Diversità in ricezione Diversi schemi di diversità in ricezione

Concetto di diversità Concetto di diversità

su canali radio

su canali radio

su canali radio

su canali radio

Diversità Spaziale Diversità Spaziale

Diversità in ricezione

Diversi schemi di diversità in ricezione

Selection combining: degli M segnali ricevuti, si seleziona il più “forte”

Switched combining: il ricevitore sceglie un’altro segnale (tra quelli

disponibili) quando la qualità di quello presente scende sotto un certa soglia (più semplice, ma meno efficiente della selection combining)

Equal gain combining: tutte le repliche vengono sommate insieme Equal gain combining: tutte le repliche vengono sommate insieme coerentemente

Maximal-Ratio-Combining (MRC): I segnali ricevuti sono pesati con dei pesi proporzionali al SNR e quindi sommati. L’SNR risultante sarà pari a M volte l’SNR di ogni singolo canale (se gli M canali tra antenna in TX e le M antenne in ricezione sono caratterizzati da fading indipendente e stesso SNR).

Diversità Spaziale Diversità Spaziale

Garantisce un drammatico aumento delle prestazioni a parità di potenza anche con due sole antenne e la diversità di selezione.

La probabilità di fuori servizio (ossia che il rapporto segnale rumore scenda sotto una certa soglia) con la tecnica MRC migliora linearmente con il numero di rami M, ma la complessità diventa proibitiva.

Si usa in genera nell’uplink (mobile-stazione base) in quanto la

Diversità in ricezione Riassumendo

Si usa in genera nell’uplink (mobile-stazione base) in quanto la

complessità/ingombro dovuto al processamento aggiuntivo per combinare opportunamente questi segnali ricevuti e per “sistemare” le antenne multiple rende questa tecnica meno fattibile sul terminale mobile sul quale e’ complicato posizionarle sufficientemente spaziate e poi un processamento complesso

comporta consumi e dimensioni maggiori. Quindi, nel dowlink non si usa molto.

E allora? Come posso migliorare le prestazioni del downlink

senza aumentare le antenne del terminale mobile?

Diversità in trasmissione Diversità in trasmissione

1) con feedback dal ricevitore (con CSIT)

La risposta è: usare la diversità in trasmissione diversità in trasmissione

1) con feedback dal ricevitore (con CSIT) 2) senza feedback (senza CSIT)

(ipotesi sotto’intesa: sistemi che lavorano con FDD e quindi non c’e’

reciprocità)

Diversità in trasmissione Diversità in trasmissione

1) con feedback dal ricevitore: beamforming

Diversità in trasmissione Diversità in trasmissione

2) senza feedback: Space Time Coding (Codici Spazio-Temporali)

La codifica è realizzata aggiungendo della ridondanza in modo opportuno in Codificatore

spazio- temporale

S/P

La codifica è realizzata aggiungendo della ridondanza in modo opportuno in entrambi i domini (tempo e spazio) creando cosi una correlazione nel segnale trasmesso (non so quanto vale il guadagno di canale, ma so o meglio ipotizzo che sia uguale per due intervalli consecutivi e quindi sfrutto questa informazione se nel trasmettere creo una correlazione tra le cose che mando nei due intervalli di tempo)

Questa correlazione permette di ottenere il guadagno di diversità laddove

non c’è conoscenza del canale in TX, ma per ottenerlo, devo usare più di

un intervallo temporale per la trasmissione

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: trasmetto su due intervalli di tempo la stessa informazione, una volta su di una antenna e una volta su di un’altra antenna

Antenna #1 Antenna #2

t S

t+1 S ^{2 2 2}

1 1

1

n s

h y

n s

h y

+

=

+

=

Se il fading si può ritenere scorrelato, con questo schema ottengo lo Se il fading si può ritenere scorrelato, con questo schema ottengo lo stesso risultato in termini di guadagno di diversità (più favorevole distribuzione dell’SNR totale) che ottengo con due antenne in ricezione sufficientemente spaziate: se faccio un MRC dei due segnali ricevuti nei due istanti di tempo, ottengo un ordine di diversità pari a due.

Tuttavia, per questo schema, la data rate è dimezzata!

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Se accettiamo una riduzione della data rate, possiamo facilmente ottenere un guadagno di diversità usando antenne multiple in trasmissione, anche nel caso di canale non noto in trasmissione

La difficoltà/sfida dei codici spazio temporali sta nel cercare di ottenere un guadagno di diversità con la minima riduzione di data rate possibile

I codici spazio-temporali vengono progettati in modo da ottenere il desiderato compromesso tra:

1) Massimizzazione della velocità di trasmissione

2) Riduzione della probabilità d’errore

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: schema di Alamouti N=2 M=1

Antenna #1 Antenna #2

t _{c c}

spazio t

e

m

^t

t+1 ^{− c 2*} c1^*

c1 c ₂

m

p

o

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

[ ] ^



 



 −

→

¹ _*^2*

2

1

c c

c c c

c

ST Block Code

Esempio: schema di Alamouti N=2 M=1

[ r

1

r

2

]

combiner

1

c ~

2

c ~

[ ] ^

 

→ 

_*

1 2

2

1

c c c

c

 

 



 −

=

_*

1 2

* 2 1

c c

c C c

Matrice del segnale

trasmesso s p a z io

tempo

[ r

1

r

2

]

Vettore ricevuto Vettore dei simboli trasmessi

2

c ~

[ c

1

c

2

]

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: schema di Alamouti

^N=2

M=1

n Hc

r  = +



 

 + 

 

 



 



 





= −

 

 



= 

+ +

−

=

+ +

=

2 1 2

1

* 1

* 2

2 1

* 2

1

2

* 1 2

* 2 1 2

1 2

2 1

1 1

n n c

c h

h

h h

r r

n c

h c

h r

n c

h c

h r

Ipotesi base dello schema di Alamouti: canale costante su due intervalli di simbolo











 −



 r

2

h

2

h

1

c

2

n

2

Si noti che: H è ortogonale

Infatti: ^HH

^*

⁼ ( ^h

¹²

^{+ h}

²²

) ^{I = h}

²

^{⋅ I}

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: schema di Alamouti N=2 M=1

quindi, se il combiner realizza una trasformazione lineare moltiplicando il vettore dei due simboli ricevuti nei due distinti intervalli di tempo per l’inverso della matrice H

n c

h r

H

c ~

~ =

^*

=

²

⋅ +

Posso stimare SEPARATAMENTE i due simboli trasmessi in quanto:

2 2

2 2

1 1

2 1

~

~

~

~

n c

c

n c

c

+

⋅

=

+

⋅

= h h

Questo DISACCOPPIAMENTO permette di fare la decodifica ML con

la stessa complessità del caso SISO!

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: schema di Alamouti

è un vettore di rumore Gaussiano complesso con media nulla e matrice di covarianza

e quindi l’SNR per ognuno ciascuno dei due simboli sarà:

n H n =

^*

~

I n

n ~

^*

] (

₁ ² ₂ ²

)

₀

[ ~ h h N

E = +

2 2

+

Ha un guadagno d’

Ha un guadagno d’arrayarray??

1,2 i

2

) (

0 2 2 2

1

+ =

=

_S

i

E

N h

γ h

Nota: Il fattore 2 a denominatore deriva dal fatto che la potenza trasmessa per simbolo non è più Es ma Es/2 (perché lo stesso simboli e’ trasmesso in due intervalli di tempo, a metà potenza in ogni intervallo)

Guadagno d’array 1 (che si avrebbe se posso supporre che entrambi i guadagni di canale siano quasi uguali) non c’e’ guadagno di array

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: schema di Alamouti

2 2

2

1 1

1

~

~

~

~

n c

c

n c

c

+

⋅

=

+

⋅

= h h

La distribuzione statistica dell’SNR è uguale a quella che ho con il La distribuzione statistica dell’SNR è uguale a quella che ho con il MRC con 2 elementi d’antenna (e quindi, in caso di fading alla Rayleigh, l’SNR è una chi-quadro con 2 gradi di libertà)

Guadagno di diversità 2 (full diversity gain, come uno schema

MRC)

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Esempio: schema di Alamouti Proprietà:

 Ordine di diversità 2 (come uno schema con diversità di ricezione e MRC)

 Frequenza di codifica unitaria (rate=1) in quanto trasmette due simboli in due intervalli di tempo (non c’è riduzione nella data rate)

 Il ricevitore ML è molto semplice grazie alla proprietà “imposta” ad H dallo ST code

 È il solo codice spazio temporale complesso che ottiene un pieno ordine di diversità con rate unitario

 per sistemi d’antenna 2x1, Alamouti è l’unico codice spazio temporale a

blocchi ottimo in termini di capacità (cioè, che massimizza la capacità)

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Richiami: Maximum Likelihood (ML) Decoder

Il decodificatore ML seleziona, tra tutte le possibili codeword, quella che

massimizza la funziona di verosimiglianza (likelihood function) dove èla sequenza ricevuta e è una delle possibili codeword:

)

( ^(m)

p Z|U ^′

Z

(m′)

U

Algoritmo ML:

) (

max )

( che tale

Scegliere U

^(m′)

p Z | U

^(m′)

= p Z | U

^(m)

ricerca tra codeword

2L

) (

max )

( che tale

Scegliere

^{( )}

le su tutte )

( )

(m m m

p

p Z | U

(m)

Z | U U

=

U

′

′

Nota: il decodificatore di Viterbi realizza una decodifica ML

Se le sequenze in ingresso sono tutte equiprobabili, il decodificatore ottimo (ossia quello che minimizza la probabilità di errore) è il decodificatore ML

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Prestazioni di uno schema di Alamouti

Preso da: ALAMOUTI, Simple transmit diversity technique for wireless communications 3dB peggio di un MRC

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: Temporali:

Relazione ingresso

Relazione ingresso--uscita uscita

Canale quasi-statico e constante su T simboli consecutivi Solo CSIR

è la matrice (NxT) dei simboli trasmessi, la cui colonna i-ma è il vettore trasmesso sulle N antenne al tempo i

è la matrice (MxT) dei simboli ricevuti

[ x x x

T

]

X =

_{1 2}

. .

[ y y y

T

]

Y =

_{1 2}

. .

è la matrice di rumore

T 2

1

[ n n n

T

]

N =

_{1 2}

. .

N

HX

Y = +

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: Temporali:

Criteri di progetto Criteri di progetto

Si può mostrare che la matrice di trasmissione stimata in base al criterio di massima verosimiglianza (ML, Maximum Likelihood) soddisfa:

Minimizzazione fatta su tutte le possibili matrici d’ingresso

La probabilità che la matrice di trasmissione stimata sia diversa da

2 NxT

arg min ˆ

HX

F

X Y

X −

= ∈

χ

χ

NxT

2

⋅ F È la norma di Frobenius

La probabilità che la matrice di trasmissione stimata sia diversa da quella trasmessa, detta pairwise probability, è:

E dipende solo dalla distanza delle due matrici e dal rumore del canale















 −

=

→ 2

2 ˆ ) ) (

( ˆ

σ X X X H

X Q

p

ˆ )

( X − X

Supponendo che la matrice H sia causale e spazialmente bianca, tale che i suoi elementi siano v.a. i.i.d. Gaussiane complesse a media zero e varianza unitaria, è l’SNR per vettore d’ingresso ( è l’SNR per antenna in TX)

per alti valori di γ si può scrivere che:







≤ 

→

^{− ∆}

p

M

1

N

ˆ )

( γ

X X

/

_n2

E

S

σ

γ = γ / N

Ordine di diversità

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: Temporali:

Criteri di progetto Criteri di progetto

Dove è la matrice:

è il rango della matrice e è il k-mo autovalore non nullo della stessa matrice

 



 



 



 

 ∆

≤

→

∆

∏

=

^N

p

_M

N

k

k

4 )

( ) 1

( ˆ

1

γ λ

X X

∆ ( X − X ˆ )( X − X ˆ )

^H

N

∆

∆ λ

_k

( ∆ )

Guadagno di codifica

−d

 L’ordine di diversità dello schema space-time è γ (infatti la pairwise probability decresce come )

Il massimo ordine di diversità sarà: NM

e si ottiene se la matrice differenza ha rango pieno e pari a N

(si parla di criterio del rango per progettare il codice spazio-temporale)

Il guadagno di codifica invece dipende dal termine:

∆

M N d =

_∆

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: Temporali:

Criteri di progetto Criteri di progetto

Il guadagno di codifica invece dipende dal termine:

Si ottiene un alto guadagno di codifica andando a massimizzare il minimo del determinante di su tutte le possibile matrici e

(si parla di criterio del determinante per progettare il codice spazio-temporale)

 



 

 ∏

^∆

∆

= N

k

k 1

) λ (

∆ X X ˆ

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Space

Space--Time Time Block Block Codes Codes ((STBCs STBCs))

Lo schema di Alamouti si può generalizzare al caso di un numero arbitrario di

elementi d’antenna. Questi codici ottenuti come generalizzazione dello schema di Alamouti, vengono detti Space Time Block Codes (STBCs).

Un codice STBC è definito da una matrice di trasmissione NxT, dove:

T è il numero di intervalli di simbolo consecutivi che costituiscono il BLOCCO che trasmetto (su cui ipotizzo il canale costante)

N è il numero di antenne in TX

Una frequenza di codifica che è una frazione (e quindi, ridotta efficienza spettrale rispetto al caso senza codifica)

ricevitori ML molto semplici basati su di un processamento LINEARE in ricezione

hanno guadagno di diversità e “qualche” guadagno di codifica dipendente dalla frequenza di codifica (in particolare, lo schema di Alamouti ha un pieno guadagno di diversità ma nessun guadagno di codifica)

Esempio: STBC (2x2)

[ ] ^



 



 −

→

¹ _*^2*

2

1

c c

c c c

c

ST Block Code

[ r

11

r

12

]

1

~ c

2

~ c

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Space

Space--Time Time Block Block Codes Codes ((STBCs STBCs))

[ ] ^

 

→ 

_*

1 2

2

1

c c c

c

[ r

21

r

22

]

4

* 1 22

* 2 21 22

3 2

22 1

21 21

2

* 1 12

* 2 11 12

1 2

12 1

11 11

n c

h c

h r

n c

h c

h r

n c

h c

h r

n c

h c

h r

+ +

−

=

+ +

=

+ +

−

=

+ +

= [ ]

[ ^{h h h h} ] ^{c noise}

c

noise c

h h

h h

c

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

2 2 22 2

21 2

12 2

11 2

1 2 22 2

21 2

12 2

11 1

~

~

Equivalente a N=1 e M=4 con MRC

Ordine di diversità pieno pari a 4 a rate 1

STBC con N>2

Alcune conclusioni note dalla letteratura scientifica:

Domanda: Esiste un codice STBC a rate 1 che permetta una decodifica semplice con un processamento lineare (come per Alamouti) nel caso di N >2?

Risposta: la teoria generalizzata del progetto di codici ortogonali ci dice che:

➪

➪

➪

➪ non esistono codici spazio temporali complessi che verificano

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Space

Space--Time Time Block Block Codes Codes ((STBCs STBCs))

➪

➪

➪

➪ non esistono codici spazio temporali complessi che verificano quella condizione

➪ esistono codici spazio temporali reali che verificano quella condizione, in particolare:

Esistono codici reali a rate 1 con semplice processamento lineare per un numero arbitrario di antenne

Esistono codici complessi a rate ½ con semplice processamento lineare e arbitrario numero di antenne

Esistono codici complessi a rate ¾ con semplice processamento lineare per N=3 e N=4.

Esempi di STBC con N>2

Esempio di codice reale con rate 1 e N=4

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali Temporali

Space

Space--Time Time Block Block Codes Codes ((STBCs STBCs))

Ordine di diversità 4 e nessun guadagno di codifica

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STBC Temporali: STBC

Esempi di STBC con N>2

Esempio di codice complesso con rate ½ e N=4

Ordine di diversità 4 e 3dB di guadagno di codifica

Però…..c’è un’ipotesi forte: canale costante per 8 intervalli di simbolo

G

¹

=

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STBC Temporali: STBC

Esempi di STBC con N>2

Esempio di codice complesso con rate ½ e N=3

* 4

* 3

* 2

* 1 4

3 2

1

- c -c c c - c - c - c

c −

G

²

=

* 2

* 3 4

* 1

* 4 3

* 4

* 3 2

* 1

* 2 3

2 1

4

1 4

3

4 1

2

3 2

1

c c c - c

c c - c

c c

c c

-c

c - c

c c

c c

c c

c

-c c

- c

−

−

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STBC Temporali: STBC

Esempi di STBC con N>2

ala G2

G1

G2

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STBC Temporali: STBC

Esercizio #1: calcolare l’ordine di diversità di un codice

STBC 2x1 time-switched

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STBC Temporali: STBC

Esercizio #2: calcolare l’ordine di diversità di un codice STBC a ripetizione 2x1

Homework: dimostrare che lo schema di Alamouti non ha un

guadagno di codifica

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STTC Temporali: STTC

Space-time trellis codes

(riferimento: V. Tarokh, N. Seshadri, A.R. Calderbank, “Space-Time Codes for High Data Rate Wireless Communication: Performance Criterion and Code Construction

ect.)

Una stringa di dati è codificata tramite codificatori convoluzionali per ottenere le N stringhe da mandare alle N antenne (la correlazione

temporale è ottenuta proprio tramite la codifica convoluzionale che è con memoria)

Vantaggi:

Vantaggi:

 Hanno sempre un guadagno di codifica

 Guadagni di diversità simili a quelli ottenibili con schemi STBC Svantaggi:

 Decodifica di Viterbi

 La complessità della decofica cresce esponenzialmente con la lunghezza della memoria del codice ad albero

 Progetto non banale

Codici Spazio

Codici Spazio--Temporali: STTC Temporali: STTC

Space-time trellis codes

Schema generale di un sistema MIMO Schema generale di un sistema MIMO

Codificatore di canale + interleaver +

modulatore digitale

Codificatore spazio- temporale

[ ] ⁱ

x

₁

[ ] ⁱ

x

Mt

. .

qK bits

N

simboli

Parola di codice spazio- temporale

M

t

T

qK bits entrano nel primo blocco che aggiunge q(N-K) bits di parità e tira fuori N simboli complessi appartenenti alla costellazione di elementi (es., 4 elementi nel caso di 4QAM).

Il codificatore spazio-temporale distribuisce gli N simboli su antenne e

Intervalli di tempo. La matrice (o trama) si chiama parola di codice spazio- temporale.

2q

Mt

T M_t×

T

Schema generale di un sistema MIMO Schema generale di un sistema MIMO

La data rate sul canale è:

s c

r T qR

N qN

q qK T bps

qK  =





 

=  ) (

dove è la frequenza di codifica (di canale)







 

= 

qN R

_c

qK

r

_s

= N

è la frequenza di codifica spaziale, definita come il numero di simboli indipendenti nella parola di codice spazio temporale diviso la lunghezza della parola di codice.

r

_s

= T

A secondo della scelta del codice spazio temporale, varia da 0 a r

_s

M

_t

Space time diversity

≤ 1 r

s

Spatial multiplexing

t

s

M

r =

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

L’obiettivo della multiplazione spaziale, al contrario di quello degli schemi spazio-temporali di diversità, è quello di massimizzare la velocità di

trasmissione. Quindi, l’idea è di mandare simboli indipendenti per ogni periodo di simbolo, in modo che .

Convenzionalmente: (ricevo combinazioni lineari degli

M

t t

s

M

r =

r

t

M

M ≤ M

r

M

t

simboli. Se i processi di fading sono “quasi” indipendenti, riesco a separare gli simboli trasmessi dal risolvere il sistema di

equazioni in incognite, quindi, il numero delle incognite deve essere minore di quello delle equazioni)

t

M

t

M

_r

M

t

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Spatial multiplexing with serial encoding

Codificatore di canale + interleaver +

modulatore digitale

demultiplexer

[ ] ⁱ

x

₁

[ ] ⁱ

x

Mt

. .

digitale

t

La stringa di bit viene codificata in una parola di codice lunga N intervalli di simbolo

La parola di codice viene prima interlacciata e poi i bit vengono “mappati”

in un simbolo complesso della scelta modulazione digitale.

I simboli complessi in uscita dal “mappatore” vengono demultiplexati e mandati sulle antenne: nel primo intervallo di simbolo si mandano i primi simboli, nel secondo i successivi simboli e cosi via, fino ad esaurire la parola di codice.

[ x

₁

,... .., x

N

]

Mt

Mt M_t

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Spatial multiplexing with serial encoding

Se le parole di codice sono sufficientemente lunghe, riesco a mandare tutti i bit su tutte le antenne in TX e a riceverli da tutte le antenne in ricezione.

Quindi, posso ottenere (in condizioni ideali) il massimo guadagno di diversità pari a . Per avere questo guadagno, le parole di codice dovrebbero essere lunghe almeno (cioè, ho bisogno di almeno intervalli di tempo per trasmettere una parola di codice).

r

tM

M

r

tM

M

N = ^T = ^M_r

N

t

s

M

T

r = N = data rate = qR

_c

M

_t

(bps )

Il guadagno di codifica dipende dal codice di canale e il guadango di array ottenibile è massimo e pari a

r

_s

= M

_t

Problema: devo decodificare con parole di codice troppo lunghe e la

complessità del ricevitore ML cresce esponenzialmente con la lunghezza delle parole.

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Spatial multiplexing with parallel encoding Cod. di canale

+ interleaver + mod.

demultiplexer

[ ] ⁱ

x

₁

[ ] ⁱ

x

. .

Cod. di canale ^x

M_t

[ ] ⁱ

Cod. di canale + interleaver +

mod.

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Spatial multiplexing with parallel encoding

t

s

M

r = data rate = qR

_c

M

_t

(bps )

Il guadagno di codifica dipende dal codice di canale e il guadango di array ottenibile è massimo e pari a r

_s

= M

_t

però però

Il guadagno di diversità può essere al massimo

Poiché ogni simbolo è trasmesso da una antenna e ricevuto da antenne.

M

r

M

r

Ricevitore è più semplice rispetto al caso precedente perché le parole di codice possono essere piu’ corte per avere i guadagni suddetti, tuttavia è sempre

necessario fare la decodifica congiunta di tutte le parole di codice da ognuna delle antenne in TX poiché sono tutte ricevute da tutte le antenne in RX

.

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Ricevitori per multiplazione spaziale

Gli ordini di diversità massimi sono quelli ottenibili con il ricevitore ML. Se uso ricevitori sub-ottimi, l’ordine di diversità sarà minore.

Il ricevitore ML, che cerca tra tutti i possibili vettori trasmessi dalle antenne in trasmissione (su cui sto supponendo di mandare simboli indipendenti),

quello che massimizza la funzione di massima verosimiglianza e ha una Mt

complessità che cresce esponenzialmene con il numero degli elementi d’antenna (sia la cardinalità dell’insieme dei simboli, l’insieme dei possibili vettori lunghi ha cardinalità )

Mt

χ

Mt

χ

^Mt

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Ricevitori per multiplazione spaziale Ricevitori lineari

La complessità del ricevitore può essere notevolmente ridotta se uso degli equalizzatori lineari, che realizzano una trasformazione lineare dei simboli ricevuti dalle antenne in ricezione:

[ ] ⁱ

r

₁

z

¹

[ ] ⁱ G

r

Mr

z

2

Mt

z

G è la matrice che descrive la trasformazione lineare.

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Ricevitori per multiplazione spaziale Ricevitori lineari

Supponeniamo (per semplicità) che . Sia il vettore dei simboli trasmesso in un intervallo di tempo. Ogni simboli è trasmesso con energia . Il vettore dei simboli ricevuti dalle antenne in ricezione è dato da:

r

t M

M =

(

_{1 2}

... )

Mt

s s

= s s

n sH r =

^S

+

M E

t S

M E

(

^H

)

^H

S t

ZF

E

G = M H

^§

con H

^§

= H H

⁻¹

H

dove è la matrice del canale MIMO. Un possibile ricevitore lineare è lo Zero-Forcing dove la matrice di trasformazione lineare è data da:

n sH

r = +

M

t

H

Multiplazione spaziale Multiplazione spaziale

Ricevitori per multiplazione spaziale Ricevitori lineari

n H s

z

^§

S t

E + M

=

La trasformazione lineare ha trasformato la decodifica congiunta di parole lunghe in decodifiche separate separate

Complessità notevolmente ridotta rispetto al ML

Aumento del rumore!

Peggiori prestazioni rispetto al ML

Nota: anche con Alamouti si usa una trasformazione lineare, MA in quel caso quella trasformazione lineare coincide con la decodifica ML (non è subottima!)

Mt M_t

Multiplazione spaziale: ricevitore V

Multiplazione spaziale: ricevitore V--BLAST BLAST (Vertical

(Vertical -- Bell Bell Labs Labs Layered Layered Space Space--Time Time))

Ricevitore a cancellazione d’interferenza V-BLAST per parallel encoding

E’ stato mostrato in [foschini99] che il seguente ricevitore riduce notevolmente la complessità del ricevitore per questo schema di multiplazione. Il ricevitore è detto V-BLAST (complessità lineare al crescere delle antenne). Spesso tutto lo schema di multiplazione spaziale viene chiamato V-BLAST.

Deinterlacciatore + decodificatore

[ ] ⁱ

r

₁

[Foschini99] G. Foschini, G. Golden, R. Valenzuela, P. Wolniansky, “Simplified processing for high spectral efficiency wireless communications employing multi-element arrays” IEEE J- Sel. Areas Commun., pp. 1841-1852, Nov. 1999.

Ordinatore dei simboli per SNR e

cancellatore d’interferenza

+ decodificatore

Deinterlacciatore + decodificatore

.

.

Multiplexer uscita

[ ] ⁱ

r

Mr

Multiplazione spaziale: schemi BLAST Multiplazione spaziale: schemi BLAST

(Bell

(Bell Labs Labs Layered Layered Space Space--Time Time))

Ricevitore a cancellazione d’interferenza per V-BLAST

1) Ordina le stringhe ricevute in base all’SNR (del simbolo che si vuole decodificare)

Es.: caso di sistema di antenne 2x2

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

n s

h s

h r

n s

h s

h r

+ +

=

+ +

=

se voglio decodificare s1, è come

se ricevessi

(tratto gli altri simboli come rumore) _{2 21 1 2}

1 1

11 1

~

~ n s

h r

n s

h r

+

=

+

=

2 2

22 1

21

2

h s h s n

r = + +

(tratto gli altri simboli come rumore)

r

₂

= h

₂₁

s

₁

+ n

₂

Supponiamo che il rapporto segnale

rumore sia più favorevole sull’antenna #2 che sull’antenna #1, allora ordino i simboli ricevuti cosi:

1 1

11 1

2 1

21 2

~

~ n s

h r

n s

h r

+

=

+

=

2) Fa una stima del simbolo usando la stringa con SNR maggiore (per esempio usando uno Zero-Forcing, supponendo che gli altri simboli siano rumore)

21 2 1

1

~ h s n z = + decide sulla base diˆs1

Multiplazione spaziale: schemi BLAST Multiplazione spaziale: schemi BLAST

(Bell

(Bell Labs Labs Layered Layered Space Space--Time Time))

Ricevitore a cancellazione d’interferenza per V-BLAST 3)

Si sottrae questo simbolo stimato dai segnali ricevuti

1 21 2

2 22 1

21 2

1 11 1

2 12 1

11 1

~ ˆ

~ ˆ

s h n

s h s

h r

s h n

s h s

h r

− +

+

=

− +

+

=

3) Si riordinano le stringhe in base all’SNR (del secondo simbolo da 3) Si riordinano le stringhe in base all’SNR (del secondo simbolo da

decodificare)

4) Si fa una stima del simbolo usando la stringa con SNR maggiore

5) Si ripete finchè tutti gli simboli independenti trasmessi non sono stati

stimati ^t

M

Multiplazione spaziale: schemi BLAST Multiplazione spaziale: schemi BLAST

(Bell

(Bell Labs Labs Layered Layered Space Space--Time Time))

Ricevitore a cancellazione d’interferenza per V-BLAST

In assenza di propagazione d’errore, tale ricevitore converte il canale MIMO in un insieme di canali paralleli con crescente ordine di diversità ad ogni stadio di cancellazione.

La selezione della stringa con SNR maggiore, permette di ottenere un guadagno di diversità in selezione ad ogni passo.

La propagazione degli errori è un fenomeno che si verifica, soprattutto se non c’e’ sufficiente codifica di canale ad ogni strato (layer) della codifica parallela.

La probabilità d’errore è dominata dalla probabilità d’errore sulla prima stringa, quella che sperimenta il minore ordine di diversità.

Compromesso diversità

Compromesso diversità--multiplazione multiplazione

Se uso antenne multiple in TX e RX per mandare simboli indipendenti nello stesso intervallo di simbolo, allora aumento la data rate ma le prestazioni in termini di BER possono essere molto basse a meno che non si usano codici di canale molto potenti (e quindi, elevata complessità).

Se invece uso le antenne multiple per avere un guadagno di diversità (e quindi, ottenere delle repliche indipendenti dello stesso segnale), ottengo un canale molto robusto in termini di BER, ma potrei persino ridurre la data rate.

Domanda: conviene usare le antenne per avere un guadagno di diversità, di multiplazione o entrambi?

Risposta: dipende dal canale.

Se il canale è “cattivo”, conviene usarle per avere un guadagno di diversità in modo da

aumentare l’affidabilità della trasmissione senza aumentare la potenza con cui trasmetto. Fare la multiplazione quando il canale è cattivo invece non ha molto senso perché avrei delle

pessime prestazioni in termini di affidabilità della trasmissione..

Al contrario, se il canale è “buono” (SNR elevati), non ho bisogno della diversità per migliorare l’affidabilità (la qualità della trasmissione soddisfa i requisiti minimi) e quindi mi converrebbe usare le antenne multiple per aumentare la rate.

Compromesso diversità

Compromesso diversità--multiplazione multiplazione

Se la lunghezza delle parole di codice potesse essere arbitrariamente lunga, potrei ottenere sia un guadagno di diversità che di multiplazione pieno. Nel caso di lunghezze dei blocchi finite, un compromesso tra i due guadagni esiste.

In [tse] si mostra che per ogni rate spaziale r, l’ordine di diversità ottimo, ossia l’ordine di

diversità massimo ottenibile da qualsiasi schema, nel caso che la lunghezza del blocco su cui si fa la codifica sia , è dato da:T ^≥Mt ⁺Mr ⁻¹

) ,

min(

0 ) )(

( )

( _{t r t r}

opt r M r M r r M M

d = − − ≤ ≤

Quindi, se uso tutte le antenne per avere un guadagno di diversità pieno , r deve

essere nullo (ossia, guadagno di multiplazione nullo). Posso usare alcune delle antenne per avere un guadagno di multiplazione, ma a spese del guadagno di diversità

Alcuni schemi proposti usano tecniche adattative basate sulle condizioni del canale, che a secondo delle condizioni del canale usano uno schema che ottiene maggiore guadagno di diversità o maggiore guadagno di multiplazione.

[tse] L. Zheng, D.N. Tse, “Diversity and multiplexing: A fundamental trade-off in multiple antenna channels,” IEEE Trans. Inform. Theory, pp. 1073-1096, May 2003.

) ,

min(

0 ) )(

( )

( _{t r t r}

opt r M r M r r M M

d

r

tM

M

Smart

Smart antennas antennas

Modo più classico di usare le antenne multiple in TX e/o RX (piu’ classico rispetto alla novità rappresentata dai codici spazio temporali e la multiplazione

spaziale)

Con tecniche phased array aumenta la direttività dell’array di antenne in Tx o Rx. Questa maggiore direzionalità si traduce in:

1) Ridotto delay spread e fading piatto (ricevo le repliche da un angolo stretto e quindi, riduco il fenomeno dei cammini multipli e con esso le sue

e quindi, riduco il fenomeno dei cammini multipli e con esso le sue

conseguenza quali l’ISI e le profonde fluttuazioni del segnale dovute al fading)

2) Sopprime l’interferenza da altri utenti (direziono l’antenna ricevente verso quella trasmittente)

E’ evidente che per aumentare la direzionalità, perdo in termini di guadagno di diversità o multiplazione. Se il fascio è molto direttivo, il canale diventa

molto correlato e non riesco ad ottenere un guadagno di multiplazione (un solo canale indipendente) o diversità, entrambi dipendenti dalla

correlazione del canale.