NUMERI LE POTENZE 1. Come hai già potuto osservare più volte, un addizione di addendi identici può essere scritta in modo abbreviato.

(1)

Come hai già potuto osservare più volte, un’addizione di addendi identici può essere scritta in modo abbreviato.

Ad esempio, 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = ……… = ……..

L’operazione che permette di fare ciò è la ………

È possibile utilizzare una scrittura abbreviata anche quando siamo in presenza di una moltiplicazione con fattori identici.

Ad esempio, 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ………. = ………..

L’operazione che ci permette di fare ciò è ………

Esercizi

1. 5 ∙ 5 ∙ 5 = ……… 7 ∙ 7 = ……… 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = ………

8 ∙ 8 ∙ 8 = ……… 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = ……… 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = ………

6 ∙ 6 ∙ 6 = ………

2. 3² = ……… = ………

2⁴= ……… = ……… 9² = ……… = ………

10³ = ……… = ……… 3⁴ = ……… = ………

2⁵ = ……… = ……… 7² = ……… = ………

5² = ……… = ……… 3⁵ = ……… = ………

(2)

3. Completa la seguente tabella:

V F

3² = 3 ∙ 3 5³ = 3 ∙ 5 4³ = 4 ∙ 4 ∙ 4 6⁴ = 6 ∙ 6 ∙ 6 7⁵ = 7 ∙ 5

2⁴ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

Osservazione

L’operazione di addizione è caratterizzata dal segno “+”, mentre quella di sottrazione dal segno “-“; l’operazione di moltiplicazione è caratterizzata dal segno “∙”, mentre quella di divisione da segno “:”.

L’operazione di elevazione a potenza non è caratterizzata da alcun segno o simbolo particolare; solo la posizione dei numeri permette di riconoscere questa operazione.

L’operazione di elevazione a potenza è semplicemente un particolare prodotto i cui fattori sono tutti uguali tra loro.

Attività

Prendi un foglio formato A4 e taglialo esattamente a metà.

Quanti fogli ottieni? ………

Taglia ora a metà i fogli ottenuti. Quanti fogli hai ora in tutto? ………

Ripeti la stessa operazione altre quattro volte, tagliando sempre a metà i fogli che possiedi e completando la tabella seguente:

Numero tagli Numero fogli Calcolo Potenza

1 2 2 2¹

2 4 2 ∙ 2 2²

3 4 5

(3)

Se volessimo continuare a tagliare a metà i fogli, quanti ne otterresti dopo il sesto taglio?

…………

E dopo il settimo? ………… E dopo l’ottavo? …………

Ma prima di eseguire il primo taglio, quanti fogli avevi? ………

Dunque:

Numero tagli Numero fogli Calcolo Potenza

0 …… …… 2⁰

Risulta logica la seguente deduzione: 2⁰ = ……

In generale, dato un qualsiasi numero naturale a (a ≠ 0), a⁰ = 1.

Osservazione

In matematica, alla potenza 0⁰ non viene attribuito alcun significato.

Esercizi

1. Completa come illustrato nell’esempio:

2⁵ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

……… = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = ……… 4³ = ……… = ………

……… = 7 ∙ 7 ∙ 7 = ……… 1⁶ = ……… = ………

……… = ……… = 16 5³ = ……… = ………

……… = 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = ……… 10⁴ = ……… = ………

2. Calcola:

9² = ……… 2⁴ = ……… 6³ = ……… 10² = ………

0³ = ……… 3⁴ = ……… 2⁹ = ……… 3⁵ = ………

13² = ……… 3⁰ = ……… 4⁴ = ……… 2⁵ = ………

5³ = ……… 12¹ = ……… 1⁷ = ……… 2⁷ = ………

(4)

3. Completa la seguente tabella:

base esponente potenza (in simboli)

potenza

(espressa a parole) risultato

3 5 3⁵ tre alla quinta

7 2

1⁸

cinque alla quarta

5 125

5 32

4. Completa:

4 ^… = 64 ……² = 49 ……⁰ = 1 ……⁶ = 64 10 ^…= 1'000 ……⁴ = 81 5 ^… = 125 ……² = 144 7 ^… = 343 4 ^… = 1'024 2 ^… = 128 ……⁴ = 1

……³ = 729 9 ^… = 1 ……² = 1'600 ……⁷ = 0

5. Completa inserendo i simboli >, < o =.

6 ∙ 2 …… 6² 2⁴ …… 2³ 2² ∙ 3 …… 2 ∙ 3² 10⁰ …… 1¹¹ 3⁴ …… 3 ∙ 4 2² ∙ 4² …… 8² 4⁴ …… 5³ 9² …… 9 ∙ 9 2² ∙ 4² …... 2² + 4²

6. Completa le seguenti tabelle:

esponente 3

b a s e

8

5 625

6 6

esponente

2 0 3

b a s e

3 4 6

(5)

Ogni moglie ha sette sacchi In ogni sacco ci sono sette gatte

E ogni gatta ha sette gattini Gatti, sacchi, mogli, …

Quanti gattini ha l’uomo di Camogli?

Le potenze di 10

Tra tutte le potenze aventi come base un numero naturale, rivestono particolare importanza e utilità quelle aventi base 10.

Le potenze di 10 permettono di scrivere numeri molto grandi in modo semplice e veloce e su di esse si basa il nostro modo di scrivere i numeri:

10⁰ = ………

10¹ = …………

10² = ………

10³ = ………

10⁴ = ………

10⁵ = ………

10⁶ = ………

Possiamo notare come l’esponente indichi ………

………

Esercizi

1. Scrivi sotto forma di potenza di 10:

10'000'000 = ………

100'000'000'000 = ………

1'000'000'000'000 = ………

(6)

2. Risolvi come mostrato nell’esempio:

35'000 = 35 ∙ 1'000 = 5 ∙ 7 ∙ 10³

250'000 = ………

3'000'000 = ………...

75'000'000 = ………..

3. Completa come illustrato nell’esempio:

342 = 300 + 40 + 2 = 3 ∙ 10² + 4 ∙ 10¹ + 2 ∙ 10⁰

479 = ………

635 = ………

2'085 = ……….

4'254 = ……….

7'603 = ……….

4. Completa come mostrato nell’esempio:

2 ∙ 10⁵ + 3 ∙ 10² + 2 ∙ 10¹ + 5 ∙ 10⁰ = 200'000 + 300 + 20 + 5 = 200'325

7 ∙ 10⁴ + 5 ∙ 10² + 3 ∙ 10¹ + 2 ∙ 10⁰ = ………

4 ∙ 10³ + 6 ∙ 10² + 1 ∙ 10¹ + 3 ∙ 10⁰ = ………

3 ∙ 10⁵ + 5 ∙ 10³ + 3 ∙ 10² + 2 ∙ 10¹ = ………

8 ∙ 10⁴ + 3 ∙ 10² + 9 ∙ 10¹ + 6 ∙ 10⁰ = ………

(7)

Esercizi

1. Calcola il valore delle seguenti espressioni riportando tutti i passaggi effettuati:

a)

(

3+4

)

² = b) 3² 5−2² 5= c)

(

⁵⁺²²

)

² ⁺¹⁼ ^d)

(

³³⁻⁵²

)

^²³ ⁼

e) ⁶² ^:

( )

²² ^3 ⁼ ^f)

(

⁴³ ⁺⁶²

)

^:¹⁰⁼

g)

(

4+1

)

² :5−

(

3+1

)

² :4= h) ⁷² ⁺

(

¹⁵^²² ⁻⁷²^:²³

)

⁼

i)

(

¹⁰^³² ⁺¹⁵

) (

^: ²^³² ⁺³

)

⁼ ^j)

 (

⁵² ⁻⁷^³

)

² ⁺²²^⁵



^:

⁽

⁷² ⁻²³^²

⁾

⁼

2. Risolvi le seguenti espressioni:

a)

 (

⁷^³⁻¹

)

^:⁵⁺³³



^²⁺²⁼ ^b)

(

⁸^²³ ⁺⁴

) (

^: ³^⁷⁰ ⁻²

)

⁻²²^³^⁵⁼

c)

(

⁵² ⁺¹

)

^:

(

⁵⁻³

)

⁺⁷^

(

⁷^³⁻²⁴

)

⁼ ^d)

(

³⁰⁻³^²³

) (

^: ³^⁶⁻⁴²

)

⁺²⁰ ^³^⁷⁼

e) 4+2²3



1+50:

(

3+211

) 

= f)

(

²³ ⁻²²

) (

²^



⁴² ⁻²²

)

² ^:⁶²



⁻⁸⁼

g) ²² ⁺²³^

 (

⁵² ⁻³²

)

² ^:²⁵



⁺⁴⁼ ^h)

 ⁽

⁵⁻²

⁾

⁶ ⁻

⁽

⁵² ⁻⁴²

⁾

³



⁺⁴² ⁼

3. Risolvi le seguenti espressioni; associa poi, nell’ordine, i risultati trovati alle sillabe proposte. Se avrai lavorato correttamente, leggendole di seguito, otterrai una frase letta su un camion in Brasile e resa celebre dallo scrittore sudamericano Jorge Amado:

a) 2³3−2= b) ⁶² ⁻

(

²²^⁵⁺⁴

)

⁼

c) 7+32³ +5= d) ⁴⁴⁻

(

²²^³² ⁺⁴

)

⁼

e) ⁴² ^

(

²⁵ ⁻³³

)

⁼ ^f) ¹²² ⁻

(

¹¹² ⁻²⁴

)

⁼

g) ⁹² ⁻

(

⁴³ ⁻⁷²

)

⁼ ^h) ⁵³^³¹⁻

(

⁵³ ⁺³⁵

)

⁼

i)

(

⁵³ ⁻⁸²

)

^²⁰ ⁼ ^j) ⁵^³³ ⁻

(

⁵³ ⁻³²^²

)

⁼

k)

(

⁵² ⁺²

)

^:³² ⁼ ^l)

(

⁵^²⁴

) (

^: ¹⁰⁻²³

)

⁼

m)

(

³² ⁻²³

)

⁵ ⁺³⁰ ⁼ ⁿ⁾

 (

³³ ⁺²⁵

)

^⁸



⁰ ⁼

1→rie 2→ fe 3→so 4→la

7→ta 12→la 22→Al 28→ci

36→scuo 39→la 40→no 61→non

66→vi 80→del

(8)

4. Traduci in simboli le seguenti espressioni e risolvile:

a) A 4 elevato alla terza togli 6 al quadrato; dividi il risultato per 7 e aggiungi 12.

b) Al doppio di 7 aggiungi 8, dividi il risultato per 11 ed eleva il nuovo risultato alla terza; moltiplica infine per 5.

c) Dividi 18 per 9, eleva alla quarta, aggiungi 6 e dividi per 11; aggiungi poi 5 ed eleva il tutto al quadrato.

Le proprietà delle potenze

In alcuni casi, le operazioni fra potenze all’interno delle espressioni possono essere facilitate applicando alcuni semplici proprietà.

➢ Partiamo dal seguente esempio: 3⁴ ∙ 3⁵ Come puoi calcolare il risultato di tale operazione?

………

Allo stesso modo, risolvi i calcoli sottostanti:

4² ∙ 4⁵ = ………

7² ∙ 7³ ∙ 7⁴ = ………

PRIMA PROPRIETÀ:

a

^b

∙ a

^c

= a

^………

➢ Consideriamo ora l’esempio seguente: 3⁵ : 3³ Come puoi calcolare il risultato di tale operazione?

………

Allo stesso modo, risolvi i calcoli sottostanti:

2⁶ : 2⁴ = ………

4⁴ : 4³ = ………

SECONDA PROPRIETÀ:

a

^b

: a

^c

= a

^………

(9)

Come puoi calcolare il risultato di tale operazione?

………

Allo stesso modo, risolvi il calcolo sottostante:

(3⁴)³ = ………

TERZA PROPRIETÀ:

(a

^b

)

^c

= a

^………

➢ Il penultimo esempio che consideriamo è quello dato dal prodotto di potenze aventi lo stesso esponente:

3² ∙ 5² Come puoi calcolare il risultato di tale operazione?

………

QUARTA PROPRIETÀ:

a

^c

∙ b

^c

= (a ∙ b)

^c

➢ L’ultimo esempio è invece dato dal quoziente di potenze aventi lo stesso esponente:

6³ : 2³ Come puoi calcolare il risultato di tale operazione?

………

QUINTA PROPRIETÀ:

a

^c

: b

^c

= (a : b)

^c

(10)

Esercizi

1. Sfruttando le proprietà delle potenze, calcola e scrivi il risultato sotto forma di potenza:

2²∙ 2⁵ = ………… 3⁵ ∙ 3⁵ = ………… 5² ∙ 5³ = …………

7⁴ ∙ 7² = ………… 7⁵ : 7⁴ = ………… 10⁷ : 10⁶ = …………

5³ : 5² = ………… 9⁶ : 9⁵ = ………… 4⁷ : 4³ = …………

10³ ∙ 10⁴ = ………… 6⁹ : 6⁶ = ………… 2⁷ ∙ 2² ∙ 2³ = …………

2⁵ : 2² = ………… 8³ : 8 = ………… 8⁴ ∙ 8 ∙ 8² = …………

(4²)⁵ = ………… 9⁷ : 9⁵ = ………… (2⁴)² ∙ 2³ = …………

(6³)² = ………… 4³ ∙ 5³ = ………… 15⁴ : 3⁴ = …………

2. Completa:

2² ∙ 2⁵ = 2 ^…… 3⁹ : 3 ^…… = 3² ……⁵ ∙ ……³ = 3 ^……

4⁵ : ……² = 4 ^…… (5⁵) ^…… = 5⁵ (3 ^……)⁵ = 3²⁰ (2 ^……) ^…… = 2⁸ (……²) ^…… = 7⁶ 8 ^…… : ……² = 8²

3. Completa inserendo i simboli = o ≠:

(4 + 7)² …… 4² + 7² (2 + 3)³ …… 2³ + 3³ (5 – 1)² …… 5² – 1² (3 + 5)² …… 8³ 2³ + 5 …… 4² – 3 (7 – 2)² …… 7² – 2² 4⁹ : 4⁶ …… 4⁰ ∙ 4³ (4 ∙ 3)³ …… 4³ ∙ 3³ (5 ∙ 2)⁴ …… 5⁴ ∙ 2⁴

4. Calcola il valore delle seguenti espressioni sfruttando le proprietà delle potenze:

a) ²³^²² ⁺⁵³^:⁵³ ⁻

(

⁴³ ⁻²⁶

)

⁼

b)

(

⁷³^:⁷² ⁺⁵⁵ ^:⁵²

)

⁻¹¹² ⁼

c) 12³ :12² +3⁶ :

(

2+1

)

⁴ = d) ³⁴ ^:

(

³⁷ ^:³³

)

⁻¹¹³ ⁼

e)

(

²²^²³

)

^:²⁴ ⁺³⁵ ^:

( )

³^³³ ⁼ f) ⁴³^²⁻

(

²⁶ ⁺³⁴ ^:³³

)

⁼

g) ⁴³^⁴⁻

(

³¹⁷^:³¹⁵⁺¹⁵² ⁺²²^²²

)

⁼

h) ³⁶^:³⁴ ⁻

(

³⁰⁻³⁵ ^:³²

)

⁼

i)

(

²⁴ ^²³

)

^:²⁶ ⁺³⁴ ^:

( )

³²^³ ⁼

j) 9⁴ :9² −

(

2⁴ 2² +10⁰ +4²

)

=

k)



²⁶⁻

(

⁴⁵^⁴²^⁴

)

^:⁴⁶



⁻

(

⁵⁴ ^:⁵² ⁻²⁴

)

⁼

l)

(

⁴³ ⁻²^⁴²

)

² ^:⁴³⁺³² ^:

(

³⁴ ^:³³

)

² ⁺³⁼

m)

(

52−3

) (

⁵ : 30:5+1

) (

³ − 15:3+1

)

² = n)



³⁻

(

¹³⁻⁶

)

⁴ ^:⁷⁴



³^:

 (

³³ ⁺²²^⁵

)

⁻³²^⁵



⁼