b) Teoremi di esistenza di soluzioni (in piccolo e in grande) del pro-

blema di Cauchy per equazioni diﬀerenziali del primo ordine in

forma normale.

(15)

Cenni sulla soluzione

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 11 febbraio 2010

1. Trasformando in coordinate polari il dominio D pu` o essere suddiviso nella unione dei domini descritti dalle seguenti condizioni:

D

1

: 0 ≤ ρ ≤ 1 , − π

6 ≤ θ ≤ 0 , D

₂

: − 3

4 π ≤ θ ≤ − π

6 , 0 ≤ ρ ≤ − 1 2 sin θ , L’integrale pertanto diventa

∫∫

D

x(1 − x

²

− y

²

) dx dy =

∫∫

D1

x(1 − x

²

− y

²

) dx dy +

∫∫

D2

x(1 − x

²

− y

²

) dx dy

=

∫

₀

−π/6

dθ

∫

₁

0

ρ

²

cos θ(1 − ρ

²

) dρ

+

∫

_−π/6

−3π/4

dθ

∫

−1/(2 sin θ) 0

ρ

²

cos θ(1 − ρ

²

) dρ

=

∫

₀

−π/6

cos θ [ ρ

³

3 − ρ

⁵

5 ]

1 0

dθ

+

∫

_−π/6

−3π/4

cos θ [ ρ

³

3 − ρ

⁵

5 ]

−1/(2 sin θ) 0

dθ

= ( 1

3 − 1 5

) ∫

₀

−π/6

cos θ dθ +

∫

_−π/6

−3π/4

cos θ (

− 1

24 sin

³

θ + 1 160 sin

⁵

θ

) dθ

= 1 15 + 1

24 − 3

160 = 43

480 .

(16)

Alternativamente, senza trasformare in coordinate polari e tenendo presente che l’insieme D ` e normale rispetto all’asse y, si ha

∫∫

D

x(1 − x

²

− y

²

) dx dy =

∫

₀

−1/2

dy

∫ √

₁_−y²

y

x(1 − x

²

− y

²

) dx dy

=

∫

₀

−1/2

[ x

²

2 − x

⁴

4 − x

²

y

²

2 ]√

1−y² y

dy

=

∫

₀

−1/2

( 1 − y

²

2 − (1 − y

²

)

²

4 − y

²

(1 − y

²

) 2 − y

²

2 + y

⁴

4 + y

⁴

2 )

dy

=

∫

₀

−1/2

( 1

4 − y

²

+ y

⁴

)

dy = 1 8 − 1

24 + 1

160 = 43 480 .

2. Dividendo per x (poich´ e il dato iniziale ` e assegnato nel punto 1, si considera poi x > 0) si ottiene l’equazione di Bernoulli

y

^′

= − 2

x y + log x x y

²

.

Si osserva che la soluzione y = 0 non soddisfa il problema di Cauchy;

dividendo per y

²

e posto z = 1/y (da cui z

^′

= −y

^′

/y

²

), si ottiene l’equazione diﬀerenziale lineare del primo ordine

z

^′

= 2

x z − log x x .

Tenendo presente che dalla condizione iniziale deve essere z(1) = 1/y(1) = 1, si considerano le seguenti funzioni

A(x) =

∫

_x

1

2 t dt = 2 log x , B(x) = −

∫

_x

1

log t

t e

^{−2 log t}

dt = −

∫

_x

1

log t

t

³

dt = − 1

4x

²

− log x 2x

²

+ 1

4 e quindi la soluzione ` e data da

z(x) = e

^{2 log x}

(

1 − 1

4x

²

− log x 2x

²

+ 1

4 )

= 1

4 (5x

²

− 1 − 2 log x) e infine

y(x) = 4

5x

²

− 1 − 2 log x .

(17)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la seguente serie di potenze:

+∞

∑

n=0

n sin

ⁿ

x ,

e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

xy

(x

²

+ y

²

)

³

dx dy

dove D ` e la parte la corona circolare di centro l’origine e raggi 1 e 2 compresa nel secondo quadrante.

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (x − 1)

²

− (x − y)

²

.

Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) giustificandone l’esistenza.

4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

 



y

^′′

− y = x e

^x

,

y(0) = 1 ,

y

^′

(0) = 0 .

(18)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica II 15 febbraio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=1

( −1)

ⁿ

log

²

(nx) n √

n x .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x y

1 + x

²

y

²

dx dy

dove D ` e il sottoinsieme limitato del primo quadrante delimitato dalle curve di equazione xy = 1, xy = 4 e dalle rette di equazione y = √

3x/3 e y = √

3x.

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = x

²

y

nell’insieme A = {(x, y) ∈ R

²

| − 1 ≤ x ≤ 1 , y

²

− x

⁴

≤ 0}.

4. Determinare le soluzioni dell’equazione diﬀerenziale

y

^′′

= y y

^′

.

(19)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 15 febbraio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=1

log(n

²

+ x) n

²

+ x .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x

²

y

²

1 + x

²

y

²

dx dy

dove D ` e il sottoinsieme limitato del primo quadrante delimitato dalle curve di equazione xy = 1/2, xy = 2 e dalle rette di equazione y = x e y = 2x.

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = x

²

+ 4y

²

nell’insieme A = {(x, y) ∈ R

²

| 4x

²

+ y

²

≤ 1}.

4. Determinare le soluzioni dell’equazione diﬀerenziale y

^′

= xy

x

²

+ y

²

.

(20)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova integrativa di Analisi Matematica II 15 febbraio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la sviluppabilit` a in serie di Fourier della funzione f (x) = x sin x , −π ≤ x ≤ π ,

estesa per periodicit` a (di periodo 2π) ad R e determinarne i coeﬃcienti di Fourier.

2. Studiare la diﬀerenziabilit` a della funzione

f (x, y) = |xy| .

(21)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova integrativa di Analisi Matematica II 15 febbraio 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la sviluppabilit` a in serie di Fourier della funzione f (x) = x cos x , −π ≤ x ≤ π ,

estesa per periodicit` a (di periodo 2π) ad R e determinarne i coeﬃcienti di Fourier.

2. Studiare la diﬀerenziabilit` a della funzione

f (x, y) = x

²

|y| .

(22)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica II 1 marzo 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni e calcolarne la somma:

+∞

∑

n=1

n

²

2

^nx

.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x arcsin y

√ (x − 1)

²

+ y

²

dx dy

dove

D = {(x, y) ∈ R

²

| x ≥ 1 , y ≥ 0 1 ≤ (x − 1)

²

+ y

²

≤ 4} .

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (x

²

− y)(x − y

²

)

nell’insieme A = {(x, y) ∈ R

²

| 0 ≤ x ≤ 1 , x

²

≤ y ≤ √ x }.

(Suggerimento: I punti stazionari (x, y) interni ad A verificano la condizione x = y.)

4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

 



 

y

^′

= 1

sin x cos x y + tan x , y

( π 4

)

= 1 .

(23)

Cenni sulla soluzione del 1 marzo 2010

1. Posto y = 2

^x

, si ottiene la serie di potenze riconducibile alla serie otte- nuta derivando due volte la serie geometrica. Quindi la convergenza ` e puntuale per y ∈] − 1, 1[ e quindi per x < 0 e uniforme per y ∈ [−r, r]

con 0 < r < 1 e quindi per x ∈] − ∞, a] con a < 0. Per la somma si ha, per ogni y ∈] − ∞, 0[,

+∞

∑

n=1

n

²

y

ⁿ

= y

+∞

∑

n=1

nDy

ⁿ

= yD (

₊_∞

∑

n=1

ny

ⁿ

)

= yD (

y

+∞

∑

n=1

Dy

ⁿ

)

= yD (

yD (

₊_∞

∑

n=1

y

ⁿ

))

= yD (

yD

( y

1 − y ))

= yD

( y

(1 − y)

²

)

= y(1 + y) (1 − y)

³

e quindi, per ogni x < 0,

+∞

∑

n=1

n

²

2

^nx

= 2

^x

(1 + 2

^x

) (1 − 2

^x

)

³

.

2. Conviene considerare il cambiamento di variabili x = 1 + ρ cos θ e y = ρ sin θ con determinante jacobiano ρ. L’integrale diventa

∫

₂

1

ρdρ

∫

_π/2

0

ρ cos θ arcsin ρ sin θ ρ dθ =

∫

₂

1

ρ

²

dρ

∫

_π/2

0

θ cos θ dθ .

3. La funzione ` e diﬀerenziabile e l’unico punto stazionario interno ad A ` e (1/2, 1/2) in cui si ha f (1/2, 1/2) = −1/16. Sulla frontiera la funzione si annulla e quindi il minimo ` e −1/16 assunto nel punto (1/2, 1/2) mentre il massimo ` e 0 e viene assunto in tutti i punti della frontiera.

4. Si tratta di un’equazione diﬀerenziale lineare del primo ordine; viene considerato l’intervallo ]0, π/2[ che contiene il punto iniziale. Si considera la primitiva

A(x) =

∫

_x

π/4

1 sin x cos x dx =

∫

_x

π/4

1 tan x cos

²

x dx = log(tan x) e poi la primitiva

B(x) =

∫

_x

π/4

e

− log(tan x)

tan x dx = x − π 4 . Quindi la soluzione del problema di Cauchy ` e data da

y(x) = e

^A(x)

(1 + B(x)) = (

x + 1 − π 4

)

tan x .

(24)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 1 marzo 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la seguente serie di potenze

+∞

∑

n=0

e

^−nx

,

e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x − y (1 + x

²

+ y

²

) √

x

²

+ y

²

dx dy

dove D ` e la parte del cerchio di centro l’origine e raggio 1 contenuta nel primo quadrante.

3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione

f (x, y) = (y − x

²

− 1)

²

− 4x

²

nell’insieme limitato compreso tra l’asse x e le due parabole di equazione y = (x − 1)

²

e y = (x + 1)

²

.

4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

 



y

^′

= 4

x y + x

³

,

y (1) = 1 .

(25)

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica II, DM 509 1 marzo 2010

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la seguente serie di potenze

+∞

∑

n=0

e

^−nx

,

e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

y cos(xy) dx dy dove D = [0, 1] × [π/2, π].

3. Determinare le soluzioni della seguente equazione diﬀerenziale y

^′

= 1

x y + x

³

.

(26)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica II 30 aprile 2010, traccia A

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=0

x

ⁿ

(x − 1)

1 + x

²ⁿ

, x ≥ 0 .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x + y x

²

+ y

²

dx dy

dove D ` e il sottoinsieme limitato di R

²

contenuto nel primo quadrante e delimitato dalle curve di equazione xy = 1, xy = 2 e dalle rette x = 4, y = 4.

3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = cos(x + y) sin x nel triangolo di vertici (0, 0), (2π, 0) e (0, 2π).

4. Determinare le eventuali soluzioni del seguente problema di Cauchy

 



 

y

^′

= x

²

+ y

²

xy − x

²

,

y(1) = 0 .

(27)

Cenni sulla soluzione del 30 aprile 2010, traccia A

1. La serie ` e a termini positivi per x > 1 e a termini negativi per 0 ≤ x < 1. Si ha inoltre

x < 1 = ⇒

x

ⁿ

(x − 1) 1 + x

²ⁿ

≤ x

ⁿ

(1 − x) ; x > 1 = ⇒

x

ⁿ

(x − 1) 1 + x

²ⁿ

= x − 1

1/x

ⁿ

+ x

ⁿ

≤ x − 1 x

ⁿ

; x = 1 = ⇒ x

ⁿ

(x − 1)

1 + x

²ⁿ

= 0 ,

e quindi, tenendo presente la convergenza della serie geometrica, si ottiene la convergenza puntuale (assoluta) per ogni x ≥ 0.

Per quanto riguarda la convergenza totale, si osserva che il termine generale f

n

(x) =

^x_1+xⁿ^(x⁻¹⁾2n

` e derivabile e la sua derivata

f

_n^′

(x) = x

ⁿ⁻¹

(1 − x

²ⁿ

)((1 − n)x + n) (1 + x

²ⁿ

)

²

si annulla nei punti 0, 1 e n/(n − 1) in cui si ha

f

_n

(0) = 0 , f

_n

(1) = 0 , f

_n

( n

n − 1 )

=

(

n n−1

)

n+1

n (

1 + (

n

n−1

)

2n

) ;

inoltre lim

x→+∞

f

n

(x) = 0 e quindi sup

_x_≥0

|f

n

(x) | = f

ⁿ

(

n n−1

) . Poich´ e la serie ∑

₊_∞

n=0

f

ⁿ

(

n

n−1

) non `e convergente (si comporta come la serie armonica) non vi ` e convergenza totale in tutto l’intervallo [0, +∞[. I punti

_nⁿ₋₁

tendono ad 1 da sinistra e quindi, escluden- do un intorno sinistro del punto 1 e considerando cio` e un insieme Y = [0, a] ∪ [1, +∞[ con 0 < a < 1, dal ragionamento svolto si ottiene sup

_x_∈Y

|f

n

(x)| = |f

n

(a)| e la serie ∑

₊_∞

n=0

|f

n

(a)| `e convergente (dalla convergenza puntuale assoluta). Quindi vi ` e convergenza totale (e conseguentemente uniforme) in ogni insieme Y = [0, a] ∪ [1, +∞[ con 0 < a < 1.

2. Si considera il seguente cambiamento di variabili xy = u, y = v da cui si ottiene x = u/v, y = v e lo jacobiano ` e dato da J (u, v) = 1/v. Il dominio viene trasformato in 1 ≤ u ≤ 2 (da 1 ≤ xy ≤ 2), v ≥ u/4 (da x ≤ 4) e v ≤ 4 (da y ≤ 4). Quindi si ottiene un dominio normale rispetto all’asse u e l’integrale doppio diventa

∫

₂

1

du

∫

₄

u/4

u + v

²

u

²

+ v

⁴

dv .

(28)

Per risolvere l’integrale ∫

₄

u/4 u+v²

u²+v⁴

dv, bisogna imporre u + v

²

u

²

+ v

⁴

= 1 u

²

u + v

²

1 +

(

√v u

)

4

= 1 u

²



 Av + B

v² u

+ √

2

√^v

u

+ 1 + Cv + D

v² u

− √

2

√^v u

+ 1





(sono state calcolate le radici quarte di −1 e sono state raggruppate quelle complesse coniugate) e si ricavano le costanti A, B, C e D.

Eﬀettuato il calcolo degli integrali 1

u

²

∫

₄

u/4

Av + B

v² u

+ √

2

√^v

u

+ 1 dv , 1 u

²

∫

₄

u/4

Cv + D

v² u

− √

2

√^v u

+ 1 , si ottengono integrali che dipendono dall’arcotangente di u e che pos- sono essere integrati tra 1 e 2 per parti.

Alternativamente ` e possibile utilizzare anche il cambiamento di variabili in coordinate polari semplificando eventualmente l’integrale tenendo conto della simmetria rispetto alla retta y = x.

3. Il metodo pi` u semplice consiste nell’osservare che la funzione ` e limitata ed ` e compresa tra −1 ed 1; quindi se vi sono dei punti in cui viene assunto il valore 1 (rispettivamente, −1) essi saranno sicuramente di massimo assoluto (rispettivamente, di minimo assoluto). Il valore 1 si ottiene dalle soluzioni dei seguenti sistemi

{ cos(x + y) = 1 , sin x = 1 ,

{ cos(x + y) = −1 , sin x = −1 .

Il primo sistema, tenendo conto del dominio in cui ` e assegnata la funzione, ` e soddisfatto per x + y = 0 oppure x + y = 2π e per x = π/2;

si ottiene quindi il punto di massimo assoluto (π/2, 3π/2); il secondo sistema ` e invece soddisfatto per x + y = π e per x = 3π/2 e in questo caso non vi sono soluzioni.

In maniera analoga il valore −1 si ottiene dalle soluzioni del sistema { cos(x + y) = −1 ,

sin x = 1 ,

{ cos(x + y) = 1 , sin x = −1 .

Il primo sistema, tenendo conto del dominio in cui ` e assegnata la fun-

zione, ` e soddisfatto per x + y = π e per x = π/2; si ottiene quindi il

punto di minimo assoluto (π/2, π/2); il secondo sistema ` e invece sod-

disfatto per x + y = 0 oppure x + y = 2π e per x = 3π/2, da cui si

ottiene il punto di minimo assoluto (3π/2, π/2). Quindi il massimo

assoluto di f ` e 1, mentre il minimo assoluto ` e −1.

(29)

Volendo invece procedere con l’utilizzo del calcolo diﬀerenziale, si osserva che la funzione ` e continua sul triangolo che ` e chiuso e limitato e quindi per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo assoluto. Poich´ e f ` e diﬀerenziabile, il massimo e il minimo assoluto si ottengono confrontando i valori della funzione sui punti stazionari interni e sui possibili punti di massimo e minimo sulla frontiera.

Si ha

∂f

∂x (x, y) = cos(x + y) cos x − sin(x + y) sin x

= cos

²

x cos y − cos x sin x sin y − sin

²

x cos y − sin x cos x sin y

= cos(2x) cos y − sin(2x) sin y = cos(2x + y) e analogamente

∂f

∂y (x, y) = sin x sin(x + y) .

Tenendo presente che cos(2x + y) = 0 per 2x + y = π/2 + kπ (tenendo conto del dominio i valori ammissibili di k sono da 0 a 3) e che sin x = 0 per x = hπ (l’unico valore ammissibile di h ` e 1) e sin(x + y) = 0 per x + y = hπ (anche in questo caso si pu` o accettare solo il valore h = 1), si trovano i due punti stazionari interni (

π,

^π₂

) e (

_π

2

,

^π₂

)

nei quali si ha f

( π, π

2 )

= 0 , f ( π

2 , π 2 )

= −1 .

Si considera ora la frontiera. Il lato di base del triangolo viene descritto dalle condizioni y = 0 e 0 ≤ x ≤ 2π e la funzione diventa φ(x) = f (x, 0) = cos x sin x = (sin 2x)/2. La derivata φ

^′

(x) = cos 2x si annulla in π/4 + kπ/2 e i valori di k accettabili sono 0, 1, 2, 3. Pertanto si ottengono i valori

f ( π

4 , 0 )

= 1 2 , f

( 3π 4 , 0

)

= − 1 2 , f

( 5π 4 , 0

)

= 1 2 , f

( 7π 4 , 0

)

= − 1 2 . Agli estremi inoltre si ha f (0, 0) = 0 e f (2π, 0) = 0.

Sul lato x = 0 con 0 ≤ y ≤ 2π si ha f(x) = 0. Infine sul lato y = 2π−x con 0 ≤ x ≤ 2π si ottiene la funzione ψ(x) = f(x, 2π − x) = sin x che ammette massimo in π/2 e minimo in 3π/2. Si ottengono quindi gli ulteriori punti

f ( π

2 , 3π 2

)

= 1 , f ( 3π

2 , π 2

)

= −1 .

Confrontando i valori ottenuti, si deduce che il massimo assoluto di f nel triangolo assegnato ` e 1 e viene assunto nel punto (

_π

2

,

^3π₂

) e il minimo assoluto ` e −1 e viene assunto nei punti (

_π

2

,

^π₂

) e (

_3π

2

,

^π₂

)

.

(30)

4. Dividendo numeratore e denominatore a secondo membro dell’equazione per x

²

si ottiene

y

^′

= 1 + (

_y

x

)

2 y x

− 1

e posto z = y/x, da cui y

^′

= xz

^′

+ z, si ottiene xz

^′

=

^z+1_z₋₁

. Osservato che z = −1 non `e soluzione del problema di Cauchy assegnato si ottiene l’equazione

z − 1 z + 1 z

^′

= 1

x .

Tenendo presente che z(1) = y(1)/1 = 0, integrando tra 1 ed x si

ottiene ∫

_z

0

t − 1 t + 1 dt =

∫

_x

1

1 s ds ,

da cui z − 2 log(1 + z) = log x e quindi la soluzione in forma implicita del problema di Cauchy ` e la seguente

y(x)

x − 2 log (

1 + y(x) x

)

= log x .

(31)

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica II 30 aprile 2010, traccia B

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=0

x

ⁿ

log

ⁿ

(1 + x

²

)

1 + e

^nx

, x ∈ R .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x − y x

²

+ y

²

dx dy dove

D = {(x, y) ∈ R

²

| x ≥ 0, y ≥ 1

2 , x ≥ 2

3 y

²

, x

²

+ y

²

≤ 1} .

3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = cos(x

²

) sin(x

²

+ y

²

) per x

²

+ y

²

≤ 2π.

4. Determinare le soluzioni della seguente equazione diﬀerenziale y

^′

= x

²

+ y

²

xy − y

²

.