Parte terza

Parte terza

Modellizzazione analogica:

approccio teorico e sperimentale.

9 Oggetti rigidi in una matrice duttile isotropa

Gli oggetti rigidi, per esempio i porfiroclasti, immersi in una matrice circostante, possono essere in grado di ruotare se la matrice stessa viene sottoposta a deformazione.

In particolare, un oggetto rigido sferico che aderisce perfettamente alla matrice circostante omogenea, in un flusso non-coassiale ruota rispetto agli ISA (instantaneous stretching axes) del flusso con una velocità angolare pari alla metà del tasso di deformazione di taglio. Se invece l’oggetto rigido non è sferico, anche se il tasso di deformazione e la vorticità del flusso sono costanti, la velocità angolare dell’oggetto rigido sarà variabile. In questo caso oggetti allungati accelerano e decelerano con il variare della loro orientazione, e se il numero di vorticità cinematica indica la presenza di una componente di taglio puro ed una di taglio semplice, l’oggetto rigido potrebbe diventare stazionario se supera un rapporto assiale critico.

In un regime di taglio semplice tutti gli oggetti rigidi che aderiscono perfettamente alla matrice duttile ruoteranno continuamente, al contrario accadrà per le linee materiali. Il comportamento dell’oggetto rigido durante la rotazione dipende molto dal suo rapporto assiale e poco dalla sua forma, che sia rettangolare, romboidale o ellittico.

Una complicazione si verifica quando gli oggetti rigidi sono vicini l’uno all’altro o vicini ad una porzione di roccia non deformata, in questi casi gli oggetti possono ruotare più lentamente, non ruotare o mostrare una rotazione antitetica rispetto al senso di taglio.

Ghosh and Ramberg (1976), per comprendere meglio l’evoluzione di alcune strutture geologiche, come lo sviluppo della foliazione attorno a porfiroblasti rigidi, hanno effettuato uno studio teorico e sperimentale sulla variabilità del tasso di rotazione di inclusioni e di markers passivi immersi

in una matrice viscosa, sottoposta contemporaneamente a taglio puro e taglio semplice.

Nelle loro analisi gli Autori sostengono che la variazione di orientazione di oggetti rigidi ellissoidali è controllata dalla loro orientazione iniziale (φ0), dal rapporto assiale (R) e dal rapporto sr tra il tasso di taglio puro e taglio semplice.

Uno dei fattori importanti è la relazione tra R ed sr: • Se r r s s R 2 4 1 1+ + 2 <

l’inclusione ruoterà continuamente nella matrice al proseguire della deformazione e non avrà nessuna orientazione preferenziale verso cui tenderà a stabilizzarsi. In questo caso il senso di rotazione sarà sempre uguale al senso della componente di taglio semplice.

• Se r r s s R 2 4 1 1+ + 2 >

L’inclusione non ruoterà indefinitamente e tenderà a raggiungere un’orientazione preferenziale in cui sarà stabile e che non cambierà con deformazioni successive.

Questa orientazione stabile è data dalla seguente equazione:

(

)

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡_{− − − − −} =_tan−1 2 ₁ 2 2 ₁2 2 5 sr R sr R R φ

Per ogni orientazione iniziale (φ₀) tra φ₀ e φ₅, le inclusioni dovrebbero ruotare nello stesso senso della componente di taglio semplice fino a raggiungere l’orientazione stabile φ5.

Per ogni orientazione iniziale tra φ₀ e φ₅:

(

)

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡_{− − + − −} = = −1 2 2 2 2 2 6 0 φ tan sr R 1 sr R 1 R φ

le inclusioni ruoteranno in senso opposto a quello della componente di taglio semplice fino a che non si stabilizza all’orientazione φ₅ (figure 31, 32, 33).

Figura 1: rappresentazione di alcune orientazioni critiche di inclusioni per combinazioni di taglio puro e taglio semplice. Φ1 e φ2 sono le orientazioni per il tasso di rotazione minimo e massimo, mentre φ5 e φ6

sono le orientazioni per cui il tasso di rotazione è pari a zero. Φ3 e φ4 sono le orientazioni per cui il tasso di rotazione è pari a γ/2 (Ghosh and Ramberg, 1976).

Figura 2: rotazione positiva e negativa di inclusioni rigide, a seconda se il senso di rotazione dell’inclusione è uguale o opposto alla componente di taglio semplice(Ghosh and Ramberg, 1976).

Figura 3: range di orientazioni delle inclusioni rigide per lo sviluppo di una rotazione positiva o negativa (Ghosh and Ramberg, 1976).

Un altro aspetto che dipende dall’orientazione iniziale dell’oggetto rigido (φ₀) è la variazione dell’angolo tra l’inclusione e la stratificazione o scistosità durante la deformazione. La stratificazione rappresenta un marker passivo e nella descrizione seguente si assume che il marker planare e l’asse lungo dell’inclusione siano originariamente paralleli.

Quindi se φ₀= 0 l’angolo tra l’inclusione e lo strato passivo crescerà lentamente e poi comincerà a decrescere fino a che l’angolo tra loro ritorna nullo. Con deformazioni successive, o fasi successive, l’angolo tra i due crescerà rapidamente o rimarrà ad un valore costante. La divergenza tra l’inclusione e lo strato passivo nella prima fase risulta dal fatto che lo strato passivo si muove più velocemente dell’inclusione, mentre nella seconda fase lo strato passivo rimane indietro rispetto all’inclusione. La divergenza

nella prima fase cresce al crescere di sr, cioè all’aumentare della

componente di taglio semplice. Inoltre, per ogni valore di sr, la divergenza massima nella prima fase aumenta velocemente all’aumentare del rapporto assiale R dell’inclusione.

9.1 Ruolo delle anisotropie nella ripartizione della deformazione

Le strutture geologiche sono intrinsecamente eterogenee a causa di eterogeneità presenti originariamente nel corpo roccioso e/o processi che provocano delle instabilità. La deformazione di un corpo eterogeneo porta alla ripartizione della deformazione in diversi domini, coinvolti nell’evoluzione di nuove eterogeneità. La risposta reologica di masse rocciose alla deformazione dipende da molte variabili ma un contributo importante è determinato dalla distribuzione delle eterogeneità, dalle discontinuità, e dalle anisotropie del materiale.

La deformazione di un materiale con anisotropie planari molto marcate si concentra preferenzialmente sui piani di debolezza preesistenti, e questa tendenza si riflette sul modo di ripartizione del flusso. In particolare, se la deformazione interessa un’alternanza di strati a diversa competenza, il tipo e l’intensità di deformazione sarà diversa all’interno delle due litologie, sarà più intensa negli strati a competenza minora e viceversa.

9.1.1 Modello numerico

La ripartizione della non-coassialità e di altri parametri del flusso in masse rocciose stratificate verranno esaminati con un metodo numerico in due dimensioni. Questo approccio può essere applicato a diverse situazioni geologiche ma il più interessante ai fini di questa tesi, è il flusso in rocce metamorfiche anisotrope.

Per determinare il senso di taglio o la non-coassialità di una massa rocciosa deformata usando strutture geologiche, è necessario esplicitare alcune assunzioni: si presuppone che, durante la deformazione progressiva,

l’orientazione del piano di taglio ed il rapporto tra le componenti di taglio semplice e taglio puro rimangano costanti.

Il numero di vorticità cinematica (Wk) ed altri parametri legati al flusso in mezzi stratificati sono calcolati in due dimensioni attraverso il metodo degli elementi finiti sotto condizioni variabili (Figura 4), che sono:

1. il rapporto tra le componenti di taglio puro e di taglio semplice ( e_{γ ).}

L’asse di raccorciamento della componente di taglio puro è normale al piano di taglio della componente di taglio semplice. Il senso di taglio semplice è destro. La direzione del piano di taglio è considerata come sistema di riferimento;

2. l’orientazione della stratificazne (θ) rispetto al sistema di riferimento esterno;

3. il rapporto di viscosità del mezzo stratificato (

B A μ μ _{, dove} B A μ μ > ); 4. il rapporto di spessore degli strati con alta e bassa viscosità (dA/dB). Dalle analisi effettuate dagli Autori si nota che in rocce stratificate la ripartizione della non-coassialità è molto marcata, in particolare risulta interessante che in strati con contrasto di viscosità elevato ed orientazioni adatte si deformano con valori di Wk diversi, e a volte con senso di taglio opposto.

In ogni caso tutti gli elementi sopra citati influenzano la ripartizione della deformazione in modo diverso, i cui effetti verranno esaminati singolarmente.

Figura 4: schema che mostra le condizioni variabili nel calcolo dei parametri del flusso. µA, µB = viscosità degli strati (µA>µB); dA e dB = spessore degli strati; θ = orientazione degli strati; e, γ =

componenti di taglio puro e taglio semplice delle condizioni al contorno (Ishii, 1992).

9.1.1.1 Effetto dell’orientazione degli strati:

Viene analizzata la variazione del numero di vorticità cinematica Wk in un’alternanza di strati con alta (strato A) e bassa (strato B) viscosità in relazione all’orientazione degli strati (θ), con

B A

μ

μ _{= 10, e con strati aventi}

lo stesso spessore (dA/dB=1). Il senso di rotazione antioraria è considerato come positivo.

Caso 1

Viene analizzato il caso in cui l’alternanza di strati è sottoposta a taglio semplice (e/γ=0).

L’orientazione degli assi dello stretching istantaneo (ISA) (θs) ha la tendenza a diventare parallelo o perpendicolare all’orientazione degli strati

ad alta viscosità, mentre tende a formare un angolo di 45˚ negli strati a bassa viscosità. Questa tendenza è schematizzata nella figura 5.

Figura 5: schema che mostra l’orientazione dell’ISA (θs) per diverse orientazioni degli strati (θ). L’area puntinata indica gli strati con alta viscosità (Ishii, 1992).

Inoltre gli strati ruotano in senso orario, ad eccezione di quelli con θ=0. La variazione dello spin Ω dipende dalla relazione tra il tasso di rotazione degli strati e θs per ogni orientazione degli strati. Per esempio, se gli strati hano un’orientazione θ di 90° questa comporta il massimo tasso di rotazione in senso orario, valori di Ω positivi e valori di Wk negativi negli strati ad alta viscosità.

Gli Autori hanno notato che gli strati con alta viscosità tendono a generare una deformazione coassiale e gli strati con bassa viscosità si deformano con valori di Wk= -1, il segno negativo del valore di vorticità cinematica indica che la rotazione dovuta al taglio semplice (Wk=1) è avvenuta in senso opposto a quella del senso di taglio dello sforzo applicato. Inoltre è importante notare che alti valori di Wk non implicano un alto tasso di roazione delle linee materiali, ma un alto tasso di rotazione degli ISA rispetto ad un sistema di riferimento esterno.

Questo indica l’importanza della ripartizione della non-coassialità nel flusso di corpi eterogenei. In particolare, intorno a valori di θ

±

90, gli strati con alta e bassa viscosità hanno sensi opposti di non-coassialità.

Caso 2

Viene analizzato il caso in cui l’alternanza di strati a diversa viscosità viene sottoposta a taglio puro (e/γ=

∞

). Le variazioni di Wk sono controllate principalmente da θs e dal tasso di rotazione di θ; inoltre negli strati ad alta viscosità si verifica una forte non-coassialità quando gli ISA ortogonali si invertono reciprocamente, e anche quando θ =

±

45.

Gli strati ad alta e bassa viscosità hanno sensi di non-coassialità opposti, ed il valore medio di Wk è 0.

In ogni caso la vorticità cinematica in entrambi gli strati ha un valore

≠

0 ed ha senso opposto. Questo indica che la deformazione imposta esternamente si ripartisce in deformazione per taglio negli strati con bassa viscosità, e provoca una rotazione generale con senso opposto al senso di taglio.

Caso 3

Viene analizzato il caso in cui l’alternanza di strati a diversa viscosità viene sottoposta a taglio generale (e/γ=1). La non-coassialità viene riscontrata quando θ = 58° e θ = -32°.

In definitiva gli Autori sostengono che, in ammassi rocciosi stratificati, gli strati ad alta viscosità tendono a deformarsi in modo coassile (Wk

≈

0), e strati con bassa viscosità tendono a deformarsi in modo non-coassiale

Per queste orientazioni specifiche, gli strati con alta viscosità si deformano in modo non-coassiale e gli strati con bassa viscosità hanno senso di taglio opposto rispetto a quello generale. Gli strati con queste orientazioni specifiche giacciono con un angolo di circa 45° rispetto all’ISA di tutto il sistema, perché a queste orientazioni gli ISA reciprocamente ortogonali si scambiano.

9.1.1.2 Effetti del rapporto di viscosità

Viene analizzato l’effetto del rapporto di viscosità (

B A

μ

μ _{) sulle variazioni}

di Wk e θs in relazione a θ nel caso di e_γ =1 e dA/dB=1.

Gli Autori sostengono che ad un maggiore rapporto di viscosità corrisponde una maggiore ripartizione dei parametri del flusso. Esistono delle caratteristiche principali che descrivono questo comportamento:

1. la tendenza degli ISA ad orientarsi parallelamente agli strati quando questi hanno alta viscosità, e ad assumere un angolo di 45° con gli strati quando questi hanno bassa vicosità, è strettamente collegata all’aumentare del rapporto di viscosità.

2. al crescere del rapporto di viscosità il range di θ per cui Wk

≈

0 si aumenta negli strati ad alta viscosità.

9.1.1.3 Effetti dello spessore degli strati

Viene analizzato l’effetto dello spessore degli strati (dA/dB) sulle variazioni di Wk e θs in relazione a θ nel caso di e_γ =1 e

B A

μ

Gli strati più spessi tendono a mostrare caratteristiche della deformazione simili a quelle registrate dall’intero sistema, perché gli strati più spessi rappresentano la porzione maggiore del volume di roccia deformato. Comunque, per un range di dA/dB che va da 1/3 a

≈

3 non esistono effetti considerevoli sulla variazione di Wk.