6. Dallo spettro di potenza alle sequenze di carico

6. Dallo spettro di potenza alle sequenze di carico

In questo capitolo viene riportato un resoconto del lavoro svolto tramite il software Matlab. Nella prima fase l’obiettivo è stato quello di scrivere un codice che permettesse di generare delle sequenze di carico a partire da alcune densità spettrali di potenza assegnate. Il lavoro si è articolato secondo le seguenti linee direttrici:

• sono state fissate sette tipologie diverse di PSD, create a parità di varianza. Ogni PSD possiede determinate caratteristiche proprie, in termini di forma e larghezza di banda: in tal modo si è cercato di creare una casistica il più completa possibile circa il fattore di irregolarità;

• per ogni PSD, così come indicato in Tabella 5.1, è stato estratto un numero elevato di time histories, ossia sequenze di carico;

• le sequenze sono state poi analizzate e modificate per renderle utilizzabili per la successiva fase di sperimentazione in laboratorio;

• si è poi verificata la gaussianità, la stazionarietà e l’ergodicità del segnale;

• infine è stata riportata un’analisi sulle proprietà statistiche delle sequenze.

6.1 Generazione della storia di carico nel dominio del tempo

Come è stato precedentemente dichiarato, le PSD analizzate sono sette, ognuna diversa dalle altre in termini di forma e di larghezza di banda, corrispondenti a diversi valori del fattore di irregolarità. In questo capitolo verranno

riportati i risultati e i grafici relativi ad una storia di carico particolare estratta dalla PSD n°6 la quale presenta un fattore di irregolarità γ =0.53 e, anticipando quanto verrà dichiarato nel Capitolo 9, questa sequenza è quella di massimo danno tra tutte quelle estratte dalla stessa PSD. Per tutte le altre PSD le considerazioni sono sostanzialmente analoghe.

6.1.1 Scelta delle PSD

In Figura 6.1 vengono riportate le PSD analizzate:

Figura 6. 1

L’obiettivo è stato quello di creare delle PSD che potessero essere rappresentative di possibili situazioni reali. Pertanto si è seguito quanto indicato in [10] e si è fatto riferimento ad alcuni possibili spettri relativi alle tensioni indotte sulla struttura alare di un generico velivolo, dovute all’azione di una componente verticale di raffica w tg

( )

avente spettro assegnato. La caratteristica di sollecitazione

considerata è il momento flettente che induce tensioni normali

σ

sulla struttura. Si consideri a titolo d’esempio il velivolo in una condizione di equilibrio con parametri fissati, quali assetto, quota e velocità. Rispetto a tale condizione di trim si

può valutare il comportamento dinamico del velivolo in seguito ad una perturbazione, quale può essere appunto una raffica. Le raffiche verticali dovute alla presenza di turbolenza generano una variazione di incidenza ∆α a causa della somma vettoriale tra la velocità asintotica U_∞



e la componente di raffica w tg

( )

 , come si può vedere in Figura 6.2:

Figura 6. 2

Si ottiene che V t

( )

=U∞+wg

( )

t








e quindi, il cambiamento di portanza dovuto alla raffica è dato da:

2 2 2 2 2 g L L g L w L U SC U SC w U SC U α α α

ρ

_α

ρ

ρ

∞ ∞ ∞ ∞ ∆ = ∆ = = (6.1)

Dividendo per il peso W , prendendo a riferimento una terna assi corpo e la direzione lungo l’asse z e considerando angoli di incidenza

α

piccoli, si ottiene la variazione del fattore di carico ∆ = ∆nz n tz

( )

:

2 g L z w U C L n W W S α

ρ

∞ ∆ ∆ = = (6.2)

in cui ∆nz è una funzione dipendente dal tempo. Dalla sua conoscenza si può

ricavare l’andamento nel tempo di n_z = + ∆1 n_z, ossia l’andamento del fattore di carico n tz

( )

che dà luogo ad un’oscillazione attorno al valore di equilibrio nz =1.

A questo punto, in accordo con [11] si può effettuare il calcolo della portanza sulla struttura alare e, tenendo conto anche del contributo dei motori, dei serbatoi e del peso della struttura stessa, si può risalire all’andamento delle caratteristiche di sollecitazione agenti sull’ala, schematizzata come una trave incastrata alla radice, Figura 6.3.

Figura 6. 3

Noto l’andamento del momento flettente lungo la semiapertura alare, è possibile risalire all’andamento delle tensioni normali

σ

( )

t agenti sulla struttura. Si osserva che il processo è aleatorio a causa del comportamento non deterministico dell’azione della raffica w tg

( )

. Le PSD riportate in Figura 6.1 rappresentano quindi

lo spettro di potenza relativo alla componente di tensione

σ

( )

t e quindi la loro unità di misura è esprimibile in termini di 2

MPa Hz.

E’ necessaria a questo punto una premessa e allo scopo si fa riferimento a [12]. Nel lavoro seguente non viene utilizzato un modello deterministico (come può essere il modello di raffica “1 cos− ”, dovuto a Pratt), ma, come già espressamente indicato, si rappresenta la turbolenza come un processo aleatorio. Nella fattispecie il processo analizzato è assunto stazionario, gaussiano ed ergodico, per la cui verifica si rimanda al termine di questo capitolo.

La strada da seguire, dunque, per definire le PSD è la seguente:

• si considera preliminarmente un processo gaussiano di intensità unitaria

( )

w t

η

, il cui spettro PSD_ηw è pari ad una costante;

• si filtra questo spettro mediante un opportuno filtro lineare Hw, in modo da

ottenere in uscita un secondo processo indicato con w tg

( )

: in questo modo si

genera un processo rappresentativo della componente verticale di raffica il cui spettro è indicato con la notazione

g

w

PSD . Allo scopo viene utilizzato un filtro di Dryden;

• per ottenere in uscita lo spettro cercato, PSD_σ , è necessario filtrare lo spettro

g

w

PSD attraverso un filtro lineare H_σ , che abbia un’opportuna funzione di trasferimento. E’ chiaro che questa funzione di trasferimento dipende da molteplici fattori, quali ad esempio la geometria della struttura in esame, il tipo di materiale utilizzato, le condizioni ambientali; di conseguenza la sua

definizione risulta di una certa complessità e uno dei metodi più utilizzati da questo punto di vista è l’Analisi agli Elementi Finiti, come indicato ad esempio in [13]. Ai fini del nostro scopo questo aspetto viene solo accennato e la funzione H_σ viene scelta in completa libertà. Tuttavia, ai fini della scelta, risulta importante rispettare un vincolo legato alla fattorizzazione spettrale, riportato qui di seguito.

Il problema che si pone infatti è il seguente: si vuole filtrare il processo w tg

( )

mediante un opportuno filtro H_σ in modo tale che il processo in uscita

σ

( )

t abbia valor medio nullo (quindi un valore ben definito) e il suo spettro sia quello voluto, Figura 6.4. Bisogna quindi determinare le caratteristiche di H_σ , in cui

g

w

PSD è un dato del problema e facendo in modo tale da ottenere la PSD_σ voluta.

Figura 6. 4

Nella relazione (4.31) è già stato accennato all’importante legame tra le proprietà spettrali dei processi in ingresso e in uscita ad un filtro lineare. Riprendendo tale relazione, ma riscrivendola in termini di pulsazione e non di frequenza, in accordo con [12] si ha:

( )

( )

2

( )

g

w

PSD

ω

=PSD_σ

ω

⋅H_σ j

ω

(6.3)

in cui H_σ

( )

s è la trasformata di Laplace della risposta impulsiva del filtro stesso,

ω

è la pulsazione e j è l’unità immaginaria. Per poter filtrare w tg

( )

con un filtro

lineare è necessario che la trasformata di Laplace della risposta impulsiva, H_σ

( )

s , sia rappresentabile come rapporto di due polinomi in s del tipo:

1 1 ( )...( ) ( ) ( )...( ) m n s z s z H s k s p s p σ − − = − − (6.4)

Poiché H j

( )

ω =H s

( )

s j=ω , questo implica che

( )

2

H_σ jω sarà espresso come rapporto di due polinomi in ω2

. Quindi, in conclusione, è vero che ai fini del seguente lavoro è data la più totale libertà nello scegliere la forma del filtro H_σ , ma il vincolo che comunque verrà rispettato sarà quello di poterlo descrivere in modo tale che H_σ

( )

jω 2 sia dato da un rapporto di polinomi in ω2

. Si riporta infine lo schema adottato, Figura 6.5:

Figura 6. 5

Il segnale in ingresso

η

w

( )

t rappresenta un processo gaussiano di intensità

unitaria, e nella Figura 6.6 se ne riporta la corrispondente densità spettrale di potenza:

Figura 6. 6

w

H è il filtro lineare di Dryden, Figura 6.7, la cui funzione di trasferimento è data da: 2 1 3 ( ) (1 ) w w w w w s H s s

τ

σ τ

τ

+ = + (6.5)

dove

τ

w =L Uw 0. Si sono scelti: velocità del velivolo al trim U0 =100 /m s, lunghezza di scala della turbolenza L_w =580m, valor medio nullo e valore quadratico medio

( )

2 2 49 w m s

σ

= . Figura 6. 7

In Figura 6.8 si riporta invece l’andamento di H_σ 2 che porta infine alla definizione della PSD n°6, con fattore d’irregolarità

γ

=0.53. Questa sarà :

Figura 6. 8

Si ottiene infine l’andamento della densità spettrale di potenza PSD_σ

( )

f relativa alla sollecitazione in analisi, così come riportata sia in Figura 6.1 che in Figura 6.9.

Si possono osservare due picchi ben definiti centrati sulle frequenze 3.78Hz e

13.54Hz e, pertanto, la PSD considerata è detta bimodale.

Figura 6. 9

Tutte le altre PSD possono essere ottenute in vari modi: nel seguente lavoro verranno modificati, ad esempio, i parametri relativi alla funzione di trasferimento

H_σ.

Nella Tabella 6.1 vengono riportate le caratteristiche più importanti riguardanti l’andamento delle sette densità spettrali di potenza considerate. Si può osservare come la PSD n°7 abbia un andamento particolare, in quanto, come svolto in [2], presenta dei picchi di forma triangolare. Questo al fine di creare facilmente un processo a banda larga con un fattore d’irregolarità molto basso, pari a

γ

=0.35.

PSD RMS [MPa] γ Picchi

[ ]

Hz Tipologia

1 70 0.994 13.46 - - Banda stretta 2 70 0.95 13.96 - - Banda stretta 3 70 0.8 3.57 13.54 - Bimodale 4 70 0.7 3.62 8.21 - Bimodale 5 70 0.6 3.78 13.54 - Bimodale 6 70 0.53 3.78 13.54 - Bimodale 7 70 0.35 3.05 19.83 39.67 Triangolare Tabella 6. 1

Osservando la Figura 6.9, si nota come la PSD tende a zero all’aumentare della frequenza: questo sta ad indicare come la maggior parte dell’energia del segnale sia concentrata nella zona delle basse frequenze e come l’energia associata alle alte frequenze sia di fatto trascurabile. Infatti, a partire da circa 40Hz in poi, questa PSD presenta valori di potenza dell’ordine di 7 2

10 MPa Hz− . Nel file che genera tale PSD, si è posto un filtro che schiaccia direttamente a 2

0 MPa Hz tutti i valori di potenza così piccoli: questo risulterà molto utile nel calcolo degli integrali che definiscono i momenti spettrali, riducendo al minimo gli errori che insorgerebbero considerando limiti superiori di integrazione pari a +∞.

Un’ulteriore osservazione è ora necessaria: la varianza, e quindi l’area sottesa dalla PSD, è stata scelta secondo un preciso criterio, spiegato nel seguito, ed è stata fissata pari a 2

4900MPa . A questo valore corrisponde una deviazione standard del segnale pari a 70MPa . Come indicato nella normativa [14], per un generico processo aleatorio gaussiano S , la seguente relazione:

( )

3 s

S S p S dS S S

σ

+∞ −∞

−

_∫

⋅ = − ≤ (6.6)

è verificata con una probabilità del 99.7% . Quindi il 99.7% del segnale giace all’interno della banda ±3σ_s, dove σs rappresenta la deviazione standard del

processo. Solamente un piccolo numero di picchi presenta valori al di sopra di tale limite e da questo ne discende che spesso, per gli studi sulla fatica dei materiali, il segnale viene troncato ad un livello opportuno che generalmente viene fatto variare tra 3σs e 4.5σs. Per gli scopi di questo lavoro, viene fissato come valore limite 4

volte la deviazione standard del processo

σ

( )

t : ne risulta, quindi, un limite ai picchi massimi pari a 280MPa che viene a creare un buon margine rispetto al massimo valore di sollecitazione a cui può lavorare la macchina di prova per la successiva fase di sperimentazione effettuata in laboratorio.

Si riporta di seguito, in Figura 6.10, un grafico nel quale viene mostrato l’andamento del picco massimo e delle valle minima (σMAX e σMIN) in funzione della

varianza: questo grafico mostra come, scegliendo una PSD con una varianza pari a 2

4900MPa , si ottengano delle time histories i cui picchi massimi si distribuiscano attorno ad un valor medio nell’intorno di 280MPa .

Figura 6. 10

6.1.2 Generazione delle sequenze di carico

Concentrandosi sempre sulla PSD n°6, a partire da tale spettro di potenza sono state generate un numero molto grande di sequenze di carico, pari a 10000. Per raggiungere l’obiettivo è stato implementato tramite codice Matlab un programma che permette di ottenere in uscita le “infinite” storie di carico e si è seguito quanto indicato in [15], [16], [17] e [18].

E’ stato fatto uso della Fast Fourier Transform ( FFT ) nella sua forma int ,

po s FFT

N e della sua operazione inversa IFFT . Gli andamenti delle PSD in funzione della frequenza f così come gli andamenti delle sequenze temporali in funzione di t sono stati salvati in vettori di dati di opportuna lunghezza: è bene ricordare che per poter utilizzare l’operazione FFT è necessario che i vettori siano di lunghezza opportuna, pari ad una potenza di 2, int , 2

n po s FFT

N = =N . Maggiore è N , migliore sarà la precisione della simulazione, accompagnata tuttavia da un maggior tempo di calcolo. E’ possibile lavorare con il programma mediante un numero di punti variabile: 15 16 17

2 , 2 , 2 oppure 18

2 . Per lo svolgimento della Tesi, tuttavia, nel tentativo di trovare un buon compromesso tra precisione e tempi di calcolo ragionevoli, è stato scelto di lavorare sempre e solo con 16

2 65536 N = = .

La scelta successiva invece ha riguardato la frequenza di campionamento: come indicato in [4], e come ricordato nel Capitolo 4, per evitare la possibilità di seri problemi dovuti all’effetto di aliasing, è importante che la PSD in esame non presenti valori significativi di potenza in intervalli di frequenza prossimi alla

frequenza di Nyquist. Sono stati fissati, allora, la frequenza di campionamento e la frequenza critica di Nyquist nel seguente modo:

200 100 2 sampling s s Nyquist c f f Hz f f f Hz = =    = = =   (6.7)

Dal momento che, come si può osservare in Figura 6.1, le PSD risultano fortemente confinate nelle zone alle basse frequenze, si può senza dubbio asserire che le bande di frequenza in cui il segnale presenta la maggior parte del suo contenuto energetico presentano un buon margine di sicurezza nei confronti della frequenza critica fc.

Come immediata conseguenza, l’intervallo temporale dt utilizzato in seguito per rappresentare graficamente il segnale nel dominio del tempo è dato da:

1 0.005 s dt s f = = (6.8)

La storia temporale di carico viene diagrammata per t∈

[ ]

0,T , in cui T =

(

N− ⋅1

)

dt. Di seguito in Tabella 6.2, si riportano tutti i dati significativi utilizzati per l’analisi:

Parametro Valore numerico

N 65536 s f 200 Hz c f 100 Hz df 0.00305 Hz T 327.68s dt 0.005s Tabella 6. 2

in cui df = fs N. E’ da considerare, inoltre, che il processo è stato assunto

stazionario, pertanto, secondo [3], presenta potenza finita, P_σ = σ

( )

t 2 < ∞, ed energia infinita, E_σ σ

( )

t 2dt

+∞ −∞

→ ∞

∫

≜ _{. E’ stata effettuata inoltre la seguente scelta:} le PSD, essendo delle funzioni reali, definite positive e pari, vengono sempre riportate graficamente solo nell’intervallo f ≥0, mentre, nel procedere con l’algoritmo di generazione delle sequenze temporali, viene utilizzata la versione

bilatera delle PSD, ossia quella in cui le PSD sono riportate su tutto l’asse delle frequenze, sia positive che negative.

In Figura 6.11 si riporta un semplice schema, tratto da [19], che mostra brevemente la logica utilizzata per la ricostruzione delle storie di carico. Infatti, dopo aver scelto un opportuno intervallo df con il quale effettuare la discretizzazione della PSD in esame, per ogni componente frequenziale fi che ne

può essere ricavato si ottiene subito l’informazione riguardante l’ampiezza

( )

i i

a = A f , mentre per quanto riguarda la fase ϕi, questa, per ipotesi, viene definita

come un processo aleatorio con distribuzione uniforme nell’intervallo

[

− +

π π

,

]

.

Figura 6. 11

Per generare il segnale nel dominio del tempo è necessario costruirne le costituenti sinusoidali in termini di ampiezza e fase che verranno ora indicate con

( )

A f e

ϕ

( )

f . Sono stati eseguiti i passaggi riportati qui di seguito e nello schema di Figura 6.12.

• L’obiettivo è la costruzione delle grandezze

( )

( )

( )f

A f = A f ⋅eϕ , ossia le componenti sinusoidali costituenti il segnale

σ

( )

t in forma complessa.

• Per prima cosa si calcolano le ampiezze secondo la formula

( )

( )

A f = PSD_σ f ⋅df , in accordo con [15].

• Successivamente avviene l’assegnazione della fase definita come variabile aleatoria uniforme,

ϕ

( )

f ∈U

[

− +

π π

,

]

. E’ molto importante notare come la costituente sinusoidale relativa alla cosiddetta zero frequency, f =0Hz, abbia

ampiezza nulla e fase nulla, in modo tale che il segnale abbia valor medio in ℝ e pari a zero. Le fasi relative a tutte le altre costituenti sinusoidali saranno scelte in modo random, tramite il generatore di numeri casuali e la Simulazione Montecarlo, esattamente come indicato nel Capitolo 5.

• E’ stata evidenziata precedentemente la necessità di passare attraverso il campo complesso ℂ . Per ottenere in uscita il segnale reale nel dominio del tempo occorre utilizzare la funzione IFFT : l’ingresso di tale operazione è un vettore di dimensione N , indicato con Y , le cui componenti Yi

( )

f , con

1,...,

i= N, rappresentano ciascuna costituente sinusoidale del segnale scritta nella forma equivalente

( )

i( )f

( )

( )

i i i

A f ⋅eϕ =a f + ⋅j b f , in cui

( )

Re

{

( )

}

i i

a f = A f mentre b_i

( )

f =Im

{

A f_i

( )

}

.

• Allo scopo definito nel punto precedente, per creare il vettore Y è stata utilizzata la simmetria Hermitiana, per cui A f

( )

= A

( )

−f e

( )

( )

A f = − A −f

∡ ∡ _.

• Effettuando, infine, l’operazione Y →IFFT Y

[ ]

, si formalizza il passaggio dal dominio della frequenza al dominio del tempo, ottenendo in uscita la sequenza

σ

( )

t .

A prima vista sembrerebbe che l’indicazione data al secondo punto sia diversa da quanto riportato in [15], a causa della mancanza di un 2 sotto il segno di radice: in realtà la diversità è solo apparente, in quanto le due relazioni sono concettualmente uguali. Infatti non è stata considerata la densità spettrale di potenza unilatera, bensì quella bilatera.

Nella Figura 6.13 viene riportato una parte del programma Matlab, che rappresenta il cuore del generatore delle sequenze di carico a partire dalle PSD.

E’ stato effettuato il passaggio nel dominio del tempo e, successivamente come verifica, il passaggio inverso, dal segnale alla PSD. In quest’ultimo caso non è stata effettuata la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione, ma, come indicato dal Matlab User’s Guide, l’algoritmo utilizzato è stato il seguente:

( )

( )

_{( )}

2 s F t PSD f f length t σ

σ

σ

    = ⋅ _ _ (6.9)

dove, nuovamente, con [ ]F ⋅ si indica il simbolo di trasformata di Fourier. In Figura 6.14 si riporta parte della routine Matlab relativa a tale verifica.

Figura 6. 14

In Figura 6.15 si riporta graficamente la verifica effettuata:

Si riporta in Figura 6.16, a titolo di esempio, l’andamento di una time history in un intervallo temporale di 3 secondi.

A conclusione del seguente paragrafo si riporta un’ulteriore verifica. Data la sequenza di carico

σ

( )

t , si valuta per prima cosa la varianza del processo e in seguito, calcolando l’area sottesa dalla PSD, si controlla se i due valori coincidono. Nel caso particolare diNpoints =65536, si ottiene:

2 2 4900.09 4900.02 0.0015% Varianza MPa Area MPa Errore  ₌  =   ₌  (6.10)

il che, insieme alla verifica condotta precedentemente, dimostra l’efficacia del codice.

Figura 6. 16

6.2 Modifiche alla sequenza di carico ed effetti sulla PSD

La sequenza di carico ottenuta dalla PSD rappresenta l’andamento nel dominio del tempo della componente di tensione normale

σ

( )

t . Tuttavia, come si vedrà in seguito, per poter applicare efficacemente il metodo di conteggio rainflow e per poter lavorare correttamente con la macchina di prova in laboratorio, tale sequenza di carico deve essere opportunamente modificata. In questo paragrafo si riportano le

modifiche che vengono attuate sullo spettro di carico, evidenziando quali siano i possibili effetti di distorsione sulla rispettiva densità di potenza.

• La sequenza viene fatta iniziare e terminare con 0MPa , modifica necessaria per il metodo di conteggio dei cicli;

• La sequenza viene filtrata eliminando i picchi e le valli che eccedono il valore fissato precedentemente pari a 280MPa± ;

• La sequenza viene modificata in modo tale che, dopo lo zero iniziale, assuma un valore della sollecitazione positivo e quindi in trazione. Analogamente viene modificata la parte finale della sequenza in modo tale che termini con un valore positivo della sollecitazione, e quindi anch’esso in trazione.

Di seguito tre grafici fanno vedere come queste modifiche costituiscano un’alterazione trascurabile dal punto di vista della forma della PSD, riportando gli scostamenti tra la PSD originale e la PSD modificata in funzione della frequenza.

• Prima modifica: si può osservare come, in generale, la sequenza di carico ottenuta direttamente dallo spettro di potenza non parte e non termina esattamente con 0MPa . Questo è dovuto a come è stata generata la sequenza: infatti, per ogni costituente sinusoidale del segnale, la fase è stata assegnata in modo random per cui si può intuire come il livello di partenza e di arrivo della sequenza siano anch’essi random. Ai fini del corretto utilizzo della macchina di prova, è necessario modificare la sequenza dando come punti di partenza e di arrivo un valore pari a 0MPa . Questo tipo di modifica risulta essere fondamentale anche per il conteggio dei cicli, come si vedrà nel Capitolo 7. Nella Figura 6.17 e nella Figura 6.18, viene mostrato quanto evidenziato sopra ed inoltre viene riportato l’effetto sulla PSD.

Figura 6. 17

Scostamento massimo percentuale: 0.098% Figura 6. 18

• Seconda modifica: la sequenza temporale viene modificata troncando tutti i picchi (sollecitazioni in trazione) e le valli (sollecitazioni in compressione) che eccedono i limiti stabiliti pari a 280MPa± . Questo viene fatto al fine di cautelarsi da possibili fenomeni indesiderati di rotture statiche, mantenendo così un certo margine rispetto agli ammissibili ed in particolar modo alla tensione di snervamento del materiale. In Figura 6.19 viene riportato l’effetto complessivo sulla PSD dovuto all’applicazione sia della prima modifica che della seconda: nuovamente viene riportato lo scostamento massimo percentuale.

Scostamento massimo percentuale: 0.353% Figura 6. 19

• Terza modifica: questa modifica è particolare in quanto, affinché la sequenza possa essere ben utilizzata dalla macchina di prova, occorre che il secondo e il penultimo elemento della sequenza picchi-valli siano dei valori positivi, traducibili in termini di sollecitazioni a trazione. Come fatto precedentemente, anche in questo caso viene riportato l’effetto complessivo sulla PSD dovuto all’applicazione delle tre modifiche: il tutto è visualizzabile nella Figura 6.20

Scostamento massimo percentuale: 0.382% Figura 6. 20

Si può osservare in conclusione come la perturbazione sulla PSD sia sempre contenuta a valori piuttosto piccoli e quindi trascurabili. Si riportano di seguito due osservazioni:

Osservazione 1: _{nel Paragrafo 6.1.2 è stata evidenziata una relazione tra N e T ,} che rappresenta l’istante finale dell’intervallo di tempo

[ ]

0,T in cui si riporta la sequenza di carico:

(

1

)

T = N− ⋅dt (6.11)

C’è un motivo per cui deve essere fatta questa scelta. La PSD viene campionata, infatti, con un numero di elementi pari a N e quindi, quando poi si usa la subroutine IFFT per generare la sequenza di carico nel dominio del tempo, il numero di elementi con cui si va a campionare il segnale in t deve essere anch’esso uguale a N . Come si può vedere dalla relazione riportata qui sopra il numero totale di intervalli temporali dt che definiscono il periodo

[ ]

0,T è proprio pari a N .

Osservazione 2: _{da tutto ciò deriva il seguente effetto. Se raddoppia N ,} raddoppia la precisione con cui viene effettuato il calcolo e parallelamente raddoppia anche T . Di conseguenza per dt=0.005s, si ottiene:

15 2 163.84 N T s  ₌  =  16 2 327.68 N T s  ₌  =  17 2 655.36 N T s  ₌  =  18 2 1310.72 N T s  ₌  = 

6.3 Verifica delle proprietà delle sequenze di carico

Si verificano di seguito le proprietà statistiche delle sequenze di carico così come indicato nei Paragrafi 3.4.1, 3.4.2 e 3.4.3.

6.3.1 Gaussianità

La gaussianità del processo può essere analizzata da due punti di vista diversi. In un primo caso verrà verificato come ogni singola realizzazione del processo

σ

( )

t

sia caratterizzata da una distribuzione gaussiana; nel secondo caso si deve verificare invece che le n variabili aleatorie _σ

( )

t₁ ,...,σ

( )

t_n _{ estratte agli istanti}

(

t1,...,tn

)

risultino congiuntamente gaussiane comunque si scelga il valore del parametro intero n e per qualunque n-upla di istanti

(

t1,...,tn

)

.

• Fissata una generica realizzazione del processo aleatorio, tutti i punti che ne determinano l’evoluzione temporale sono distribuiti secondo una gaussiana con valor medio nullo e deviazione standard pari a 70MPa . In Figura 6.21 si riporta il tutto secondo due grafici: il primo caratterizzato dalla funzione densità di probabilità dei punti di campionamento del segnale, il secondo caratterizzato dalla carta di probabilità, che ne rappresenta la cumulativa.

Figura 6. 21

• Si deve dimostrare ora la gaussianità congiunta delle variabili aleatorie

( )

t1 ,...,

( )

tn

σ σ

 

  . In linea teorica la verifica andrebbe fatta per tutti gli istanti temporali, tuttavia, per motivi legati all’esposizione, verranno riportate solo le distribuzioni relative a dieci istanti generici scelti in modo casuale all’interno dell’intervallo

[ ]

0,T , con T =327.68s. Come si può osservare dalla Figura 6.22, la gaussianità del processo è verificata in modo soddisfacente, nonostante la distribuzione possa presentare dei valori maggiori dell’andamento teorico, specialmente nell’intorno di 0MPa . Ai fini del seguente lavoro si può affermare che, il processo possa essere considerato gaussiano con una buona approssimazione.

Figura 6. 22

6.3.2 Stazionarietà

Per la stazionarietà è sufficiente dimostrare che i processi

σ

( )

t e

σ

(

t+ ∆t

)

siano equivalenti dal punto di vista statistico ∀∆t. In generale i due processi saranno diversi tra loro, ma, ai fini della stazionarietà, devono avere necessariamente proprietà statistiche uguali. Questo significa che, considerando i due processi stazionari e utilizzando solo misure statistiche, non si può distinguere un processo dall’altro. La definizione rigorosa di stazionarietà di un processo è stata già data nel Paragrafo 3.4.1, ma tale definizione risulta di difficile utilizzo. A causa di tale difficoltà si preferisce ricorrere ad altri metodi: per effettuare la verifica in tale contesto, si procede come indicato in [19], con le seguenti osservazioni.

In base ai dati presenti in Tabella 6.2 e in base alla Figura 6.23, tratta da [19], si capisce come si sia in presenza di una PSD di N elementi (per cui la cosiddetta PSD window ne presenta N 2), e una finestra temporale, detta buffer window, anch’essa di N elementi. Poiché dt=1 f_s =0.005s, la finestra temporale sarà pari a

[ ]

0,T , con T =327.68s.

Si può vedere come la lunghezza della finestra temporale dipenda dalla scelta di N . Di conseguenza il segnale completo, detto segnale originale, può essere anche molto più grande della lunghezza di un buffer, per cui si può pensare di vedere tutta la sequenza come una possibile successione di buffer, Figura 6.24.

Figura 6. 24

Come si trova indicato in letteratura, quando un buffer supera l’istante finale

END

t si può ricorrere alla tecnica del riempimento con zeri (padding with zeros) in modo tale da riempire tutti gli spazi dei buffer, senza lasciare l’ultimo buffer incompleto.

Le sequenze che possono essere create sono infinite e ognuna può differire dalle altre per una traslazione rigida ∆ ∈

[ ]

0,T . Quello che viene effettuato con il software Matlab quando a partire da una PSD si estrae una sequenza temporale è proprio quello di creare un buffer. Anche da questo punto di vista si può notare come le estrazioni siano infinite.

Sempre come indicato in [19], per dimostrare la stazionarietà del processo, si deve partire da un generico buffer ed individuare tutti i parametri statistici, quali appunto il valor medio, la deviazione standard, la distribuzione dei picchi e così via. Se si arrivasse a dimostrare che tutti gli infiniti buffer presentano le stesse proprietà statistiche, allora si potrebbe concludere che il segnale è stazionario, la qual cosa è analoga alla definizione (3.12) la quale però, essendo di validità generale, fa riferimento alla funzione densità di probabilità. Nel caso specifico trattato, si è deciso di procedere secondo i seguenti punti.

• In primo luogo, si può osservare il risultato fondamentale, già ottenuto al Paragrafo 6.3.1: ogni volta che dalla PSD assegnata si estrae una possibile realizzazione (ossia un buffer), questa presenta un campionamento di punti che si dispongono secondo una distribuzione gaussiana, Figura 6.21.

• Procedendo con un certo grado di astrazione ed immaginando di far girare n volte il programma, con n→ ∞, si può osservare come le due proprietà statistiche valor medio µ e deviazione standard

σ

siano sempre le stesse per qualunque n e pari a µ =0MPa e σ =70MPa.

• Poiché una distribuzione gaussiana è completamente definita dalla conoscenza dei soli parametri µ e

σ

, si può concludere che, esclusivamente nel caso specifico trattato, questi due parametri siano da soli sufficienti per dimostrare la stazionarietà del processo, senza dover ricorrere ad indici statistici più complessi perché di ordine superiore.

• Dal momento che µ e

σ

sono sempre gli stessi per qualunque buffer considerato , si può concludere che il processo è stazionario.

Infine si effettua un’altra verifica: un parametro statistico importante per i processi stocastici è il cosiddetto valor medio statistico, o d’insieme, m_σ

( )

t , il quale in generale è una funzione del tempo, mentre per i processi stazionari è costante. Per effettuare tale verifica, a causa di limitate capacità del calcolatore elettronico a disposizione, è possibile considerare solo un massimo di 400 funzioni campione alla volta. Tale limitazione può essere considerata accettabile in quanto non pregiudica in gran misura i risultati. L’andamento di m_σ

( )

t è riportato in Figura 6.25.

Si nota subito come la funzione m_σ

( )

t non sia esattamente costante e pari a

0MPa e questo aspetto è legato anche al fatto di essere stati costretti a considerare un numero limitato e piuttosto piccolo di realizzazioni. Tuttavia i valori assunti da

( )

m_σ t rimangono confinati in un intervallo piccolo rispetto ai valori assunti dalle realizzazioni del processo

σ

( )

t e questo può essere osservato nel grafico successivo, Figura 6.26:

Figura 6. 26

in cui m_σ

( )

t viene confrontata direttamente con una delle possibili realizzazioni del processo. Questa verifica su m_σ è importante anche per la successiva verifica, illustrata nel Paragrafo 6.3.3.

Concludendo, si può assumere quindi che il processo considerato sia con buona approssimazione stazionario e che il valor medio statistico d’insieme m_σ sia nullo.

6.3.3 Ergodicità

Per verificare l’ergodicità del processo

σ

( )

t , si deve dimostrare che tutte le possibili funzioni campione hanno lo stesso valor medio temporale e che quest’ultimo coincide con il valor medio statistico m_σ. Da quanto detto al Paragrafo 6.3.2 si può assumere che m_σ =0MPa. Per motivi legati alla visualizzazione dei risultati, si riporta in Figura 6.27 il valor medio temporale delle sole prime 1000 realizzazioni estratte tramite Simulazione Montecarlo dalla PSD n°6. Si può vedere come il valor medio temporale di ognuna di queste realizzazioni sia praticamente coincidente con

0

m_σ = MPa. Questo porta ad affermare che in effetti il processo aleatorio considerato,

σ

( )

t , sia ergodico.

Figura 6. 27

6.4 Analisi delle caratteristiche statistiche delle sequenze

Come conclusione di questo capitolo viene riportata una breve analisi sulle caratteristiche statistiche delle sequenze ottenute, indagando i concetti di attraversamenti dei livelli, di distribuzione statistica degli estremi (picchi e valli), di fattore di irregolarità. Le verifiche e i grafici delle distribuzioni dei parametri più importanti verranno invece riportate nel Capitolo 8.

6.4.1 Attraversamenti dei livelli di carico

Secondo quanto indicato in [20] e [21], si indicano di seguito e si riportano in Figura 6.28 i parametri statistici di maggior interesse:

• i punti 1, 2, 3, 4 indicano degli attraversamenti del livello 0MPa con tangente della curva

σ

( )

t positiva (zero up-crossing);

• i punti 5, 6, 7, 8 rappresentano gli attraversamenti del livello 0MPa con tangente della curva

σ

( )

t negativa (zero down-crossing);

• i punti 9 e 10 rappresentano gli attraversamenti di un generico livello (level crossing) rispettivamente con pendenza positiva e negativa della curva

σ

( )

t ;

• i punti 11 e 12 rappresentano i due estremi, superiore e inferiore, relativamente all’intervallo temporale scelto;

• spesso viene considerata anche la distribuzione dei cosiddetti rise, ossia la distanza tra una valle e il successivo picco, σRISE =σPEAK −σVALLEY .

Figura 6. 28

Prima di passare alla dimostrazione si fa la seguente assunzione: il processo aleatorio è indicato con

σ

( )

t e analogamente il simbolo riguardante la deviazione standard viene indicato con

σ

. Per evitare questa sovrapposizione di simboli che potrebbe provocare confusione, si assume di indicare il processo aleatorio con

( )

( )

X t =

σ

t .

Si indica con Na il numero delle volte che ogni realizzazione del processo

aleatorio attraversa un generico livello x=a. Chiaramente questo a sua volta rappresenta un processo aleatorio. Poiché il processo è stazionario, il valore atteso degli attraversamenti di livello nell’intervallo generico

[

t t, + ∆t

]

dipende esclusivamente dalla lunghezza dell’intervallo, ossia da t∆ . Si può intuire inoltre, grazie alla stazionarietà, come il valore atteso degli attraversamenti sia in realtà proporzionale a t∆ , per cui:

( )

a a

dove νa rappresenta a sua volta il valore atteso degli attraversamenti del livello

x=a nell’unità di tempo. Si indica invece con νa

+ _{il valore atteso dei level}

up-crossing nell’unità di tempo.

Si indichi con A l’evento per il quale si verifica un attraversamento con pendenza positiva del livello x=a nell’intervallo di tempo infinitesimo dt . La probabilità secondo la quale si può verificare l’evento A può essere espressa come:

( )

a

P A =

ν

+dt (6.13)

La P A

( )

può essere valutata considerando tre condizioni fondamentali che devono occorrere contemporaneamente per il verificarsi di A . Facendo riferimento alla Figura 6.29:

Figura 6. 29

• all’inizio dell’intervallo si deve avere: x t

( )

<a e x tɺ

( )

>0;

• alla fine dell’intervallo si deve avere x t

(

+dt

)

>a che può essere riscritta come:

( ) ( )

x t +x t dtɺ >a ⇒ x t

( )

> −a x t dtɺ

( )

(6.14) Componendo insieme le tre condizioni si ottiene:

( )

(

( )

( )

( )

0

)

Seguendo quanto indicato in [20], la probabilità dell’evento A viene calcolata come integrale della funzione densità di probabilità congiunta per i processi X t

( )

e

( )

X tɺ nel seguente modo:

( )

( )

0 , a XX a vdt P A f u v dudv +∞ − =

_{∫ ∫}

ɺ (6.16)

da cui, dopo alcuni passaggi matematici si arriva alla seguente relazione:

( )

0 , a vfXX a v dv ν+₌+∞

_∫

ɺ (6.17)

Se poi si considera un processo gaussiano, come è il processo qui analizzato, e se inoltre si assume l’ipotesi secondo la quale i processi X t

( )

e X tɺ

( )

sono tra loro in correlati ed indipendenti, si ottiene la seguente specializzazione:

2 2 2 1 2 X a X a X e σ σ ν π σ   −     + ₌ ɺ   _(6.18)

In cui σX e σXɺ rappresentano la deviazione standard dei processi X t

( )

e X t

( )

ɺ _{. Se}

poi si considera il livello x=0, si ottiene lo zero up-crossing:

0 1 2 X X

σ

ν

π σ

+ ₌ ɺ (6.19)

6.4.2 Fattore di irregolarità

Analogamente a quanto fatto prima per νa

+_{, si può definire anche l’occorrenza}

dei picchi nel processo X t

( )

. Si ottiene che:

1 2 X p X

σ

ν

π σ

= ɺɺ (6.20)

Il rapporto tra le quantità ricavate con le relazioni (6.19) e (6.20) dà una misura della larghezza di banda del processo. Questa è conosciuta con il nome di fattore di irregolarità, γ :

0 p ν γ ν + = (6.21)

Si può comprendere come per un processo a banda stretta γ →1, mentre all’aumentare della larghezza di banda del processo γ decresce. Il caso limite teorico è dato da γ →0 tale che, per ogni attraversamento del livello zero esiste un numero infinito di picchi. Si definisce inoltre il parametro di larghezza di banda,

ε

, come:

2

1

ε = −γ (6.22)

6.4.3 Distribuzione dei picchi

Sempre indicando lo spettro di carico con X t

( )

=

σ

( )

t , per calcolare la distribuzione dei picchi occorre calcolare la probabilità B che il picco sia pari ad un certo livello Z condizionata dalla probabilità C che effettivamente il processo X t

( )

si trova in una condizione di massimo. In termini matematici, si deve calcolare la seguente probabilità condizionata:

( )

P B

(

_{( )}

C

)

P B C

P C ∩

= (6.23)

Facendo riferimento, come fatto nel Paragrafo 6.4.1, all’intervallino infinitesimo

[

t t, +dt

]

, l’evento C è definito dalle seguenti condizioni:

• all’istante t si deve avere: X tɺ

( )

>0 e X tɺɺ

( )

<0;

• all’istante t dt+ si deve avere: X tɺ

(

+dt

)

<0 che può essere riscritta come:

( )

( )

0

X tɺ +X t dtɺɺ < ⇒ X tɺ

( )

< −X t dtɺɺ

( )

(6.24) Così si ottiene che:

( )

(

0

( )

( )

( )

0

)

P C =P <X tɺ < −X t dtɺɺ ∩X tɺɺ < (6.25)

L’evento B invece è condizionato dall’evento C ed è necessario aggiungere l’ulteriore condizione che X t

( )

sia uguale a Z , ossia che z< X t

( )

≤ +z dz:

( )

(

( )

0

( )

( )

( )

0

)

P B C =P z<X t ≤ +z dz <X tɺ < −X t dtɺɺ ∩X tɺɺ < (6.26)

Come indicato in [20], dopo lunghi passaggi matematici, tenendo conto che il processo X t

( )

=

σ

( )

t considerato è gaussiano, si arriva a definire la funzione densità di probabilità che il picco sia pari al livello Z :

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 1 1 2 (1 ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 X X z z Z X X z z f z e γ σ e σ σ

γ

γ

γ

σ

σ

γ

σ

π

γ

  − _ _{ −} −   _ _ = − + Φ_{ } − −   (6.27)

Questa relazione viene indicata con il termine di distribuzione di Rice e

( )

Φ i _{rappresenta la funzione cumulativa della distribuzione normale standard}

( )

0,1

N . Si può notare come il primo termine sia formalmente simile all’espressione di una funzione densità di probabilità gaussiana, mentre il secondo termine rappresenta una sorta di funzione densità di Rayleigh. Entrambi i termini sono corretti dal fattore

γ

. Si osserva inoltre che, nel caso limite di

γ

→1, il primo termine scompare e fz

( )

z si riduce ad una distribuzione di Rayleigh.

Le proprietà statistiche descritte in questi ultimi paragrafi verranno riprese successivamente nel Capitolo 8.