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MISURE OTTICHE giovedì 13 febbraio 2014
Prof. Cesare Svelto 1° Appello AA 2013/2014
Tempo a disposizione 1h55min L.26.16 ore 9.15
COGNOME: ______________________________ Nome: ________________________ (stampatello) Laurea-anno: _______________(es. ELN-4°) Matr. e firma __ __ __ __ __ __ _________________
PUNTEGGI: (8+9+8+7=32 p)
N.B. OCCORRE crocettare tutti i sottopunti a cui si è almeno parzialmente risposto [e.g. 1a), 1c), 1d) etc.].
SOLUZIONI
(30 min) Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1a) Si elenchino, illustrandole brevemente con esempi anche numerici, le proprietà che rendono le sorgenti laser ineguagliabili dalle sorgenti di luce tradizionali.
Si indichino le caratteristiche principali, e i corrispondenti valori tipici, per un laser a Nd:YAG, pompato a diodi, in regime CW e pulsato (sia in Q-switching che in mode-locking).
1b) Si descrivano le principali cause di instabilità di frequenza di un laser a stato solido pompato a diodi.
Come è possibile limitare (passivamente) o ridurre (attivamente) il rumore di frequenza?
Quali campioni di frequenza si possono utilizzare per stabilizzare un laser a centro riga del riferimento spettrale? Se ne indichino, aiutandosi con valori numerici, le principali caratteristiche e, anche in maniera comparativa, i pregi e i difetti tra campioni di frequenza differenti.
Un laser a Nd:YAG con cavità lineare ha una lunghezza ottica tra i 20 cm e i 50 cm, con coefficiente di temperatura =(L/L)/T=5×10-6/°C. Di quanti hertz si sposta la frequenza del laser se la sua temperatura varia di 4 °C?
1c) Riportando un disegno dei livelli energetici coinvolti, si descriva il meccanismo di pompa e azione laser a 3 oppure a 4 livelli e si commentino vantaggi e svantaggi di questi due modalità operative.
1d) Finesse (F) e free-spectral-range (FSR) di un interferometro Fabry-Perot: si forniscano le definizioni e le formule per questi parametri nel caso di una cavità ottica composta da due specchi (identici) piani e paralleli.
Due specchi, piani e paralleli e ciascuno con riflettività in potenza R=90 %, sono disposti affacciati tra loro alle estremità di un autoveicolo lungo 4.2 m. Quanto vale il free-spectral-range dell’interferometro realizzato?
Su quale modo longitudinale del Fabry-Perot risuonerà un laser a Nd:YAG.
Quanto è larga, a metà altezza dal picco, la riga di trasmissione di questo Fabry-Perot e quanto vale il suo fattore di merito Q?
21a) Vedi appunti e dispense del Corso.
31b) Vedi appunti e dispense del Corso.
Per il laser a Nd:YAG, è noto che la lunghezza d'onda di emissione è 1064 nm e dunque la sua frequenza ottica =c/282 THz300 THz. Per una variazione di temperatura di 4 °C, si avrà una variazione relativa di lunghezza (L/L)=T=20×10-6. Dato cha la variazione relativa di frequenza di un laser è legata alla variazione relativa della sua lunghezza ottica della relazione (/)=-(/)-(L/L), si ricava immediatamente che a variazione di frequenza cercata è in valore assoluto =(L/L)5.64 GHz6 GHz.
41d) Vedi appunti e dispense del Corso e il corrispondente profilo spettrale di Airy.
Indicando con R la riflettività in potenza degli specchi ( se R1R2 al posto di R si ha [R1R2]1/2 ), posti a distanza L, la finesse si calcola come F= R/
1R
mentre il free-spectral-range vale FSR=c/2L.Nel caso considerato di L=4.2 m, il free-spectral-range è dunque FSR=c/2L=35.7143 MHz36 MHz.
L’ordine del modo longitudinale risonante a =1064 nm, quindi alla frequenza ottica
=c/=281.96 THz, si ricava come m=/FSR7'894'737 8×106.
La finesse vale F= R/
1R
30 e dunque la larghezza di riga FWHM è FWHM=FSR/F1.2 MHz con un fattore di merito Q=/FWHM=(282×1012)/(1.2×106)2.35×108=235×106.11/10 punti in totale ma va bene perché l’ESE è lungo e completo.
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(30 min) Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Si deve progettare un telemetro ottico per misure di distanza in un range da 1 m a 300 m.
2a) Considerando le tipologie di telemetri studiate (triangolatore attivo, pulsato, CW con modulazione sinusoidale), si discutano vantaggi/svantaggi di ciascuna soluzione e i corrispondenti limiti prestazionali, con riferimento all’applicazione di misura specifica.
2b) Si dimensioni per l’applicazione considerata un telemetro laser a triangolazione (senza power-budget ma solo valutando i parametri geometrici del triangolatore) che impiega un sensore CCD a 1024 pixel e lungo
X=2 cm unitamente a una lente di raccolta con focale f=10 cm.
2c) Si dimensioni per l’applicazione considerata (senza power-budget ma ipotizzando e scegliendo ragionevolmente gli altri parametri del caso) un telemetro pulsato che impiega un laser a erbio in Q-switching (=1.54 m e =10 ns).
2d) Per i telemetri discussi ai punti 2b) e 2c), si ricavino e si confrontino le risoluzioni dimensionali negli estremi del range di misura (in Lmin e Lmax). Si operi con una risoluzione spaziale pari alla dimensione del pixel nel caso del triangolatore e con risoluzione temporale T =10 ns nel caso del pulsato.
2e) Da cosa dipende l’accuratezza dei telemetri discussi ai punti 2b) e 2c)?
22a) Vedi appunti e dispense del Corso.
In estrema sintesi: il telemetro a triangolazione tipicamente va bene per distanze medo-brevi (0.1 m-10 m), quello CW con modulazione sinusoidale per distanze medie (1 m-1000 m) e quello pulsato per distanze grandi (1 km-100 km). Considerato che Lmin=1 m e Lmax=300 m, il telemetro preferibile per questa applicazione sarebbe quello CW con modulazione sinusoidale.
22b) Volendo dimensionare un telemetro laser a triangolazione, con sensore CCD, sul range 1-300 m, occorre dimensionare la linea di base (distanza D tra il fascio lanciato e la luce retro diffusa) tale da consentire di coprire l’intero sensore ottico CCD per bersagli ai due estremi del range di misura. Indicando con f la focale della lente di raccolta, valgono le relazioni: xmin/f=D/Lmax e xmax/f=D/Lmin. La lunghezza del sensore CCD deve almeno coprire la distanza tra xmax e xmin, posizioni estreme della macchia raccolta in corrispondenza di bersagli a distanza Lmin e Lmax, rispettivamente. Dunque, dalle due espressioni si ricava
X=(xmax-xmin)=fD(1/Lmin-1/Lmax) ed infine una linea di base D=(X/f)/(1/Lmin-1/Lmax)=(0.02/0.1)(1/1-1/300)0.2 m=20 cm.
In funzione della lunghezza d'onda del laser utilizzato occorrerà poi scegliere il materiale fotosensibile del CCD (rivelatore al Si per il visibile e fino a 1 m, rivelatori a InGaAs o al Ge per il NIR).
22c) Per rivelare la radiazione IR a 1.55 m occorrerà utilizzare un fotodiodo in InGaAs (o in Ge) con responsivity di 0.8 A/W.
Perché il telemetro pulsato abbia un range di non ambiguità almeno pari a Lmax=300 m occorre che il periodo di ripetizione degli impulsi sia Trep2Lmax/c=2 s e frep500 kHz.
La durata degli impulsi ottici () e di conseguenza la banda del foto ricevitore (B1/) dovranno essere commensurati alla risoluzione di misura che si intende ottenere.
22d) Triangolatore ottico attivo:
equazione della misura L=(Df)(1/x) e dunque risoluzione dimensionale L=-(1/x2)x=-L2/[(Df)]x, con
x=(2 cm)/(1024 pixel)20 m dimensione del pixel. Dunque la risoluzione dimensionale, che in funzione
Telemetro ottico pulsato:
equazione della misura 2L=cT e dunque L=(1/2)cT con una risoluzione dimensionale
L=(1/2)cT=(1/2)c=0.53×10810×10-9=1.5 m indipendente da distanza e pertanto uguale sia per L=Lmin=1 m che per L=Lmax=300 m (risolvendo invece T=/10 la risoluzione diviene L=15 cm).
22e) Vedi appunti e dispense del Corso.
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(30 min) Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Si vuole utilizzare l’interferometro di Michelson riportato in figura per controllare la posizione di una slitta meccanica. La sorgente laser a disposizione è a semiconduttore, emette una potenza ottica P0 = 10 mW su di un singolo modo longitudinale (λ0= 800 nm), ed è caratterizzata da una varianza di Allan pari a 1×10-14 (valutata per un tempo di integrazione di un secondo). Lo specchio di misura Rm è solidale alla slitta meccanica, il cammino di riferimento ha lunghezza Lr = 0.2 m, e il fotodiodo utilizzato ha una responsività spettrale σFD = 0.7 A/W. La slitta si muove partendo dalla posizione iniziale Lm0 = Lr secondo la funzione LS(t) riportata in figura.
3a) Si determini l’espressione del segnale di corrente Iph(t) foto-generata all’uscita del fotodiodo, calcolandone in particolare il valore medio I0, il valore minimo Imin, ed il valore massimo Imax.
3b) Si determini il numero di frange che si sviluppano nel segnale Iph(t) nei seguenti intervalli di tempo:
0 — 40 ms; 40 — 60 ms; 60 — 80 ms; 80 — 120 ms. Qual è la risoluzione dell’interferometro in queste condizioni operative?
3c) Qual è la banda minima Bmin che il sistema elettronico di lettura deve garantire per poter eseguire correttamente la misura di spostamento della slitta meccanica per conteggio di frange?
3d) Dopo aver stimato la larghezza di riga ΔνL della sorgente laser utilizzata a partire dalla sua varianza di Allan, determinare la NED di fase quando lo specchio Rm è alle distanze:
Lm(0ms); Lm(40ms); Lm(120ms).
3e) La slitta meccanica rimane ferma fra 40 — 60 ms e fra 120 — 140 ms. Sarebbe possibile eseguire la misura di Lm – Lr negli intervalli di tempo considerati? Giustificare la risposta. In caso di risposta affermativa, la risoluzione dell’interferometro cambierebbe?
33a) La corrente foto-generata Iph(t) è legata alla potenza ottica secondo la seguente relazione:
Iph(t) = FDP(t). La potenza ottica P(t) varia nel tempo a causa dell’interferenza dei segnali provenienti dai cammini di riferimento (Pr)e misura (Pm), con la legge seguente:
P(t) = Pm + Pr + 2 (PmPr)1/2 cos [2k(Lm(t) – Lr)], con k numero d’onda pari a 2/λ0.
Dati i valori delle riflettività degli specchi e del rapporto trasmissione/riflessione del divisore di fascio utilizzato, abbiamo Pm = Pr = P0/4 = 2.5 mW. Possiamo quindi scrivere per Iph(t):
Iph(t) = I0{1 + cos [2k(Lm(t) – Lr)]}, con Iave = I0 = FDP0/2 = 3.5 mA, Imin = 0 mA, e Imax = 7 mA.
Δφ1 = Δφ(40ms) – Δφ(0ms) = 2k[LS(40ms) – Lr] – 2k[LS(0ms) – Lr] = 2k[LS(40ms) – LS(0ms)] = 100π rad;
Δφ2 = Δφ(60ms) – Δφ(40ms) = 2k[LS(60ms) – LS(40ms)] = 0 rad;
Δφ3 = Δφ(80ms) – Δφ(60ms) = 2k[LS(80ms) – LS(60ms)] = –100π rad;
Δφ4 = Δφ(120ms) – Δφ(80ms) = 2k[LS(120ms) – LS(80ms)] = 40π rad.
Ricordando che una frangia interferometrica equivale ad una variazione di fase pari a 2π, otteniamo che le frange sviluppate negli intervalli considerati sono pari a:
NF1= Δφ1/ 2π = [LS(40ms) – LS(0ms)] / (λ0/2) = 50;
NF2= Δφ2/ 2π = [LS(60ms) – LS(40ms)] / (λ0/2) = 0;
NF3= |Δφ3| / 2π = [LS(80ms) – LS(60ms)] / (λ0/2) = 50;
NF4= Δφ4/ 2π = [LS(120ms) – LS(80ms)] / (λ0/2) = 20.
Eseguendo la misura di spostamento della slitta per conteggio di frange (per numeri interi, ovvero senza interpolazioni), la risoluzione dell’interferometro è pari a RIS = LS,min = λ0/2 = 400 nm.
23c) Eseguendo la misura per conteggio di frange, l’elettronica deve permettere di poter “contare”
correttamente il numero di frange che si sviluppano nel segnale interferometrico. Questo significa che la banda minima del sistema di lettura (e.g. con segnali attenuati di 3 dB) deve essere uguale all’inverso della minima durata temporale di una singola frangia, ovvero pari al rapporto fra la massima velocità della slitta e lo spostamento equivalente ad una frangia interferometrica (ovvero RIS=0/2). La slitta si muove alla massima velocità fra i 60 ms e gli 80 ms, con |vmax| = -[LS(80ms) – LS(60ms)] / (80ms – 60ms) = 20 μm / 20 ms = 1 μm/ms = 1 mm/s, e in tale intervallo di tempo ogni frangia dura un tempo TF = RIS / vmax. La banda minima del sistema di lettura deve quindi essere pari a:
Bmin = 1/TF = vmax/RIS = 2500 frange/s 2.5 kHz. (ovvero 5 kSa/s se si campiona e converte A/D la sinusoide del segnale interferometrico oppure la banda che occorre al sistema di conteggio di frange - e.g.
trigger a soglia seguito da derivatore e conteggio di impulsi di trigger - per misurare la frequenza del segnale (sinusoide) interferometrico all’uscita del fotodiodo.
23d) La larghezza di riga della sorgente laser si ricava dalla varianza di Allan, ricordando che:
σA ΔνL / νL, da cui ΔνL σAνL= σA(c/λ0) = (1×10-14)½(c/λ0) = 37.5 MHz, con σA deviazione standard di Allan pari alla radice quadrata della varianza di Allan, νL frequenza ottica centrale della radiazione laser, e c velocità della luce, approssimata al valore 3×108 m/s.
La NED di fase è direttamente proporzionale alla larghezza di riga della sorgente e alla differenza tra il cammino di riferimento e il cammino di misura: NEDfase = (Lm-Lr)(ΔL/L). Nei tre casi considerati:
NEDfase@0ms = 0 m, l’interferometro è infatti bilanciato;
NEDfase@40ms = LS(40ms)(ΔL/L) = 20 m×10-7 =20×10-13 m = 2 pm;
NEDfase@120ms = LS(120ms)(ΔL/L) = 8 m×10-7 = 8×10-13 = 0.8 pm.
23e) La misura della differenza fra il cammino di misura ed il cammino di riferimento, quanto sono entrambi costanti nel tempo, è possibile ricordando che la lunghezza d’onda di emissione di una sorgente laser a semiconduttore può essere direttamente modulata agendo sulla sua corrente di polarizzazione. In presenza di una modulazione Δλ(t), la variazione di fase interferometrica 2k(Lm-Lr) diventa, in modulo, infatti:
Δφλ= 4π (Lm-Lr) Δλ(t) / λ02.
In questa modalità di misura la risoluzione dell’interferometro non è più pari a RIS = λ0/2 ma diventa, sempre ipotizzando di fare la misura per conteggio di frange interferometriche, RISΔλ = λ02/[2 Δλ(t)], e di ottenere
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una risoluzione è stata ottenuta come RIS=L=(Lm-Lr) quando φλ=2. Tale risoluzione dipende dalla ampiezza di modulazione (t) applicata. Naturalmente, lavorando con (t) ampia si otterranno risoluzioni più spinte (RIS “piccolo”) ma per fare ciò occorre imporre una ampia profondità di modulazione alla lunghezza d'onda del laser e dunque alla corrente di polarizzazione.
11/10 punti in totale ma va bene perché l’ESE è lungo e completo.
4) Un sistema LDV viene utilizzato per misurare il profilo di agitazione (velocità) di particelle all’interno di un fluido contenuto in un recipiente trasparente a sezione quadrata e di lato L=10 cm. Il sistema LDV impiega un laser a Nd:YAG-2X (duplicato in frequenza) da 10 mW, diviso equamente in due fasci, la cui macchia di uscita è allargata e collimata per avere un waist w0=8 mm nella zona di massima sovrapposizione dei fasci,
4a) Si calcoli la divergenza dei fasci a grande distanza dalla zona di collimazione e si valuti la dimensione di macchia wT dei fasci laser a una distanza L=1 km dal waist.
Su quale range di misura il fascio rimane “collimato”?
4b) Le particelle in moto nel fluido hanno diametro 5 µm e si vogliono dimensionare le frange di interferenza con distanza tra frange adiacenti proprio uguale a questo diametro: si calcoli l’angolo di incidenza dei fasci ottici nel fluido.
Per rivelare il segnale LDV si impiega un un fotodiodo al silicio con efficienza quantica del 70 %: se ne valuti la responsivity alla lunghezza d'onda di lavoro.
4c) Le particelle si muovono con velocità media v=16 cm/s, con una distribuzione gaussiana che ha deviazione standard =2 cm/s. Quale frequenza Doppler occorre rilevare sul fotodiodo al Si (con quale banda?) che raccoglie il segnale LDV diffuso?
4d) Con quale strumento di misura è possibile osservare il grafico/istogramma corrispondente alla distribuzione di velocità?
34a) La lunghezza d'onda del laser è 532 nm e partendo da un beam waist w0=8 mm, la divergenza in campo lontano è div =/(w0)21 µrad.
Allontanandosi dal waist di un quantità L=1000 m, lo spot size diviene wT=w0
2
1
zR
z =w0
2
1
zR
L con zR= w02
=380 m e quindi wT2.8w022.5 mm Il range di collimazione è RANGE=zR=380 m.
34b) Per avere frange di interferenza a una distanza D=5 µm, occorre che i due fasci ottici interferenti si intersechino ad un angolo 2 tale che
sin
2
/
D e quindi =
m 10 5 2
m 10 arcsin 532
2
arcsin / 6
9
D
=arcsin(53×10-3)53 mrad3° e 2 6°
La responsivity del fotodiodo è =I/P=(Q/t)/(E/t)=(e)/(h)=(e)/(hc) e dunque, con =0.7 e
=532 nm, si ottiene =(0.71.6×10-19)/(6.6×10-343×108)532×10-90.3 A/W. Il valore trovato è più basso della tipica responsivity del Si nel visibile [=0.5 A/W per RED=633 nm] perché in questo caso l’efficienza quantica è significativamente minore di 1, e anche la lunghezza d'onda del laser nel verde è inferiore alla lunghezza d'onda dell’He-Ne nel rosso.
24c) La frequenza Doppler da misurare all’uscita del fotodiodo che rivela la luce diffusa dalle particelle in moto nel liquido, si ricava dalla relazione:
fD= D v =
m 5
cm/s 16
=32 kHz
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Considerata la distribuzione gaussiana delle velocità, con vMIN=vAVE-(3÷5) e vMAX=vAVE+(3÷5), si avrà una corrispondente distribuzione gaussiana nel profilo delle frequenze (spettro del segnale Doppler), ragionevolmente osservabile tra fMIN=12 Hz e fMAX=52 Hz, avendo scelto una ampiezza di osservazione pari a ±5. La banda richiesta per il fotodiodo al Si è piuttosto bassa è può anche essere B=250-500 kHz (prendendo come limite di banda 5-10 volte fMAX).
24d) La frequenza centrale da misurare, 30 kHz, è una frequenza agevolmente misurabile con un contatore elettronico o anche con un analizzatore di spettro elettronico del tipo a FFT. Per osservare l’intera distribuzione di frequenza, ad esempio da -5 fino a -5, dunque da 6 cm/s fino a 26 cm/s, occorre rivelare uno spettro di frequenze da 12 kHz fino a 52 kHz che può essere misurato con un analizzatore di spettro a FFT (o comunque mediante conversione A/D della fototensione rivelata per poi eseguire a calcolatore una trasformata FFT dei campioni numerici corrispondenti).
SCRIVERE “CONTINUA” IN FONDO ALLA PAGINA DELL’ESERCIZIO CORRISPONDENTE
