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Capitolo 5
Analisi cinematica dei meccanismi di
collasso (NTC2008)
In linea con quanto esposto al § 5.2 Metodi di analisi sismica della Direttiva del Presidente del Consiglio dei Ministri 9 febbraio 2011 (Valutazione e riduzione del rischio sismico del
patrimonio culturale con riferimento alle norme tecniche per le costruzioni del D.M. 14 gennaio 2008) “nel caso in cui l’analisi sismica sia basata sulla valutazione distinta di diversi meccanismi locali […] è possibile utilizzare gli strumenti dell’analisi limite, in particolare nella forma del teorema cinematico”. In particolare si farà riferimento alla
procedura di calcolo esplicata al § C8A.4 Analisi dei meccanismi locali di collasso in
edifici esistenti in muratura della Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei
Trasporti del 2 Febbraio 2009 n. 617 (Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove norme
tecniche per le costruzioni” di cui al decreto ministeriale 14 Gennaio 2008) e riportata di
seguito: “Negli edifici esistenti in muratura spesso avvengono collassi parziali per cause
sismiche, in genere per perdita dell'equilibrio di porzioni murarie; la verifica nei riguardi di questi meccanismi, secondo le modalità descritte nel seguito, assume significato se è garantita una certa monoliticità della parete muraria, tale da impedire collassi puntuali per disgregazione della muratura. Meccanismi locali si verificano nelle pareti murarie prevalentemente per azioni perpendicolari al loro piano, mentre nel caso di sistemi ad arco anche per azioni nel piano. Le verifiche con riferimento ai meccanismi locali di danno e collasso (nel piano e fuori piano) possono essere svolti tramite l’analisi limite dell’equilibrio, secondo l’approccio cinematico, che si basa sulla scelta del meccanismo di collasso e la valutazione dell’azione orizzontale che attiva tale cinematismo.
L’applicazione del metodo di verifica presuppone quindi l’analisi dei meccanismi locali ritenuti significativi per la costruzione, che possono essere ipotizzati sulla base della conoscenza del comportamento sismico di strutture analoghe, già danneggiate dal terremoto, o individuati considerando la presenza di eventuali stati fessurativi, anche di natura non sismica; inoltre andranno tenute presente la qualità della connessione tra le
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pareti murarie, la tessitura muraria, la presenza di catene, le interazioni con altri elementi della costruzione o degli edifici adiacenti.
L’approccio cinematico permette inoltre di determinare l’andamento dell’azione orizzontale che la struttura è progressivamente in grado di sopportare all’evolversi del
meccanismo. Tale curva è espressa attraverso un moltiplicatore α, rapporto tra le forze
orizzontali applicate ed i corrispondenti pesi delle masse presenti, rappresentato in
funzione dello spostamento di un punto di riferimento del sistema; la curva deve essere
determinata fino all’annullamento di ogni capacità di sopportare azioni orizzontali ( =
0). Tale curva può essere trasformata nella curva di capacità di un sistema equivalente ad
un grado di libertà, nella quale può essere definita la capacità di spostamento ultimo del meccanismo locale, da confrontare con la domanda di spostamento richiesta dall’azione sismica.
Per ogni possibile meccanismo locale ritenuto significativo per l’edificio, il metodo si articola nei seguenti passi:
trasformazione di una parte della costruzione in un sistema labile (catena
cinematica), attraverso l’individuazione di corpi rigidi, definiti da piani di frattura ipotizzabili per la scarsa resistenza a trazione della muratura, in grado di ruotare o scorrere tra loro (meccanismo di danno e collasso);
valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi che comporta l’attivazione del meccanismo (stato limite di danno);
valutazione dell’evoluzione del moltiplicatore orizzontale dei carichi α al crescere
dello spostamento di un punto di controllo della catena cinematica, usualmente
scelto in prossimità del baricentro delle masse, fino all’annullamento della forza sismica orizzontale;
trasformazione della curva così ottenuta in curva di capacità, ovvero in
accelerazione ∗ e spostamento ∗ spettrali, con valutazione dello spostamento
ultimo per collasso del meccanismo (stato limite ultimo), definito in seguito;
verifiche di sicurezza, attraverso il controllo della compatibilità degli spostamenti
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Per l’applicazione del metodo di analisi si ipotizza, in genere:
resistenza nulla a trazione della muratura; assenza di scorrimento tra i blocchi;
resistenza a compressione infinita della muratura.
Tuttavia, per una simulazione più realistica del comportamento, è opportuno considerare, in forma approssimata:
a) gli scorrimenti tra i blocchi, considerando la presenza dell’attrito; b) le connessioni, anche di resistenza limitata, tra le pareti murarie; c) la presenza di catene metalliche;
d) la limitata resistenza a compressione della muratura, considerando le cerniere adeguatamente arretrate rispetto allo spigolo della sezione;
e) la presenza di pareti a paramenti scollegati.”
5.1. Analisi cinematica lineare
Il metodo di calcolo utilizzato è quello esposto al § C8A.4.1 Analisi cinematica lineare della Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti del 2 Febbraio 2009 n. 617 (Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove norme tecniche per le costruzioni” di cui al
decreto ministeriale 14 Gennaio 2008) e riportato nel seguito: “Per ottenere il
moltiplicatore orizzontale dei carichi che porta all’attivazione del meccanismo locale
di danno si applicano ai blocchi rigidi che compongono la catena cinematica le seguenti forze: i pesi propri dei blocchi, applicati nel loro baricentro; i carichi verticali portati dagli stessi (pesi propri e sovraccarichi dei solai e della copertura, altri elementi murari non considerati nel modello strutturale); un sistema di forze orizzontali proporzionali ai carichi verticali portati, se queste non sono efficacemente trasmesse ad altre parti dell'edificio; eventuali forze esterne (ad esempio quelle trasmesse da catene metalliche); eventuali forze interne (ad esempio le azioni legate all’ingranamento tra i conci murari).
Assegnata una rotazione virtuale al generico blocco k, è possibile determinare in
funzione di questa e della geometria della struttura, gli spostamenti delle diverse forze
applicate nella rispettiva direzione. Il moltiplicatore si ottiene applicando il Principio
dei Lavori Virtuali, in termini di spostamenti, uguagliando il lavoro totale eseguito dalle forze esterne ed interne applicate al sistema in corrispondenza dell’atto di moto virtuale:
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∙ ∙ , + ∙ , − ∙ , − ∙ =
dove:
n è il numero di tutte le forze peso applicate ai diversi blocchi della catena
cinematica;
m è il numero di forze peso non direttamente gravanti sui blocchi le cui masse, per
effetto dell'azione sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica, in quanto non efficacemente trasmesse ad altre parti dell'edificio;
o è il numero di forze esterne, non associate a masse, applicate ai diversi blocchi;
è la generica forza peso applicata (peso proprio del blocco, applicato nel suo
baricentro, un altro peso portato);
è la generica forza peso, non direttamente applicata sui blocchi, la cui massa,
per effetto dell'azione sismica, genera una forza orizzontale sugli elementi della catena cinematica, in quanto non efficacemente trasmessa ad altre parti dell'edificio;
, è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’i-esimo
peso , assumendo come verso positivo quello associato alla direzione secondo
cui agisce l’azione sismica che attiva il meccanismo;
, è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’j-esimo
peso , assumendo come verso positivo quello associato alla direzione secondo
cui agisce l’azione sismica che attiva il meccanismo;
, è lo spostamento virtuale verticale del punto di applicazione dell’i-esimo peso
, assunto positivo se verso l’alto;
è la generica forza esterna (in valore assoluto), applicata ad un blocco;
è lo spostamento virtuale del punto dove è applicata la h-esima forza esterna,
nella direzione della stessa, di segno positivo se con verso discorde;
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Le verifiche di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV) sono state eseguite secondo quanto prescritto al § C8A.4.2.3 Verifiche di sicurezza della circolare suddetta e riportato nel seguito:
Verifica semplificata con fattore di struttura q (analisi cinematica lineare)
“Nel caso in cui la verifica riguardi un elemento isolato o una porzione della costruzione comunque sostanzialmente appoggiata a terra, la verifica di sicurezza nei confronti dello
Stato limite di salvaguardia della vita è soddisfatta se l'accelerazione spettrale ∗ che
attiva il meccanismo soddisfa la seguente disuguaglianza:
∗ ≥ ∙
in cui è funzione della probabilità di superamento dello stato limite scelto e della vita di
riferimento come definiti al § 3.2 delle NTC, S è definito al § 3.2.3.2.1 delle NTC e q è il fattore di struttura.”
Definita la geometria del macroelemento coinvolto nel ribaltamento e le condizioni di vincolo (Fig. 5.1) è possibile individuare il moltiplicatore di collasso che attiva il meccanismo attraverso l’equazione precedentemente riportata.
97 Significato dei simboli:
W è il peso proprio della parete;
è la componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete; è la componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete;
è il peso del solaio agente sulla parete calcolato in base all’area di influenza; rappresenta la spinta statica trasmessa dalla copertura;
è il valore massimo dell’azione di un eventuale tirante in testa alla parete; è lo spessore della parete;
h è l’altezza della parete rispetto alla cerniera in A o, più in generale del punto d’applicazione dell’azione trasmessa dal solaio e dal tirante rispetto alla cerniera A; ℎ è la quota del punto di applicazione del carico del solaio rispetto alla cerniera A; è la distanza orizzontale del punto di applicazione del carico del solaio sulla
parete rispetto alla cerniera A;
è la distanza orizzontale dalla cerniera A del punto di applicazione di .
Assegnata la rotazione virtuale intorno ad A è possibile calcolare gli spostamenti virtuali (valutati secondo la teoria del primo ordine) dei punti dove sono applicate le forze:
= = −ℎ/2
/2 ∙
= = −ℎ ∙
= = −ℎ ∙
= = −ℎ ∙
Utilizzando le notazioni dell’espressione C8A.4.1 gli spostamenti virtuali associati alle relative forse valgono:
W: , = − = ∙ , = = ∙ : , = − = ℎ ∙ , = = ∙ : , = − = ℎ ∙ , = = ∙ : , = − = ℎ ∙ , = = ∙ : , = − = ℎ ∙ , = = ∙ : , = − = ℎ ∙ , = = ∙
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L’equazione dei lavori virtuali si particolarizza come segue:
∙ ∙ , + ∙ , + ∙ , − ∙ , + ∙ , + ∙ , − ∙ , +
∙ , = 0
Ed il moltiplicatore vale quindi, sostituendo i valori degli spostamenti precedentemente individuati:
= ∙2+ ∙ + ∙ + ∙ ℎ + ∙ ℎ
∙ℎ2+ ∙ ℎ + ∙ ℎ
La chiesa di San Pietro di Coppito, costruita con una copertura a doppia falda che scarica sulle pareti laterali, non ha forze spingenti nella direzione ortogonale alla facciata principale ( = = 0), non sono presenti carichi verticali esterni dovuti a solai direttamente ancorati alla facciata stessa ( = 0) e non sono stati individuati neppure idonei sistemi di ritenuta in sommità alla parete ( = 0).
I dati geometrici e il peso proprio risultano essere: = 1,35 [ ]
ℎ = 15,0 [ ] = 445,5 [ ]
Il valore del moltiplicatore di collasso che porta all’attivazione del meccanismo risulta essere pari a:
= ℎ=
1,35
15,0= 0,090 La massa partecipante al cinematismo risulta:
∗= ∑ ∙ ,
∙ ∑ ∙ , =
∙ ,
∙ ∙ , = = 45,41
∙
L’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo risulta essere, assumendo per il fattore di confidenza FC un valore pari ad 1:
∗ = ∙ ∑ ∗∙ = ∙ ∗∙ = 0,090 ∙ 445,5 45,41 ∙ 1 = 0,883 = 0,090
99
Si è dunque proceduto alla verifica di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV):
∗ ≥ ∙
0,090 ≱ 0,301 dove:
= 0,261 accelerazione massima al sito (vedi § 6.4);
= ∙ = 1,154 coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche (vedi § 6.4);
= 1 fattore di struttura.
La verifica risulta non soddisfatta e quindi il meccanismo di collasso risulta attivato (come del resto testimonia lo stato di danneggiamento della chiesa).
Tale procedura di verifica è stata ripetuta anche per le altre due chiese oggetto di studio. Per la chiesa di San Giuseppe dei Minimi sono stati ottenuti i seguenti risultati:
moltiplicatore di collasso:
= 0,071 massa partecipante al cinematismo:
∗ = 31,40 ∙ accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo:
∗ = 0,701 = 0,071
verifica di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV):
∗ ≥ ∙
0,071 ≱ 0,301
la verifica risulta non soddisfatta e quindi il meccanismo di collasso risulta attivato. Infine per la chiesa di Santa Maria degli Angeli i risultati dell’analisi svolta sono: moltiplicatore di collasso:
= 0,069 massa partecipante al cinematismo:
∗ = 16,00 ∙ accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo:
100
∗ = 0,673 = 0,069
verifica di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV):
∗ ≥ ∙
0,069 ≱ 0,301
la verifica risulta non soddisfatta e quindi anche in questo caso il meccanismo di collasso risulta attivato.
5.2. Analisi cinematica non lineare
Il metodo di calcolo utilizzato è quello esposto al § C8A.4.2 Analisi cinematica non lineare della Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti del 2 Febbraio 2009 n. 617 (Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove norme tecniche per le costruzioni” di cui al
decreto ministeriale 14 Gennaio 2008) e riportato nel seguito:
Relazione tra il moltiplicatore α e lo spostamento
“Al fine di conoscere la capacità di spostamento della struttura fino al collasso attraverso il meccanismo considerato, il moltiplicatore orizzontale α dei carichi può essere valutato non solo sulla configurazione iniziale, ma anche su configurazioni variate della catena cinematica, rappresentative dell’evoluzione del meccanismo e descritte dallo spostamento di un punto di controllo del sistema. L’analisi deve essere condotta fino al raggiungimento della configurazione cui corrisponde l’annullamento del moltiplicatore α,
in corrispondenza dello spostamento , .
In corrispondenza di ciascuna configurazione del cinematismo di blocchi rigidi, il valore del moltiplicatore α può essere valutato utilizzando l’equazione (C8A.4.1), riferendosi alla geometria variata. L’analisi può essere svolta per via grafica, individuando la geometria del sistema nelle diverse configurazioni fino al collasso, o per via analitico - numerica, considerando una successione di rotazioni virtuali finite ed aggiornando progressivamente la geometria del sistema.
Se le diverse azioni (forze peso, azioni esterne o interne) vengono mantenute costanti all’evolversi del cinematismo, la curva che si ottiene è pressoché lineare; in tal caso, in
via semplificata, è richiesta la sola valutazione dello spostamento , per cui si ha
l’annullamento del moltiplicatore, e la curva assume la seguente espressione:
= 1 −
101
Tale configurazione può essere ottenuta esprimendo la geometria in una generica
configurazione variata, funzione della rotazione finita , , applicando il Principio dei
Lavori Virtuali attraverso la (C8A.4.1), avendo posto = 0, e ricavando da tale
equazione, in genere non lineare, l’incognita , .
Nel caso in cui si tenga in conto la progressiva variazione delle forze esterne con l’evolversi del cinematismo (ad esempio si consideri l’allungamento di una catena o la variazione del grado di ammorsamento fra due pareti), la curva potrà essere assunta lineare a tratti, valutandola in corrispondenza degli spostamenti per cui si verificano eventi significativi (ad esempio: snervamento della catena, rottura della catena, perdita dell’ammorsamento ecc.).”
Valutazione della curva di capacità (oscillatore equivalente)
“Noto l’andamento del moltiplicatore orizzontale α dei carichi in funzione dello
spostamento del punto di controllo della struttura, deve essere definita la curva di
capacità dell’oscillatore equivalente, come relazione tra l’accelerazione ∗ e lo
spostamento ∗.
La massa partecipante al cinematismo ∗ può essere valutata considerando gli
spostamenti virtuali dei punti di applicazione dei diversi pesi, associati al cinematismo, come una forma modale di vibrazione:
∗ = ∑ ∙ ,
∙ ∑ ∙ ,
dove:
n+m è il numero delle forze peso applicate le cui masse, per effetto dell'azione
sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica;
, è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’i-esimo
peso .
L’accelerazione sismica spettrale ∗ si ottiene moltiplicando per l’accelerazione di gravità
il moltiplicatore α e dividendolo per la frazione di massa partecipante al cinematismo. L’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo vale quindi:
∗ = ∙ ∑ ∗∙ = ∙ ∗∙ dove: g è l’accelerazione di gravità;
102
∗= ∑ ∙ ∗ è la frazione di massa partecipante della struttura;
FC è il fattore di confidenza. Nel caso in cui per la valutazione del moltiplicatore α
non si tenga conto della resistenza a compressione della muratura, il fattore di confidenza da utilizzare sarà comunque quello relativo al livello di conoscenza LC1.
Lo spostamento spettrale ∗ dell’oscillatore equivalente può essere ottenuto come
spostamento medio dei diversi punti nei quali sono applicati i pesi , pesato sugli stessi.
In via approssimata, noto lo spostamento del punto di controllo è possibile definire lo
spostamento spettrale equivalente con riferimento agli spostamenti virtuali valutati sulla configurazione iniziale:
∗ = ∙ ∑ ∙ ,
, ∙ ∑ ∙ ,
dove n, m, , , sono definiti come sopra e , è lo spostamento virtuale orizzontale del
punto k, assunto come riferimento per la determinazione dello spostamento .
Nel caso in cui la curva presenti un andamento lineare (C8A.4.2), fatto che si verifica quando le diverse azioni vengono mantenute costanti, la curva di capacità assume la seguente espressione:
∗ = ∗ 1 − ∗ ∗
dove:
∗ è lo spostamento spettrale equivalente corrispondente allo spostamento
, .
Nel caso in cui siano presenti le forze esterne di entità variabile, la curva sarà di norma assunta lineare a tratti.”
Le verifiche di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV) sono state eseguite secondo quanto prescritto al § C8A.4.2.3 Verifiche di sicurezza della circolare suddetta e riportato nel seguito:
Verifica mediante spettro di capacità (analisi cinematica non lineare)
“La verifica di sicurezza dei meccanismi locali nei confronti dello Stato limite di
salvaguardia della vita consiste nel confronto tra la capacità di spostamento ultimo ∗ del
meccanismo locale e la domanda di spostamento ottenuta dallo spettro di spostamento in
corrispondenza del periodo secante . Definito lo spostamento ∗ = 0,4 ∙ ∗ ed
103
l'accelerazione ∗ , corrispondente allo spostamento ∗ , il periodo secante è calcolato
come = 2 ∗∗ . La domanda di spostamento ∆ ( ) sarà così ottenuta: nel caso in cui
la verifica riguardi un elemento isolato o una porzione della costruzione comunque sostanzialmente appoggiata a terra, la verifica di sicurezza nei confronti dello Stato limite di salvaguardia della vita si considera soddisfatta se:
∗ ≥
( )
dove è lo spettro di risposta elastico in spostamento, definito al § 3.2.3.2.2 delle NTC.”
L’analisi è stata svolta considerando una successione di rotazioni virtuali finite e calcolando il corrispondente moltiplicatore dei carichi verticali, α, fino al raggiungimento della configurazione cui corrisponde l’annullamento del moltiplicatore α, ovvero il collasso della membratura.
Figura 5.2 Significato dei simboli
Le coordinate del baricentro del blocco rigido, espresse in funzione della generica rotazione, sono fornite dalle relazioni:
=
∙ cos( + ) /2 ∙ sin( + )
Fissando per θ un valore sufficientemente piccolo ed incrementando ad ogni passo la rotazione di una quantità pari a θ, è possibile esprimere lo spostamento relativo subito dal baricentro G per passare dalla configurazione corrispondente ad un angolo di rotazione
104 ∆ =
∙ [cos( + ) − cos( + ( − 1) )] 0
∙ [sin( + ) − sin( + ( − 1) )]
Per ogni configurazione ottenuta variando n, è possibile calcolare il moltiplicatore di collasso α attraverso l’applicazione del principio dei lavori virtuali come descritto in precedenza. Il punto di controllo scelto è il baricentro del blocco G cui corrisponde lo spostamento .
Per la chiesa di San Pietro di Coppito sono stati ottenuti i risultati riportati nei grafici sottostanti.
Figura 5.3 Relazione Spostamento , Rotazione θ
Figura 5.4 Relazione Moltiplicatore di collasso α, Spostamento
0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 3 4 5 6 7 Sp o st am e n to d k [c m ] Rotazione θ [gradi°] 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 M o lt ip lic at o re d i c o lla ss o α Spostamento dk [cm]
105
Figura 5.5 Relazione Accelerazione spettrale ∗, Moltiplicatore di collasso α
Figura 5.6 Relazione Accelerazione spettrale ∗, Spostamento spettrale ∗ 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 A cc e lle ra zi o n e sp e tt ra le a * [m /s ^2 ] Moltiplicatore di collasso α 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 A cc e lle ra zi o n e s p e tt ra le a * Spostamento spettrale d* [cm]
106
Il valore ultimo di spostamento, per la parete di facciata, è pari a: ∗ = 0,40 ∙ ∗ = 0,40 ∙ 0,69 = 0,28 [ ] che fornisce un valore dello spostamento ∗ :
∗= 0,40 ∙ ∗ = 0,40 ∙ 0,28 = 0,11 [ ] a cui corrisponde un valore di accelerazione spettrale ∗ paria a:
∗ = 0,7451 = 0,0759 Il periodo secante assume quindi il valore:
= 2 ∗ ∗ = 2
0,11
0,7451= 2,41 [ ]
In corrispondenza di tale periodo lo spettro di risposta elastico in spostamento assume il valore di 0,14 metri: ( ) = ∙ ∙ ∙ ∙ ≤ < (Eq. 3.2.4 NTC2008) ( ) = 0,261 ∙ 1,154 ∙1 1∙ 2,364 ∙ 0,471 2,41 = 0,14 [ ]
Si è dunque proceduto alla verifica di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV):
∗ ≥
( ) 0,28 ≥ 0,14
Si nota come la domanda di spostamento ( ) sia inferiore al valore ultimo di spostamento ∗ in accordo quindi col quadro di danneggiamento riscontrato in loco.
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Tale procedura di verifica è stata ripetuta anche per le altre due chiese oggetto di studio; per la chiesa di San Giuseppe dei Minimi sono stati ottenuti i seguenti risultati:
Figura 5.7 Relazione Spostamento , Rotazione θ
Figura 5.8 Relazione Moltiplicatore di collasso α, Spostamento
0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sp o st am e n to d k [c m ] Rotazione θ [gradi°] 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 10 20 30 40 50 60 M o lt ip lic at o re d i c o lla ss o α Spostamento dk [cm]
108
Figura 5.9 Relazione Accelerazione spettrale ∗, Moltiplicatore di collasso α
Figura 5.10 Relazione Accelerazione spettrale ∗, Spostamento spettrale ∗
Il valore ultimo di spostamento è pari a:
∗ = 0,21 [ ] che fornisce un valore dello spostamento ∗ pari a:
∗= 0,08 [ ]
a cui corrisponde un valore di accelerazione spettrale ∗ paria a: ∗ = 0,5974 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 A cc e lle ra zi o n e sp e tt ra le a * [m /s ^2 ] Moltiplicatore di collasso α 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 10 20 30 40 50 60 ac ce lle ra zi o n e s p e tt ra le a * Spostamento spettrale d* [cm]
109 Il periodo secante assume quindi il valore:
= 2,344 [ ]
In corrispondenza di tale periodo lo spettro di risposta elastico in spostamento risulta: ( ) = ∙ ∙ ∙ ∙ ≤ < (Eq. 3.2.4 NTC2008) ( ) = 0,14 [ ]
La verifica di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV): ∗ ≥
( ) 0,21 ≥ 0,14
Si nota come la domanda di spostamento ( ) sia inferiore al valore ultimo di spostamento ∗ in accordo quindi col quadro di danneggiamento riscontrato in loco.
Infine per la chiesa di Santa Maria degli Angeli i risultati dell’analisi svolta sono:
Figura 5.11 Relazione Spostamento , Rotazione θ 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 Sp o st am e n to d k [c m ] Rotazione θ [gradi°]
110
Figura 5.12 Relazione Moltiplicatore di collasso α, Spostamento
Figura 5.13 Relazione Accelerazione spettrale ∗, Moltiplicatore di collasso α 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 5 10 15 20 25 30 35 40 M o lt ip lic a to re d i c o lla ss o α Spostamento dk [cm] 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 A cc el le ra zi o n e s p et tr al e a * [m /s ^ 2 ] Moltiplicatore di collasso α
111
Figura 5.14 Relazione Accelerazione spettrale ∗, Spostamento spettrale ∗
Il valore ultimo di spostamento è pari a:
∗ = 0,15 [ ] che fornisce un valore dello spostamento ∗ pari a:
∗= 0,06 [ ]
a cui corrisponde un valore di accelerazione spettrale ∗ paria a: ∗ = 0,5681
Il periodo secante assume quindi il valore:
= 2,027 [ ]
In corrispondenza di tale periodo lo spettro di risposta elastico in spostamento risulta: ( ) = ∙ ∙ ∙ ∙ ≤ < (Eq. 3.2.4 NTC2008) ( ) = 0,17 [ ]
La verifica di sicurezza allo stato limite di salvaguardia della vita (SLV): ∗ ≥
( ) 0,15 ≱ 0,17
In questo caso la domanda di spostamento ricavata risulta superiore al valore ultimo di spostamento ∗ ; questo risultato appare comprensibile in quanto la facciata della chiesa in
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 5 10 15 20 25 30 35 40 a cc e lle ra zi o n e s p e tt ra le a * Spostamento spettrale d* [cm]
112
oggetto, anche se non del tutto collassata, appare fortemente danneggiata e con un quadro fessurativo che mette in evidenza l’incipiente ribaltamento della parete.
Questa procedura di calcolo dettata dalla normativa italiana NTC2008 è però, come precedentemente accennato, afflitta da una contraddizione dovuta alla rimozione dell’ipotesi di blocco rigido necessaria per la determinazione del periodo proprio e cioè:
per determinare ∗ ⟹ ipotesi corpo RIGIDO
per determinare ( ) ⟹ ipotesi corpo ELASTICO
A partire da questa contraddizione si è cercato di trovare una soluzione valida per un corpo rigido andando a studiare le oscillazioni della parete attraverso l’integrazione diretta dell’equazione del moto di rocking con l’utilizzo di accelerogrammi spettro - compatibili.
