9. Trasformata di Radon

9. Trasformata di Radon

Prima di descrivere la tecnica di ricostruzione di un immagine a partire dai dati tomografici, è utile formalizzare alcune definizioni.

Il volume corporeo, di cui si vuole ricostruire l’immagine della sezione, è centrato nel sistema di coordinate (x,y) mentre il tubo radiogeno e il rivelatore (insieme di detettori) sono in un sistema di riferimento di coordinate (ξ,η), con stessa origine ma ruotato di un angolo γ rispetto al sistema (x,y). Queste coordinate corrispondono alla coppia (t,s) della rappresentazione utilizzata precedentemente per descrivere la retta nel piano.

Nell’esempio di figura 1 la coordinata ξ rappresenta, nel sistema ruotato (ξ,η), la posizione del detettore e η il percorso della radiazione.

Siano n_ξ e n_η i versori che individuano gli assi ξ e η, per quanto detto nei paragrafi precedenti, dove i versori sono stati indicati con ω e ωˆ :

( ) ( ( ) ( ) ) ( )

γ

( ( ) ( )

γ γ

)

ω

γ γ γ

ω

η ξ

cos , ˆ sin

sin , cos

−

=

=

=

= n

n

Le trasformazioni (unitarie) di coordinate che consentono il passaggio da un sistema di riferimento all’altro, sono date da:



 







 





= −



 





y x φ φ

φ φ

η ξ

cos sin

sin

cos e 



 







 



 −

 =



 





η ξ φ φ

φ φ

cos sin

sin cos

y

x (1)

Figura 2: definizione del sistema di proiezione (ξ,η) attraverso i versori nξ e n_η. Il sistema di coordinate fisse (x,y) rappresenta il sistema di coordinate del paziente a riposo. La linea di proiezione che attraversa l’oggetto è data nella sua forma Hessiana.

ξ e η le seguenti relazioni:

Figura 1: Geometria del processo di ricostruzione dell'immagine tomografica

( ) ( ) ( )

( ) ( )

γ

( )

γ

η

γ γ

ξ

η ξ

cos sin

sin cos

y x

y x

T T

+

−

=

⋅

=

+

=

⋅

= n r

n r

dove r = (x,y)^T è il vettore posizione che rappresenta il punto generico nel piano. Si può ora sostituire alla funzione f, rappresentante il coefficiente di assorbimento nel sistema fisso (x,y), la funzione μ, che rappresenta il coefficiente di assorbimento nel sistema (ξ,η):

( )

x y =µ

(

ξ

( ) ( )

x y η x y

)

=µ

( (

r^T ⋅nξ

) (

r^T ⋅nη

) )

f , , , , ,

Figura 3: Coefficiente di attenuazione per un generico punto rappresentato nel sistema fisso da vettore r(x,y) e nel sistema rotante dal vettore ρ(ξ,η)

Dal punto di vista fisico ovviamente si tratta del coefficiente di attenuazione di un generico punto, rappresentato nel sistema fisso dal vettore r(x,y) e nel sistema rotante dal vettore ρ(ξ,η).

Figura 4: corrispondenza funzionale del coefficiente di attenuazione di un generico punto, definito nel sistema fisso dalle coordinate (x,y) e nel sistema rotante dalle coordinate (ξ,η)

Figura 5: proiezione lungo una linea L. La proiezione corrisponde ad un campionamento spaziale lungo una linea L nella sezione. I fotoni del fascio di raggi X attraversano tutti i punti dell’oggetto che si trovano sulla linea

L. Il tipico decadimento esponenziale dei raggi-X è funzione dai coefficienti di attenuazione appartenenti alla linea L.

Si definisce ora la proiezione o trasformata di Radon di una funzione f(x,y), indicata con p_γ(ξ), l’integrale di linea della funzione f(x,y), lungo una linea parallela all’asse delle η ad una distanza ξ’

dall’origine. L’operazione di proiezione corrisponde ad una operazione di campionamento spaziale e si può scrivere, per una data funzione f(x,y, k), la seguente formula:

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

δ γ γ ξ

) ( )

rδ

( (

r n

)

ξ

)

r

( ) (

rδ r L

)

r δL γ

η γ ξ γ η γ ξ η

η ξ η ξ

η η

ω η ξω ω

ω ξ

ξ γ

ω ω

* '

sin cos

,

' cos sin

, sin cos

, , ,

ˆ , , ˆ

, ,

f d f

d f

dxdy y

x y x f

dy f

d y

x f

d y x f d

f ds s t f y

x f p

T l

l_{t t}

=

−

=

−

⋅

=

− +

= +

−

=

=

= +

= +

= ℜ

≡

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

∞ +

∞

−

+∞

∞

−

2

2 R

R

(2)

Dove ad x e y si è sostituita la loro espressione in funzione di ξ e η, come menzionato nella (1). Si ricorda che la funzione delta di Dirac¹

1 In realtà si tratta di una funzione generalizzata, definita dalla relazione

assume un valore diverso da zero soltanto nel punto che ( ) ( ) ( )

∫

^{+∞δ x g xdx= 0g} con g(x) funzione

rende nullo il suo argomento, questo giustifica il passaggio dall’integrale singolo a quello doppio.

Le ultime tre espressioni tengono conto della forma vettoriale introdotta dove r è il vettore posizione di un generico punto del piano e L è la linea lungo cui avviene la proiezione.

L’argomento della funzione δ r-L, rappresenta i punti del piano appartenenti alla linea L. L’ultima espressione in particolare corrisponde al concetto di campionamento spaziale.

Poiché la funzione p_γ(ξ) è la proiezione monodimensionale (1-D) della f(x,y) secondo l’angolo γ, l’operatore trasformata di Radon calcola l’integrale di linea dell’immagine bidimensionale (2-D) lungo la direzione η.

Figura 6: Due proiezioni secondo diversi angoli γ di un oggetto f(x,y).

In figura 6 sono mostrate le proiezioni a due angoli diversi γ1 e γ2, di un oggetto f(x,y); la funzione p_γ(ξ) assume valori maggiori in corrispondenza di quei percorsi d’integrazione che attraversano

“strisce” più lunghe dell’oggetto vedi figura 5.

La trasformata di Radon gode delle seguenti proprietà:

• è lineare: ℜ

[

af +bg

]

=aℜ

[ ]

f +bℜ

[ ]

g

• è simmetrica: le proiezioni sono funzioni periodiche rispetto a φ, con periodo pari a π e quindi simmetriche, pγ(ξ)= pγ±π(-ξ)

Perché la definizione data sia valida, non risulta necessario richiedere che la funzione f(x,y) sia continua e a supporto finito, ma basta richiedere che la funzione sia integrabile su ogni linea, cioè deve valere che:

(

cos − sin , sin + cos

)

<∞ per tuttigli( , )∈RxS¹

∫

−^∞∞ f ξ γ η γ ξ γ η γ dη η γ

Si può dire che una funzione che soddisfa la precedente equazione è nel “dominio naturale” della trasformata di Radon. Questo requisito equivale a soddisfare le due condizioni seguenti:

2. La funzione tende rapidamente a zero, in modo che l’integrale precedente converga.

Le immagini mediche, poiché possono essere considerate funzioni continue a tratti e nulle al di fuori di un cerchio, appartengono al “dominio naturale” della trasformata di Radon.

Come si può facilmente intuire, nella pratica, la trasformata di Radon è nota (misurata) solo su un numero finito di direzioni (angolazioni) e per ogni direzione, su un numero discreto di punti.

L'insieme dei dati raccolti dai rivelatori in ogni direzione è detto (nel caso discreto) sinogramma.

Nonostante quindi in pratica si abbia a che fare con funzioni discrete, nel seguito per semplicità si tratterà il caso di funzioni continue.

9.1. SINOGRAMMA

Le proiezioni ottenute con uno schema a raggi paralleli di un singolo punto fisso P, rappresentato da un cerchio rosso nella figura, sono organizzati nello spazio discreto di Radon (immagine con un numero finito di pixel) come riportato in figura 7b ; i pallini colorati rappresentano i pixel su cui si proietta il punto fisso P, per alcune proiezioni più di pixel viene interessato, questo effetto si chiama effetto di volume parziale. Un’altra rappresentazione possibile dello spazio di Radon è riportata in figura 7d utilizzando le coordinate polari. In questo spazio le proiezioni appaiono come un cerchio passante per l’origine. In figura 7c è rappresentato lo schema del teorema di Talete² con cui si ottiene tale rappresentazione.

Figura 7: a) Le proiezioni di un singolo punto fisso, rappresentato da un cerchio rosso, sono organizzati nello spazio discreto di Radon come in figura; b) i pallini colorati rappresentano i pixel su cui si proietta il punto fisso.

d) Un’altra rappresentazione possibile dello spazio di Radon. Le proiezioni appaiono come un cerchio passante per l’origine. c) teorema di Talete con cui si ottiene la rappresentazione in d.

2 il teorema di Talete (dal nome di Talete di Mileto), afferma che se A, B e C sono tre punti su un cerchio in

In una rappresentazione cartesiana della trasformata di Radon le proiezioni di un oggetto che giace fuori del centro di rotazione della tomografia produce una traccia sinusoidale. Per tale motivo questa rappresentazione grafica della proiezione è chiamata sinogramma.

Figura 8: a) immagine sintetica di 256x256 pixel composta di sue oggetti rettangolari uno posto al centro di rotazione della tomografia e l’altro fuori centro. b) rappresentazione cartesiana dello spazio di Radon per l’immagine in a. c) rappresentazione in coordinate polari dello spazio di Radon per l’immagine in a.

Nella figura 8 è possibile vedere la proiezione di una immagine sintetica di 256x256 pixel (8a).

L’immagine sintetica presenta due oggetti omogenei, un rettangolo posto nel centro di rotazione della tomografia e un quadrato fuori centro. Il coefficiente di attenuazione dei due oggetti, considerati omogenei, è posto uguale ad 1 e il coefficiente di attenuazione all’esterno di essi è considerato nullo. Le proiezioni sono acquisite tra 0 e 180°, poiché la proiezione lungo la stessa direzione ma nel verso opposto non aggiunge alcuna informazione (simmetria della trasformata di Radon). In figura 8b è riportata la rappresentazione cartesiana dello spazio di Radon (ξ,γ) e in 8c la sua rappresentazione in coordinate polari. La proiezione risultante da un attraversamento delle zone a più alto valore di attenuazione è rappresentata con valori più chiari (una minore quantità di energia ha raggiunto la pellicola radiografica e di conseguenza si è ottenuto un basso annerimento), mentre con valori più scuri è rappresentata la proiezione risultante da un attraversamento delle zone

annerimento). E’ facile riconoscere la traccia sinusoidale lasciata dall’oggetto quadrato. Più l’oggetto è lontano dal centro di rotazione maggiore più ampia risulta la traccia sinusoidale nello spazio di Radon. Il rettangolo non genera una traccia globale sinusoidale, ma è possibile distinguere guardando la traccia generata l’andamento sinusoidale della modulazione dell’intensità luminosa della traccia. Quando l’angolo di proiezione è di 45° il rettangolo e il quadrato giacciono sulla stessa linea di proiezione. Questo situazione, indicato sull’immagine da una linea tratteggiata, corrisponde ad un valore più alto di intensità luminosa. Nella rappresentazione polare (figura 8c) la rappresentazione dei due oggetti risulta separata, con cerchi il cui raggio è proporzionale alla distanza dell’oggetto dal centro di rotazione. La natura simmetrica del rettangolo visibile nello spazio degli oggetti (figura 8°) porta a una immaggine simmetrica nello spazio di Radon.

Figura 9: a) immagine tomografica di una sezione dell’addome; b) rappresentazione cartesiana dello spazio di Radon dell’addome in a; c) rappresentazione in coordinate polari dello spazio di Radon dell’addome.

La figura 9a mostra l’immagine tomografica di una sezione dell’addome, le figure 9b e c mostrano la rappresentazione cartesiana e polare dello spazio di Radon dell’addome in a. In queste immagini è più difficile interpretare il diagramma, rispetto al caso dell’immagine sintetica, poiché ogni punto dell’oggetto produce la sua traccia sinusoidale di differente ampiezza, fase e livello di grigio.

θ P r γ1

Per una rappresentazione matematica del sinogramma è necessario esprimere la coordinata ξ della proiezione in funzione degli angoli γ (angolo di proiezione) e θ (angolo formato dal vettore posizione di un punto generico con l’asse delle ascisse del sistema di riferimento). In figura 10 sono riportate tre proiezioni a differente angolo γ (γ0 = 0, γ1, γ2). In ogni proiezione è possibile individuare il triangolo OPQ retto in Q. Ricordando che la misura di OP è per definizione r, modulo del vettore posizione, e che l’angolo POQ è uguale a θ - γ, la misura del segmento OQ = ξ è data da rcos(θ-γ).

Figura 10: Il generico punto P, di coordinate polari r e γ, è proiettato sulla proiezione P_γ nel punto di coordinate ξ = rcos(θ-γ)

9.2. Teorema della proiezione o teorema della fetta centrale

Consideriamo la relazione tra la trasformata di Fourier 2-D dell’oggetto rappresentato dalla funzione f(x,y) e la trasformata di Fourier 1-D della sua proiezione p_γ(ξ). Questa relazione è alla base delle tecniche di ricostruzione delle sezioni di un oggetto a partire dalle sue proiezioni. La trasformata monodimensionale della proiezione p_γ(ξ), indicando la variabile frequenza monodimensionale con q è data dalla:

( ) [ ( ) ] ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

(

ξ γ η γ ξ γ η γ

) (

ξ

)

ξ η

ξ ξ ξ

ξ δ

ξ _{ξ γ}

γ γ

d d iq f

d iq p

d f

p q

P ^T

− +

−

=

−

=

−

⋅

= ℑ

≡

∫ ∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

exp cos sin

, sin cos

1 exp

R2

r n

r r

(3)

Applicando le regole di trasformazione delle coordinate da (ξ ,η) a (x,y) come espresso nella (1), si può riscrivere la precedente come:

( )

q f

( )

x y

[

iq

(

x y

) ]

dxdy

P_λ =

∫ ∫

−^∞∞ , exp− cosγ + sinγ (4)

Ricordando che nel dominio della frequenza valgono le formule di conversione delle coordinate:

γ γ sin cos q q v

q q u

y x

=

=

=

=

la precedente equazione può essere riscritta:

( ) (

^{γ γ}

) ( )

_γ

^{( )}

_γ

^{( )}

_γ

^{( )}

^γ

γ q F qcos ,qsin F q ,q F u,v o F u,v F q,

P = = _{x y} = = (5)

γ0=0 P r θ O ξ Q

O

Q P=Q

r φ2 θ

Figura 12: Trasformata di Fourier dell'oggetto f(x,y) lungo alcune linee

radiali

qy

qx

cartesiane e polari nel dominio della frequenza.

L’ultima equazione stabilisce che la trasformata monodimensionale della proiezione per un dato angolo γ è uguale alla trasformata bidimensionale della funzione f(x,y) calcolata su una linea passante per l’origine delle coordinate dello spazio delle frequenze e formante con l’asse delle ascisse un angolo γ .

Figura 11: Rappresentazione del teorema della fetta centrale (Fourier slice theorem)

9.3. Trasformata inversa di Radon

Il risultato precedente fornisce immediatamente un metodo per effettuare la ricostruzione di un’immagine a partire dalle sue proiezioni, cioè per calcolare la f

( )

x,y si può procedere realizzando i seguenti tre passi:

• calcolo della trasformata di Fourier di p_γ(ξ) p_γ(ξ) P_γ(q)

• costruzione della trasformata di Fourier di f a partire dalle trasformate di P

P_γ(q) F(u, v)

• calcolo della trasformata inversa di Fourier di F che restituisce la funzione desiderata f

F(u, v) f (x, y)

ξ=ξ’ ξ

x y ξ

η

Oggetto f(x,y)

γ

P_γ(ξ) Proiezione

2D FT γ

1D FT

( )

_γ

γ F qX qY

P = .

qX

qy

Mentre i passi 1 e 3 richiedono la semplice applicazione di una trasformata di Fourier, diretta o inversa, il passo due richiede la conoscenza del risultato presentato nella 5 che collega la trasformata dell’oggetto f (x, y) e la trasformata della proiezione p_γ(ξ). Considerando le proiezioni

per tutti gli angoli e facendone la trasformata di Fourier si possono determinare i valori di F(u,v) lungo le linee radiali. Nella realtà è possibile effettuare solo un numero finito di proiezioni, quindi la F(u,v) sarà nota solo su un numero finito di linee radiali (vedi figura 12). La trasformata di Fourier inversa deve essere calcolata in coordinate cartesiana poiché f(x,y), che rappresenta i coefficienti di attenuazione, è definita in coordinate cartesiane e per sua natura, la trasformazione nel dominio spettrale, non cambia il sistema di coordinate. Essendo sia la trasformata di radon p_γ(ξ) che la sua trasformata di Fourier P_γ(q) espresse in coordinate polari è quindi necessario che il cambiamento avvenga nel passo 2. Nella figura 13 è riportato lo schema delle trasformazioni, lungo le direttrici verticali agiscono le trasformate di Fourier, mentre lungo le direttrici sinistra-destra avviene la modifica del sistema di coordinate. Nella figura 14 è riportato lo schema essenziale delle trasformazioni dallo spazio dell’oggetto allo spazio della trasformata di Radon a quella di Fourier (mono e bidimensionale).

Figura 14: Rappresentazione del teorema della fetta centrale (Fourier slice theorem) applicato su una sezione di addome.

Figura 13: il sistema di trasformate e l’invarianza dei sistemi di riferimento per le Trasformata di Fourier

Usando il risultato del teorema della fetta centrale ed applicando i tre passi proposti è possibile fornire uno algoritmo diretto per ricostruire l’oggetto f(x,y) dalle sue proiezioni p_γ(ξ). In tale algoritmo i dati spettrali ottenuti in forma polare a partire dalle proiezioni p_γ(ξ) devono essere riorganizzati in un sistema di coordinate cartesiane, in modo da ricostruire la funzione F(u,v).

Ovviamente, la trasformazione inversa della F(u,v) porta direttamente alla funzione f(x,y) nel dominio dello spazio. Lo schema teorico dell’algoritmo è riportato nella figura .

Figura 15: schema della ricostruzione diretta basato sul teorema della fetta centrale.

Sfortunatamente, ci sono alcuni problemi nella realizzazione diretta di questo semplice schema. A causa della quantità massima di dati trattabili e di considerazioni riguardo alla massima dose di radiazione, il numero di proiezioni che uno scanner CT può fornire è limitato. Per cui i valori della trasformata di Fourier F(u,v) dei coefficienti di attenuazione f(x,y) sono solo conosciuti per un numero limitato di misure lungo linee radiali nello spazio (u,v). Ma il problema non è tanto il numero discreto dei valori assunti dall’angolo di proiezione, quanto la distribuzione polare dei dati spettrali in un sistema di coordinate cartesiane e quindi nel fatto che la F(u,v) è conosciuta solo radialmente lungo un sistema di linee a stella con il centro nell’origine delle coordinate. La figura 16 mostra la configurazione radiale della trasformata di Fourier P_γ(q) della proiezione misurata all’angolo γ nello spazio cartesiano (u,v). Ovviamente, la trasformata delle proiezioni appaiono organizzate in cerchi anche nel piano cartesiano.

Figura 16: Rappresentazione del teorema della fetta centrale (Fourier slice theorem) applicato su una sezione di addome.

Poiché la trasformata inversa di Fourier richiede dati organizzati su una griglia rettangolare, i dati P_γ^(q), che sono organizzati lungo cerchi concentrici devono essere riorganizzate su una griglia cartesiana prima di procedere alla trasformazione inversa, vedi figura 18. Tale procedimento è chiamato “regridding”. Per realizzare tale riorganizzazione si usano tecniche di interpolazione (quali il “nearest-neighbor”, la bilineare, etc.) secondo lo schema riportato in figura 17.

Conseguenza diretta dell’organizzazione radiale è che la densità dei dati nello spazio u,v diminuisce all’aumentare della frequenza, come mostrato in figura 16 (a,b) e conseguentemente l’errore di interpolazione aumenta all’aumentare della frequenza. Sfortunatamente, l’effetto porta ad una degradazione della qualità dell’immagine poiché le frequenze spaziali più elevate rappresentano aree ricche di dettagli.

Figura 17: ricostruzione nel dominio della frequenza schema concettuale

F(u, v) Riempimento nel

dominio della frequenza

Interpolazione da griglia polare a griglia rettangolare

1D FFT 2D FFT

^-1

p_γ(ξ) P_γ(q) f(x,y)

Figura 18: ricostruzione nel dominio della frequenza schema concettuale

Il campionamento geometrico potrebbe essere modificato per ottenere che i valori di proiezione nello spazio di Radon cadono esattamente sulla griglia cartesiana nello spazio di Fourier. Poiché lo spazio di radon e quello di Fourier sono collegati con una trasformata di Fourier le variabili ξ e q hanno un comportamento reciproco, quando i campioni nello spazio di Radon sono distribuiti su cerchi concentrici i campioni nello spazio di Fourier sono distribuiti anche essi su cerchi concentrici e viceversa; ciò è dovuto al fatto che i campioni nello spazio di Radon sono equidistanti in tutte le direzioni radiali. Ovviamente se si vuole che i campioni nello spazio di Fourier cadono su una griglia cartesiana, ciò comporta una disposizione particolare dei campioni sullo spazio di Radon, come mostrato in figura 16 (c,d). In pratica la distanza tra i campioni appartenenti alle diagonali e quella tra i campioni appartenenti agli assi x e y non è uguale, ciò è dovuto alla disposizione dei campioni sulla griglia cartesiana. In questo caso si parla di “inverse squares”.

9.4. Il metodo del linogramma

Un modo per superare il problema della interpolazione bidimensionale quando si utilizza direttamente la trasformata di Radon inversa è detto "metodo del linogramma" (Jacobson 1996;

Magnusson 1993). I campioni spettrali disposti in quadrati concentrici nello spazio di Fourier sono trasformati in punti appartenenti a cerchi concentrici non equidistanti, creando la necessità di una sofisticata procedura di campionamento. La trasformata chirp-z inversa (Stearns e Hush 1999) si adatta perfettamente a questa situazione per cui non è necessaria alcuna interpolazione. Il metodo del linogramma può essere visto come un metodo diretto di trasformata di Fourier. Tuttavia, al posto del sinogramma, disposizione dei dati ottenuti dalla proiezione introdotta in precedenza, una diversa struttura dei dati, un linogramma, deve essere creato o misurato. Per quanto detto, nel

F(u, v)

campionamento a linogramma la lunghezza totale di campionamento b varia con l'angolo di proiezione γ in modo tale che:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )





°

<

≤

°

°

°

°

<

≤

°

= °

135 45

per sin 0

0 45 45

- per cos 0

γ γ

γ γ γ

b

b b b

b (0°) rappresenta la lunghezza complessiva b di campionamento per l’angolo di proiezione γ = 0°.

La figura 19 mostra la distribuzione dei campioni in corrispondenza di un angolo di proiezione compreso nei tra -45° e 45° e tra 45° e 135°. L’insieme di rivelatori è in questo approccio è fisso e coincide con rette parallele agli assi x e y. Tale insieme è rappresentato in figura 20 dai piccoli cerchi riportati sull’asse x e y (considerati linee virtuali di rivelatori).

Figura 19: il linogramma in a è ottenuto per una proiezione con un angolo γ compreso tra -45° e 45°, quello in b è ottenuto per una proiezione con un angolo tra 45° e 135°. Ovviamente la minima lunghezza della zona

campionata si ottiene a 45°.

Per un array lineare di rivelatori equispaziati, ovviamente la lunghezza totale della zoma campionata, b(γ), ha il suo minimo per una proiezione con un angolo γ pari a 45° o 135° e il suo massimo per γ pari a 0° o 90° . Variando l’angolo di proiezione, b(γ) descrive una circonferenza, in accordo con il teorema di Talete. Si ottengono due cerchi concentrici per ognuna delle due proiezioni mostrate in figura 20 L’area totale nello spazio di Radon è rappresentata da quattro semicerchi costruiti usando il teorema di Talete. Per il rapporto esistente tra lo spazio di Radon e lo spazio di Fourier se la lunghezza totale della proiezione è b in Radon si ha una distanza tra i punti pari a b^-1 nello spazio di Fourier. Poiché il numero di campioni D non è modificato dalla trasformata, la corrispondente lunghezza totale della trasformata deve variare al variare dell’angolo di proiezione. Ovviamente, la lunghezza totale nello spazio della trasformata di Fourier B(γ) ha il suo massimo per l’angolo di proiezione γ = 45° e γ = 135° e il suo minimo per γ = 0° e γ = 90°.

Figura 20: per il campionamento con il metodo del linogramma i cerchi riportati rappresentano la massima lunghezza del campionamento radiale. Le circonferenze sono costruite in base al teorema di Talete per ogni angolo nell’intervallo -45°≤γ<45 (in a) e 45°≤γ<135° (in b)

La lunghezza nello spazio di Fourier è data da:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )









°

<

≤

° °

°

°

<

≤

° °

=

135 45

per sin

0

0 45 45

- per cos

0 D

γ γ γ γ γ

b D b b b

che porta ad ottenere un’area di campionamento quadrata nello spazio di Fourier, con campioni organizzati in linee orizzontali e verticali parallele agli assi u e v, come era richiesto. Comunque, la distribuzione dei campioni sui bordi di quadrati nello spazio di Fourier non risolve completamente il problema dell’interpolazione. Per ottenere campioni equidistanti nello spazio di Fourier lungo la direzione orizzontale e verticale è necessario utilizzare un incremento dell’angolo di proiezione non costante, ∆γ. Campioni equidistanti nel dominio spettrale si ottengono scegliendo incrementi costanti per le quantità:

( ) ( )

°≤ < °

⋅

°

<

≤

°

⋅

135 45

per cot D

45 45

- per tan D

γ γ

γ γ

rispettivamente. Questo risultato discende direttamente dalla disposizione geometrica dei punti lungo quadrati nel dominio spettrale. La figura 21 presenta in schematicamente il metodo del

proiezioni è divisa in due differenti intervalli che comprendono le proiezioni ad angoli compresi tra -45°≤γ<45° e le proiezioni ad angoli compresi tra 45°≤γ<135°. Le due acquisizioni vengono trattate

separatamente e successivamente assemblate insieme. Sui dati viene poi applicata separatamente una trasformata di Fourier in forma radiale che genera una distribuzione verticale equispaziata di campioni per gli angoli -45°≤γ<45° e una distribuzione orizzontale equispaziata per gli angoli 45°≤γ<135°. La densità dei campioni nello spazio di Fourier non è omogenea, poiché la densità dei campioni nello spettro aumenta al diminuire delle frequenze spaziali. Questo eccesso di rappresentazione delle frequenze spaziali più basse è compensata da un peso linearmente variabile nello spazio di frequenza. Poiché la trasformata chirp-z inversa tratta tutti i punti con lo stesso peso, una trasformazione non compensata avrebbe l’effetto di un filtro passa-basso.

Figura 21: rappresentazione schematica del metodo del lipogramma

di angoli tra -45°≤γ<45° e in direzione orizzontale per l’intervallo di angoli compresi tra 45°≤γ<135°. Ciò si traduce in uno spazio eterogeneo di coordinate miste spaziali e frequenziali prodotto per ciascun caso. Lungo le coordinate frequenziali di questo spazio viene applicata una trasformata di Fourier inversa monodimensionale:

( ) ( )

( ) ( )

°

<

≤

°

=

∫

−

45 45

- per ,

,

0

0

2

1 ^{b π} γ

D

b D

iuxdu e y u F y

x f

e

( ) ( )

( ) ( )

°

<

≤

°

=

∫

−

135 45

per ,

,

0

0

2

2 ^{b π} γ

D

b D

ivydv e v x F y

x f

Ciascuno degli intervalli trattato separatamente porta ad una diversa immagine nello spazio del segnale dell’oggetto, che tiene conto solo della metà di tutte le proiezioni. Infine, la ricostruzione completa si ottiene sommando le ricostruzioni parziali f₁ e f₂:

( )

x y f

( )

x y f

( )

x y f , = ₁ , + ₂ ,

Si noti che solo le aree di sovrapposizione reciproca portano all’immagine desiderata. Per una discussione più dettagliata del metodo linogram, si rinvia a C. Jacobson e M.Magnusson-Seger (Jacobson 1996, Magnusson 1993).

9.5. Retroproiezione (BP)

Il teorema della fetta centrale ci suggerisce una procedura generale di ricostruzione diretta: se si dispone di un numero sufficientemente elevato di proiezioni in modo da coprire densamente lo spazio spettrale (u, v), si può applicare una semplice trasformata inversa di Fourier bidimensionale per ricostruire la funzione di attenuazione dell’oggetto, f (x, y). Tuttavia, a causa dei problemi già citati del “regridding cartesiano”, nella pratica si usa una strategia diversa di ricostruzione. Tutti i moderni sistemi CT utilizzano la "retroproiezione filtrata".

Per capire cosa significa il termine filtrata, in questo contesto, facciamo un passo indietro. A prima vista, si potrebbe pensare che l’immagine che deve essere ricostruita può essere ottenuta attraverso un semplice retroproiezione di p_γ(ξ) il profilo radiografico ottenuto con la proiezione. Una simile strategia propone di creare una strisciata all’indietro dei valori del profilo nella direzione da cui la radiazione è venuta. Per meglio comprendere l’operazione di retroproiezione, di seguito si riporta un esempio numerico molto semplice.

La sezione corporea in studio è immaginata suddivisa in 4 voxel per ciascuno dei quali si intende determinare, a partire da misure esterne, il valore della componente di attenuazione subita dal fascio di raggi-X. Nelle sezioni in alto, le frecce indicano la direzione del fascio, mentre i numeri esterni rappresentano i valori somma di attenuazione ottenuti in ciascuna delle quattro proiezioni.

Figura 22: Esempio numerico dell'operazione di retroproiezione

Le matrici in basso sono ottenute sommando di volta in volta in ciascuna casella il valore somma di attenuazione con quello corrispondente del passo precedente.

È possibile ottenere la matrice numerica finale (vedi figura 22), sottraendo dai valori finali il valore più basso (il che equivale a cancellare il fondo) e dividendo quindi per tre (cioè per il numero di passaggi meno uno – numero delle proiezioni meno uno).

La matrice ottenuta dopo le opportune semplificazioni esprime la componente di attenuazione dovuta a ciascun voxel della sezione.

Come ulteriore esempio si riporta in figura 24 il processo di ricostruzione di un oggetto caratterizzato dalla presenza di soli due punti con capacità di assorbimento significativa rispetto al resto del corpo. In a) è disponibile un’unica proiezione orizzontale che nel processo di retroproiezione (1 back-projection) risulta insufficiente nel determinare le caratteristiche dell’oggetto; in b) avendo a disposizione due proiezioni, la posizione dei due punti ad assorbimento significativo viene meglio individuata (2 back-projections). Come già accennato precedentemente, infatti, nella pratica si hanno a disposizione un numero finito di proiezioni, quindi aumentando il numero di proiezioni si aumenta anche la capacità di distinguere i dettagli dell’oggetto. In c) sono riportate le retroproiezioni rispettivamente a partire da tre e quattro proiezioni; in d) un’immagine ricostruita a partire da un numero elevato di proiezioni è confrontata con l’immagine dell’oggetto originale. Come è facile notare, a questo punto restano degli effetti di sfocamento, a cui si tenterà di porre rimedio con tecniche di elaborazione che verranno introdotte nei paragrafi successivi.

Figura 23: Risultato dell'operazione di

retroproiezione

Figura 24: Processo di ricostruzione dell'immagine di un oggetto

Matematicamente, questo processo può essere modellato dalla seguente equazione:

( )

x y ^πP_γ

( )

ξ dγ ^πP_γ

(

x γ y γ

)

dγ g , ⁼

∫

0 ⁼

∫

0 cos ⁺ sin

Sebbene questo tipo di semplice retroproiezione sembra intuitivamente essere utile ad invertire il processo di proiezione, la procedura non ricostruisce la distribuzione originale dei valori di attenuazione. In effetti, la retroproiezione così definita non è un metodo adeguato per la ricostruzione della morfologia originaria degli oggetti f(x, y), perché ogni punto della griglia immagine riceve contributi non negativi da tutti gli altri punti dell’immagine originaria. Questo problema diventa subito chiaro quando si ricostruiscono i punti al di fuori del supporto dell’

immagine, cioè in tutti i punti dove f(x, y) = 0. A causa del fatto che il profilo di proiezione p_γ(ξ) è una funzione non-negativa, la retroproiezione semplice riporta all’indietro su tutta l’immagine solo valori non negativi, per cui valori positivi vengono assegnati ai pixel dell’immagine non appartenenti all’oggetto. La backprojection da altre direzioni non può compensare questo effetto poiché l’intero set di profili di proiezione che compongono il sinogramma è un insieme di funzioni non negative.

Guardando al processo di retroproiezione in dettaglio e ricordando che il profilo può essere scritto come:

( )

ξ

( )

^rδ

( (

^{r n}_ξ

)

ξ

)

^r

( ) (

^rδ ^{r L}

)

^r δ^L

γ f d f d f *

p =

∫

^T ⋅ − =

∫

− =

2

2 R

R

sostituendo nell’espressione della retroproiezione si ottiene

( )

⁼

_{∫ ∫}

^π

( )

δ

( (

^⋅ ξ

)

⁻ξ

)

γ

,y 0 f d d

x

g ^T

R2

r n

r r

da cui ricordando che la retta L può essere espressa nel piano con il suo Hessiano³

(

^r'T⋅n_ξ

)

^=ξ nella forma

, sostituendo ξ si ottiene:

( )

⁼

_{∫ ∫}

^π

( )

δ

( (

^⋅ ξ

) (

^{− ⋅} ξ

) )

γ

0 ' ' '

,y f d d

x

g ^{T T}

R2

r n r n r r e cambiando l’ordine di integrazione si ottiene:

( )

⁼

_∫ ( )

^_^

_∫ ( (

⁻

)

^⋅

)

^_^

R2

' '

'

,y f r 0 r r n d dr

x

g ^πδ ^T _ξ γ

Figura 25: geometria della ricostruzione per la semplice retroproiezione

Posto φ l’angolo tra il vettore posizione (r-r’) e l’asse x come indicato in figura 25, si può riscrivere il prodotto scalare nella precedente equazione ottenendo:

( )

⁼

∫ ( )

^_^

∫ (

⁻

(

⁻

) )

^_^

R2

' cos

' '

,y f r 0 r r d dr

x

g ^πδ ϕ γ γ

Applicando le regole della funzione delta per cui

( ( ) )

⁼

∑ ( ) (

⁻

)

i

i

i x x

x g x

g δ

δ ' ^.1 , si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

∫ ∫























 

±

−

= −























 

±

−

= −

2

2 R

R

' sin 2

' ' 1 '

sin 2 ' '

, 0

0 0

0 r

r r r r

r r

r d d f d d

f y x

g ^{π π} γ

π γ γ γ δ

π γ γ δ

3 La forma normale Hessiana per una retta di equazione ax+by= c è

( )

^{rT⋅n =ξ},dove n è il versore normale ed ha componenti

2

2 b

a n_x a

= + e

2

2 b

a n_y b

= + , mentre

2

2 b

a c

= + ξ

delta

(

^{r− cosr'}

(

^ϕ−γ

) )

ha un unico valore nullo nell’intervallo 0 ≤ γ < π dato da γ0=(φ-γ)=π/2 (0 =- π/2, con il segno che dipende da φ), il denominatore dell’integrale è costante lungo la proiezione ottenuta con un angolo γ (la delta è o nulla o uguale ad 1). La somma dell’integrale interno è pari ad 1 per cui si ottiene:

( ) ∫ ( )

^+∞

∫ ∫ ( ) ( )

∞

− +∞

∞

− − −

− =

= ' '

' , ' ' 1 , ' ' '

' 1

, dxdy

y y x y x

x f d

f y x g

R2

r r r r

che rappresenta una convoluzione dell’immagine originale f(x,y) con la funzione

( ) ( )

x y x y

h ,

, = 1 cioè

( )

x y f

( ) ( )

x y h x y

g , = , * , .

In realtà la h(x,y) è la funzione di trasferimento del sistema. nella figura 26 è chiaro che la PSF ha un andamento r ^-1. Se l’immagine f (x, y) è composta da unico punto, cioè f (x, y) = δ (x, y), questo punto appare ancora come una distribuzione δ nei profili di proiezione. La PSF mostra come l’immagine di un punto oggetto ideale sia sfocata a causa del processo di “backsmearing”. Si può vedere nella figura come, per il processo di retroproiezione semplice, la densità delle linee in g(x,y), intorno al punto in f(x, y), decresce geometricamente con r ^-1.

Figura 26: ricostruzione con la semplice retroproiezione di un punto singolo, a) la densità delle linee intorno all’oggetto che deve essere ricostruito decresce con la distanza dal punto. B) la point spread function di un singolo punto.

Il risultato precedente può essere facilmente ottenuto sostituendo la funzione f(x,y) con la distribuzione δ:

( ) ∫ ∫ ( ) ( )

^+∞

∫ ∫ ( ) ( )

∞

− +∞

∞

− +∞

∞

− +∞

∞

− = − −

−

= − ' '

' , ' ' 1 , ' '

' ' , ' ' 1 , '

, dx dy

y y x y x

x dy

y dx y x y x

x f y

x

g δ

Che per le proprietà della distribuzione δ si riduce a:

( ) ( )

x y x y

g ,

, = 1

In questo caso speciale, l’immagine ricostruita corrisponde alla PSF, detta per questo anche risposta impulsiva. Si potrebbe pensare che la retroproiezione semplice rappresenti un utile metodo di ricostruzione, poiché in figura la posizione del punto dell’oggetto originale può essere rilevata selezionando il valore massimo della funzione g(x, y). Tuttavia, si deve tenere presente che ogni punto dell’oggetto da ricostruire è così sfocato da h(x, y), per cui la convoluzione di un immagine complessa con la nostra PSF risulta in uno sfocamento globale inaccettabile per la ricostruzione dell’immagine.

9.6. Retroproiezione filtrata (FBP)

A partire dalle proiezioni per ottenere l’immagine originale si può procedere direttamente nel dominio dello spazio (x,y). Per arrivare a tale risultato si considera la trasformata inversa bidimensionale di Fourier della funzione F(u,v). Se i dati nel dominio della frequenza sono noti, una stima della funzione f(x,y) può essere ottenuta semplicemente dalla trasformata inversa di Fourier:

( )

x y

[

F

( )

u v

]

F

( )

u v

[

i

(

xu yv

) ]

dudv

f

∫∫

−^∞∞

− = +

ℑ

= , , exp

ˆ , ¹

2

Utilizzando le coordinate polari definite da:

θ θ sin cos q v

q u

=

=

si ottiene:

( )

^{r θ F}

( )

^{q γ}

[

^iq

(

^{r θ γ r θ γ}

) ]

^qdqdγ

fˆ , =

∫∫

−^∞∞ , exp cos cos + sin sin

dove: ω= u² +v² , γ =tan⁻¹

[ ]

v u e vale la trasformazione dudv= qdqdγ in quanto il determinante dello jacobiano è dato da:

q q

q

q v q

u q v q u J

= +

− =

=

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

=

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

2

2 sin

cos

cos sin

sin cos

(8)

Ricordando che F(q,γ) è uguale a Pγ(q) per un dato valore di γ, si ottiene:

( )

r d qP

( )

q

[

iqr

( ( ) ) ]

dq f θ =

∫ ∫

^π γ −^∞∞ _γ γ −θ

0 exp cos

ˆ , (9)

In cui il termine qP_γ

( )

q può essere visto come il prodotto di due trasformate. In particolare, ponendo r'= cosr

( (

γ −θ

) )

, l’integrale più interno della (9) può essere riscritto nel seguente modo:

( ) [ ]

∫

−^∞∞ qP_γ q expiqr'dq

monodimensionale⁴

( ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( ) ( )

ξ ξ

( )

ξ

( )

ξ γ q expiqr dq ₁¹ qP_γ q ₁¹ q *p_γ h *p_γ p_γ^* P

q =ℑ⁻ =ℑ⁻ = =

∞

∞

∫

−

tra p_γ(ξ) e h(x ):

(10) Si noti che p_γ^*

( )

ξ rappresenta una versione filtrata della proiezione (tale operazione non include il filtraggio del rumore), in cui il filtro è rappresentato da q . Tale filtro, detto a rampa, amplifica le alte frequenze e il rumore eventualmente presente sulle proiezioni. Come spiegato meglio di seguito, poiché nella realtà non si verificano mai condizioni di assenza di rumore, gli effetti di questo filtraggio sulla soluzione possono essere disastrosi. Per evitare tale inconveniente generalmente vengono impiegati, insieme al filtro a rampa, anche altri tipi di filtri.

L’integrale più esterno della (9) è noto invece come retroproiezione:

( )

r p

( )

x d f

( )

x y

fˆ , ' ˆ ,

0

* =

=

∫

^{π γ γ}

θ (11)

per cui la funzione cercata fˆ

( )

x,y è la retroproiezione della convoluzione tra la funzione h(x) e la proiezione secondo il generico angolo γ. Si noti come mentre la trasformata di Radon integra su tutti i punti di una retta, l’operatore di retroproiezione integra su tutte le rette che passano per un punto, per cui la (11) al variare di γ permette di sommare i contributi di tutte le proiezioni in un punto dell’immagine (r,θ).

Si può considerare il precedente processo di ricostruzione come una trasformata inversa di Radon.

Tale processo richiede un filtraggio e una retroproiezione; la funzione immagine ricostruita è dunque formalmente esprimibile come:

( )

x y

{ [

f

( )

x y

] } { [

f

( )

x y

] }

fˆ , =βΗ ℜ , =ℜ⁻¹ ℜ , ⁽¹²⁾

dove β e Η denotano la retroproiezione ed il filtraggio spaziale e ℜ rappresenta la trasformata ⁻¹ inversa di Radon. Essa quindi può essere rappresentata come un filtraggio seguito da una retroproiezione:

Η

≡

ℜ⁻¹ β (13)

Alternativamente, la proiezione filtrata p_γ^*

( )

ξ può essere anche derivata come:

( ) [ ( ) ] [ ^{( )} ] ^{( )} ∫

−^∞∞

^{( )}

−

− 

 





−

∂

= ∂



 



  −



 





∂

= ∂ ℑ

ℑ

= dt

t t

t p i

p q i

q qP

p ξ πξ π ξ

ξ

ξ _γ π ^{φ γ}

γ

1 2

1

* 1 2

sgn 1

* ₁¹ ₂

1 1

* (14)

Ottenuta ricordando che:

[

γ

( ) ]

_π ∂^φ_ξ

^{( )}

^ξ

= ∂

ℑ⁻ p

q i

qP 2

1 1

1 e

[ ( ) ]

πξ

q i 1

1sgn

1

= −

ℑ⁻ (15)

Si può scrivere in questo caso:

( ) ( )

_φ

ξ

θ π ^{π γ} dtd

t t

t r p

f

∫ ∫

−^∞∞ 



 





−

∂

= ∂

2 0

1 2

, 1

ˆ (16)

Considerando il fatto che l’operazione

(

_γ

( ) ) (

1ξ

)

 2π



∫

−^∞∞ ∂p t ∂t −t dt è un processo di filtraggio mentre l’operazione ^π γ1π

∫

0 ^d è un processo di retroproiezione, si può riscrivere l’equazione precedente come:

( )

r

{

p

( ) } { [

f

( )

x y

] } { [

f

( )

x y

] } ( )

f x y

fˆ ,θ =βΗ _γ ξ =βΗ ℜ , =ℜ⁻¹ ℜ , = ˆ , (17)

che è equivalente all’equazione scritta precedentemente. Si noti che l’operazione

(

_γ

( ) ) (

1ξ

)

 2π



∫

−^∞∞ ∂p t ∂t −t dt è anche equivalente alla trasformata di Hilbert della derivata di p_γ(ξ).

9.7. Confronto tra retroproiezione semplice e filtrata

Esaminando il processo ricostruttivo, è possibile determinare la natura del suddetto sfocamento. Si consideri per semplicità, l’accumularsi delle proiezioni che intercettano il centro di rotazione, come mostrato in figura 27. La massima sovrapposizione delle proiezione avviene in tale punto, mentre per i punti esterni l'intensità dell’alone sarà abbattuta proporzionalmente alla distanza dal centro di rotazione. La variazione dell'intensità dell'alone prodotto appare allora come una semplice funzione di 1/r, dove r è la distanza radiale dal centro.

Ovviamente tale discorso può essere ripetuto per ciascun punto ne consegue che la ricostruzione è pari all'immagine originale sfuocata con uno sfocamento che va secondo il termine 1/r. Per quanto detto allora, la scelta della funzione filtro ottimo diventa ovviamente un importante fattore nel processo di ricostruzione.

In figura 28, vengono schematicamente presentati i risultati ottenuti con l’applicazione dei due differenti algoritmi di ricostruzione: trasformata inversa di Radon e retroproiezione filtrata.

Come è facile notare l’applicazione dell’algoritmo della trasformata inversa di Radon produce un’immagine (a destra) con maggiori effetti di sfocamento rispetto a quella fornita in uscita dall’algoritmo di retroproiezione filtrata (immagine a sinistra). Per meglio comprendere il rapporto esistente tra la retroproiezione semplice e quella filtrata si utilizza un “phantom” software molto semplice consistente in un semplice quadrato con coefficiente di attenuazione omogeneo avente il baricentro collocato nel centro del sistema di acquisizione. In questo caso è facile comprendere i valori ottenuti nello spazio di radon. La figura 28 mostra il “phantom” in un immagine di 256x256 pixel. Nella stessa figura, i dati corrispondenti nello spazio di Radon sono presentati come sinogramma cartesiano. Il profilo della proiezione p_γ(ξ) a 0° e 90° (e per 180° e 270°) sono funzioni RECT con la larghezza funzione del “phantom” software. Ad angoli di 45° e 135° (e per 225° e 315°) il profilo di proiezione p_γ(ξ) diventa una funzione triangolare. Per facilitarne la visualizzazione, i profili p_γ(ξ) sono schematicamente disegnati al di sopra della spazio di Radon.

Globalmente nello spazio di Radon, i dati non mostrano un andamento sinusoidale poiché il quadrato è posto nell’isocentro. Nella figura 30 sono riportati su due colonne parallele i risultati ottenuti nella ricostruzione dell’immagine tomografica f(x,y) a partire dalla retroproiezione dei valori p_γ(ξ) all’aumentare del numero di retroproiezioni Np (con Np = 1, 3 ,10 ,180). Le due colonne a sinistra e a destra mostrano i risultati ottenuti rispettivamente con la retroproiezione semplice e la retroproiezione filtrata. Già dalla prima retroproiezione l’effetto della ricostruzione con un filtro passa-alto risulta chiara. Quelle aree dell’immagine da ricostruire che sono sfocate dalla retroproiezione semplice di p_γ(ξ), appaiono più chiare sin dall’inizio nella retroproiezione filtrata, cioè la PSF è compensata dai valori negativi di h_γ(ξ). Dopo la terza retroproiezione (Np = 3), si possono osservare nella retroproiezione semplice non filtrata valori di attenuazione positivi in aree dell’immagine che si trovano al di fuori del quadrato. Questi valori errati, non possono più essere compensati da ulteriori retroproiezioni. Al centro dell’immagine, è ricostruito un oggetto che

Figura 27: Rappresentazione del processo di retropiezione

del phantom software è inaccettabile, perché renderebbe impossibile fare una diagnosi in situazioni cliniche. Per la retroproiezione filtrata, i risultati intermedi sono più difficili da interpretare.

Figura 28: Rappresentazione schematica degli algoritmi di ricostruzione, FBP a sinistra e trasformata inversa di Radon a destra⁵

Figura 29: in a è rappresentato su una immagine di 256x256 pixel un phantom quadrato posto nell’isocentro del sistema di acquisizione. In b si riporta il sinogramma delle proiezioni. Sebbene i dati i dati non mostrano un andamento sinusoidale, poiché il quadrato è posto nell’isocentro, il profilo della proiezione p_γ(ξ) varia da una RECT a un signale triangolare.

5 Per il sinogramma è necessario esprimere la coordinata x’ rispetto agli angoli φ, angolo di proiezione e θ che

Figura 30: successive ricostruzione dell'immagine tomografica del phantom software a partire dalle sue proiezioni. In ogni fase della ricostruzione i risultati della retroproiezione semplice (colonna sinistra) e la retroproiezione filtrata (colonna di destra) sono confrontati. Il numero di proiezioni N_p aumenta dall’alto verso il basso in modo tale da presentare i risultati intermedi per N_p = 1, 3, 10, 180.

dopo solo 10 retroproiezioni filtrate, l’oggetto originale è chiaramente riconoscibile con i suoi bordi netti. Al fondo della figura 30 è mostrata l’immagine ricostruita dopo 180 retroproiezioni (Np = 180). La differenza di qualità tra la retroproiezione filtrata e non filtrata è valutabile a vista. Le strisce tangenti l’oggetto per Np = 180 sono dovute al fenomeno di Gibbs (Epstein 2003).

La figura 31 mostra la retroproiezione non filtrata e filtrata per un tomogramma reale dell’addome.

La posizione della fetta da ricostruire è visualizzata su un immagine panoramica in giallo (vedi fig.

31a). La figura 31 b mostra lo spazio Radon corrispondente, cioè i valori della proiezione p_γ(ξ) in un sistema cartesiano (ξ,γ) diagramma in un intervallo di angoli di 180°. Le righe c e d della figura 31 mostrano rispettivamente le sovrapposizioni successive delle retroproiezioni non filtrate e filtrate.

Figura 31: ricostruzioni successive di una immagine tomografica dell’addome a partire dalle sue proiezioni. L'immagine a mostra la posizione della sezione assiale dell'addome su un immagine panoramica, linea in giallo. In b è mostarta l’immagine corrispondente al sinogramma, cioè io spazio di Radon completo. Le righe c e d mostrano la ricostruzione ottenuta con la semplice retroproiezione (riga c) e il corrispondente risultato con la retroproiezione filtrata (riga d), ottenute per il seguente numero di proiezioni: 1,2,3,10,45,180

9.8. Ricostruzione 2D (retroproiezione filtrata)

L’algoritmo di retroproiezione filtrata (FB) è l’algoritmo più usato per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti dai sistemi di tomografia computerizzata (CT). In realtà questo algoritmo è utilizzato anche nella risonanza magnetica, anche se solo in particolari situazioni. Esistono differenti realizzazioni per l’algoritmo FB in dipendenza del sistema e dal tipo

di rivelatore utilizzato. Generalmente i sistemi tomografici si dividono in due tipi, chiamati a fascio parallelo (parallel beam) e a fascio divergente (fan-beam).

9.8.1. Filtri per fascio parallelo.

Il caso del fascio parallelo è certamente l’esempio più semplice dell’applicazione di un algoritmo di ricostruzione ed è alla base di altri algoritmi da esso essere derivati. Dalle equazioni (9) e (10) si ottiene per la ricostruzione della funzione immagine:

( )

^,

( ) (

^{' cos sin '}

)

^'

ˆ

0 d p x h x y x dx

y x

f =

∫ ∫

^π φ −^∞∞ _φ φ+ φ− (18)

Dove h(t) la trasformata inversa di Fourier di ω :

( )

t

[ ]

ω

[

H

( )

ω

]

h =ℑ₁⁻¹ =ℑ₁⁻¹

Si noti come nella (18) si è evidenziata l’operazione di convoluzione della proiezione con la trasformata inversa di ω , che è detta anche funzione filtrante H(ω). E’ importante, inoltre, notare che h(t) e H(ω) sono funzioni monodimensionali sia nello spazio che nel dominio di Fourier. Come già accennato, nella pratica, la (18) non è applicabile a causa della natura divergente della funzione ω ; per tale motivo si cercano delle funzioni filtro in grado di realizzare un operazione di antisfocamento che si oppone proprio allo sfocamento indotto dall’operazione di retroproiezione.

9.8.1.1. Ram-Lak filter

La prima funzione che si considera è quella proposta da Ramachandran e Lakshinminarayanan, derivata direttamente dalla rampa H(ω)=|ω|. L’ipotesi da cui si parte è che la funzione immagine da ricostruire f(x,y) è a banda limitata nel dominio delle frequenze spaziali, con banda pari a B. In tal caso il filtro può essere ottenuto da una versione finestrata della funzione rampa come definita dai due autori, detta spesso “Ram-Lak filter”:

( )

 ≤

= 0 altrove 2 B

H_RL ω ω π

ω (19)

In questo caso i coefficienti del filtro nel dominio dello spazio possono essere ottenuti antitrasformando H_RL

( )

ω :

( ) ( ) ( ) ( )

) ( sin )

2 ( sin 2

2 exp exp 1

2 1

2 2 2

2 2

Bx c B Bx c B

d ix d

ix H

x

h ^B

RL B RL

π π

ω ω π ω

ω ω π ω

π π

−

=

=

=

=

∫

−^∞∞

∫

− (20)

dove sinc(x)=sin(x)/x.

L’andamento della risposta in frequenza del filtro è riportato in figura 32.

Figura 32: Andamento in frequenza dei filtri

Poiché i dati ottenuti dalla proiezione sono dati discretizzati è necessario che lo sia anche la funzione filtrante. Applicando un campionamento uniformemente spaziato con periodo ∆x=1/2B, si ottiene la versione campionata del filtro Ram-Lak alle posizioni xk=k∆x:

( )











∆

= −

−

∆ =

=

=

dispari è

k 1 se

4

pari è k se 0

0 k 4 se

1

2 2 2 2 2

2

2 2

x k k

B B x k

h_RL

π π

(21)

Poiché il nucleo della funzione filtro Ram-Lak è campionata nel dominio dello spazio, la funzione filtro nel dominio della frequenza sarà una funzione periodica.

L'imposizione della frequenza di cutoff, cioè la discontinuità presente alla frequenza B del filtro, rende la funzione oscillante nel dominio dello spazio e quindi introduce un artefatto nell’immagine ricostruita. Tale effetto, noto come fenomeno di Gibbs, è eliminabile facendo in modo che lo spettro in frequenza del filtro sia caratterizzato da un andamento più dolce piuttosto che una brusca discontinuità. Accanto all'eliminazione del fenomeno di Gibbs, lo smussamento delle alte frequenze produce un sostanziale miglioramento della risposta del filtro al rumore. Il filtro Ram-Lak, infatti, soffre di un'alta sensibilità al rumore, a causa della natura del filtro che tende ad esaltare soprattutto le alte frequenze.