Capitolo 2
Dinamica familiare nel modello del ciclo di vita
in un’economia stazionaria
Malcom R. Fisher1 in un articolo del 1956, in cui sottopone a test empirici sia il modello di Modigliani e Brumberg (1954) sia quello di Friedman (1957), sottolinea per la prima volta come il modello del ciclo di vita sia, a tutti gli effetti, un modello per “single”, in quanto considera come unità economica di riferimento l’individuo, trascurando del tutto l’influenza del nucleo familiare sul consumo e, quindi, sul risparmio. Nel suo articolo Fisher modifica dunque l’analisi di Modigliani – Brumberg proprio ammettendo variazioni nella composizione della famiglia lungo il corso della vita. A seguito di questa estensione lo stesso Fisher ritiene plausibile attendersi, nell’arco della vita, una variazione della propensione al risparmio: più alta quando il numero dei figli è minore rispetto al numero atteso e più bassa nel caso contrario.
Nel 1957 Franco Modigliani e Albert K. Ando2 pubblicano un articolo di risposta a quello di Fisher nel quale anch’essi introducono la dimensione della famiglia all’interno del modello del ciclo di vita.
Sia nell’articolo di Fisher sia in quello di Modigliani – Brumberg viene posto in evidenza come a seguito di un aumento del numero di membri della famiglia anche il consumo familiare aumenti, anche se meno che proporzionalmente, in quanto è ragionevole supporre che il livello di consumo ottimale dei figli sia inferiore rispetto a quello dei genitori. A seguito di queste considerazioni gli autori sostituiscono il concetto di consumo costante per individuo con quello di consumo costante per individuo equivalente. Fisher suggerisce di considerare che il consumo di una famiglia, composta da un numero J di individui, sia proporzionale alla quantità 1+ Ja
(
−1)
, dove a è una costante minore o al più uguale ad uno, che sta ad indicare il peso, sul consumo familiare, attribuito a ciascun membro della famiglia, ad eccezione del capofamiglia il cui peso è, invece, unitario.Partendo da queste considerazioni, in questo capitolo svilupperemo il modello del ciclo di vita in un’economia stazionaria assumendo che sia la famiglia, e non più
1
Fisher M. R., Exploration in savings behaviour. In: Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 18, No. 3, August 1956, pp. 201-277.
2
Modigliani F., Ando A. K., Tests of the life cycle hypothesis of savings: comments and suggestions. In: Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 19, May 1957, pp. 99-124.
l’individuo, l’unità economica rilevante, presupponendo quindi un consumo costante per adulto equivalente. In questo contesto studieremo l’influenza delle variabili demografiche sulla propensione al risparmio e sull’andamento della ricchezza a livello individuale, per poi passare ad analizzare l’influenza di queste sul rapporto ricchezza-reddito a livello aggregato. Le variabili demografiche che prenderemo in considerazioni nello svolgere la suddetta analisi di sensitività saranno: il momento in cui vengono generati i figli, T, ed il periodo in cui questi restano a carico della famiglia, M. Inoltre, getteremo un rapido sguardo anche agli effetti, a livello individuale ed aggregato, provocati da una variazione del periodo di pensionamento (L-N) e del peso q attribuito a ciascun figlio sul consumo familiare.
Nel primo paragrafo faremo un breve riepilogo delle caratteristiche essenziali e dei risultati principali del modello di base di Modigliani – Brumberg in un’economia stazionaria, già precedentemente descritto nel primo capitolo, al quale rimandiamo per eventuali approfondimenti; questo riepilogo sarà utile per capire meglio le novità che verranno introdotte successivamente. Nel secondo paragrafo presenteremo il modello di del ciclo di vita con consumo costante per adulto equivalente, analizzando l’influenza delle variabili sopra elencate a livello individuale. Infine, sarà condotta un’analisi a livello aggregato, ponendo l’attenzione sull’andamento del rapporto ricchezza-reddito.
2.1
Riepilogo del modello del ciclo di vita
Il modello di Modigliani - Brumberg si sviluppa a partire dall’ipotesi che ciascun individuo massimizzi la propria funzione di utilità pianificando i propri consumi per l’intera durata della vita, sotto il vincolo delle risorse disponibili. Nel modello di base, inoltre, vengono fatte ulteriori ipotesi semplificatrici:
1. i mercati sono perfetti e nel sistema non vi è incertezza;
2. ciascun individuo non possiede, all’inizio della vita, alcun patrimonio e non programma di effettuare lasciti ereditari;
3. la popolazione e la produttività del lavoro sono costanti;
4. ogni individuo lavora N anni e vive L anni (contati a partire dall’anno in cui inizia a lavorare);
6. durante il periodo di pensionamento gli individui non percepiscono alcun reddito; 7. la funzione di utilità è tale che ciascun individuo trova ottimale realizzare un
consumo costante durante tutta la vita; 8. il tasso di interesse reale è nullo.
Poiché tutti gli individui ricevono lo stesso ammontare di reddito annuo ed effettuano lo stesso consumo programmato, questo sistema è da considerarsi perfettamente ugualitario. Da quanto assunto è possibile affermare che l’individuo effettuerà, per tutta la vita lavorativa, un risparmio annuo positivo, pari ad un ammontare costante del suo reddito annuo Y, in modo da poter poi effettuare un risparmio negativo negli anni di pensionamento, pari al consumo costante programmato. Poiché il reddito totale percepito dall’individuo durante il periodo attivo è pari al consumo programmato per l’intera durata della vita, il risparmio positivo complessivo risulterà essere uguale al risparmio negativo. In conseguenza del risparmio positivo effettuato nella prima parte della vita dell’individuo, il patrimonio raggiungerà il suo massimo valore nell’anno di pensionamento e, successivamente, a seguito del risparmio negativo, subirà una riduzione annua, pari al consumo programmato, fino ad arrivare ad esaurirsi completamente al momento della morte dell’individuo. La ricchezza degli individui è, quindi, funzione della loro età e ha un andamento “a gobba”: cresce durante il periodo attivo, raggiunge il punto di massimo e poi diminuisce fino a zero (figura 2.1)3.
E Y, C, W O A L N C' C D D G '
Figura 2.1 – Reddito, consumo e ricchezza in funzione dell’età, E, nel modello di Modigliani.
3
Per ragioni di semplicità nella rappresentazione grafica, in questa e in tutte le figure che seguiranno, le funzioni del reddito, del consumo e della ricchezza sono tracciate in modo continuo. In particolare, la funzione del reddito non viene rappresentata come una funzione discontinua che in corrispondenza di
Si ricordi che sull’asse delle ascisse è posta l’età dell’individuo (dove
rappresenta l’età che ha l’individuo quando entra nel mondo del lavoro), mentre sull’asse delle ordinate sono collocati il reddito, il consumo e la ricchezza dell’individuo stesso.
0 =
E
Assumendo una distribuzione della popolazione uniforme, per cui, in ciascuna classe di età, si ha lo stesso numero di individui, il “triangolo di Modigliani” consente anche di determinare, a meno di un fattore di proporzionalità (che sappiamo essere determinato dal numero di individui in ciascuna classe di età), l’andamento del consumo, del risparmio e della ricchezza a livello aggregato. Infatti, l’area sotto il triangolo OAL rappresenta la ricchezza totale della popolazione, l’area ODD’N rappresenta il reddito totale, l’area CDD’G rappresenta il risparmio aggregato positivo dei lavoratori e l’area NGC’L quello negativo dei pensionati. A livello aggregato si ottiene quanto già ottenuto nel caso del comportamento individuale: il risparmio aggregato positivo è uguale al risparmio aggregato negativo. Questo risultato ci permette di concludere che in un’economia stazionaria il risparmio aggregato e la propensione aggregata al risparmio sono pari a zero. Si ricordi infine che, essendo la ricchezza dell’intero sistema uguale a
(
L−N)
YN 2 e il rapporto ricchezza-reddito pari a(
L−N)
2, il periodo di pensionamento, (L-N), risulta l’unico parametro in grado di influenzare il rapporto ricchezza-reddito.2.2
Il modello del ciclo di vita con consumo costante per adulto
equivalente: comportamento individuale
Esaminiamo ora il modello di Modigliani – Brumberg sotto l’ipotesi cruciale che sia la famiglia l’unità economica rilevante4. La prima importante conseguenza di questa assunzione è che il livello di consumo che verrà programmato per l’intero arco della vita dipende essenzialmente dalla composizione della famiglia.
4
Questo paragrafo è stato scritto facendo riferimento ai seguenti lavori:
- Casarosa C., Spataro L., Propensione aggregata al risparmio, rapporto ricchezza-reddito e
distribuzione della ricchezza nel modello del ciclo di vita “egualitario”: il ruolo delle variabili demografiche. In: Discussion papers del Dipartimento di Scienze Economiche – Università degli Studi
di Pisa, No. 51, 2005.
- Casarosa C., Spataro L, Aggregate propensity to save, wealth-income ratio and wealth distribution in
the “egalitarian” life-cycle model: the role of demographic variables. In: Studi e Ricerche,
L’ipotesi di base del modello del ciclo di vita, secondo la quale l’unità economica di riferimento pianifica i consumi al fine di massimizzare la propria funzione di utilità, resta valida; viene invece modificata l’ipotesi 7 relativa alla funzione di utilità. In questo modello, infatti, la funzione di utilità è tale che ciascuna famiglia trova ottimale realizzare, durante tutta la vita, un consumo costante per adulto equivalente. In effetti, essendo la famiglia l’unità economica rilevante, non è più ammissibile pensare che essa desideri mantenere il proprio consumo costante, come invece veniva ipotizzato nel modello di base. Se, infatti, il numero dei membri della famiglia non rimane costante nel tempo, come di fatto avviene, è più ragionevole ipotizzare un consumo costante per adulto equivalente, in modo tale che il consumo familiare vari, anche se meno che proporzionalmente, al variare della dimensione della famiglia.
Le altre ipotesi del modello di base vengono mantenute e, oltre ad esse, ne vengono introdotte di nuove:
1. ciascuna famiglia è formata da due adulti, della stessa età, e dai loro figli; 2. solo uno dei due adulti lavora e guadagna un reddito annuo pari a Y;
3. i due adulti generano e mantengono un certo numero di figli, i quali restano a carico dei loro genitori per M anni e dopo lasciano la famiglia per formarne una nuova; 4. i genitori conoscono a priori e con certezza il numero di figli che genereranno, f, e il
momento in cui nasceranno, T;
5. T e M sono tali che i figli lasciano la famiglia prima che i genitori vadano in pensione.
È fondamentale far notare che se assumiamo di essere in un’economia stazionaria, il numero di figli per famiglia sarà in media pari a due, in quanto, altrimenti, per un f medio minore o maggiore di due avremmo, rispettivamente, un sistema in via di estinzione ed un sistema in crescita.
Dalle ipotesi sopra elencate deriva che il consumo costante per adulto equivalente annuo è pari a: (1) fqM L YN C + = 2 ,
dove in quanto rappresenta il peso sul consumo che viene attribuito a ciascuno figlio, mentre ad entrambi i genitori viene attribuito un peso unitario. Si osservi che questa ipotesi differisce da quella formulata da Fisher (1956) e successivamente adottata anche da Modigliani e Ando (1957), nella quale il peso unitario viene attribuito esclusivamente al capofamiglia.
1 0< q≤
Da quanto detto si evince che il consumo di una famiglia cambia nel tempo al cambiare del numero dei suoi membri. Più precisamente il consumo della famiglia è pari a: (2)
(
)
fqM L YN qd Cf + + = 2 2 ,dove d è il numero dei figli che sono a carico della famiglia nell’anno considerato. Gli andamenti del consumo, del risparmio e della ricchezza dipenderanno, quindi, oltre che da L e N, anche dalle variabili T, M e q. È facile, infatti, verificare che, a seguito dell’introduzione della famiglia come unità economica rilevante, il “triangolo di Modigliani” si modifica nel modo mostrato in figura 2.2.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
Reddito Consumo Ricchezza
Figura 2.2 – Reddito, consumo e ricchezza in funzione dell’età, E, dei genitori.
La figura mostra che, sebbene il consumo per adulto equivalente rimanga sempre costante, il consumo familiare cresce a seguito della nascita del primogenito ( ), aumenta ancora, fino a divenire massimo, con la nascita del secondo figlio ( ) e resta tale per il periodo in cui entrambi sono a carico dei genitori. Successivamente, si riduce quando il primogenito esce di casa e si riduce ulteriormente, fino a tornare al livello iniziale, quando vi esce anche il secondo figlio. Simmetricamente, il risparmio diminuisce con la nascita dei figli, è minimo quando tutti e due vivono in casa, ritorna al suo livello iniziale quando vi escono e diventa negativo durante il periodo di pensionamento. La ricchezza, durante il periodo attivo, aumenta continuamente, a tassi
4 1 = T 8 2 = T
diversi a seconda della propensione al risparmio, e diminuisce, fino a zero, durante il periodo di pensionamento. Questo andamento è in perfetto accordo con il modello di base di Modigliani - Brumberg, con la differenza che in questo caso la ricchezza aumenta a tassi diversi.
Passiamo ora ad esaminare gli effetti che si hanno sulla propensione al risparmio e sull’andamento della ricchezza nel tempo a seguito di variazioni delle variabili T e M. Nel far questo, per tutto il corso del paragrafo, i parametri Y, L, N e q saranno mantenuti costanti e ad essi saranno attribuiti i seguenti valori: Y =100, , e
. Infine, guarderemo agli effetti che si potrebbero avere se al peso q e al periodo di pensionamento (L-N) venissero attribuiti dei valori diversi da quelli sopra ipotizzati.
50 = L N =40 4 , 0 = q
2.2.1 Effetto di una variazione di T
Consideriamo due famiglie, A e B, che differiscono unicamente per il diverso momento nel quale vengono generati i figli. Ipotizziamo ad esempio che, nella famiglia
A i figli nascano, rispettivamente, ai tempi e , mentre nella famiglia B
essi vengano generati ai tempi e . Per entrambe le famiglie
assumiamo, inoltre, un periodo di mantenimento di venti anni (figura 2.3). 2 1 = A T T2A =4 10 1 = B T T2B =12 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
reddito consumo con T=2,4 ricchezza con T=2,4 consumo con T=10,12 ricchezza con T=10,12
Osservando la figura 2.3 si nota immediatamente che T influenza fortemente l’andamento della ricchezza nel tempo. Nonostante, infatti, la ricchezza detenuta nella prima e nell'ultima parte della vita sia indipendente da T (i due tratti coincidono), si osserva che maggiore è T più grande è l’ammontare di ricchezza detenuto nella parte centrale della vita lavorativa.
La spiegazione di quanto osservato è piuttosto evidente: quando i figli vengono generati relativamente tardi, come nel caso della famiglia B, nei periodi precedenti alla nascita, si ha la possibilità di accumulare un ammontare di ricchezza piuttosto elevato, in quanto, in assenza di figli, la propensione al risparmio è la massima raggiungibile; di conseguenza, al momento della nascita del primogenito l’ammontare di ricchezza accumulato dalla famiglia è alquanto elevato. Se, invece, la nascita dei figli è piuttosto precoce, come nel caso della famiglia A, al momento della nascita del primogenito l’ammontare di ricchezza accumulato è decisamente più basso e rimarrà tale fino a quando entrambi i figli non usciranno di casa, in quanto durante il periodo di mantenimento la propensione al risparmio della famiglia è minima. In sostanza, nella parte centrale della vita lavorativa, la famiglia B detiene un maggiore ammontare di ricchezza per il solo fatto che, generando i figli più tardi nel tempo, ha la possibilità di accumulare ricchezza, al massimo tasso di risparmio, per un periodo più lungo.
È evidente, quindi, che una variazione di T è in grado di influenzare l’andamento della ricchezza nel tempo, facendo variare i valori che essa assume nella parte centrale della vita lavorativa. Quanto detto non è del tutto vero per il consumo ed il risparmio. In effetti, guardando, ad esempio, alla funzione di consumo della famiglia B si nota immediatamente che questa altro non è che una traslazione nel tempo della funzione del consumo della famiglia A. I valori del consumo e del risparmio nei due casi sono, quindi, gli stessi, ciò che cambia è il momento nel tempo in cui essi vengono realizzati.
Infine, è possibile guardare all’effetto provocato da una variazione di T nel caso di due famiglie che hanno una diversa dispersione delle nascite, ma uno stesso T medio. Supponiamo, ad esempio, che vi siano due famiglie, A e B, le quali, rispettivamente,
generano i figli ai tempi: , e (figura 2.4). Si osserva che
quando si ha lo stesso T medio ma una diversa dispersione, il consumo, il risparmio e la ricchezza delle due famiglie coincidono sempre, tranne nei periodi in cui le famiglie differiscono per il numero di figli che hanno a carico. La famiglia B, negli intervalli
e , ha un consumo minore e, conseguentemente, un risparmio
2 1 = A T 2 =10 A T 1 = 2 =6 B B T T 6 2≤ E < 26≤ E <30
maggiore rispetto alla famiglia A; mentre ha un consumo maggiore ed un risparmio minore negli intervalli 6≤ E <10 e 22≤ E <26. Di conseguenza, la famiglia B avrà una ricchezza maggiore nell’intervallo 2< E<10 ed una ricchezza inferiore nell’intervallo 22< E<30. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
reddito consumo con T=2,10 ricchezza con T=2,10 consumo con T=6 ricchezza con T=6
Figura 2.4 – Effetto di una variazione di T (diversa dispersione delle nascite e stesso T medio).
2.2.2 Effetto di una variazione di M
In questo secondo caso guardiamo all’effetto di una variazione del periodo di mantenimento, M. Consideriamo, ad esempio, due famiglie che differiscono esclusivamente per il diverso periodo in cui i figli restano a carico dei genitori ( e ) e ipotizziamo, per semplicità, che per entrambe le famiglie vi sia un parto gemellare al tempo
20 MB =25 = A M 2 = T .
Osservando le equazioni (1) e (2) si nota immediatamente che sia il consumo per adulto equivalente sia il consumo familiare sono funzioni decrescenti di M; di conseguenza si ha che, a seguito di un aumento di M, sia il consumo per adulto equivalente sia il consumo familiare diminuiscono e, quindi, il risparmio aumenta. Tuttavia, un aumento di M produce un altro effetto in quanto, aumentando il periodo di mantenimento dei figli, aumenta il numero di anni in cui la famiglia risparmia meno.
Tornando al nostro esempio si ha, quindi, che la famiglia B, con un M più grande, avrà un risparmio minore, rispetto alla famiglia A, solo negli anni in cui i suoi figli saranno in casa, mentre quelli della famiglia A ne saranno già usciti
(
22≤ E<27)
. In tutti gli altri anni della vita lavorativa, il risparmio della famiglia B sarà sempre maggiore rispetto a quello della famiglia A, in quanto la sua propensione al risparmio sarà più alta; inoltre, poiché il consumo familiare della famiglia B è più basso, nel periodo di pensionamento la sua decumulazione sarà inferiore e ciò produce anche una riduzione della ricchezza accumulata nel periodo attivo. Da quanto detto ne discende che la ricchezza della famiglia B sarà maggiore per un primo momento e inferiore per il resto della vita (figura 2.5).0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
reddito consumo con M=20 ricchezza con M=20 consumo con M=25 ricchezza con M=25
Figura 2.5 – Effetto di una variazione di M per T=2.
Se ne conclude che una variazione di M è in grado di influenzare l’andamento ed i valori non solo della ricchezza, come avveniva nel caso di una variazione di T, ma anche del consumo e del risparmio.
Infine, anche per M è possibile guardare al caso di due famiglie che hanno lo stesso
M medio ma una diversa dispersione. Supponiamo, ad esempio, che vi siano due
famiglie, A e B, che differiscono unicamente per il diverso periodo di mantenimento dei figli (M1A =20, M2A =30 e M1B =25, M2B =25) e ipotizziamo che tutti i figli
vengano generati al tempo T =2. Dalla figura 2.6 si osserva che il consumo, il risparmio e la ricchezza delle due famiglie coincidono sempre, tranne nei periodi in cui le famiglie differiscono per il numero di figli che hanno a carico. Infatti, la famiglia B ha un consumo maggiore ed un risparmio minore negli anni in cui la famiglia A mantiene un solo figlio e la famiglia B ne mantiene sempre due,
(
22≤ E <27)
; mentre ha un consumo minore ed un risparmio maggiore negli anni in cui è solo la famiglia A ad avere il figlio a carico,(
27≤ E<32)
. Di conseguenza, la famiglia B avrà una ricchezza inferiore rispetto alla famiglia A solo nell’intervallo 23≤ E<32.0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
reddito consumo M=20,30 ricchezza M=20,30 consumo con M=25 ricchezza con M=25
Figura 2.6 - Effetto di una variazione di M (diversa dispersione e stesso M medio).
2.2.3 Effetto di una variazione di q
Come abbiamo già avuto modo di sottolineare l’ipotesi che contraddistingue questo modello da quello di base di Modigliani – Brumberg , è l’ipotesi secondo la quale la funzione di utilità della famiglia è tale per cui la famiglia stessa trova ottimale realizzare un consumo costante per adulto equivalente. Il concetto di “unità equivalente” implica l’introduzione nel nostro modello della variabile q, che rappresenta il peso di ciascun figlio sul consumo familiare.
Finora a q è sempre stato attribuito un valore pari a 0,4. È ragionevole però domandarsi come un diverso valore di q possa influenzare l’andamento del consumo, del risparmio e della ricchezza.
Supponiamo, ad esempio, che, lasciando immutate le altre variabili, a q vengano attribuiti due valori diversi ( e ) ed ipotizziamo per entrambi i casi
ed una parto gemellare al tempo 4 , 0 '= q q'' =0,8 20 =
M T =7. La figura 2.7 mostra l’effetto di una
variazione di q. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
reddito consumo con q=0,4 ricchezza con q=0,4 consumo con q=0,8 ricchezza con q=0,8
Figura 2.7 – Effetto di una variazione di q per T=7.
Dall’equazione (2) si osserva che se q aumenta il consumo familiare diminuisce (il risparmio aumenta) quando non si hanno figli a carico e aumenta (il risparmio diminuisce) in caso contrario. Inoltre, poiché il consumo familiare è diminuito, se q aumenta, nel periodo di pensionamento si ha una decumulazione più bassa e ciò fa sì che, nel periodo attivo, si abbia una riduzione della ricchezza accumulata.
Di conseguenza, ipotizzando un più grande valore di q, avremo in un primo momento un maggiore ammontare di ricchezza rispetto al caso caratterizzato da un q più piccolo e, successivamente, a causa di un più basso risparmio nel periodo di mantenimento, avremo un ammontare inferiore, che resterà tale per il resto della vita.
È da notare, inoltre, che per valori di q piuttosto elevati, come per q=0,8, l’inclinazione della funzione della ricchezza nel periodo di mantenimento non è positiva; ad indicare il fatto che, in quell’intervallo temporale, il consumo familiare annuo è maggiore del reddito percepito.
Da quanto detto è possibile concludere che la scelta del parametro q non è affatto irrilevante, in quanto il suo valore è in grado di influenzare in maniera significativa l’andamento del consumo, del risparmio e della ricchezza. Modigliani e Ando nel loro articolo del 19575 attribuiscono a moglie e figli il valore di 0,5; in questo articolo, invece, abbiamo preferito attribuire alla moglie peso unitario e ai figli un valore di 0,4.
2.2.4 Effetto di una variazione di (L-N)
Guardiamo, infine, agli effetti che si potrebbero avere se al periodo di pensionamento fosse attribuito un valore più grande di quello finora ipotizzato, . Un aumento del periodo di pensionamento si può verificare a seguito di un allungamento della durata della vita, L, o di una riduzione del periodo attivo, N.
(
L− N)
=10Iniziamo con il prendere in considerazione il caso in cui a variare sia la lunghezza della vita. Si potrebbe pensare che nell’ambito di questa analisi non sia possibile modificare il periodo di pensionamento aumentando la lunghezza della vita, poiché, a livello aggregato, si verificherebbe un aumento della popolazione e, di conseguenza, verrebbe meno la condizione di stazionarietà. Nel prossimo paragrafo, però, vedremo che, a livello aggregato, questo problema può essere aggirato attraverso un esercizio di statica comparata, confrontando cioè due economie che, pur essendo caratterizzate da una diversa popolazione, sono entrambe in stato stazionario.
A livello individuale si procede come sempre, ipotizzando che vi siano le solite due famiglie: la famiglia A nella quale i genitori vivono L anni e ne lavorano N e la famiglia
B nella quale i genitori, pur lavorando gli stessi N anni, vivono di più, con L'=55; questo cambiamento comporta un aumento di cinque anni del periodo di pensionamento per la famiglia B. Entrambe le famiglie generano due figli, al tempo , i quali restano a carico dei genitori per venti anni.
6 =
T
5
Modigliani F., Ando A. K., Tests of the life cycle hypothesis of savings: comments and suggestions. In: Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 19, May 1957, pp. 99-124.
Le equazioni (1) e (2) mostrano che sia il consumo per adulto equivalente sia il consumo familiare sono funzioni decrescenti di L. Di conseguenza, nel periodo attivo, che è rimasto invariato, l’aumento della durata della vita determina per la famiglia B un risparmio maggiore. Nel periodo di pensionamento, invece, si hanno due effetti contrastanti: da un parte il consumo inferiore riduce l’ammontare annuo di risparmio negativo, dall’altra l’allungamento della durata della vita aumenta gli anni in cui avviene la decumulazione. Questi due effetti fanno sì che il segmento che rappresenta la fase di decumulazione nel periodo di pensionamento sia meno inclinato e più alto. Da queste considerazioni si deduce che l’ammontare di ricchezza detenuto dalla famiglia B sarà, in ogni periodo, maggiore dell’ammontare detenuto dalla famiglia A (figura 2.8a).
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 E Y, C, W
reddito consumo con (L-N)=10 ricchezza con (L-N)=10 consumo con (L-N)=15 ricchezza con (L-N)=15
Figura 2.8a - Effetto di una variazione di (L-N), a seguito di un cambiamento di L.
Passiamo ora a considerare il caso in cui si ha un aumento del periodo di pensionamento a seguito di una riduzione degli anni di vita lavorativa. Tutte le ipotesi precedentemente formulate vengono mantenute con la differenza che adesso i genitori della famiglia B vivono gli stessi L anni della famiglia A, ma lavorano per un periodo
più breve, con ; anche in questo caso si ha, quindi, un aumento di
cinque anni del periodo di pensionamento per la famiglia B. 40 35< = = A B N N
Le equazioni (1) e (2) mostrano che sia il consumo per adulto equivalente sia il consumo familiare sono funzioni crescenti di N. Quindi, la diminuzione, per la famiglia
B, del periodo lavorativo conduce ad una riduzione del consumo per adulto equivalente
e del consumo familiare e, di conseguenza, determina un risparmio maggiore durante la vita lavorativa. La differenza rispetto al caso precedente risiede nel fatto che, adesso, la lunghezza del periodo attivo delle due famiglie non è più la stessa. Di conseguenza, per
≤
E 35 la famiglia B avrà un risparmio maggiore, ma passati i 35 anni la famiglia B comincerà a decumulare, mentre la famiglia A continuerà ad accumulare ricchezza per altri cinque anni. Per , infine, entrambe le famiglie saranno in pensione e conseguiranno un risparmio negativo, con la differenza che la quota annua consumata dalla famiglia B sarà più piccola. Da quanto detto si deduce che l’ammontare di ricchezza detenuto dalla famiglia B sarà maggiore dell’ammontare detenuto dalla famiglia A per gran parte della durata della vita, risultando inferiore solo negli ultimi anni di pensionamento (figura 2.8b).
40 ≥ E 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 E Y, C, W
reddito con (L-N)=10 consumo con (L-N)=10 ricchezza con (L-N)=10 reddito con (L-N)=15 consumo con (L-N)=15 ricchezza con (L-N)=15
Figura 2.8b – Effetto di una variazione di (L-N), a seguito di un cambiamento di N.
A conclusione, è possibile affermare che ipotizzando un valore più grande di (L-N), indipendentemente dal fatto che aumenti L o si riduca N, si avrebbero dei cambiamenti alquanto significativi sull’andamento del consumo, del risparmio e della ricchezza.
2.3
Il modello del ciclo di vita con consumo costante per adulto
equivalente: comportamento aggregato
In questo paragrafo condurremo un’analisi simile alla precedente, con la differenza che in questo caso gli effetti di variazioni delle variabili in esame verranno esaminati a livello aggregato. Lo studio verterà soprattutto sull’impatto che questi cambiamenti provocano sul livello della ricchezza e, di conseguenza, sul rapporto ricchezza-reddito. Inizialmente, concentreremo la nostra attenzione sulle variabili T e M e i parametri Y, L,
N e q saranno mantenuti costanti. Come già ipotizzato nel precedente paragrafo ad essi
saranno attribuiti dei valori pari a: Y =100, L=50, N =40 e q=0,4. Anche a livello aggregato, infine, guarderemo agli effetti che si potrebbero avere se al peso q e al periodo di pensionamento (L-N) venissero attribuiti valori diversi da quelli sopra ipotizzati6.
Come abbiamo già osservato a proposito del modello di base di Modigliani - Brumberg, se ipotizziamo una distribuzione della popolazione uniforme e che L, N, T,
M e q assumano gli stessi valori per ogni classe di età, i grafici precedenti permettono di
rappresentare, a meno di un fattore di proporzionalità, i consumi, i risparmi e la ricchezza di un’intera popolazione. È, infatti, possibile porre sull’asse delle ascisse, al posto dell’età dei genitori, le varie classi di età e sull’asse delle ordinate il reddito, il consumo e la ricchezza di tali classi. In questo caso si parla di analisi sezionale, mentre quella condotta a livello individuale è un’analisi di tipo longitudinale.
Poiché il sistema è in stato stazionario, il risparmio aggregato e la propensione aggregata al risparmio risultano essere pari a zero, esattamente come nel modello di base. Diverso è, invece, il risultato che si ottiene per il rapporto ricchezza-reddito, in quanto in questo caso la ricchezza aggregata non dipende solo da (L-N), come nel modello di base, ma anche da T, M e q.
La ricchezza aggregata è data dall’integrale della spezzata che rappresenta la ricchezza, di conseguenza viene calcolata facendo la cumulata dei valori della ricchezza
6
Questo paragrafo è stato scritto facendo riferimento ai seguenti lavori:
- Casarosa C., Spataro L., Propensione aggregata al risparmio, rapporto ricchezza-reddito e
distribuzione della ricchezza nel modello del ciclo di vita “egualitario”: il ruolo delle variabili demografiche. In: Discussion papers del Dipartimento di Scienze Economiche – Università degli Studi
di Pisa, No. 51, 2005.
- Casarosa C., Spataro L, Aggregate propensity to save, wealth-income ratio and wealth distribution in
the “egalitarian” life-cycle model: the role of demographic variables. In: Studi e Ricerche,
in ogni periodo. Assumendo, per semplicità, che tutte le famiglie generino due figli gemelli, è possibile derivare analiticamente il rapporto ricchezza-reddito, calcolando l’area sotto la spezzata che rappresenta la ricchezza e dividendola per il reddito totale. Così facendo si ottiene:
(3)
(
)
fqM L N M T fqM L N L YN W w + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − = = 2 2 .Questo risultato ci permetterà di calcolare in modo più rigoroso l’influenza che variazioni di T, M, q e (L-N) hanno sul rapporto ricchezza-reddito.
2.3.1 Effetto di una variazione di T
Consideriamo due paesi, C e D, che differiscono unicamente per il diverso momento in cui vengono generati i figli. Ipotizziamo, quindi, che tutti i genitori di entrambi i paesi vivono L anni, ne lavorano N e mantengono i figli per M anni (con M =20); inoltre, in ciascun paese tutte le famiglie sono uguali tra loro. Supponiamo, ad esempio, che le famiglie del paese C generino i figli ai tempi e , mentre le famiglie del paese D li generino ai tempi e .
2 1 = C T T2C =4 10 1 = D T 2D =12 T
Sebbene il consumo costante per adulto equivalente ed il consumo familiare siano indipendenti dal momento in cui i figli vengono generati, osservando la figura 2.3 dal punto di vista sezionale, si nota che il rapporto ricchezza-reddito è funzione crescente di
T. Infatti, l’area sotto la curva celeste, che rappresenta la ricchezza aggregata nel caso di
un paese con nascite precoci (paese C), è più piccola dell’area sotto la curva rossa, che rappresenta la ricchezza aggregata per il paese D.
La spiegazione del risultato osservato è la seguente: i paesi C e D, differendo unicamente per il diverso tempo in cui vengono generati i figli, hanno le generazioni più vecchie (attive o in pensione) che detengono lo stesso ammontare di ricchezza. La differenza risiede nel fatto che nel paese D, dove i figli vengono generati relativamente tardi, la maggior parte delle famiglie più giovani possiede un ammontare di ricchezza piuttosto elevato; mentre le classi di età più giovani del paese C, in cui la nascita dei figli è piuttosto precoce, detiene un ammontare di ricchezza decisamente inferiore. Da
quanto detto deriva che il paese C ha una ricchezza aggregata e un rapporto ricchezza-reddito più bassi rispetto al paese D.
Questo risultato è sempre verificato, anche quando le famiglie generano due figli gemelli. In questo particolare caso è possibile trovare lo stesso risultato anche analiticamente: la derivata del rapporto ricchezza-reddito (equazione 3) rispetto a T assume un valore sempre positivo, indipendente da T:
(4) 0 2 + > = ∂ ∂ fqM L fqM T w .
È possibile, quindi, concludere che, sebbene T non giochi nessun ruolo nella determinazione del livello di consumo costante per adulto equivalente, una sua variazione è comunque in grado di influenzare fortemente l’ammontare di ricchezza aggregata e il rapporto ricchezza-reddito.
Infine, anche a livello aggregato è opportuno guardare all’effetto provocato da una variazione di T nel caso di due paesi che generano i figli in momenti diversi, ma che hanno lo stesso T medio. Dalla figura 2.4, analizzata dal punto di vista sezionale, si osserva che i due paesi possiedono lo stesso ammontare di ricchezza aggregata e, quindi, lo stesso rapporto ricchezza-reddito. Difatti, nel paese che genera figli gemelli, le classi di età comprese tra 2 e 10 detengono un ammontare di ricchezza maggiore, che però è esattamente uguale, in valore assoluto, all’ammontare di ricchezza maggiore posseduto dalle classi di età comprese tra 22 e 30 dell’altro paese.
2.3.2 Effetto di una variazione di M
Guardiamo ora all’effetto di una variazione del periodo di mantenimento, M. Consideriamo, quindi, anche in questo caso, due paesi, C e D, che differiscono esclusivamente per un diverso valore di M: e ; ipotizziamo, inoltre, per semplicità, che in entrambi i paesi le famiglie generino figli gemelli al tempo
20 = C M MD =25 2 = T . Un’analisi sezionale della figura 2.5 mostra che un aumento di M, riducendo il consumo per adulto equivalente, provoca quattro effetti diversi che, aumentando o riducendo la ricchezza detenuta dalle classi di età, inducono cambiamenti nella ricchezza aggregata.
(i) Le famiglie del paese D che ancora devono generare figli hanno una più alta propensione al risparmio e, di conseguenza, un maggiore ammontare di ricchezza rispetto a quello posseduto dalle corrispondenti classi di età del paese C.
(ii) Il minor consumo programmato dalle famiglie del paese D durante il periodo di pensionamento fa sì che si abbia una riduzione dell’ammontare di ricchezza accumulata nel periodo attivo; di conseguenza, le classi più vecchie (attive ed in pensione) del paese D detengono un ammontare di ricchezza inferiore rispetto alle corrispondenti classi del paese C.
(iii) Le famiglie del paese D con figli a carico hanno una più alta propensione al risparmio e, di conseguenza, un maggiore ammontare di ricchezza rispetto alle corrispondenti famiglie con figli a carico del paese C.
(iv) A causa del periodo di mantenimento più lungo, le famiglie del paese D con figli a carico hanno una propensione al risparmio più bassa rispetto alle corrispondenti famiglie del paese C che non hanno più figli a carico e, di conseguenza, un più basso ammontare di ricchezza.
Naturalmente, a seguito di un aumento di M, gli effetti (i) e (iii) hanno un impatto positivo sulla ricchezza aggregata, mentre gli effetti (ii) e (iv) hanno un impatto negativo. L’incidenza di tutti e quattro gli effetti dipende dal valore di M e dall’ampiezza della sua variazione.
Osservando la figura 2.5 si nota immediatamente che l’effetto (i) è quasi trascurabile. È, però, ragionevole attendersi che per alti valori di T questo effetto diventi significativo. Infatti, se T è sufficientemente grande il numero di famiglie giovani senza figli a carico sarà piuttosto rilevante e, di conseguenza, l’aumento di ricchezza che si registra per queste classi di età, a seguito di un aumento di M, giocherà un ruolo importante nel determinare la ricchezza aggregata.
Questi risultati trovano riscontro nella derivata del rapporto ricchezza-reddito, w, rispetto a M: (5)
(
)
(
2)
0 2 2 4 4 2 2 2 ≥ + − + + = ∂ ∂ fqM L L qM ML TL q M w ⇔ 2 2 1 L L qM M T ⎟≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + .Poiché
(
qM 2L)
è un termine molto piccolo, dell’ordine di qualche decimo di unità, si vede chiaramente che il segno della derivata del rapporto ricchezza-reddito rispetto aM è quasi esclusivamente influenzato dai valori di T, M e L il quale, però, in
- Se M è sufficientemente grande, allora w sarà sempre funzione crescente di M indipendentemente dal valore di T. Infatti, se M è “grande”, le famiglie hanno i figli a carico per la maggior parte della loro vita lavorativa e, di conseguenza, l’effetto (iii) sarà quello dominante. Per i valori di L, N e q ipotizzati si ha che w è sempre funzione crescente di M per M ≥23 (figura 2.9a).
- Se M è relativamente piccolo (ad esempio, M =18) e T è sufficientemente grande, w sarà funzione crescente di M. Infatti, se T è piuttosto grande, la maggior parte della durata della vita lavorativa delle famiglie è costituita dal periodo che precede la nascita dei figli e dal periodo del loro mantenimento e, di conseguenza, gli effetti positivi (i) e (iii) prevarranno. Quanto detto si verifica per T ≥6 (figura 2.9b).
- Se M e T sono entrambi relativamente piccoli, allora la disuguaglianza non sarà verificata e w sarà funzione decrescente di M. Infatti, se T è piccolo, la maggior parte della durata della vita lavorativa delle famiglie è costituita dal periodo di mantenimento e dal periodo in cui i genitori non hanno più i figli a carico. Poiché M è relativamente piccolo, l’effetto (iii) non riesce a prevale sull’effetto (ii) e di conseguenza w è funzione decrescente di M (figura 2.9c).
0 100 200 300 400 500 600 700 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 classi di età W
reddito consumo con M=25 ricchezza con M=25 consumo con M=28 ricchezza con M=28
Figura 2.9a - Effetto di una variazione di M sulla ricchezza aggregata, con M sufficientemente grande e T=2.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 classi di età W
reddito consumo con M=18 ricchezza con M=18 consumo con M=21 ricchezza con M=21
Figura 2.9b - Effetto di una variazione di M sulla ricchezza aggregata, con M piccolo e T grande (T=10).
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 classi di età W
reddito consumo con M=18 ricchezza con M=18 consumo con M=21 ricchezza con M=21
Figura 9.2c - Effetto di una variazione di M sulla ricchezza aggregata, con M e T (T=2) relativamente piccoli.
Da quanto detto, concludiamo che se T è grande w è sempre funzione crescente di M; mentre se T è piccolo il rapporto ricchezza-reddito inizialmente diminuisce al crescere di M, raggiunge un minimo e successivamente incomincia a crescere. Supponendo, ad esempio, 2T = , si osserva il seguente andamento:
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 M W/ Y
Figura 2.10 – Andamento del rapporto ricchezza-reddito al variare di M, per T=2.
Guardiamo, infine, all’effetto provocato da una variazione di M, nel caso di due paesi nei quali tutti i genitori generano figli gemelli nello stesso momento, T =2, e li mantengono per lo stesso M medio, con la differenza che nel primo paese i genitori li mantengono entrambi per venticinque anni, mentre nel secondo li mantengono, rispettivamente, per venti e trenta anni. Al contrario di quanto avviene quando si ha uno stesso T medio ed una diversa dispersione delle nascite, in questo caso si ottiene un ammontare di ricchezza aggregata inferiore quando si ha minore dispersione (si osservi la figura 2.6). Più precisamente per i valori ipotizzati si ottiene:
M W aggregata W/Y
25,25 1300,000 3,250
20,30 1333,333 3,333
Questo risultato resta valido anche attribuendo a T valori più grandi. Difatti, da un’analisi sezionale della figura 2.6 si osserva che le classi di età dei due paesi detengono sempre lo stesso ammontare di ricchezza, ad eccezione di quelle generazioni che differiscono per il numero di figli che hanno a carico. Di conseguenza, l’unico
effetto di T è quello di determinare, nel paese caratterizzato da una minore dispersione, le classi di età che subiranno una riduzione nell’ammontare di ricchezza detenuta.
2.3.3 Effetto di una variazione di q
Nel paragrafo 2.2.3 abbiamo esaminato l’effetto di una variazione di q sull’andamento dal consumo, del risparmio e della ricchezza a livello della singola famiglia. Anche a livello aggregato è opportuno domandarsi come un diverso valore di
q, rispetto a quello normalmente ipotizzato (q=0,4), possa influenzare il livello di ricchezza aggregata ed il rapporto ricchezza-reddito.
Supponiamo, quindi, che vi siano due paesi, C e D, che differiscono unicamente per un diverso valore di q: e ; ipotizziamo, inoltre, che tutte le famiglie di entrambi i paesi generino figli gemelli al tempo
4 , 0 = C q qD =0,8 7 =
T e che questi restino a carico dei genitori per venti anni.
Esaminando la figura 2.7 dal punto di vista sezionale si osserva che un aumento di q, riducendo il consumo per adulto equivalente, provoca, sulla ricchezza aggregata, tre effetti diversi.
(i) Nel paese D l’ammontare di ricchezza detenuto dalle classi di età più giovani è
maggiore rispetto all’ammontare posseduto dalle corrispondenti classi di età del paese C, in quanto le famiglie che ancora devono generare i figli hanno una più alta propensione al risparmio.
(ii) Poiché un aumento di q provoca una riduzione del consumo nel periodo di pensionamento ed una più bassa accumulazione complessiva nel periodo attivo, nel paese D l’ammontare di ricchezza detenuto dalle classi più vecchie (attive ed in pensione) sarà inferiore rispetto alle corrispondenti classi del paese C.
(iii) Poiché per le classi di età con figli a carico un aumento di q aumenta il consumo familiare (si faccia la derivata dell’equazione 2 rispetto a q), tali classi hanno una più bassa propensione al risparmio e, di conseguenza, un minore ammontare di ricchezza rispetto alle corrispondenti famiglie con figli a carico del paese C. Quindi, sebbene un aumento di q determini degli effetti molto simili a quelli provocati da un aumento di M, tra le due variazioni esiste un’importante differenza nel caso in cui le famiglie abbiano figli a carico, in quanto mentre un aumento di M causa
un aumento della loro propensione al risparmio, un aumento di q conduce ad un risultato opposto, provocandone una sua riduzione.
Da quanto detto, si conclude che un aumento di q determina sul livello di ricchezza aggregata un effetto positivo, legato ad un aumento della propensione al risparmio delle famiglie nel periodo che precede la nascita dei figli, e degli effetti negativi, legati ad una più bassa accumulazione complessiva nel periodo attivo per le classi di età più anziane, ad una riduzione del consumo per i pensionati e ad una riduzione della propensione al risparmio per le famiglie con figli a carico. Nel caso della figura 2.7 gli effetti negativi prevalgono su quello positivo, in quanto il momento in cui vengono generati i figli, , è relativamente basso, e di conseguenza, si ha che un aumento di q causa una riduzione della ricchezza aggregata.
7 =
T
Questi risultati sono confermati dalla derivata del rapporto ricchezza-reddito, w, rispetto a q: (6)
(
)
(
2)
0 2 2 ≥ + − + = ∂ ∂ fqM L L M T fML q w ⇔ 2 2 L M T+ ≥ .Anche in questo caso, com’era già accaduto per M, troviamo che il segno della derivata del rapporto ricchezza-reddito rispetto a q è esclusivamente influenzato dai valori di T , M e L (il quale, però, è supposto costante).
- Se T e M sono relativamente piccoli, la disuguaglianza non sarà verificata e w sarà funzione decrescente di q. Infatti, se T è piccolo, l’effetto (i) sulla ricchezza aggregata non riesce a prevalere sugli effetti (ii) e (iii). Per i valori di L, N e q ipotizzati e con
si ha che w è sempre funzione decrescente di q, per
20 =
M T <15.
- Se T è sufficientemente grande, w sarà funzione crescente di q. Infatti, se T è piuttosto grande, l’effetto (i) riesce a prevalere. Per gli stessi valori precedentemente ipotizzati, si ha che il rapporto ricchezza-reddito è funzione crescente di q per T >15.
Quindi, per , abbiamo: un rapporto ricchezza-reddito che è funzione decrescente di q per , con riduzioni di w sempre più piccole al crescere di T; un rapporto ricchezza-reddito costante per
20 = M 15 < T 15 =
T ; un rapporto ricchezza-reddito che è funzione crescente di q per , con incrementi di w sempre più grandi al crescere di
T (figura 2.11).
15 >
1 2 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 q W/Y
W/Y per T=3 W/Y per T=12 W/Y per T=15 W/Y per T=17 W/Y per T=20
Figura 2.11 - Rapporto ricchezza-reddito al variare di q, per T diversi.
Naturalmente, più grande è M, minore sarà il valore di T necessario per rendere l’equazione (6) positiva. Si potrebbe pensare, però, che un aumento di M, aumentando il numero di famiglie con figli a carico, amplifichi l’effetto (iii) relativo ad una riduzione della loro propensione al risparmio. In realtà, un suo aumento induce, per queste famiglie, anche l’effetto positivo legato ad un aumento della loro propensione al risparmio che va a compensare la riduzione provocata da q. Di conseguenza, un aumento di M influenza positivamente il livello di ricchezza aggregata, come d’altronde è chiaramente mostrato nell’equazione (6).
Da quanto detto è possibile concludere che, indipendentemente dal segno della derivata del rapporto ricchezza-reddito, la scelta di un valore diverso del parametro q condurrebbe ad una variazione significativa nel livello di ricchezza aggregata e, quindi, nel rapporto ricchezza-reddito.
2.3.4 Effetto di una variazione di (L-N)
Consideriamo, infine, anche a livello aggregato, gli effetti che si potrebbero avere se al periodo di pensionamento fosse attribuito un valore più grande di quello finora ipotizzato ( ). Un aumento del periodo di pensionamento si può verificare a seguito di un aumento della durata della vita, L, o di una riduzione del periodo attivo, N.
10 = − N
Nel paragrafo 2.2.4 abbiamo già osservato che, nel caso di un allungamento della durata della vita, per analizzare gli effetti di una variazione del periodo di pensionamento sul rapporto ricchezza-reddito senza venir meno alla condizione di stazionarietà è necessario procedere con un’analisi di statica comparata, confrontando cioè due economie in stato stazionario caratterizzate però da una diversa popolazione.
Supponiamo, quindi, che vi siano i soliti due paesi, C e D: tutti genitori di entrambi i paesi lavorano gli stessi N anni, con la differenza che i genitori del paese D vivono di più ( ); a seguito di questa variazione nella durata della vita si ha un aumento di cinque anni del periodo di pensionamento per tutti i genitori del paese D. Ipotizziamo, inoltre, che le famiglie dei due paesi generano due figli gemelli, al tempo
, i quali restano a carico dei genitori per venti anni. 50 55> = = C D L L 6 = T
Osservando la figura 2.8a dal punto di vista sezionale, si nota che il rapporto ricchezza-reddito è funzione crescente di L, in quanto l’area sotto la spezzata rossa, che rappresenta la ricchezza aggregata del paese D, è sempre maggiore dell’area sotto la spezzata celeste, che rappresenta la ricchezza aggregata del paese C. Le famiglie del paese D, infatti, avendo una vita più lunga e, quindi, un più lungo periodo di pensionamento, hanno necessità di accumulare maggiore ricchezza pensionistica e, dal momento che il reddito complessivamente prodotto dalle classi attive è uguale a quello prodotto dal paese C, questo comporta una riduzione del loro consumo familiare per l’intero arco della vita. Di conseguenza, per le famiglie del paese D si ha che:
- nel periodo attivo, il risparmio positivo è maggiore rispetto a quello delle corrispondenti famiglie del paese C e, quindi, lo è anche l’ammontare di ricchezza da loro detenuto;
- nel periodo di pensionamento, sebbene il consumo inferiore abbia ridotto il loro ammontare annuo di risparmio negativo, l’allungamento della durata della vita, aumentando gli anni in cui avviene la decumulazione, fa sì che l’ammontare di ricchezza da loro detenuto sia sempre maggiore dell’ammontare detenuto dalle corrispondenti classi del paese C.
Difatti, derivando il rapporto ricchezza-reddito, w, rispetto a L otteniamo un valore sempre positivo: (7)
(
(
)
)
(
2)
0 2 2 2 2 2 > + + − + = ∂ ∂ fqM L M T L fqM L L w .Passiamo ora ad analizzare gli effetti sulla ricchezza aggregata e sul rapporto ricchezza- reddito che si hanno a seguito di una riduzione del periodo attivo, N. Tutte le ipotesi precedentemente formulate vengono mantenute con la differenza che adesso tutti i genitori del paese D vivono gli stessi L anni di quelli del paese C, ma lavorano di meno (ND =35< NC =40).
Osservando la figura 2.8b dal punto di vista sezionale, si nota che il rapporto ricchezza-reddito è funzione decrescente di N, in quanto l’area sotto la spezzata rossa, che rappresenta la ricchezza aggregata del paese D, è decisamente maggiore dell’area sotto la spezzata celeste, che rappresenta la ricchezza aggregata del paese C. Questo risultato è confermato dalla derivata del rapporto ricchezza-reddito, w, rispetto a N che risulta essere sempre negativa:
(8)
(
(
)
)
0 2 1 2 2 1 < − = + + − = ∂ ∂ fqM L fqM L N w .La spiegazione di quanto osservato è la seguente: le famiglie del paese D, avendo un periodo di pensionamento più lungo ed un periodo lavorativo più corto, hanno la necessità di risparmiare di più durante il periodo attivo. Di conseguenza, le classi in età lavorativa del paese D risparmieranno di più rispetto alle corrispondenti classi di età del paese C e, quindi, deterranno un ammontare di ricchezza maggiore. A seguito, però, della riduzione del periodo lavorativo dei genitori del paese D, si avranno delle famiglie del paese C che continueranno ad accumulare ricchezza, quando, invece, le corrispondenti famiglie del paese D, essendo in pensione, avranno già iniziato a decumulare. Di conseguenza, le generazioni più anziane del paese D deterranno un ammontare di ricchezza inferiore. Una riduzione di N produce, quindi, due effetti di segno opposto sul livello di ricchezza aggregata. È possibile però affermare che, poiché in un’economia stazionaria il numero di famiglie in età lavorativa è sempre maggiore del numero di famiglie in pensione, il livello di ricchezza aggregata del paese D è maggiore di quello del paese C; in altre parole il rapporto ricchezza-reddito è funzione decrescente di N.
A conclusione è possibile, quindi, affermare che un più grande valore di (L-N), indipendentemente dal parametro che è all’origine di questo cambiamento, conduce ad un aumento sul livello di ricchezza aggregata e, quindi, sul rapporto ricchezza-reddito.
