Capitolo 3 Analisi strutturale

Capitolo 3

Analisi strutturale

3.1 Premessa

La valutazione della efficienza sismica degli edifici esistenti si traduce essenzialmente nella determinazione della capacità, dipendente dalla resistenza massima e soprattutto dalla duttilità che le strutture sono in grado di esibire se soggette ad azioni orizzontali quali quelle sismiche.

Per conoscere il livello di sicurezza delle costruzioni esistenti è indispensabile individuarne il comportamento post elastico. Per il raggiungimento di tale obiettivo verrà utilizzata una analisi statica non lineare.

3.2 Analisi statica non lineare

Come detto sopra, la capacità di una struttura di resistere ad un evento sismico è strettamente legata alla capacità deformativa in campo plastico, ovvero alla duttilità. I metodi di analisi lineari non sono in grado di cogliere i cambiamenti nella risposta strutturale che si verificano via via che i singoli elementi si plasticizzano, ed inoltre non danno nessuna informazione sulla distribuzione della domanda inelastica della struttura. I metodi dell’analisi statica non lineare o “pushover” invece, riescono a cogliere questi aspetti, ed in particolare permettono di valutare la coerenza tra il fattore di struttura assunto e la reale capacità di duttilità esibita dalla struttura.

L’analisi statica non lineare consiste nell’applicare, ad una struttura soggetta ai carichi verticali di esercizio, una distribuzione di forze statiche orizzontali di tipo incrementale fino a raggiungere il collasso. Tali forze orizzontali durante l’analisi vengono tutte scalate, mantenendo invariati i rapporti tra le stesse, in modo da far

crescere monotonamente lo spostamento di un punto, detto di controllo, situato in sommità dell’ edificio (escludendo eventuali torri presenti in cima all’ edificio). Dall’ analisi si ottiene la curva di capacità che mette in relazione il taglio totale alla base con lo spostamento di un punto ritenuto rappresentativo del comportamento globale. Questa curva viene poi linearizzata e confrontata con la domanda rappresentata a sua volta dallo spettro di risposta elastico in spostamento definito nelle NTC 2008.

Per la procedura di linearizzazione della curva di capacità esistono in letteratura diversi metodi, di seguito analizzeremo il metodo N2 (Faifar 1999), adottato dall’ OPCM 3274 e EC8, ed il metodo CSM (Freeman 1975-1978).

L’ analisi statica non lineare in genere viene utilizzata per i seguenti scopi:
Valutare i rapporti di sovraresistenza αu /α1;

Verificare l’effettiva distribuzione della domanda in elastica negli edifici

progettati con il fattore di struttura q;

Come metodo di progetto delle nuove costruzioni alternativo ai metodi

lineari;

Come metodo di valutazione della capacità degli edifici esistenti.

3.2.1 Distribuzione delle forze orizzontali

Per effettuare l’analisi statica non lineare è necessario sottoporre la strutture all’azione di forze orizzontali; queste sono applicate nel centro di massa di ogni piano in corrispondenza dei solai, dove vengono appunto modellate le masse (nell’ipotesi di solaio infinitamente rigido nel piano), allo scopo di simulare le azioni inerziali indotte dal sima.

Il DM 14/01/2008 prescrive di utilizzare due distribuzioni di forze orizzontali, una principale ed una secondaria, soltanto se per la struttura in questione ricorrono le condizioni di applicabilità, le quali riguardano in via diretta la regolarità strutturale. In particolare il testo normativo fornisce le possibili distribuzioni principali nel “gruppo1”, e le secondarie nel “gruppo2”.

Nel gruppo1 si hanno 3 distribuzioni di forze che sono sinteticamente:

Distribuzione proporzionale alle forze statiche;

Distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni

proporzionali alla forma del modo di vibrare;

Distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in

una analisi dinamica lineare.

Le prime possono essere applicate soltanto se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%, mentre per la terza è necessario che il periodo fondamentale della struttura sia superiore a Tc.

Le distribuzioni secondarie sono invece le seguenti:

Distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una

distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;

Distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto

di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.

In linea teorica le distribuzioni principali hanno lo scopo di modellare la risposta dinamica finché la struttura rimane in campo elastico, mentre quelle secondarie vogliono simulare il comportamento nella fase plastica; in particolare la distribuzione uniforme lungo l’altezza, proporzionale alle masse di piano, ha lo scopo di approssimare la risposta strutturale quando si raggiungono grandi deformazioni.

3.3 Metodo N2 convenzionale

Nel testo unico del 2008 non viene illustrato esplicitamente il metodo da seguire per linearizzare la curva di capacità e determinare la risposta massima in spostamento della struttura, ma viene solamente specificato che per eseguire l’analisi è necessario associare al sistema strutturale reale un sistema equivalente ad

un grado di libertà. Mentre nell’ OPCM 3274 vengono date, rispetto alle NTC, informazioni più dettagliate riguardo al metodo di linarizzazione N2.

Tale metodo, formulato da Peter Fajfar (1999), si basa sull’assunzione che la risposta di un sistema a più gradi di libertà (MDOF) possa essere correlata alla risposta di un sistema equivalente ad un grado di libertà (SDOF). Tale assunzione si basa a sua volta su due ipotesi molto importanti che sono:

Il comportamento del sistema reale a più gradi di libertà è governato

principalmente da un unico modo di vibrare fondamentale;

La forma del modo di vibrare fondamentale rimane invariata durante

l’analisi.

Queste ipotesi alla base del metodo possono considerarsi soddisfatte per tutti gli edifici progettati secondo le norme e regolari in pianta ed in altezza. Come già detto in precedenza, qualora l’edificio non rispetti queste condizioni si renderà necessario utilizzare altri metodi di applicazione dell’analisi statica non lineare. In particolare il venir meno delle due condizioni comporta, rispettivamente, l’esigenza di considerare i contributi di più modi di vibrare e l’utilizzo di distribuzioni di forze diverse per considerare l’effettivo modo di deformarsi della struttura.

Una volta definito il sistema SDOF equivalente e calcolato il suo periodo proprio T* _{è possibile, con l’utilizzo dello spettro di risposta elastico, determinare lo}

spostamento massimo che deve essere in grado di sopportare e da qui dedurre il corrispondente spostamento massimo richiesto al sistema reale MDOF. Nei paragrafi successivi si descriveranno i passi che costituiscono il metodo N2.

3.3.1 Legame forza-spostamento generalizzato

Si sceglie un punto rappresentativo del comportamento strutturale ovvero un punto di controllo, generalmente coincidente con il baricentro dell’ultimo piano, e si applica la distribuzione di forze orizzontali. Tali forze vengono tutte scalate, mantenendo invariati i rapporti relativi, in modo da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale del punto di controllo fino a raggiungere il collasso strutturale.

Figura 1: Schematizzazione analisi statica non lineare

Come risultato dell’analisi si ottiene una curva, detta appunto di capacità, che

descrive il comportamento non lineare e lega la risultante Vb delle forze applicate

(taglio totale alla base) allo spostamento dc del punto di controllo.

3.3.2 Sistema bilineare equivalente

Questo passaggio costituisce la parte principale del metodo N2, e consiste nella determinazione del sistema SDOF a comportamento bilineare equivalente partendo dal MDOF. Si riportano nel seguito i passaggi analitici utili a comprendere come si sviluppa il procedimento.

Si parte dall’equazione del moto del modello piano MDOF:

a I M R U M⋅ + =− ⋅ ⋅ .. (1)

Dove M, U ed R rappresentano rispettivamente la matrice diagonale delle masse, il vettore degli spostamenti e quello delle forze interne, I è il vettore unitario e a è

l’accelerazione sismica. Assumendo che la forma Φ del modo di vibrare rimanga

c

d

U =Φ⋅ (2)

in cui Φè il vettore degli spostamenti di piano corrispondenti al modo di vibrare

fondamentale normalizzato rispetto allo spostamento del punto di controllo e dc è

lo spostamento del punto di controllo.

Si definisce inoltre il vettore delle forze statiche orizzontali F utilizzate nell’analisi pushover come segue:

Φ ⋅ ⋅ = f M

F (3)

ne consegue che la forza orizzontale Fi applicata al livello i-esimo è proporzionale

alla componenteΦi del vettore Φed alla massa di piano mie vale .

i i

i f m

F = ⋅ ⋅Φ (4)

dalla statistica segue:

R

F = (5)

ovvero che le forze interne sono uguali ai carichi statici applicati esternamente. A questo punto introducendo le equazioni (2), (3) e la (5) nella (1), e moltiplicando

ambo i membri per ΦT

, si ottiene: a I M f M d M c T T T ⋅ ⋅Φ⋅ +Φ ⋅ ⋅Φ⋅ =−Φ ⋅ ⋅ ⋅ Φ .. (6)

Successivamente, moltiplicando e dividendo il membro di sinistra dell’equazione (6)

per la quantità ΦT ⋅M⋅I, si ottiene l’equazione del moto del sistema SDOF :

a m F d m ⋅ + * =− *⋅ * .. * (7)

dove m* _{è la massa del sistema equivalente SDOF e vale:}

i i T m I M m* =Φ ⋅ ⋅ =Σ ⋅Φ (8)

e d* _{ed F}* _{sono lo spostamento e la forza nel sistema equivalente; essi sono legati ai}

corrispondenti valori del sistema reale dalle relazioni seguenti:

Γ = dc d* (9) Γ =Vb F* (10)

Come illustrato nelle figure 1 e 2, V_b è il taglio alla base del sistema reale MDOF, e

* m f m f f I M F V_b =Σ _i =ΦT ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅Σ _i⋅Φ_i = ⋅ (11)

In figura 2 viene riportato un esempio di curva di capacità di un sistema reale MDOF e quela corrispondente del sistema fittizio ad un grado di libertà con la rappresentazione della bilatera equivalente a comportamento elastico-perfettamente plastico.

Figura 2: Curva di capacità del sistema MDOF, SDOF e bilatera equivalente

Come indicato nelle equazioni (9) e (10) il passaggio dal sistema reale a più gradi di libertà al sistema ad unico grado di libertà a comportamento bi-lineare equivalente

avviene attraverso la costante Γ, denominata “fattore di partecipazione modale”, e

definita nel modo seguente:

2 i i i i T T m m M I M Φ ⋅ Σ Φ ⋅ Σ = Φ ⋅ ⋅ Φ ⋅ ⋅ Φ = Γ (12)

Una volta individuato, sulla curva V_b-d_c, il valore della resistenza massima V_bu, le coordinate del punto di snervamento del sistema equivalente bi-lineare si determinano mediante le relazioni seguenti:

* * * k F d_y = y (13) Γ = bu y V F * (14)

dove k* _{è la rigidezza secante al sistema equivalente scelta in maniera tale da}

eguagliare l’area sottesa dalla curva non lineare F*_-d* _{e la curva bi-lineare, come}

Figura 3: Curva bi-lineare equivalente

A questo punto nota la curva caratteristica del sistema SDOF, il suo periodo proprio elastico risulta essere:

* * * 2 k m T = ⋅π (15)

Infine per poter confrontare la capacità con la domanda, occorre trasformare il diagramma di capacità da forza-spostamento al formato accelerazione-spostamento, applicando la relazione riportata di seguito:

* *

m F

Sa = (16)

In cui con S_a si indica l’accelerazione spettrale.

3.3.3 Spostamento massimo del sistema equivalente

Per poter confrontare la capacità offerta dalla struttura con la domanda propria dell’evento sismico è necessario, come fatto per la curva di capacità, trasformare lo spettro di risposta elastico dal formato accelerazione-periodo al formato accelerazione-spostamento.

La relazione che lega lo spettro elastico in accelerazione-periodo con quello in formato ADRS è la seguente:

ae de S T S ⋅ ⋅ = 2₂ 4 π (17)

dove S_ae ed S_de sono rispettivamente, il valore di accelerazione spettrale ed il valore dello spostamento spettrale, corrispondenti al periodo T.

Figura 4: Trasformazione spettro elastico in accelerazione in spettro formato ADRS

A questo punto è possibile determinare la domanda sismica del sistema equivalente SDOF mediante la procedura descritta di seguito. Sia la curva di capacità (bi-lineare equivalente in accelerazione-spostamento) che lo spettro di risposta (formato ADRS) sono inseriti nello stesso grafico, come si può vedere dalle figure 5 e 6.

Figura 6: Determinazione della risposta massima in spostamento del sistema equivalente T*>Tc

Per la determinazione della domanda è necessario prolungare il tratto elastico della curva bi-lineare fino ad incrociare lo spettro di risposta in corrispondenza del

periodo elastico T* proprio del sistema equivalente. Al punto di intersezione, così

determinato, corrispondono lo spostamento massimo d_e,max richiesto dal sisma di

progetto e l’accelerazione S_ae che sarebbe richiesta al sistema se questo avesse un comportamento indefinitamente elastico.

Si definisce ora il fattore di riduzione R_µ come il rapporto tra l’accelerazione corrispondente al sistema equivalente considerato indefinitamente elastico e quella del sistema a comportamento elasto-perfettamente plastico

ay ae S T S R ( ) * = µ (18)

Si precisa che R_µ non è il fattore di struttura q utilizzato dai codici normativi; infatti nel fattore di struttura è compresa, oltre alla dissipazione di energia considerata nel fattore Rµ, anche la sovraresistenza.

Si definisce inoltre la domanda di duttilità µd come rapporto tra lo spostamento

massimo richiesto e lo spostamento al limite elastico del sistema bi-lineare equivalente: * * max y d d d = µ (19)

A questo punto a seconda dei casi si determina la domanda di spostamento:
Per T*>TC si ha che ( ) * * max , * max d S T d = _e = _de (20) → µd =Rµ (21)
Per T*_<T C si ha che

(

)

(

)

Nel caso in cui si abbia un valore di R_µ inferiore all’ unità, ovvero la risposta del sistema è elastica (il tratto elastico della bilatera equivalente interseca lo spettro di risposta), si assume anche per il caso T*<TC :

* max , * max de d = (24)

A questo punto nota la risposta massima in spostamento del sistema SDOF dobbiamo ricavarci quella della struttura reale.

3.3.4 Spostamento massimo del sistema reale

Noto lo spostamento massimo *

max

d del sistema equivalente ad un grado di libertà è

immediato calcolare lo spostamento effettivo del punto di controllo del sistema a più gradi di libertà ad esso corrispondente, semplicemente invertendo l’equazione (9): Γ ⋅ = * max max d d_c (25)

dove dcmaxesprime, appunto, lo spostamento massimo richiesto dall’evento sismico

di progetto al sistema reale a più gradi di libertà.

3.3.5 Estensione del metodo N2 al caso di edifici non regolari in

pianta

I metodi analizzati per il calcolo della domanda di spostamento, offerta dagli edifici soggetti al sisma, visti prima sono validi solo se sono soddisfatte le ipotesi di base, ovvero se è possibile assumere che il comportamento del sistema reale sia governato da un unico modo di vibrare fondamentale e che la forma di tale modo rimanga invariata durante l’analisi.

Gli edifici irregolari in pianta richiedono una modellazione tridimensionale, la quale da luogo ad una distribuzione degli spostamenti laterali di piano non uniforme. Più precisamente a differenza di un edificio simmetrico per cui si ha una risposta puramente traslazionale, per un edificio irregolare in pianta la risposta è in generale caratterizzata da un accoppiamento di traslazione e rotazione. Ne consegue che le distribuzioni di carico orizzontali, con le forze applicate ai centri di massa di ciascun piano, non riescono ad approssimare in maniera soddisfacente la reale risposta della struttura, e viene pertanto compromessa la possibilità di applicare i metodi tradizionali per l’analisi pushover.

In relazione a questa problematica, negli ultimi anni, sono stati effettuati studi scientifici in modo da estendere l’analisi pushover agli edifici irregolari in pianta. Nel seguito si farà riferimento al metodo proposto da Fajfar (2005). In questo studio viene proposto di combinare i risultati di un analisi pushover condotta con il metodo N2 con quelli ottenuti dall’analisi dinamica lineare. In particolare si utilizza l’analisi modale per effettuare una stima della forma dell’inviluppo degli spostamenti laterali dell’ultimo piano; tali spostamenti laterali vengono poi adimensionalizzati rispetto allo spostamento del centro di massa per ottenere dei fattori amplificativi delle caratteristiche di spostamento e di sollecitazione calcolate con l’analisi statica non lineare.

Concettualmente si combina l’analisi pushover con l’analisi modale per dare una interpretazione più completa al problema, ovvero per includere nell’analisi tutti gli effetti che influenzano la risposta globale. La prima tipologia di analisi segue lo spostamento del punto di controllo e la distribuzione dello spostamento lungo l’altezza dell’edificio; la seconda tiene conto degli effetti torsionali e, in maniera specifica, della non uniformità degli spostamenti laterali di piano.

Nel paragrafo successivo verrà illustrato il procedimento seguito per la determinazione dei fattori amplificativi, attraverso un esempio, che tengono conto della risposta torsionale.

3.3.5.1 Determinazione dei fattori di amplificazione torsionale

La causa principale che genera l’irregolarità in pianta, negli edifici, deriva dal posizionamento decentrato di elementi ad elevata rigidità come ad esempio vani scala o ascensore. Questa disomogeneità nella distribuzione delle rigidezze porta ad avere, in generale, una risposta dinamica di tipo torsionale, in cui gli spostamenti laterali di piano sono più marcati all’ estremità flessibile dell’edificio.

Per illustrare il metodo di Fajfar verrà esaminato un esempio semplice di edificio avente il centro di rigidezza eccentrico rispetto a quello delle masse. Questo esempio non si riferisce ad un caso concreto, tuttavia risulta molto utile per capire tale metodo.

La struttura di figura 7 è caratterizzata dall’avere irregolarità in pianta causata decentramento di una zona molto rigida, rispetto al baricentro geometrico della struttura. Questo comporta una eccentricità del baricentro delle rigidezze rispetto a quello delle masse. In particolare la dissimetria si osserva lungo la direzione x, mentre nella direzione y l’edificio è simmetrico; il comportamento torsionale si manifesta, pertanto, quando la struttura viene sollecitata in direzione y. Di conseguenza lo studio di applicabilità dell’analisi pushover “modificata” riguarda la risposta della struttura in direzione y.

Queste dissimetrie portano ad avere una eccentricità, indicata con e, tra i centri di massa e di rigidezza; nel centro di massa CM si concentra la risultante delle azioni orizzontali, nel centro di rigidezza CR si sviluppa la reazione della struttura che si oppone all’azione sismica. Questa eccentricità, pertanto, genera una coppia torcente che provoca un comportamento strutturale caratterizzato da traslazione accoppiata a torsione, più marcata quanto maggiore è e.

Figura 8:Deformata modale relativa all'ultimo piano

In particolare la struttura è caratterizzata dall’avere un lato detto “flessibile”, in cui si hanno elevati spostamenti laterali, ed uno “rigido” in cui l’entità di tali spostamenti è molto più modesta.

Considerando il modo di vibrare principale in direzione y, in ipotesi di solaio infinitamente rigido, la deformata relativa all’ultimo piano dell’edificio assunto come esempio è qualitativamente quella rappresentata in figura 8. E’ immediato osservare l’accoppiamento di traslazione e torsione e, in particolare, gli spostamenti laterali di piano che risultano non uniformi e sono significativamente amplificati all’estremità flessibile della struttura.

Secondo il metodo proposto da Fajfar, per includere gli effetti torsionali, si determinano dei fattori amplificativi dall’analisi modale per poi combinarli con i risultati ottenuti dall’analisi pushover convenzionale.

Figura 9: Determinazione spostamenti laterali in sommità

In particolare si esegue l’analisi dinamica lineare e, una volta individuati i modi significativi che manifestano un comportamento torsionale, si procede alla determinazione dei fattori di amplificazione normalizzando gli spostamenti laterali in sommità con lo spostamento del centro di massa dell’ultimo piano.

In figura 9 si indicano con CMd la posizione del centro di massa dell’ultimo piano e con ∆yigli spostamenti laterali sommatali di ciascun telaio, entrambi riferiti alla

configurazione deformata relativa al modo di vibrare considerato.

I fattori di amplificazione torsionale relativi a ciascun telaio si determinano con la seguente relazione:

fattore di amplificativi per il telaio i-esimo cm i y y ∆ ∆ = (26)

Si riporta nella tabella sottostante il calcolo dei fattori di amplificazione relativi alla struttura di figura 9.

Tabella 1: Fattori di amplificazione torsionale

Figura 10: Inviluppo degli spostamenti laterali normalizzati in sommità in direzione y

Nel grafico di figura 10 si indica con una linea verde tratteggiata l’inviluppo degli

spostamenti laterali di piano normalizzati che rappresenta l’entità

dell’amplificazione torsionale in corrispondenza di ciascun telaio. Si riporta inoltre, con una linea blu continua, l’effettivo inviluppo considerato al fine di determinare i coefficienti amplificativi da combinare con l’analisi pushover, dove si nota che non vengono considerati i fattori inferiori all’unità. Infatti nel metodo Fajfar si raccomanda che, a favore di sicurezza, non vengano considerate le deamplificazioni in corrispondenza del lato rigido della struttura, applicando la cosiddetta “no reduction rule”. Il fatto di trascurare l’ipotetico beneficio che si potrebbe avere all’estremità rigida dell’edificio, si giustifica precisando che la torsione in campo anelastico è un fenomeno molto difficile da controllare, ed inoltre man mano che si raggiunge lo snervamento degli elementi e si formano le plasticizzazioni degli elementi la rigidezza propria dei telai diminuisce continuamente.

Pertanto al fine di amplificare la risposta strutturale per considerare l’effetto della torsione, si utilizza l’inviluppo indicato in figura 21. dalla linea blu continua.

Tale metodo approssima in maniera soddisfacente i risultati ottenuti dall’analisi dinamica non lineare con quelli ottenuti applicando l’analisi pushover “modificata”. Riassumendo, il metodo dell’analisi pushover modificata per gli edifici irregolari in pianta consiste nel determinare i coefficienti di amplificazione torsionale attraverso l’analisi dinamica lineare, come sopra descritto, ed applicati alle caratteristiche di spostamento e sollecitazione ottenute dall’analisi pushover convenzionale (per i telai non si considerano i fattori amplificativi inferiori ad 1).

3.3.5.2 Determinazione delle forze orizzontali amplificate

Considerando l’irregolarità in pianta degli edifici occorre inserire, nella distribuzione delle forze orizzontali prima descritte per effettuare l’analisi statica non lineare, dei fattori di amplificazione che tengano conto della torsione.

Per questo scopo risulta ragionevole distribuire la forza di piano su tutto lo sviluppo della struttura, amplificandola in corrispondenza della parte flessibile, ovvero dove si registrano gli spostamenti laterali maggiori.

In relazione al metodo proposto da Fajfar si considera una distribuzione di forze orizzontali, sempre proporzionali alla forma del modo di vibrare, non applicate ai centri di massa ma, distribuite ad ogni piano in corrispondenza dei telai (presenti nella direzione considerata) ed amplificate ciascuna con il fattore determinato, come descritto sopra, attraverso l’analisi modale.

Quindi per ciascun piano della struttura, si considera la forza proporzionale al prodotto tra la massa e lo spostamento relativo al modo di vibrare fondamentale, e la si distribuisce in parti uguali a tutti i telai; in seguito, ciascuna di queste forze, viene moltiplicata per il fattore di amplificazione corrispondente. In figura 11 è riportata la distribuzione orizzontale delle forze amplificate dell’edificio preso in esempio relative ad un piano generico.

3.4 Verifiche strutturali

A questo punto, nota la domanda di spostamento, è possibile verificare la prestazione strutturale. In particolare, per la struttura in muratura, la verifica viene

effettuata controllando che lo spostamento massimo disponibile dcu sia superiore a

quello richiesto dcmax, ovvero:

max

c cu d

d > (27)

Oppure, se ci riferiamo al sistema SDOF:

* max *

d

du > (28)

Mentre per gli elementi in cemento armato occorre effettuare una verifica di capacità subordinata alla tipologia di meccanismo di crisi e allo stato limite in esame.

Per gli elementi/meccanismi duttili, la capacità è da intendersi in termini di deformazione ed è definita con riferimento alla rotazione θ (rotazione rispetto alla corda) della sezione di estremità dell’ elemento valutata rispetto alla congiungente di tale sezione con la sezione di momento nullo a distanza pari alla luce di taglio L_v=M/V. Tale rotazione è anche pari allo spostamento relativo delle due sezioni diviso per la luce di taglio, vedi figura 12.

Figura 12: Meccanismi duttili elementi in cemento armato

Tale rotazione, derivata dall’analisi della struttura soggetta alla combinazione di carico sismica, deve essere confrontata con quella ultima che l’elemento è in grado di fornire. Questa si valuta mediante sperimentazione diretta oppure mediante modellazione numerica secondo la seguente relazione:

(

)

(

)

(

)

dove:

− γelassume il valore di 1,5 per gli elementi primari ed 1,0 per gli elementi

secondari;

− h è l’altezza della sezione;

− c y s bhf f A =

ω è la percentuale meccanica di armatura longitudinale in trazione (

con b base della sezione);

− c y bhf f A s ' ' =

ω è la percentuale meccanica di armatura longitudinale in

compressione;

− f ,c fy e fywsono rispettivamente la resistenza a compressione del

calcestruzzo e la resistenza a snervamento dell’acciaio, longitudinale e trasversale, in MPa, ottenute come media delle prove eseguite in situ e da fonti aggiuntive di informazione, divise per il fattore di confidenza appropriato in relazione al Livello di conoscenza raggiunto;

− h w sx sx s b A =

ρ la percentuale di armatura trasversale ( sh interasse delle staffe);

− ρd la percentuale di eventuali armature diagonali in ciascuna direzione;

− _       −       −       − =

∑

α è un fattore di efficienza del confinamento (

b₀ e h0 sono le dimensioni del nucleo confinato, bi le distanze delle barre

longitudinali trattenute da tiranti o staffe presenti sul perimetro.

Negli elementi non dotati di adeguati dettagli di tipo antisismico il valore fornito dall’equazione (42) deve essere moltiplicato per 0,85. Mentre nel caso di barre lisce caratterizzate da condizioni di ancoraggio insoddisfacenti il valor dato dall’equazione (42) deve essere moltiplicato per 0,575.

Per gli elementi/meccanismi fragili, la capacità è da intendersi in termini di forze ed è definita come la resistenza a taglio dell’elemento. Questa è valutata come per il caso di nuove costruzioni per situazioni non sismiche. In particolare, il contributo del conglomerato da considerarsi nella valutazione della resistenza a taglio deve al massimo risultare pari a quello relativo agli elementi senza armature trasversali resistenti a taglio (V_rd1).

La resistenza a taglio, V_u,shear è calcolata considerando il minimo tra:

(

)

Avendo indicato con V_rd1e V_wd:

(

)

(

)

− b_w è la base della sezione;

− d è l’altezza utile della sezione;

− r=(1,6-d)≥1 con d espressa in metri;

− f ,c fwy sono rispettivamente la resistenza a trazione del calcestruzzo e la

resistenza a snervamento dell’acciaio trasversale, ottenute come media delle prove eseguite in situ e da fonti aggiuntive di informazione, divise per il fattore di confidenza appropriato in relazione al Livello di conoscenza raggiunto; − d b A w sl l =

ρ è la percentuale geometrica dell’armatura longitudinale di trazione

ancorata al di là dell’intersezione dell’asse dell’armatura con un eventuale fessura a 45° che si inneschi nella sezione considerata;

− δ =1 in assenza di sforzo normale;

− δ =0in presenza di un apprezzabile sforzo normale di trazione;

− sdu M M₀ 1+ =

δ in presenza di sforzo normale di compressione; con M0 il

momento di decompressione riferito alla fibra estrema della sezionesu cui

agisce M_sdu che è pari al momento agente massimo di calcolo nella regione in

cui si effettua la verifica a taglio da prendere almeno pari a M₀;

− α inclinazione delle armature trasversali rispetto all’asse della trave;

− s interasse armatura trasversale.

Tale valore della resistenza a taglio andrà confrontata con le azioni taglianti derivanti dall’analisi statica non lineare effettuata considerando la combinazione sismica dei carichi.