Stato non osservabile

(1)

Osservabilit` a e ricostruibilit` a

• Osservabilit`a: il problema della Osservabilit`a consiste nel determinare lo stato iniziale x(t₀) mediante osservazioni degli ingressi u(t) e delle uscite y(t) del sistema considerato per t ≥ t0:

– Uno stato x(t0) di un sistema dinamico `e compatibile con le funzioni di ingresso u(·) ed uscita y(·) nell’intervallo [t0, t₁] se esiste una funzione di ingresso u(·) ∈ U ed una funzione di uscita y(·) tale che y(τ) = η(τ, t₀, x(t₀), u(·)), τ ∈ [t0, t₁].

– Indicheremo con

E⁻(t₀, t₁, u(·), y(·))

l’insieme degli stati iniziali compatibili con le funzioni di ingresso u(·) ed uscita y(·), nell’intervallo [t0, t₁].

• Ricostruibilit`a: il problema della ricostruibilit´a consiste nel determinare lo stato finale x(t₁) mediante osservazioni degli ingressi u(t) e delle uscite y(t) per t ≤ t1.

– Uno stato x(t1) di un sistema dinamico `e compatibile con le funzioni di ingresso u(·) ed uscita y(·) nell’intervallo [t0, t₁] se esistono una funzione di ingresso u(·) ∈ U ed una funzione di uscita y(t) tale che x(t₁) = ψ(t₀, t₁, x(t₀), u(·)), dove x(t0) ∈ E⁻(t₀, t₁, u(·), y(·)).

– Indicheremo con

E⁺(t₀, t₁, u(·), y(·))

l’insieme degli stati finali compatibili con le funzioni di ingresso u(·) ed uscita y(·), nell’intervallo [t0, t₁].

(2)

Stati indistinguibili nel futuro in k passi

Sia dato un sistema lineare, discreto, tempo–invariante descritto dalle matrici A, B, C.

• Due stati x1 e x2 sono indistinguibili nel futuro in k passi se per ogni suc- cessione di ingresso u(0), . . . , u(k − 1), le successioni di uscita y1(·) e y2(·), che corrispondono agli stati iniziali x1(0) e x2(0), coincidono nei primi k passi:

x1(0) ≈ x^k 2(0) ⇔ y1(τ) = y2(τ), 0 ≤ τ ≤ k

• Tale condizione pu`o essere espressa come:

x1 − x2 ∈ ker

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CA^k

⎤

⎥⎥

⎦

Infatti imponendo l’uguaglianza delle due uscite:

y1(τ) = CA^τx1(0) + ^τ⁻¹

i=0 CA^τ⁻¹⁻ⁱBu(i) y2(τ) = CA^τx2(0) + ^τ⁻¹

i=0 CA^τ⁻¹⁻ⁱBu(i)

si trova che le due evoluzioni libere devono coincidere per i primi k passi:

y_l(τ) = CA^τx1(0) = CA^τx2(0), 0 ≤ τ ≤ k cio`e

CA^τ[x1(0) − x2(0)] = 0, 0 ≤ τ ≤ k Vale quindi la relazione:

x1, x2 ∈ E⁻(0, k, u(·), y(·)) ⇔ x1, x2 ∈ E⁻(0, k, 0, y_l(·))

(3)

Stati indistinguibili nel futuro

Sia dato un sistema lineare, discreto, tempo–invariante descritto dalle matrici A, B, C.

• Due stati x1 e x2 sono indistinguibili nel futuro, se sono indistinguibili nel futuro in k passi, qualunque sia k.

x1(0) ≈ x2(0) ⇔ y1(τ) = y2(τ), 0 ≤ τ ≤ k, ∀k

• Per il teorema di Cayley–Hamilton per k ≥ n − 1 la condizione:

x1 − x2 ∈ ker

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CA^k

⎤

⎥⎥

⎦

diventa stazionaria, per cui la condizione di indistinguibilit`a nel futuro, diventa:

x1 − x2 ∈ ker

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

(4)

Stato non osservabile

Sia dato un sistema lineare, discreto, tempo–invariante descritto dalle matrici A, B e C.

Per tale sistema l’insieme degli stati non osservabiliE⁻(t₀, t₁, u(·), y(·)) dipende solo dalla lunghezza dell’intervallo di osservazione k = t₁ − t0.

• Uno stato x `e non osservabile in k passi se `e indistinguibile nel futuro in k passi dallo stato 0:

x1(0) ≈ x2(0), x ∈ ker

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CA^k

⎤

⎥⎥

⎦

= E⁻(k)

In quanto nucleo di una matrice, l’insieme E⁻(k) degli stati non osservabili in k passi `e un sottospazio vettoriale di X, spazio degli stati del sistema considerato.

• Uno stato x è non osservabile, se è non osservabile in k passi, per qualun- que k. Per il teorema di Cayley–Hamilton, la condizione di non osservabi- lità di x è data da:

x ∈ ker

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

= E⁻

In tale caso lo spazio di non–osservabilit`a verr`a indicato con E⁻.

(5)

Sistema osservabile

Sia dato un sistema lineare, discreto, tempo–invariante descritto dalle matrici A ,B eC.

• La matrice di dimensione np × n:

O⁻=

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

`e detta matrice di osservabilit`a del sistema.

• Il sottospazio degli stati non osservabili:

E⁻ = kerO⁻

`e detto sottospazio non osservabile del sistema.

• Se E⁻ contiene solo lo stato 0, allora il sistema si dice osservabile.

• La condizione di osservabilit`a `e data anche, equivalentemente, da:

– kerO⁻ = {0}

– rangoO⁻ = n

• Nota : Consideriamo un generico stato x, l’insieme degli stati indistinguibili da x `e costituito dall’insieme:

x + E⁻

(6)

Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

x(k + 1) =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 −1 1

−1 1 1 1 −1 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦x(k) +

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦u(k) y(k) = 0 1 1 x(k)

Calcolare l’insieme degli stati iniziali x0 = x(0) compatibili con la seguente evoluzione libera: y(0) = 2, y(1) = 2, y(2) = 0.

La matrice di osservabili`a del sistema `e

O⁻ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 1

0 0 2

2 −2 2

⎤

⎥⎥

⎥⎦, det O⁻ = 4

Essendo tale matrice non singolare, il sistema `e completamente osservabile per cui, se il problema `e risolubile, esso ammette una sola soluzione. La soluzione x0 si determina nel modo seguente:

⎡

⎢⎢

⎢⎣

y(0) y(1) y(2)

⎤

⎥⎥

⎥⎦ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

CAC CA²

⎤

⎥⎥

⎥⎦x0 = O⁻x0 → x0 = [O⁻]⁻¹

⎡

⎢⎢

⎢⎣

y(0) y(1) y(2)

⎤

⎥⎥

⎥⎦

Eseguendo i calcoli si ottiene:

x0 =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 1

0 0 2

2 −2 2

⎤

⎥⎥

⎥⎦

−1 ⎡

⎢⎢

⎢⎣

2 2 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦ = 1 2

⎡

⎢⎢

⎢⎣

2 −2 1 2 −1 0

0 1 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎡

⎢⎢

⎢⎣

2 2 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

L’unico stato iniziale compatibile con l’evoluzione libera assegnata cercato `e quindi x0 = [0, 1, 1].

Nota: `e univocamente determinata anche l’evoluzione libera y(τ ) per τ ≥ 3:

y(τ ) = CA^τx0

cio`e y(3) = −4, y(4) = −12, y(5) = −28, ecc.

(7)

Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

x(k + 1) =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 1

−2 2 2 0 1 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦x(k) +

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 1 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦u(k) y(k) = 0 1 0 x(k)

- Il sistema non `e completamente osservabile

O⁻ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 0

−2 2 2

−4 4 4

⎤

⎥⎥

⎥⎦ → E⁻ = span

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

L’insieme degli stati iniziali compatibili con l’evoluzione libera y(0) = 2, y(1) = 2, y(2) = 4 si determina calcolando una soluzione particolare xp e sommando ad essa il sottospazio di non osservabilit`a E⁻. La soluzione xp si determina risolvendo il sistema

⎡

⎢⎢

⎢⎣

2 2 4

⎤

⎥⎥

⎥⎦ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 0

−2 2 2

−4 4 4

⎤

⎥⎥

⎥⎦xp ↔ y = O⁻xp

Una soluzione esiste perch`e il vettore y `e contenuto nell’immagine della matrice O⁻. y ∈ ImO⁻ → xp =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0

−12

⎤

⎥⎥

⎥⎦

L’insieme degli stati iniziali compatibili con l’evoluzione libera data `e quindi il seguente:

x0 = xp+ E⁻ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0

−12

⎤

⎥⎥

⎥⎦+ span

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

(8)

Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x(k + 1) =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

2 1 0 0 0 0 0 0 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦x(k) +

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦u(k) y(k) = 1 0 1 x(k)

La matrice di osservabilit`a del sistema `e:

O⁻ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 1 2 1 0 4 2 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦

Il rango della matrice `e 2 per cui il sistema non `e completamente osservabile. L’insieme degli stati iniziali x0 = x(0) compatibili con l’evoluzione libera y(0) = 1, y(1) = 1, y(2) = 1 sono tutti e soli quelli che soddisfano la seguente relazione:

y =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

y(0) y(1) y(2)

⎤

⎥⎥

⎥⎦ = O⁻x0 ↔

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 1 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 1 2 1 0 4 2 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦x0

Il vettore y non `e combinazione lineare delle colonne della matrice O⁻, per cui il sistema non ammette soluzioni. Non esiste quindi nessuna condizione iniziale x0 compatibile con l’evoluzione libera assegnata.

Il sistema `e ricostruibile se E⁻ = ker O⁻ ⊆ ker A³:

ker A³ = ker

⎡

⎢⎢

⎢⎣

8 4 0 0 0 0 0 0 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦ = span

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

⎡

⎢⎢

⎢⎣

−21 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦,

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎫⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎭ E⁻ = ker O⁻ = span

⎡

⎢⎢

⎢⎣

−21

−1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

La condizione E⁻ = ker O⁻ ⊆ ker A³ `e verificata per cui il sistema `e ricostruibile.

(9)

Stati indistinguibili nel passato in k passi

• Consideriamo il problema di determinare lo stato all’istante ﬁnale x(k) a partire dalla successione di ingresso u(0), . . . , u(k − 1) e di uscita y(0), . . . , y(k).

• Il problema ammette soluzione unica se il sistema `e osservabile in k passi:

x(k) = A^kx(0) + ^k⁻¹

i=1 A^k⁻¹⁻ⁱBu(i), x(0) ∈ E⁻(k, u(·), y(·)) dove E⁻(k, u(·), y(·)) = E⁻(k, 0, y_l(·)).

• Se il sistema non `e osservabile in k passi, la successione degli ingressi e delle uscite non determina univocamente x(0), ma un generico elemento dell’insieme:

x(0) + E⁻(k)

• Quindi l’insieme degli stati ﬁnali x(k) compatibili con le successioni di ingresso ed uscita `e il seguente:

A^kx(0) + ^k⁻¹

i=1 A^k⁻¹⁻ⁱBu(i)

x(k)

+A^kE⁻(k) = x(k) + A^kE⁻(k)

E⁺

• Due stati x1, x2 appartenenti a questa classe si dicono indistinguibili nel passato in k passi.

x1 − x2 ∈ E⁺(k, 0, 0) = E⁺(k)

x1, x2 ∈ E⁺(k, u(·), y(·)) = E⁺(k, 0, y_l(·)) = x^p + E⁺(k, 0, 0)

(10)

Sistema ricostruibile

• Un sistema si dice ricostruibile in k passi se non esistono stati indistingui- bili nel passato dallo stato zero in k passi. Questo equivale a dire che le matrici A e C del sistema soddisfano la relazione:

E⁺(k) = A^kE⁻(k) = {0}

ovvero:

E⁻(k) ⊆ kerA^k

• Il sistema si dice ricostruibile se `e ricostruibile in k passi per qualche k.

Per il teorema di Cayley–Hamilton, e tenendo presente che:

kerA^k = kerAⁿ, per k ≥ n, la condizione di ricostruibilit`a `e data da:

E⁻ = ker

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

⊆ kerAⁿ

————–

• Nota. Dall’ultima relazione risulta evidente che la condizione di osserva- bilità implica, ma non è implicata, dalla condizione di ricostruibilità:

Osservabilità ⇒ Ricostruibilità Osservabilità ⇐ Ricostruibilità

(11)

Osservabilit` a e ricostruibilit` a (Sistemi lineari continui)

Sia dato un sistema lineare, continuo, tempo–invariante descritto dalle matrici A, B e C.

• Due stati x1 e x2 sono indistinguibili nel futuro nell’intervallo [0, t], se per ogni possibile funzione di ingresso u(·) le funzioni di uscita coincidono su tale intervallo:

x1(0) ≈ x^t 2(0) ⇔ y1(τ) = y2(τ) cio`e se

CeÂτx1 = CeÂτx2, ⇔ CeÂτ(x1 − x2) = 0, 0 ≤ τ ≤ t

• Consideriamo l’operatore lineare O^t : X → Y(0, t), che associa allo stato iniziale x ∈ X la corrispondente funzione di uscita in evoluzione libera y(τ ) ∈ Y(0, t):

O_t : x → Ce^Aτx, 0 ≤ τ ≤ t

• Allora x1 e x2 sono indistinguibili nel futuro se e solo se:

x1(0) − x2(0) ∈ kerO^t

• Gli stati indistinguibili nel futuro dallo stato 0, ovvero gli stati non osser- vabili in [0, t], sono gli elementi appartenenti al nucleo di O_t.

————–

Operatore aggiunto O_t^∗ : Y(0, t) → X:

O^∗_t : y(·) → ₀^t e^A^T^τC^Ty(τ ) dτ Propriet`a dell’operatore aggiunto:

kerO_t = ker(O_t^∗O_t) = kerV^t dove

V^t = ^t

0 e^A^T^τC^TCe^Aτ dτ

(12)

Matrice di osservabilit` a

Deﬁniamo la matrice di osservabilit`a nel seguente modo:

O⁻=

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

dove n `e l’ordine della matrice di stato A.

Proprietà. Il sottospazio di non osservabilit`a E⁻ relativo all’intervallo [0, t] è, per ogni t > 0, il nucleo della matrice di osservabilità O⁻.

Prova: x `e non osservabile in [0, t] se e solo se:

Ce^Aτx = 0, 0 ≤ τ ≤ t ⇔⁽¹⁾

⇔ ^∞

i=0C^τ_i!ⁱAⁱx = 0, 0 ≤ τ ≤ t ⇔⁽²⁾

⇔ CAⁱx = 0, i = 0, 1, . . . ⇔⁽³⁾

⇔ CAⁱx = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1 ⇔

⇔ x(t) ∈ ker

⎡

⎢⎢

⎣

CCA ...

C(A)ⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

= kerO⁻

(1) - Per la deﬁnizione della matrice esponenziale, (2) - per il principio di identit`a delle serie di potenze, (3) - per il teorema di Cayley-Hamilton

(13)

• Nota. Poichè il sottospazio non osservabile E⁻ non dipende da t, la proprietà di osservabilità dei sistemi continui non dipende dall’ampiezza dell’intervallo in cui si considera l’uscita.

• Nota. Il sottospazio non osservabile `e dato da:

E⁻ = ker O⁻ e il sistema `e osservabile se:

E⁻ = kerO⁻ = {0} ⇔ rangoO⁻ = n

• Nota. Nel caso dei sistemi continui la condizione di osservabilità è equiva- lente a quella di ricostruibilità. In modo analogo a quanto visto per i sistemi discreti e tenendo conto che il sottospazio non osservabile non dipende da t, si dimostra che: nell’intervallo [−t, 0] nessuno stato è indistinguibile nel passato dallo stato 0 se:

E⁺ = e^AtE⁻ = {0} ⇒ E⁻ = e^−At{0} = {0}

Infatti, la matrice e^At `e sempre invertibile.

• Il sottospazio E⁻ gode della seguente propriet`a: `e il pi`u grande sottospazio invariante di A contenuto nel kerC.

(14)

Dualit` a

• Dato un sistema continuo o discreto S = (A, B, C, D), il sistema S^D = (A^T,C^T,B^T,D^T), viene detto sistema duale di S.

numero di ingressi di S = numero di uscite di S^D numero di uscite di S = numero di ingressi di S^D

• Proprietà di raggiungibilità e osservabilità. Le matrici di raggiungibilità ed osservabilità R⁺D e OD⁻ di S^D sono legate alle matrici R⁺ e O⁻ di S dalle relazioni:

R⁺D = [C^T A^TC^T . . . (A^T)ⁿ⁻¹C^T] =

⎡

⎢⎢

⎣

CAC ...

CAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

T

= (O⁻)^T

OD⁻ =

⎡

⎢⎢

⎣

B^T B^TA^T

...

B^T(A^T)ⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

= [B AB . . . Aⁿ⁻¹B]^T = (R⁺)^T

• Proprietà. Per sistemi discreti, se S è controllabile allora S^D è ricostruibile.

ImAⁿ ⊆ ImR⁺ ⇔ (ImAⁿ)^⊥ ⊇ (ImR⁺)^⊥ ⇔

⇔ ker(A^T)ⁿ ⊇ ker(R⁺)^T = kerO⁻D = ED⁻

(15)

• Propriet`a : Dato un sistema dinamico S e il suo duale S^D, valgono le propriet`a:

S raggiungibile ⇔ S^D osservabile S osservabile ⇔ S^D raggiungibile S controllabile ⇔ S^D ricostruibile S ricostruibile ⇔ S^D controllabile

• Dati due sistemi algebricamente equivalenti S e S, anche i loro duali S^D e SD sono algebricamente equivalenti:

S = (A, B, C) ⇒T S = (T⁻¹AT, T⁻¹B, CT)

 Dualit`a  Dualit`a

S^D = (A^T, C^T, B^T) T⇒ S^−T D = (T^TA^TT^−T, T^TC^T, B^TT^−T)

• Infatti, i sistemi S e S sono legati fra di loro dalla relazione x = Tx

mentre i due sistemi duali S^D e SD sono legati fra di loro dalla relazione x^D = T^−TxD

(16)

Forma standard di osservabilit` a

• Si consideri il seguente sistema lineare discreto (continuo):

(1)

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) di dimensione n e non (completamente) osservabile:

dimE⁻ = n − ρ > 0

• Allora esiste una trasformazione di coordinate x = Px tale che:

(2)

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

A = P⁻¹AP =

⎡

⎢⎣ A1,1 0 A2,1 A2,2

⎤

⎥⎦ B = P⁻¹B =

⎡

⎢⎣ B1

B2

⎤

⎥⎦

C = CP = C1 0 D = D

dove A1,1 ha dimensione ρ × ρ e C1 ha dimensione p × ρ costituiscono una coppia osservabile.

Il sistema (2) viene detto forma standard di osservabilit`a del sistema (1), in quanto viene messa in evidenza la parte osservabile del sistema originario.

La prova è immediata, considerando che il duale del sistema (1) non è raggiungibile e quindi esiste una matrice T di cambiamento di base che riduce (2) in forma standard di raggiungibilità. La corrispondente forma duale coincide con il sistema (2). Per le proprietà dei sistemi duali, il legame tra la matrice P e la matrice T è il seguente:

P = (T⁻¹)^T = (T^T)⁻¹

————–

In base alla dualit`a si mostra anche che le prime righe di P⁻¹ = T^T sono un insieme di righe linearmente indipendenti di (R⁺D)^T = O⁻.

(17)

Forma standard - schema a blocchi

Si consideri il vettore di stato x partizionato nelle due componenti x1, parte osservabile, e x2 parte non osservabile:

x = P⁻¹x, x =

⎡

⎢⎣ x1

x2

⎤

⎥⎦

dove dimx1 = ρ. Le equazioni del sistema (2) diventano:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x1(k + 1) = A1,1x1(k)+ B1u(k) x2(k + 1) = A2,1x1(k)+ A2,2x2(k)+ B2u(k) y(k) = C1x1(k)+ Du(k)

z⁻¹I^ρ u(k)

x1(k + 1)_- x1(k) C1

B1

A1,1

A2,1

z⁻¹Iⁿ−ρ

x2(k + 1) x2(k)

A2,2

- -

-

D

y(k)- -

B2 ^-

- -

6

? -

6

- ?

Nota. Le medesime osservazioni e la medesima scomposizione standard vale anche nel caso dei sistemi a tempo continuo.

(18)

Forma standard di osservabilit` a

• Il sottosistema di dimensione ρ caratterizzato dalle matrici A1,1, B1 e C1

`e completamente osservabile:

ρ = rangoO⁻P = rangoO⁻ = rango

⎡

⎢⎢

⎢⎣

C1 0 C1A1,1 0

...

C1Aⁿ_1,1⁻¹ 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦

da cui:

ρ = rango

⎡

⎢⎢

⎢⎣

C1 0 C1A1,1 0

...

C1A^ρ_1,1⁻¹ 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦

= rango

⎡

⎢⎢

⎢⎣

C1

C1A1,1

...

C1A^ρ_1,1⁻¹

⎤

⎥⎥

⎥⎦

= rangoO⁻₁

dove O⁻₁ `e la matrice di osservabilit`a del sottosistema (A1,1, B1, C1).

• Il sottosistema (A1,1, B1, C1) è detto sottosistema osservabile. Poichè la coppia (A1,1, C1) è osservabile, lo stato di questo sottosistema può essere determinato in base ai dati di ingresso e di uscita.

• Il sottospazio non osservabile E⁻ del sistema (2) `e costituito da tutti e soli i vettori aventi le componenti x1 nulle.

Infatti essi sono gli unici vettori di stato a cui corrisponde in uscita un’e- voluzione libera identicamente nulla.

Il sottosistema caratterizzato dalle matrici (A2,2, B2, 0) `e detto sottosi- stema non osservabile.

(19)

Matrice di trasferimento.

• La matrice di trasferimento di un sistema dinamico, coincide con la matrice di trasferimento della sua parte osservabile.

Infatti, sia dato il sistema nella forma standard di osservabilit`a:

A =

⎡

⎢⎣ A1,1 0 A2,1 A2,2

⎤

⎥⎦, B =

⎡

⎢⎣ B1

B2

⎤

⎥⎦

C = C1 0 La matrice di trasferimento vale:

H(z) = C1 0

⎡

⎢⎣ zI − A1,1 0

−A2,1 zI − A2,2

⎤

⎥⎦

−1^⎡

⎢⎣ B1

B2

⎤

⎥⎦ =

= C1 0

⎡

⎢⎣ (zI − A1,1)⁻¹ 0

∗ ∗ ∗ (zI − A2,2)⁻¹

⎤

⎥⎦

⎡

⎢⎣ B1

B2

⎤

⎥⎦ =

= C1(zI − A1,1)⁻¹B1

cioè la matrice di trasferimento H(z) è influenzata solamente dalle matrici del sottosistema osservabile (A1,1, B1, C1).

(20)

Esempio. Dato seguente sistema lineare stazionario continuo

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x(t) =˙

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 −1

−1 0 −1

1 1 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦x(t) +

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1

−11

⎤

⎥⎥

⎥⎦u(t)

y(t) = 1 1 0 x(t) Portare il sistema in forma standard di osservabilit`a.

Sol. La matrice di osservabilit`a del sistema `e:

O⁻ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 1 0

−1 1 −2

−3 −3 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦ → det O⁻ = 0

La matrice O⁻ è singolare. Il sistema non è completamente osservabile per cui è possibile calcolare la matrice di trasformazione P che porta il sistema in forma standard di osservabilità:

P^-1 =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 1 0 1 0 1 1 0 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦ → P =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 0 1

1 0 −1 0 1 −1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

Il sistema trasformato assume la forma

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x(t)=˙¯

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 −2 0 2 −1 0 1 −1 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦x(t) +¯

⎡

⎢⎢

⎢⎣

2 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦u(t) y(t)= 1 0 0 x(t)¯

La parte non osservabile `e “semplicemente” stabile in quanto ha un autovalore nell’origine:

s = 0.

Il fatto che la parte non osservabile non fosse asintoticamente stabile poteva anche essere dedotto dal fatto che tutti e tre gli autovalori della matrice A sono sull’asse immaginario:

s₁ = 0, s1,2 = ±√ 3j.

Matrice di trasferimento:

G(s) = Co(sI − Ao)^-1Bo = 1 0

⎡

⎣ s− 1 2

−2 s + 1

⎤

⎦

-1⎡

⎣ 2 0

⎤

⎦ = 2(s + 1) s² + 3 E funzione della sola parte osservabile del sistema.`

(21)

Forma canonica di osservabilit` a

• Proprietà. Il sistema S = (A, c) con una sola uscita, descritto dalle ma- trici di stato e di uscita A e c, è osservabile se e solo se è algebricamente equivalente ad un sistema S^c = (A^c, c^c) descritto dalle matrici

A^c =

⎡

⎢⎢

⎣

0 0 . . . 0 −α0

1 0 . . . 0 −α1

... ... ... ...

0 0 . . . 1 −αⁿ−1

⎤

⎥⎥

⎦

c^c = [ 0 0 . . . 0 1 ]

dove i coeﬃcienti α₀, . . . , α_n₋₁ sono i coeﬃcienti del polinomio caratteri- stico monico della matrice A:

∆_A(λ) = λⁿ + λⁿ⁻¹α_n₋₁ + . . . + α₀

• La forma canonica di osservabilit`a si ottiene immediatamente ponendo il sistema duale in forma canonica di controllo.

• Le matrici di osservabilit`a O⁻ e O⁻c del sistema originario e di quello in forma canonica di osservabilit`a sono legate fra di loro dalla relazione

O⁻c = O⁻P

dove P `e la matrice di trasformazione (x = Px^c) che porta il sistema originario nella forma canonica di osservabilit`a. Infatti, si ha che

O⁻P =

⎡

⎢⎢

⎣

cAc ...

cAⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

P =

⎡

⎢⎢

⎣

cP (PcP⁻¹AP) ...

cP (P⁻¹AP)ⁿ⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

=

⎡

⎢⎢

⎣

c^c c^cA^c

...

c^cAⁿc⁻¹

⎤

⎥⎥

⎦

= Oc⁻

Dalla precedente relazione si ricava immediatamente che:

P = (O⁻)⁻¹Oc⁻, P⁻¹ = (Oc⁻)⁻¹O⁻

(22)

Scomposizione canonica di Kalman

Si consideri il sistema S = (A, B, C). Sia X⁺ il sottospazio raggiungibile ed E⁻ il sottospazio non osservabile.

• Sia B2 una matrice di base del sottospazio X⁺ ∩ E⁻;

• Siano B1 e B4 due insiemi di vettori linearmente indipendenti tali che:

– B1 ∪ B2 sia una base per lo spazio X⁺. – B2 ∪ B4 sia una base per lo spazio E⁻.

• Sia B3 un insieme di vettori linearmente indipendenti in modo tale che le colonne della seguente matrice T:

T = [B1, B2, B3, B4] costituiscano una base per lo spazio degli stati X.

Il sistema trasformato che si ottiene utilizzando T come matrice di trasforma- zione, x = Tx , `e caratterizzato dalle seguenti matrici:

A = T⁻¹AT =

⎡

⎢⎢

⎣

A1,1 0 A1,3 0 A2,1 A2,2 A2,3 A2,4

0 0 A3,3 0

0 0 A4,3 A4,4

⎤

⎥⎥

⎦

B = T⁻¹B =

⎡

⎢⎢

⎣

B1

B2

0 0

⎤

⎥⎥

⎦

C = CT = [ C1 0 C3 0 ] Tale struttura si ottiene considerando che:

• il sottospazio X⁺ = span{B1,B2} `e A–invariante.

• il sottospazio E⁻ = span{B2,B4} `e A–invariante.

• ImB ⊆ X⁺

• kerC ⊇ E⁻

(23)

Struttura della scomposizione canonica

• La scomposizione canonica consente di evidenziare i sottosistemi:

S1 = (A1,1, B1, C1) : raggiungibile e osservabile

S2 = (A2,2, B2, 0) : raggiungibile e non osservabile

S3 = (A3,3, 0, C3) : non raggiungibile e osservabile

S4 = (A4,4, 0, 0) : non raggiungibile e non osservabile

• La matrice di trasferimento H(z) `e funzione della sola parte completamen- te raggiungibile e completamente osservabile del sistema dato, cio`e dipende solo dalle matrici del sottosistema S1 della scomposizione canonica di Kalman. Infatti, si ha che:

H(z) = C(zI − A)⁻¹B = C1(zI − A1,1)⁻¹B1