Nella prima metà dell’800 il fondamento della matematica era stata la geometria associando il concetto di numero a quello di punto collocato nello spazio.
Attraverso la nascita delle geometrie non euclidee, si fa strada l’idea che la
matematica sia pura invenzione della mente umana.
Il termine “riduzionismo” deriva dal
procedimento di ridurre (cioè ricondurre) ogni parte della matematica ad altre parti via via più semplici, arrivando infine al
fondamento ultimo di tutta la matematica, che i riduzionismi identificano con il
numero.
Ma qual è la natura del numero stesso?
Il problema della continuità affonda radici molto antiche che sfociano necessariamente nel tema dell’infinito Zenone, Leibniz, Newton)
La fondazione del continuo numerico consiste nel costruire una continuità sulla base di una successione di punti, tali che a ciascuno di essi sia attribuibile un numero. Ciò per Kant era
irrealizzabile.
La posizione di Dedekind
A2 A3 B3B2
A A1 B B1
La continuità è svincolata dall’intuizione sensibile, ma si fonda solo sui procedimenti logico-
matematici.
Ad ogni grandezza AB possiamo associare una misura?
Il numero non va ricondotto all’attività del contare, ma alla potenza o
«cardinalità» di un insieme.
Dato un insieme contenente oggetti di natura qualsiasi ha senso porsi la domanda “Quanti sono gli elementi di A?” oppure “A avrà più o meno elementi di un insieme B?” . Se A e B sono finiti, indichiamo il numero di elementi dell’insieme con un numero naturale. Questo
procedimento appena descritto non è altro che il processo del contare.
1
2
3
4
Cantor
Dati due insiemi A e B, si dice che A è equipotente a B se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di
A e quelli di B.
Le gocce del mare
I granelli di sabbia
Le stelle nel cielo
….
Gli enti matematici finiti possono essere trattati senza porre domande sulla loro natura.
Trattando, invece, con numeri infiniti,
visto che non possono essere costruiti da noi, bisogna necessariamente pensare a realtà autonome, esterne al nostro
pensiero.
CHE COSA SONO I NUMERI ? (ONTOLOGIA)
COME CONOSCIAMO I NUMERI?
(EPISTEMOLOGIA)
• LOGICISMO: (Frege, Russell) I numeri sono oggetti reali preesistenti al nostro pensiero (Platone)
• FORMALISMO: (Hilbert) I numeri non sono oggetti reali
• INTUIZIONISMO: (Brouwer) I numeri sono
oggetti non reali, prodotti dalla mente (Kant).
L’indirizzo logicista è orientato verso una concezione realistica, in virtù della quale
la matematica si configura come un territorio preesistente al pensiero.
• I contenuti dell’aritmetica sono costrutti logici.
• La matematica è fondamentalmente una applicazione specifica delle leggi
universali della logica.
Il filosofo inglese Bertrand Russell dimostrò l’impossibilità di utilizzare il concetto di insieme (classe) a livelli crescenti di complessità
“Tutti i cretesi mentono”
Epimenide il cretese Problema:
Epimenide mente o sta dicendo la verità?
Definizione di barbiere: colui che sbarba tutti, e soltanto, quegli uomini che non si fanno la barba da soli.
Quesito: Chi fa la
barba al
barbiere?
La frase scritta
sulla diapositiva
successiva è falsa
La frase scritta
sulla diapositiva precedente è
vera
Brower, in una prospettiva kantiana, pone a fondamento del numero
l’intuizione.
La matematica non avrebbe bisogno di alcuna fondazione perché ogni
elaborazione di strutture concettuali la presuppone.
Gli enti matematici sono presenti solo nella nostra mente.
Linguaggio e logica vengono elaborati solo come strumenti di comunicazione e di
ordinamento di ciò che è stato
precedentemente costruito con l’intuizione
La matematica è un’invenzione dell’intelletto umano, poichè si basa su intuizioni che non
hanno una consistenza empirica, ma sono frutto di processi intellettivi.
Hilbert sostiene che sia possibile
dimostrare la coerenza della matematica attraverso la metamatematica che
utilizza un linguaggio formalizzato, costituito da:
• Un insieme finito di segni;
• Un insieme di regole di combinazione dei segni
• Un insieme di regole di trasformazione
Metaforicamente Hilbert suppose di sostituire ai punti dei tavoli, alle linee delle sedie e ai piani dei boccali
In un sistema assiomatico non si deve supporre di conoscere il significato dei termini che
vengono indicati negli assiomi.
La matematica è dunque considerata una forma di pensiero assiomatico, in cui da premesse arbitrarie (assiomi) si
deducono conclusioni valide (teoremi) che, una volta dimostrate, entrano a loro volta nel sistema degli assiomi e possono essere utilizzate per ulteriori
dimostrazioni.
Che gli assiomi siano veri o no, in senso scientifico, non ha alcuna importanza. La caratteristica fondamentale (ed
essenziale) del sistema formalista è la
non-contradditorietà interna del sistema stesso.