Bar a su tron hi
Enun iato del problema
Unblo oparallelepipedo rettangoloeappoggiatosudue rulliparalleli,tra
loro uguali | ilindri i, omogenei e rigidi | he a loro volta poggiano su un
piano orizzontale. Si assume he tra blo o e rulli, ome pure tra rulli e piano,
sia presente il solo attrito radente.
Alblo oeappli ata, all'altezza del entro di massa, una forza orizzontale
ostante. Studiare il moto del blo o e in parti olare la ondizione sotto ui si
ha purorotolamento, sia tra blo o e rulli, sia tra rulli e piano.
De nizioni e notazioni
A tuttigli e etti il problemapuo essere trattatoin due dimensioni,per ui
parleroades.di\puntodi ontatto"quandoinrealtasitrattadiuna\generatri e
di ontatto," e .
Distinguero ongliindi i
1 ,
2
i duerulli,risp. nell'ordine on orde olverso
della forza appli ata. I punti di ontatto tra rulli e blo o li hiamo A
1 , A
2
;
quelli di ontatto tra rulli e piano saranno B
1 , B
2 .
Indi o on M lamassa delblo o, onP ilsuo peso(jPj=Mg); on mla
massa di ias un rullo, on P
r1 , P
r2
i loro pesi (jP
r1 j= jP
r2
j =mg). Il raggio
dei rullisia r.
Sianoan ora s
1 , s
2
ledistanze orizzontalidel entro di massa G del blo o
da A
1 , A
2
. Durante il moto s
1 e s
2
ambieranno: solo la loro somma restera
ostante, ome vedremo. Pono a = s
1 +s
2
. Indi hero an ora on h l'altezza
di G sulla base delblo o.
La velo ita del entro dei rulli e u (e la stessa per entrambi, v. dopo); la
velo ita del blo o e v. Con ! indi hero il modulo della velo ita angolare dei
rulli.
Quantoalleforze,R
1b
elaforza heilrullo1eser itasulblo o;R
b1
quella
he il blo o eser ita sul rullo 1; R
1p
la forza del rullo 1 sul piano, R
p1
quella
del pianosul rullo1. Analoga notazione per il rullo 2.
Dal terzo prin ipio
Delle forze esistenti, buona parte sono a due a due opposte per il terzo
prin ipio:
R
1b
= R
b1
R
2b
= R
b2
R
1p
= R
p1
R
2p
= R
p2 :
(1)
Potro quindi fare a meno di usare R
1b , R
2b , R
1p , R
2p .
Convieneintrodurreassi artesianiorientati omesegue: xorizzontale, on-
orde on F; y verti ale, on orde on P; z di onseguenza (servira solo per
esprimere i momenti).
Per omeedes rittoilmoto,uevhannosolole omponentix, heindi hero
sempli emente on u, v (in linea di prin ipio grandezze on segno, an he se di
fatto sono positive).
An ora: La forza F ha la sola omponente x (positiva per de nizione) he
indi hero onF;ipesiP,P
r1 ,P
r2
hannosolole omponentiy, heindi o onP,
P
1 , P
2
. Inve e R
b1
e . hanno entrambe le omponenti x e y; per alleggerire la
notazione indi hero on X
b1 , Y
b1
le omponenti di R
b1 , e .
Osserviamo he per non avere dista o del blo o dai rulli dovranno essere
soddisfatte ledisuguaglianse:
Y
b1
0 Y
b2
0
e per non avere dista o tra rulli e piano:
Y
p1
0 Y
p2
0:
Inve e i segnidelle omponenti x sono per ora in ogniti.
La ondizione di puro rotolamento
Se si ha puro rotolamento dei rulli sul piano, i punti B
1 , B
2
sono istanta-
neamente fermi, e quindi la velo ita del entro del rullo1 vale !r, e lo stesso e
veroperilrullo 2;abbiamo os dimostrato heu=!r e lavelo ita omunedei
entri dei due rulli.
Quanto ai punti A
1 , A
2
, il puro rotolamento impli a he essi abbiamo la
stessa velo ita siase pensati omeapparteneti al rullo,sia alblo o. Dunquela
velo ita del blo o e
v =2!r =2u: (2)
Relazioni di attrito stati o
Sesihapurorotolamento,l'attritoradenteneivaripuntidi ontattosoddi-
sfa la ondizione dell'attrito stati o. Assumendo uguali oeÆ ienti di attrito
in tutti ipunti, avremo
jX
b1
jY
b1
jX
b2
jY
b2
jX
p1
j Y
p1
jX
p2
j Y
p2
(3)
Perlaprimaequazione ardinaledobbiamo onsiderareledue omponentix
e y, he sono
M v_ =F X
b1 X
b2
0=P Y
b1 Y
b2
(ho fatto uso delle(1)).
La se onda equazione ardinale ha solo la omponente z. Prendendo i mo-
menti rispetto aG:
s
1 Y
b1 s
2 Y
b2
+hX
b1
+hX
b2
=0
per he il motodel blo oe traslatorio, quindi il suo momento angolare rispetto
a Ge ostantemente nullo.
Equazioni ardinali per i rulli
Comin iamo ol rullo 1. La prima equazione ardinale (nelle due ompo-
nenti) e
mu_ =X
b1 +X
p1
0=P
1 +Y
b1 +Y
p1 :
(La se onda e giusti ata dalla ondizione he il rullo non si debba dista are
dal piano,per ui la y del suo entro di massa e ostante.)
Quanto alla se onda equazione ardinale, sempre s ritta rispetto al entro
di massa:
I!_ =rX
b1 rX
p1
doveI = 1
2 mr
2
eilmomentod'inerziadelrullorispettoalsuoassedisimmetria.
Per il rullo 2 le equazioni sono del tutto simili:
mu_ =X
b2 +X
p2
0=P
2 +Y
b2 +Y
p2
I!_ =rX
b2 rX
p2 :
Conteggio delle in ognite e sempli azione delle equazioni
Per omin iare ri opio tutte le equzioni trovate:
Mv_ =F X
b1 X
b2
(4)
0=P Y
b1 Y
b2
(5)
1 b1 2 b2 b1 b2
mu_ =X
b1 +X
p1
(7)
0=P
1 +Y
b1 +Y
p1
(8)
I!_ =rX
b1 rX
p1
(9)
mu_ =X
b2 +X
p2
(10
0=P
2 +Y
b2 +Y
p2
(11)
I!_ =rX
b2 rX
p2
: (12)
Come si vede, le equazioni sono 9. Le in ognite sono: u, v, !, X
b1 , X
b2 ,
Y
b1 , Y
b2 , X
p1 , X
p2 ,Y
p1 , Y
p2
. Perou, v, ! sono legate dalla(2); quindi an he le
in ognite sono9.
Le (4){(12) possono essere sempli ate usando la (2) e le de nizioni di P,
P
1 , P
2 :
Mv_ =F X
b1 X
b2
(4 0
)
0=Mg Y
b1 Y
b2
(5 0
)
s
1 Y
b1 s
2 Y
b2
+hX
b1
+hX
b2
=0 (6
0
)
mv_ =2X
b1 +2X
p1
(7 0
)
0=mg+Y
b1 +Y
p1
(8 0
)
mv_ =4X
b1 4X
p1
(9 0
)
mv_ =2X
b2 +2X
p2
(10 0
)
0=mg+Y
b2 +Y
p2
(11 0
)
mv_ =4X
b2 4X
p2
: (12
0
)
Si possono separare le (4 0
){(12 0
) in due gruppi. Le (4 0
), (7 0
), (9 0
), (10 0
), (12 0
)
ontengono solo le X:
M v_ =F X
b1 X
b2
(4 0
)
mv_ =2X
b1 +2X
p1
(7 0
)
mv_ =4X
b1 4X
p1
(9 0
)
mv_ =2X
b2 +2X
p2
(10 0
)
mv_ =4X
b2 4X
p2
: (12
0
)
Le (5 0
), (8 0
), (11 0
) ontengono solo le Y:
0=M g Y
b1 Y
b2
(5 0
)
0=mg+Y
b1 +Y
p1
(8 0
)
0=mg+Y
b2 +Y
p2
(11 0
):
Resta a parte la (6), he mes ola le X e le Y:
s
1 Y
b1 s
2 Y
b2
+hX
b1
+hX
b2
=0: (6
0
)
Soluzioni
Le equazioni del primo blo o si risolvono fa ilmente:
X
p1
=X
p2
=
mF
8M +6m
(13)
X
b1
=X
b2
=3X
p1
(14)
_ v =
4F
4M +3m
: (15)
Le equazioni del se ondo blo o, insieme on la (6 0
) e on le (13), (14),
determinanole Y:
Y
b1
= s
2
a
M g Q (16)
Y
b2
= s
1
a
M g+Q (17)
Y
p1
= s
2
a
M g mg+Q (18)
Y
p2
= s
1
a
M g mg Q (19)
dove ho introdotto l'abbreviazione
Q=
3mhF
a(4M +3m)
: (20)
Dis ussione
Non i sono parti olari ommenti da fare alle (13){(15), a parte il fatto
ontrointuitivo he non solo sonopositive X
b1 e X
b2
, ma an he X
p1 e X
p2 .
Quanto alle Y, Y
b2
e hiaramente positiva, e Y
p2
hiaramente negativa,
ome l'intuizione gia suggeriva. Quindi non si avra mai dista o al rullo 2.
Diversamente per Y
b1
, hee >0 sse
F <
s
2 g
3h M
m
(4M +3m): (21)
Questa ondizione e ertamente soddisfatta se F = 0; lo e an he se h e abba-
stanza pi olo o se mepi ola. Ma puo essere violatain ondizioni opportune,
dando luogoa dista o nel punto A
1
dove il blo oto a il rullo 1.
p1 p2
dove puo avvenire il dista o, per es. al res ere di F, none maiB
1 .
La(21) essadivalereses
2
=0,ossiaseGarrivasopraA
2
( osa hea adra
di erto,visto heGhainogniistantevelo itadoppiadiA
2
). Quindiildista o
avviene ne essariamente prima he G raggiunga A
2
. Pertanto durante il moto
\normale"(blo oappoggiatosuirulli, inpurorotolamento) ertamentes
2
>0.
Passiamoalle ondizioniperaverepurorotolamento,espressedalle(3). Da-
to he X
b1 , X
b2
sono maggiori di X
p1 , X
p2
, mentre jY
p1 j < Y
b1 e jY
p2 j < Y
b2 ,
le(3)sonosoddisfattenei puntiB
1 ,B
2
se losonoinA
1 ,A
2
. Inoltre X
b1
=X
b2 ,
mentre Y
p1
< Y
p2
: dunque il punto riti o, quello dove potra iniziare lo slitta-
mento, e A
1 .
Intuitivamentequesto si apis e: ipunti Bhannoun ari o(verti ale)mag-
giore degli A, a ausa del peso dei rulli. Poi il rullo 2 e ari ato di piu di 1,
per la presenza della forza a eleratri e F. Il solo fatto non intuitivo e he le
omponentiorizzontalidelleforzetrarulliepianosianominoridiquelletrarulli
e blo o, ma di questo si e gia detto.
Usando le (13), (14), (17) e la de nizione (20) di Q, la prima delle (3) si
s rive
3mF
8M +6m
s
2
a M g
3mhF
a(4M +3m)
ovvero
F <
s
2 g
3
h+ a
2
M
m
(4M +3m): (22)
Il onfronto della(22) onla(21)mostra heilse ondomembrodellaprima
eminorediquellodellase onda;dunquela ondizionedipurorotolamento(22)e
piustringentediquelladidista o(21). Dinuovo 'e heun oeÆ iented'attrito
pi olorendepiudiÆ ilesoddisfarela(22)(ovvio)mentreunograndel'avvi ina
alla ondizionedi dista o.
