4 – MODELLI MATEMATICI

4 – MODELLI MATEMATICI

La programmazione lineare è uno dei principali strumenti che tradizionalmente venivano utilizzati per la risoluzione dei vari problemi per il prezzo dinamico e la gestione dei ricavi. Nel tempo si sono sostituiti diversi modelli, che in alcuni casi hanno portato a validi risultati, mentre in altri non hanno potuto trovare una applicazione pratica.

Di seguito si propone una rassegna dei principali casi pratici in cui vengono utilizzati modelli matematici di ottimizzazione; partiremo con l’analisi dei prezzi applicati ai prodotti velocemente deperibili, per poi approfondire i concetti legati al controllo della domanda combinato a quello dell’inventario sia per quanto riguarda la vendita di prodotti singoli o multi-prodotto.

4.1 Tecniche di prezzo applicate a prodotti velocemente deperibili

Analizziamo il caso di un venditore al dettaglio di articoli di abbigliamento e prendiamo in considerazione un breve periodo di vendita, ad esempio, una stagione; non sapendo come e se questi prodotti avranno successo sul mercato, ci chiediamo, saranno attrattivi per la clientela, o no?

Il venditore si trova a dover fronteggiare i rischi legati all’andamento incerto della domanda e alle stime eventualmente errate di essa:

- articoli in eccesso produrranno una perdita perché saranno probabilmente destinati a outlet o soggetti a grandi sconti,

- articoli in difetto non produrranno ricavo, e ancor peggio, non soddisferanno il cliente. Un primo approccio al problema riguarda la tecnica degli approvvigionamenti successivi, ovvero, ove necessari effettuare dei riordini periodici di merce, ma questo funzionamento presuppone la conoscenza dell’intera catena del valore (supply chain), cosa assai improbabile; l’approccio più attuale è, invece, quello di utilizzare delle strategie di prezzo e dei processi di apprendimento.

Le tecniche di gestione dei ricavi praticate per molti anni nel campo dell’industria alberghiera e delle prenotazioni aeree, sono oggi molto applicate anche nel campo delle vendite al dettaglio; in maniera generica possiamo affermare che lo scopo della gestione dei ricavi è quello di conoscere e capire le caratteristiche della domanda tentando di bilanciare dinamicamente i ricavi correnti e quelli futuri.

Ad esempio, prezzi elevati possono apportare benefici nell’immediato in termini di un elevato ricavo ma comportano anche il rischio di vendita di un basso numero di articoli; di contro, prezzi bassi apportano pochi ricavi nell’immediato ma fanno presumere un alto numero di unità vendibili.

Analizzeremo l’utilizzo delle tecniche per la gestione dei ricavi nel caso in cui alcuni parametri della domanda non siano noti al venditore all’inizio della stagione di vendita; osservando ciò che accade e imparando da queste informazioni, la conoscenza della domanda aumenta man mano. La strategia ottimale di prezzo non dovrà tenere conto solo del bilanciamento fra prezzo elevato o basso, ma anche dell’impatto sull’intera campagna.

4.1.2 Il modello

Prendiamo a riferimento la vendita al dettaglio di una certa quantità di prodotti durante un periodo di durata fissata; il potenziale afflusso di clienti è costante e indipendente dal prezzo, ma ignoto

Il venditore conosce la distribuzione dei prezzi di riserva a livello generale di popolazione ma non del singolo cliente.

Il nostro scopo è integrare in questo modello un meccanismo di apprendimento, un processo decisionale dinamico di massimizzazione dei ricavi; in concreto, il venditore deve scegliere una strategia ottimale di prezzo tenendo conto che l’adozione di certi prezzi potrà generare perdite temporanee, ma che comunque questo costo potrà essere recuperato nel proseguo della campagna utilizzando le informazioni accumulate.

Analizzeremo:

un singolo punto vendita di un certo prodotto una stagione di vendita di durata finita

la funzione di domanda è {p(s):s∈[0,T]}dove T è la lunghezza del periodo di riferimento

l’arrivo della clientela, la domanda, segue una distribuzione di Poisson con parametro Λ; questo valore è costante nel periodo e ignoto al venditore;

il venditore ha comunque una sua stima di Λ ottenuta attraverso una distribuzione Gamma con parametri (m e θ); con il trascorrere della campagna, se il cliente acquista fornisce nuove informazioni e questo valore potrà essere aggiornato.

Per ogni cliente è definita una funzione con cui si descrive la probabilità di acquisto, decrescente in base al prezzo

α

(p)∈[0,1], in particolare, essa definisce la porzione della popolazione il cui prezzo di riserva è minore o uguale a p.

Definiamo

α

(p)=e−apdove a è uno scalare non negativo, e scegliamo la funzione esponenziale perché ben adatta a dati empirici.

Per ogni prezzo p il tasso di vendita è definito come Λ ·α(p)

4.1.3 Il processo di apprendimento

Consideriamo un periodo di tempo lungo δ durante il quale si applica un prezzo fisso p.

Ricordiamo la funzione Gamma:

0

)

(

)

(

)

,

|

(

1

≥

Γ

Θ

Θ

=

Θ

Θ − − Λ

λ

λ

λ

λ

m

e

m

f

m

Si è detto che la stima del venditore circa la domanda viene fatta proprio attraverso una distribuzione Gamma, con parametri (m e θ); quindi, combinando questa distribuzione e quella di Poisson che descrive l’arrivo della clientela, possiamo stimare la domanda nel periodo δ come:

m n m p n p p p m n m n d m e n e p n N _      Θ + Θ       Θ + Γ + Γ + Γ = Γ Θ Θ + Γ = = Θ − − ∞ −

∫

( (₍)) ₁₎ ( )_{( ) (} ( _{1) (}) _{) (} (₎ ) _{( )} ) Pr( 1 0 ) (

δα

δα

δα

λ

λ

λδα

λδα λ δ

Perciò, se n unità vengono vendute e ne rimangono altre da vendere, la distribuzione diventa:

)

(

]

)

)

(

(

)[

)

(

(

1 ( ( ) )

m

n

e

p

p

m n p

+

Γ

Θ

+

Θ

+

_λ

_δα

+ − −λδα +Θ

δα

ovvero i parametri della distribuzione Gamma variano:

m <- m + numero di unità vendute

θ <- θ + (lunghezza del periodo * probabilità di vendita al prezzo p)

Nel modello il venditore controlla il prezzo continuamente, perciò si considerano periodi infinitesimalmente piccoli (δ → 0), durante il quale può essere venduta al più un’unità di prodotto.

4.1.4 Il modello dinamico

Definiamo _Ƥ come l’insieme delle possibili strategie di prezzo adottabili (p ∈ Ƥ ); all’inizio dell’orizzonte temporale lungo t si suppongono disponibili q unità di prodotto; le informazioni circa il mercato sono definite dai parametri della distribuzione Gamma (m e θ).

Jp(q, t, m, θ) è il ricavo atteso in base a tutti i parametri, applicando la politica p. L’obiettivo è identificare una politica p* ottimale tale che:

)

,

(

)

,

,

,

(

sup

)

,

,

,

(

_P * , *

q

t

m

Θ

=

∈

J

q

t

m

Θ

=

J

t

Θ

J

_{p p p} qm

Quando si imposta una certa politica p, il venditore deve fronteggiare un compromesso intrinseco al prezzo stesso, quello fra:

- la probabilità di vendita (m

α

(p)dt

Θ ) e il tasso di apprendimento (

α

( p)) che sono

decrescenti rispetto a p, e

- il ricavo ottenuto che è crescente rispetto a p.

Quindi, l’obiettivo è bilanciare questi due aspetti, cercando di minimizzare i rischi di perdita di ricavi e di apprendimento troppo lento.

Il problema è descritto con la seguente formulazione:

      + Θ − ⋅     Θ − + + Θ − + ⋅ Θ = Θ) sup ( ) [ _{− +} ( , ( ) )] 1 ( ) ( , ( ) ) , ( * _{1, 1} *_, , * dt p dt t J dt p m dt p dt t J p dt p m t J qm _p

α

_{q m}

α

α

_qm

α

per risolvere l’equazione sottraiamo da ambo i lati J*q,m(t− dt,Θ) e dividiamo per dt;

calcoliamo il limite per dt -> 0 e otteniamo:

      ∂ Θ ∂ + Θ − Θ + Θ = ∂ Θ ∂ + − t t J p t J t J p p m t t J qm m q m q p m q (, ) ) ( )] , ( ) , ( )[ ( sup ) , ( * * , , * 1 , 1 , *

α

α

impostando ∂J*0,m(t,Θ)=0per ogni m, l’equazione risulta ben definita per ogni q ≥ 1.

Una prima considerazione da fare è che il problema, quindi, la politica di prezzo e il ricavo atteso associato, dipende dalla lunghezza del periodo (t) e dal parametro (θ) della distribuzione Gamma.

          − + − ⋅ = sup ( ) ( ) − + ( ) ( ) ) ( *_, *_{1, 1} *_, * , J r dr d m r r J r J p p m r J dr d m q m q m q p m q

α

Equazione 1

J*q,m è crescente in t e r, ma lo studio dell’impatto delle varie decisioni necessita considerazioni anche

circa m e r.

Come detto prima

α

(p)=e−ap, perciò, il prezzo ottimale si ottiene come:

) ( ) ( ) ( 1 ) ( *, * 1 , 1 * , * , J r dr d m r r J r J r pqm = + qm − q− m+ + qm

α

Equazione 2

sostituendo la (2) nella (1) otteniamo l’equazione di Hamiltonequazione di Hamiltonequazione di Hamiltonequazione di Hamilton----JacobiJacobiJacobiJacobi:

          − − − − = exp 1 ( ) − + ( ) ( ) ) ( *, * 1 , 1 * , * , J r dr d m r r J r J m r J dr d m q m q m q m q

α

α

Equazione 3

Possiamo assumere

a

=

1

, ovvero, scalando di una quantità a sia il prezzo che i ricavi, possiamo considerare

α

(p)=e−p.

Il modello ha senso economico e trova applicazione laddove i capitali considerati siano soggetti ad invecchiamento, ad esempio perché legati a una tecnologia il cui valore venga aggiornato in continuazione da nuove scoperte tecnologiche.

Dal punto di vista matematico, l’evoluzione è descritta da una equazione differenziale, in cui compare un primo controllo/investimento (

J

_q*_,m

(

r

)

) e una condizione alla frontiera (

J

_q*_−1,m+1

(

r

)

).

4.1.5 Il caso a completa informazione (full information FI)

Per poter dare valutare la bontà del modello dinamico definito, analizziamo ora il caso poco probabile in cui il venditore conosca esattamente le condizioni di mercato, quindi la distribuzione di Poisson che descrive l’arrivo dei clienti, il prezzo è usato soltanto come strumento per gestire i ricavi; in ogni istante occorre scegliere il miglior prezzo tenendo conto che un prezzo troppo alto può essere causa di merce non venduta, mentre uno troppo basso, non permetterebbe di sfruttare a pieno le potenzialità del mercato.

In questo caso l’apprendimento è irrilevante e l’equazione (3) può essere semplificata:

posto

J

qFI

(

t

,

Λ

)

il ricavo ottimale atteso in un periodo di lunghezza t in cui sono disponibili q unità di

prodotto allora si ha

(

,

Λ

)

=

Λ

⋅

exp(

−

1

−

J

(

t

,

Λ

)

+

J

₋₁

(

t

,

Λ

))

dt

t

dJ

_FI q FI q FI q

e il prezzo ottimale viene calcolato come:

              −               + =

∑

∑

− = = 1 0 0 ! 1 ln ! 1 ln 1 ) ( q i i q i i FI q e x i e x i x p Equazione 4

Questo calcolo potrà essere utilizzato come termine di paragone (benchmark).

4.1.6 Politica ottimale

Individuare la politica di prezzo ottimale significa calcolare il ricavo ottimale, risolvendo l’equazione (3), oppure derivare da essa il prezzo p* ottimale.

L’equazione da risolvere è la seguente:

(

)

       ≥ − + + = + + = + − − − − − − 2 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * , * 1 , 1 * , * , 1 * , 1 * , 1 q e e re m q e re m dr r dp r p r p r p r p r p m q m q m q m m m Equazione 5

Analizziamo separatamente i due casi.

Unità singola (q=1) Unità singola (q=1) Unità singola (q=1) Unità singola (q=1)

Se q=1 il prezzo ottimale si ottiene come _

           + = = e mr e mr r p_q* _1,m( ) ln

ρ

dove

ρ

(x)∈[1,∞] esprime l’impatto sul prezzo ottimale dell’incertezza circa il mercato. •

p

*_q=1,m

(

r

)

è una funzione crescente e concava di r

con

lim

r_→0

p

q*_=1,m

(

r

)

=

1

il valore massimizzante il ricavo

• posto =

λ

Θ m allora si ha che       = m t

p_q* _1,m

λ

è una funzione decrescente di m.

Detto a parole, se il periodo è molto lungo, il venditore tenterà di ottenere buoni ricavi già all’inizio dell’orizzonte temporale  il prezzo rispetta una funzione concava rispetto alla lunghezza del periodo; così come, se il livello di incertezza circa il mercato aumenta, il venditore diventa maggiormente opportunistico nelle sue decisioni di prezzo.

La funzione ottimale di ricavo

J

q*=_1,m

(

r

)

è data da:

      + −             + = = e mr e mr r e mr e mr r J_{q m}

ρ

ρ

ln ) ( * , 1 Analogamente a prima:

•

J

q*=_1,m

(

r

)

è una funzione crescente e concava di r

• posto =

λ

Θ m allora si ha       = m t J_q*_1,m

λ

funzione decrescente di m.

Unità multiple (q Unità multiple (q Unità multiple (q Unità multiple (q≥2)≥2)≥2)≥2)

Da notare che nel caso di q unitario non si ha la possibilità di apprendere informazioni; ecco perché è fondamentale sapere individuare la politica ottimale per q multipli.

Definiamo

f

_q,m

(

r

)

=

exp(

p

_q*_,m

(

r

))

e dalla (5) otteniamo: _       − + + ≡ ≡ + −1, 1 , , , , 1 1 1 ' m q m q m q m q m q f f f r m f dr df

con il valore iniziale fq,m(0)=e

• per ogni r≥0, f_q,m(r)< f_q−1,m+1(r)

• per ogni q e m≥1, f_q,m(r)è crescente in r.

Da notare che come molto spesso accade quando si vuole implementare un meccanismo di apprendimento, nel caso di quantità multiple si è fatto uso di una forma ricorsiva di calcolo.

Osserviamo di seguito alcuni grafici che mostrano la dipendenza fra i vari fattori.

Figura 18 Il prezzo ottimale in funzione di r, per q=1,…,10

Al crescere delle unità rimaste invendute, il prezzo ottimale converge a p=1, ovvero al minimo tale da coprire i costi.

Figura 19 Il prezzo ottimale in funzione di r/q

Considerato il rapporto r/q che esprime il numero di arrivi atteso per unità di prodotto residua, la figura (2) mostra come al crescere del numero di unità invendute il prezzo debba decrescere.

Stimato il parametro di mercato come E[Λ] e considerando il prezzo ottimale in funzione della lunghezza del periodo, possiamo esprimere

] [Λ = Θ = E rm r t e costruiamo la figura (3).

Figura 20 Andamento dell’incertezza

Si osserva che anche nel caso di quantità multiple il prezzo ottimale è crescente al crescere del livello di incertezza del mercato.

Figura 21 Ricavi attesi ottimali in funzione di r, per valori di q=1,…,10 e m=1 Le curve sono ordinate in maniera crescente (quella più in alto rappresenta q=1)

Al crescere del valore di q, la funzione di ricavo

J

_q*_=1,m

(

r

)

converge a

e r

;

maggiore è la lunghezza del periodo e maggiori sono i ricavi attesi, quindi, la funzione

J

_q*_=1,m

(

r

)

è strettamente crescente e concava per r≥0 e per ogni valore q≥1 e m>0.

Figura 22 Ricavi attesi ottimali in funzione della lunghezza del periodo per tre valori di m

Da notare che l’incertezza gioca un ruolo significante solo se la lunghezza del periodo è sufficientemente grande.

Analizziamo una simulazione che evidenzia gli aspetti visti graficamente poc’anzi.

Figura 23 - Esempio

All’inizio del periodo si suppone che s=0 e (q, m, t, θ) = (q0, m0, t0, θ0),

osserviamo l’evoluzione del prezzo rispetto a s, ovvero monitoriamo _

     Θ − = ) ( ) ( * * 0 ) ( ), ( s s t p s p _{q s ms} .

La domanda dei consumatori viene generata attraverso una distribuzione di Poisson, mentre la probabilità di arrivo è generata casualmente con una distribuzione uniforme nell’intervallo [0,1].

Nella nostra simulazione Λ=1, il periodo è lungo 20 e all’inizio le unità disponibili sono q=5. Si considerino tre casi differenti per l’iniziale incertezza m0 = 1, 2, 4.

Per tutti il parametro di mercato vale E[Λ]=1.

Mentre il prezzo ottimale è più alto nel caso in cui si ha il maggior livello di incertezza (m=1), questo va pian piano diminuendo se non si ottengono delle vendite; questo perché più alto il prezzo viene impostato e più lenta è la crescita di θ.

Quando una singola unità rimane invenduta è possibile ottenere l’esatta funzione p*(s); sia τ un certo istante nel quale q(τ )=1, il prezzo è dato da





























Θ

−

+

Θ

−

=

)

(

)

)(

(

)

(

)

)(

(

ln

)

(

*

0 0

τ

τ

τ

ρ

τ

τ

τ

τ

m

t

e

m

t

p

4.1.7 Ulteriori schemi di prezzo

Abbiamo fin’ora illustrato una moderna politica di prezzo dinamico e un modello teorico di confronto; esistono molte altre tecniche che possono esser utilizzate, ne illustreremo altre due, anch’esse utilizzabili come termine di paragone per la bontà del modello con apprendimento.

Nella prima politica si imposta un prezzo fisso a inizio campagna che non verrà più modificato, mentre nella seconda si procede ignorando l’incertezza di mercato Λ.

Schema a prezzo fisso Schema a prezzo fisso Schema a prezzo fisso Schema a prezzo fisso

Ci sono vari motivi che supportano la scelta di utilizzare uno schema a prezzo fisso: • la mancanza di strumenti e strategie a supporto di schemi dinamici di prezzo • la complessità e i costi elevati legati ai cambi di prezzo

• il bisogno di individuare un prezzo standard per i prodotti.

Quando il venditore imposta un prezzo costante p per tutta la durata della campagna, egli rinuncia alla capacità di apprendimento circa le condizioni di mercato, quindi, i parametri m e θ riflettono la scelta del prezzo, solo in funzione della stima dell’incertezza del mercato.

Posto

J

_qFP_,m

(

r

|

p

)

la funzione del ricavo atteso per il prezzo fissato p

assumendo che il parametro di mercato Λ sia uguale a un certo valore λ,

allora a un certo prezzo p la domanda segue una distribuzione di Poisson di parametro λte−p

il numero atteso di unità vendute è dato dal minore fra il valore di questa distribuzione e il numero di unità disponibili (q);

questo valore è dato da S(

λ

te−p,q)con

∑

∑

− = ∞ = − − + = 1 0 ! ! ) , ( q s s q s a s a s a e q s a e s p a S

da cui calcoliamo il ricavo atteso:

∫

∞ − − − Γ       = 0 1 , ) ( 1 ) , ( ) | ( dw m e r w r q we S p p r J r w m p FP m q

Analizziamo la misura di ottimalità delle scelte a prezzo fisso:

variamo r da 0 a 100 e consideriamo quattro valori diversi per q = 1, 5, 10, 20 e m = 1.

Osserviamo come l’uso di prezzi fissi possa essere dannoso in mercati con alti livelli di incertezza mentre si può rivelare benevolo nei casi in cui il numero di arrivi attesi è basso rispetto al numero di unità da vendere.

Ma più la durata della campagna si allunga, o il numero atteso di arrivi cresce, e più la gestione dei ricavi assume maggiore importanza.

Politica che ignor Politica che ignor Politica che ignor

Politica che ignoraaaa l’incertezza del mercatol’incertezza del mercatol’incertezza del mercato ((((l’incertezza del mercato naïvenaïvenaïvenaïve))))

In questo caso l’incertezza del mercato (il parametro Λ) viene completamente ignorata.

Si assume che il venditore abbia effettuato delle stime accurate e decida di utilizzare la politica di prezzo che ritiene essere ottimale in accordo a queste stime, ovvero si ha

p

_qN

(

E

[

Λ

],

t

)

=

p

_qFI

(

E

[

Λ

]

⋅

t

)

.

Definita la variabile casuale W =ΛΘ≈Gamma(m,1)il ricavo atteso utilizzando una politica di prezzo che ignori l’incertezza del mercato, si ottiene come

)] , | ( [ ) ( ) ( ) , ( , , , dove J r E J r W m t r J t J W qN N m q N m q N m q = Θ = = Θ

In questo modo è possibile fare dei confronti fra questi risultati e quelli precedenti potendo quantificare con

J

q*_,m

(

r

)

−

J

qN_,m

(

r

)

la perdita derivante dall’ignoranza circa il mercato.

Il valore della perfetta informazione Il valore della perfetta informazione Il valore della perfetta informazione Il valore della perfetta informazione

Come valutare la bontà dell’apprendimento ottenuto attraverso l’osservazione delle vendite?

Ad esempio, nel caso in cui fossero disponibili una serie di meccanismi di apprendimento, il venditore quale dovrebbe scegliere?

Per fare queste considerazioni ci è utile definire il ricavo atteso nel caso di perfetta informazione:

dw m e w e wr i t J E t V w m q i i FI q m q ) ( ! 1 ln )] ( [ ) , ( 1 0 0 , Γ               = Λ = Θ − − ∞ = Λ

∫ ∑

Compariamo questo valore con il ricavo atteso ottenuto impiegando varie combinazioni dei parametri q, m e r; in particolare, la metrica di paragone utilizzata è 100%

) ( ) ( ) ( * , * , , ∗         ₋ r J r J r V m q m q m q . I risultati sono riassunti nel grafico seguente.

Figura 25 Valore atteso nel caso di perfetta informazione, in funzione di r, per m = 1 e q = 1, 2, 5, 10

Il valore atteso cresce in relazione a r, mentre tende a 0 in una insignificante percentuale di casi; investire per recuperare informazioni genera un aumento della percentuale nei ricavi di vendita quando

q è piccolo;

più è grande il numero delle unità da vendere e maggiore è l’opportunità di poter apprendere.

Di seguito, invece, mostriamo quanto perde un venditore che decida di utilizzare una politica che ignori completamente l’incertezza del mercato, considerando q=5 e m=0.5.

4.2 Tecniche di prezzo su prodotto singolo senza ri-approvvigionamento

Assumiamo che le imprese siano monopoliste, i consumatori miopi e che non ci sia ri-approvvigionamento dell’inventario; consideriamo un singolo prodotto, c’è una sola decisione di prezzo in ogni t, indicata con p(t), che conduce ad una sola domanda d(t,p).

L’insieme dei prezzi disponibili è indicato con Ω_p, mentre Ω_dindica l’insieme delle domande. Le funzioni di domanda godono di alcune proprietà:

• sono differenziabili e decrescenti, d'(t,p)<0su Ω_p

• sono limitate superiormente e inferiormente a zero La funzione dei ricavi r(t,p)= pd(t,p):

• è finita per tutti i valori p∈Ω_ped ha un massimo finito in Ω_p

• il ricavo marginale è una funzione della domanda (d) definita da:

) , ( ' ) , ( ) , ( ) , ( r t d p t p dp t d d d t J = + ∂ ∂ ≡ strettamente decrescente in d 4.2.1 Modelli deterministici

Un modello è detto deterministico se il suo ripetersi sotto le medesime condizioni iniziali produce i medesimi risultati; analizziamo una serie di modelli deterministici di prezzo.

Dato un inventario iniziale x(0)=C, selezioniamo una sequenza di prezzi p(t)che massimizza i ricavi. Formuliamo il problema:

0 ) ( ) ( )) ( , ( max 1 1 ≥ ≤

∑

∑

= = t d C t d t d t r T t T t

Consideriamo

π

*

, il moltiplicatore di Lagrange sul vincolo di inventario, le condizioni di prim’ordine necessarie per trovare d* t( ) che massimizza il problema sono: J(t,d*(t))=

π

*

posta la condizione complementare: * *( ) 0

1 =       −

∑

= T t T d C

π

e tenuto conto del vincolo di non negatività del moltiplicatore

π

*

≥

0

. Per descrivere il modello a parole, possiamo:

• interpretare il moltiplicatore di Lagrange

π

*

come il costo-opportunità marginale della capacità • indicare con la condizione J(t,d*(t))=

π

* che il ricavo marginale dovrebbe eguagliare il costo

opportunità marginale della capacità in ogni periodo; questo ha senso perché i ricavi marginali e i costi non sono bilanciati, quindi, dobbiamo riallocare le vendite da un periodo con ricavi marginali alti ad un periodo con ricavi marginali più bassi.

• dire attraverso le condizioni di complementarietà che i costi opportunità non possono essere positivi se c’è un eccesso di stock.

Per vedere come cambiano i prezzi dal punto di vista qualitativo nel tempo, possiamo scrivere la condizione dei ottimalità in funzione dell’elasticità nel periodo t come:

p

p

t

d

p

t

d

p

p

t

p

t

t

p

t

p

∂

∂

=

=

−

)

,

(

)

,

(

)

,

(

|

*)

,

(

|

1

)

(

*

*

)

(

*

ε

ε

π

4.2.1.1 Approcci computazionali

Riportiamo un semplice approccio computazionale attraverso il quale possiamo implementare il problema formulato sopra; si tratta di un algoritmo greedy, basato sull’osservazione passo per passo dei ricavi marginali.

In particolare, discretizziamo la capacità C in M unità di ampiezza

δ

, così che

C

=

M

δ

. L’algoritmo procede allocando la domanda in ammontare discreti di

δ

.

Passo 0 - inizializzazione:

inizializza la soluzione d(t)=0,t =1,...,T.

inizializza il contatore k=0

Passo 1 – valutazione dei ricavi marginali: se max_t{J(t,d(t))}>0

incrementa la domanda del ricavo marginale più alto del periodo t*: d(t*)←d(t*)+

δ

altrimenti, se maxt{J(t,d(t))}≤0 STOP (Soluzione ottimale corrente)

Passo 2 – controllo dei vincoli di capacità e ripeti se k=M

STOP;

altrimenti

k

← k

+

1

e torna al passo1

Riportiamo un esempio con cui illustrare il funzionamento dell’algoritmo.

Consideriamo due periodi con funzioni di domanda descritti dalle seguenti funzioni di domanda: 1 1

)

10

,

1

(

d

d

p

=

−

_e

p

(

2

,

d

₂

)

=

10

−

2

d

₂

Le funzioni di ricavo marginale corrispondenti sono: 1 1

)

10

2

,

1

(

d

d

J

=

−

_e

J

(

2

,

d

₂

)

=

10

−

4

d

₂

Poniamo ci siano C=6 unità di capacità e che l’incremento sia

δ

=

1

. L’algoritmo procede come mostrato in tabella:

k k k k dddd1111 dddd2222 J(1, dJ(1, dJ(1, dJ(1, d1111)))) J(2, dJ(2, dJ(2, dJ(2, d2222)))) 0 0 0 10 10 1 1 0 8 10 2 1 1 8 6 3 2 1 6 6 4 3 1 4 6 5 3 2 4 2 6 4 2 2 2

All’inizio entrambi i periodi hanno lo stesso ricavo marginale di 10; assegniamo la prima unità al primo periodo.

Dopo questo assegnamento, il ricavo marginale del periodo 1 scende a 8 mentre quello del periodo 2 è ancora a 10, quindi assegniamo la prossima unità al periodo 2.

Il procedimento continua come mostrato in tabella, assegnando le unità al periodo con più alto ricavo marginale fino a che non vengono utilizzate tutte le unità.

L’algoritmo termina con 4 * 1 =

d _e d₂* =2_{; tutte le unità sono allocate e i ricavi marginali sono}

eguagliati (1, ) (2, ) 2 * 2 * 1 = J d = d J _.

Se, al limite, consideriamo p0 il valore a cui il ricavo marginale è zero, J(p0)=0 e pil valore a cui d(p)=C/T, ovvero il prezzo di liquidazione dello stock, allora: p*=ma{p0,p}; la soluzione ottimale si riduce ad usare il massimo fra quello di massimizzazione del ricavo e quello di liquidazione dello stock.

4.2.1.2 Prezzi discreti

Una pratica spesso preferita è scegliere i prezzi da un insieme discreto; ad esempio, prezzi vicino alla cifra tonda, i cosiddetti “prezzi civetta” (€24.99 o €149.99) o percentuali di sconti definite, sono spesso usati poiché familiari ai consumatori e facili da capire.

In certi casi è desiderabile vincolare il prezzo in un insieme k finito di prezzi, in modo che p

t

p( )∈Ω , dove Ω_p =

{

p ,...,₁ p_k

}

e in modo equivalente, vincolare le domande d(t) in un insieme discreto d(t)∈Ωd, dove Ωd =

{

d ,...,1 dk

}

, indicando con di(t)=d(t,pi) che i tassi di vendita al tempo t che usano il prezzopi.

L’applicazione di prezzi discreti genera, però, delle complicazioni all’applicazione dei modelli, poiché i problemi non sono più continui; ma possiamo aggirare il problema utilizzando un rilassamento del problema stesso in cui sostituiamo delle combinazioni convesse dei prezzi discreti.

Definiamo un vettore di nuove variabili

α

_i(t)per ogni t,

α

(t)=(

α

₁(t),...,

α

_k(t)), che rappresenta i pesi convessi: sono non negativi e la somma fa 1.

In ogni periodo rimpiazziamo la variabile d(t) con una combinazione convessa

∑

= = k i i i t d t t d 1 ) ( ) ( ) (

α

e rimpiazziamo il vincolo d(t) ∈Ω_d con il vincolo: ( ) { : 1, 0}

1 ≥ = ℜ ∈ ≡ ∈

∑

=

α

α

α

α

k i i k W t Il problema di ottimizzazione è: C t d t t t r i T t k i i T t k i i i W t ≤

∑∑

∑∑

= = = = ∈ ) ( ) ( ) ( ) ( max 1 1 1 1 ) (

α

α

α

Dove r_i(t)= p_id_i(t)è il ricavo al prezzo pi.

Nel problema dei prezzi discreti, certi prezzi possono non essere mai ottimali e possono essere eliminati dal problema. Supponiamo che per un prezzo dato pjesistono pesi convessi

α

i(t)tale che:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 t d t t r t r t t r j k i i i j k i i i ≤ >

∑

∑

= =

α

α

Il prezzo pjnon è mai ottimale al tempo t. Ne consegue che una combinazione convessa di altri prezzi produce più alti ricavi che non consumano più capacità di quella che si sarebbe consumata usando il prezzo p_j.

I prezzi non efficienti possono essere eliminati al tempo t; i prezzi efficienti rimanenti definiscono il massimo inviluppo concavo delle coppie di valori

{

(

d_i(t),r_i(t)

)

:i =1,...,k

}

come mostrato in figura:

Figura 27 Massimo inviluppo concavo prodotto dai prezzi discreti

4.2.1.3 Effetto di deplezione dell’inventario

Un’altro fattore che influenza il prezzo nel contesto del mercato al dettaglio è il problema delle cosiddette “rotture di stock”, ovvero della non disponibilità in inventario di un particolare prodotto o di una sua versione (colore, taglia).

Gli studi condotti hanno dimostrato che esiste una correlazione positiva tra i livelli di inventario e i tassi di vendita; in particolare, la riduzione delle alternative, riduce i tassi di vendita a qualsiasi prezzo dato.

Questi effetti di deplezione dell’inventario devono essere modellati: dˆ(t,x(t))=d(t)g(x(t))

dove g(.) è il termine che indica l’effetto di deplezione; chiameremo, quindi, d(t) i tassi di vendita non corretti e d(t,x(t))

∧

quelli corretti.

Due possibili scelte per g(.) sono: ( ) 1 max{0,1 }

0 x x x g = −

γ

− o } 1 , 0 max{ 0

)

(

x x

e

x

g

− −

=

γ

dove x₀è il minimo inventario e 0≤

γ

≤1è il parametro di sensibilità. Sia x₀che

γ

possono essere ricavati dai dati storici.

∑

= ≥ = ≥ = − = + T t t d C x T x T t t x g t d t x t x t x g t d t r 1 0 ) ( ) 0 ( 0 ) ( ,..., 1 )) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( )) ( ( ) ( , ( max

dove r(t,d(t))= p(t,d(t))d(t) è la funzione del ricavo non corretto.

Da notare che un impatto del fenomeno di deplezione dell’inventario è che i prezzi ottimali possono diminuire nel tempo anche se la funzione dei ricavi non varia; questo perché, come la deplezione dell’inventario riduce la domanda, anche i prezzi ottimali si riducono per compensare esattamente la caduta delle vendite.

4.2.2 Modelli stocastici

Analizziamo separatamente il caso in cui la domanda segua una distribuzione di Bernoulli. 4.2.2.1 Domanda Continua

Assumiamo che la domanda in ogni periodo sia una variabile casuale continua D(t,p,

ξ

_t) e che la capacità sia continua.

Come nel caso deterministico, assumiamo che la funzione di domanda d( pt, )abbia una funzione inversa p( dt, ); abbiamo, quindi, una corrispondenza uno a uno tra i prezzi p e la domanda media d in ogni periodo.

Vogliamo che sia rispettata la seguente assunzione:

per tutti i t, la domanda casualeD(t,d,

ξ

)è convessa e crescente in d sull’insieme

{

d

:

d

≥

0

}

per ogni valore

ξ

t, cioè: D(t,

α

d1 +(1−

α

)d2,

ξ

t)≤

α

D(t,d1,

ξ

t)+(1−

α

)D(t,d2,

ξ

t)

per

d

₁

≥

0

,

d

₂

≥

0

e per

0

≤

α

≤

1

Questo ci garantisce che la funzione di domanda è convessa in d per ogni realizzazione casuale del termine di rumore

ξ

_t.

Definiamo inoltre, la funzione troncata di ricavo atteso:

}] ), , , ( [min{ ) , ( ) , , (t d x p t d E D t d x r+ =

ξ

_t

A parole, data una capacità rimanente x e un prezzo p(t,d) nel periodo t,

) , , (t d x

r+ è il ricavo atteso ricevuto, poiché quello che vendiamo è il minimo fra la domanda D(t,d,

ξ

)

Il problema di ottimizzazione può essere formulato come segue:

))]

,

,

(

(

[

)

,

(

0

)

0

(

0

)

(

)}

,

(

)

,

,

,

(

{

max

))]

,

,

(

(

}]

),

,

,

(

[min{

)

,

(

[

max

)

(

1 1 1 1 0 1 0 t t t t T t d t t t d t

d

t

D

x

V

E

d

x

G

t

V

x

x

V

d

x

G

x

d

t

r

d

t

D

x

V

x

d

t

D

E

d

t

p

E

x

V

ξ

ξ

ξ

−

≡

∀

=

∀

=

+

=

−

+

=

+ + + + + ≥ + ≥ ) (x

Vt e Gt( dx, ) rispettano le seguenti proprietà per ogni t:

) , ( dx Gt è concava in x e d ) (x Vt è concava in x, e ) , (x d G d t ∂ ∂ è crescente in x e decrescente in d

Sappiamo che r+(t,d,x)è concava in d e che anche G_t+1lo è; pertanto, una condizione necessaria e sufficiente perché d* sia ottimale è differenziare il termine e impostare il risultato a 0, ottenendo:

*) , ( ) , , ( G ₁ x d d x d t r d t+ + ∂ ∂ − = ∂ ∂

Sappiamo che il lato destro dell’equazione è decrescente in x e poiché il lato sinistro è decrescente in d, questo significa che in ogni periodo t il maggiore il livello di inventario x implica un’ottimizzazione dei tassi di vendita, quindi, un p*.

4.2.2.2 Domanda Bernoulliana

Se la domanda casuale segue una distribuzione Bernoulliana, allora è richiesto un diverso tipo di analisi.

Assumiamo che ci sia un solo consumatore per periodo t e che il suo prezzo di riservasia

υ

t Il prezzo di riserva è una variabile casuale distribuita comeF(t,

υ

)= P(

υ

t ≤

υ

).

Se l’azienda offre un prezzo p nel periodo t, venderà esattamente un’unità se e solo se

υ

_t ≥ p. Considerando d(t,p)=1−F(t,p)possiamo definire una funzione di domanda inversa,

)) ( 1 ( ) , (t d F 1 d t

p = − t − e la relativa funzione del ricavo r(t,d)=dp(t,d). L’inventario e la domanda in questo caso sono entrambi discreti.

Se consideriamo V_t(x)come il ricavo atteso ottimale, possiamo formulare il problema usando l’equazione di Bellman: ) 1 ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( 0 ) ( ) ( )} ( ) , ( { max )} ( ) 1 ( )) 1 ( ) , ( ( { max ) ( 1 1 1 0 1 1 0 − − = ∆ ∀ = ∀ = + ∆ − = − + − + = + + + ≥ + + ≥ x V x V x V t V x x V x V x V d d t r x V d x V d t p d x V t t t t T t t d t t d t

dove ∆Vt(x)è il valore marginale atteso della capacità.

Affinché d* sia ottimale, condizione sufficiente è che: J(t,d*)=∆Vt+1(x)

Ovvero, impostiamo un ricavo marginale uguale al costo opportunità marginale per ogni periodo t. Il valore marginale atteso della capacità (∆Vt(x)) è decrescente in t e in x, il che significa che ∀x,t

) ( ) ( 1 x V x Vt ≤∆ t ∆ ₊ ) ( ) 1 ( 1 x V x Vt + ≤∆ t ∆ ₊ Quindi:

• maggiori valori marginali corrispondono a più bassi tassi di domanda ottimale e, quindi, a più alti prezzi ottimali;

• più è il tempo rimanente, e maggiore è il valore marginale, quindi, il prezzo ottimale aumenta; • più è la capacità rimanente in un certo momento e più basso è il prezzo ottimale.

4.2.2.3 Prezzi discreti

Analogamente al caso deterministico, potrebbe essere desiderabile vincolare i prezzi ad un insieme finito p(t)∈Ωp, dove Ωp ={p1,...,pk} e equivalentemente per i tassi di vendita d, vincolati ad un insieme discreto d(t)∈Ω_d(t), dove come prima, Ω_d =

{

d ,...,₁ d_k

}

e d_i(t)=d(t,p_i) a indicare che i tassi di vendita al tempo t quando si usa il prezzo pi.

Per semplicità , consideriamo solo il caso di domanda Bernoulliana (sezione 4.2.2.2).

Dal punto di vista computazionale, l’uso dei prezzi discreti non comporta alcuna difficoltà aggiuntiva poiché la ricerca ad ogni passo è ridotta solo ad un insieme di prezzi finiti.

Come nel caso deterministico, l’insieme di prezzi finiti può essere ridotto ai soli che definiscono il massimo inviluppo concavo, i prezzi efficienti, usando i criteri di efficienza. Il ragionamento è identico al caso deterministico; i prezzi inefficienti producono meno ricavo atteso e hanno una maggior probabilità di consumare capacità.

Come nel caso deterministico, definiamo le nuove variabili

α

_i(t)che rappresentano i pesi convessi, e in ogni periodo t sostituiamo la variabile d(t) con la combinazione convessa:

) ( ) ( ) (t t d t d k

∑

=

α

Il problema di programmazione dinamica diventa: t V x x V x V t x V t d t r x V t T t k i i t i i W t t ∀ = ∀ = +       ∆ − = + + = + ∈

∑

0 ) 0 ( 0 ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( [ max ) ( 1 1 1 1 ) (

α

α

Formalizziamo il massimo inviluppo:

0 1 ) ( ) ( max ) , ( ˆ 1 1 1 ≥ = = =

∑

∑

∑

= = =

α

α

α

α

t d d t d r d t r k i i i k i i i k i i i

Possiamo riscrivere il problema di ottimizzazione come:

{

ˆ( , ) ( ) ( )

}

( ) max

)

(x r t d d t V ₁ x V ₁ x

V_t = _d − ∆ _t+ + _t+

4.3 Tecniche di prezzo su prodotto singolo con ri-approvvigionamento

In questo paragrafo illustreremo quei casi in cui l’inventario può essere rifornito in ogni periodo, come accade realmente in molti contesti di produzione.

Le decisioni di prezzo vengono usate per il controllo della domanda, mentre le decisioni di rifornimento sono usate per il controllo di capacità; il problema centrale è coordinare in modo ottimale queste decisioni.

Analizziamo dapprima i modelli deterministici per la risoluzione di questo problema, poi quelli stocastici.

4.3.1 Modelli deterministici

Assumiamo di trattare un singolo prodotto con un periodo di fine inventario denotato da x(t). Si ha un costo unitario ht per l’inventario nel periodo t e un costo unitario per rifornimento ct.

) (t

y indica l’ammontare ordinato nel periodo t.

Analogamente al caso di rifornimento finito la domanda d(t), il ricavo r(t,d(t))e il ricavo marginale J( dt, ), rispettano tutte le proprietà dette precedentemente.

4.3.1.1 Capacità non vincolata

Consideriamo il caso in cui no n ci sia un vincolo di capacità sull’ammontare ordinato in ogni periodo; il problema può essere formulato trovando un insieme di tassi d* t( ) e quantità riordinate

) ( * t

T t t y t x t d T t T y t d t x T x t y c t x h t d t r _t T t t ,..., 1 0 ) ( ), ( ), ( ,..., 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )) ( , ( max 1 = ≥ = + − − = − −

∑

=

assumendo per semplicità un inventario iniziale x(0)=0.

Definiamo i coefficienti di costo, ovvero il costo per soddisfare la domanda del periodo t con rifornimento nel periodo s, come:

∑

− = + = 1 t s k k s st c h

γ

Indichiamo il costo più basso per rifornire il periodo t come:

γ

*(t)=mins≤t{

γ

st}

La soluzione ottimale si ottiene uguagliando il ricavo marginale a questo più basso costo marginale:

T t t t d t J( , *( ))=

γ

*( ) =1,...,

e di conseguenza, la quantità ottimale da ordinare nel periodo s è semplicemente determinata come somma delle stime di domanda calcolate:

T s t d s y s t s t ,..., 1 ) ( * ) ( * ) *( : = =

∑

=

Da notare che in base a questa formulazione, anche se le funzioni di domanda sono invarianti nel tempo, il prezzo ottimale può ancora variare in base ai cambiamenti nel costo di fornitura; in altre parole, poiché le condizioni di ottimalità eguagliano il ricavo marginale al costo marginale, i cambiamenti nei costi potranno condurre a prezzi diversi pur rimanendo invariata la funzione dei ricavi.

4.3.1.2 Vincoli di capacità sugli ordini

Il problema diventa più complesso quando ci sono dei vincoli di capacità sulle quantità da ordinare tipicamente della forma di: y(t)≤b_t t =1,...,T

Tali vincoli, per esempio, potrebbero essere dovuti alla produzione limitata, alla capacità trasporto o di gestione.

Se si discretizzano le quantità vendute, possiamo risolvere il problema usando un’ algoritmo

greedy:

dato un vettore delle domande d=(d(1),...,d(T)) definiamo: ( ) ( , ( )) (d)

1 g t d t r d f T t − =

∑

=

dove g(d)è il costo minimo per ottenere i tassi di vendita ddd, definiti risolvendo il seguente problema d di ottimizzazione: T t t y t x T t b t y T t t y t d t x t x t y c t x h t t T t t ,..., 1 0 ) ( ), ( ,..., 1 ) ( ,..., 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( min g(d) 1 = ≥ = ≤ = + − − = + =

∑

=

L’algoritmo è definito dai seguenti passi: Passo 0 – inizializzazione: ) 0 ,..., 0 ( )) ( ),..., 1 ( ( d= d d T =

Passo 1 – calcolo dei valori marginali: FOR t=1,…,T DO:

calcola f(d+

δ

e_t)

Passo 2 – ricerca del più grande incremento marginale:

sceglie l’indice t* per cui il guadagno marginale f(d +

δ

et)− f(d) è più grande

IF ( f(d +

δ

et)− f(d)≤0) STOP (trovata una soluzione ottimale)

ELSE d ←d+

δ

e_t e GOTO Passo1

In parole, ad ogni passo l’algoritmo aggiunge un incremento

δ

di domanda al periodo t che cede il più altro guadagno netto f(d +

δ

e_t)− f(d) e si ferma nel momento in cui nessun periodo produce più un guadagno netto positivo.

4.3.2 Modelli stocastici

Poiché la domanda è casuale, è possibile che nel periodo ecceda l’inventario disponibile; in tali casi assumiamo che l’azienda possa rifiutare l’ordine, e questo viene rappresentato come un inventario negativo x(t).

Analogamente a prima, rappresentiamo la domanda in ogni periodo con una variabile casuale

) , , (t p _t

D

ξ

e assumiamo che le quantità e la domanda siano continue;

inoltre assumiamo che i prezzi in ogni periodo siano non vincolati, il solo requisito è che non siano negativi;

infine, assumiamo che la domanda D(t,p,

ξ

t) soddisfi le condizioni di regolarità e di convessità

viste precedentemente.

Il ricavo in ogni periodo equivale a R(t,p,

ξ

_t)= p(t,d)D(t,p,

ξ

_t).

L’inventario dopo l’ordine viene indicato con y(t), e quindi la quantità ordinata è y(t)−x(t); assumiamo che non si possano vendere gli oggetti per cui y(t)≥x(t).

C’è un costo di ordine per unità ct nel periodo t e un costo convesso ht(x) sull’inventario finale

x nel periodo t; questo costo penalizza sia un inventario negativo che positivo.

4.3.2.1 Problema ad orizzonte finito

Il problema di ottimizzazione può essere formulato come segue:

))]

,

,

(

(

))

,

,

(

(

[

)

,

(

)}

,

(

)

(

)

,

(

{

max

))]

,

,

(

(

))

,

,

(

(

)

(

)

,

,

(

[

max

)

(

1 1 1 0 1 0 t t t t t t t d x y t t t t t t d x y t

d

t

D

y

h

d

t

D

y

V

E

d

y

G

d

y

G

x

y

c

d

t

r

d

t

D

y

V

d

t

D

y

h

x

y

c

d

t

R

E

x

V

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

−

−

−

≡

+

−

−

=

−

+

−

−

−

−

=

+ + + ≥ ≥ + ≥ ≥

Usando le assunzione proposte nelle sezioni precedenti, possiamo mostrare che: ) , (y d Gt è concava in y e d ) (x Vt è concava in x ) , (y d G d t

δ

δ

è crescente in y ) , (y d G y t

δ

δ

è crescente in d

Indicando con y0(t) e d0(t) i valori che massimizzano il modello possiamo fare alcune considerazioni con cui definiamo la politica di base-stock:

- se l’inventario è più basso del livello di stock di base y0(t), allora si ordina più di questo livello e si imposta un prezzo paria a p(t,d0(t));

- se l’inventario eccede il livello di stock di base y0(t), allora non si ordina niente, e si sconta il prezzo.

4.3.2.2 Problema stazionario ad orizzonte infinito

Le stesse analisi fin’ora condotte possono essere estese ad un orizzonte temporale infinito. Assumiamo che tutti i parametri del problema sono invarianti nel tempo e che i profitti siano scontati di un fattore 0<

β

<1in ogni periodo.

La funzione valore in questo caso non prende più in considerazione il fattore t e diventa:

))] , ( ( )) , ( ( [ ) , ( )} , ( ) ( ) ( { max ) ( _{, 0}

ξ

ξ

β

d D y h d D y V E d y G d y G x y c d r x V _{y x d} − − − ≡ + − − = ≥ ≥

Anche in questo caso è possibile applicare una strategia base-stock ad orizzonte infinito: esistono valori y0 e d0 tali che:

- se la quantità rimanente x è inferiore a y0, è ottimale ordinare sopra a questo livello; - se la quantità rimanente x è maggiore di y0, allora non ordiniamo niente.

Da notare che in questo caso, una volta che otteniamo un punto in cui x> y0 in tutti i periodi rimanenti, imposteremo il prezzo a p0 e gli ordini sopra.

4.3.2.3 Costi fissi

Un'ulteriore variante del problema prevede di includere un costo fisso per gli ordini; in questo modo, la funzione di costo diviene:







=

>

+

=

0

0

0

)

(

x

se

x

se

x

c

K

x

c

t t t

dell'inventario; questo perché finché esiste un incentivo per abbassare il prezzo e ridurre la capacità residua, di contro c'è anche un incentivo ad aumentare il prezzo in modo da ritardare il riordino e posticipare la spesa dei costi fissi dell'ordine.

4.4 Prezzi multi-prodotto e multi-risorsa

Le versioni multi prodotto e multi risorsa dei problemi di prezzo dinamico vengono utilizzate in molte applicazioni; in questo caso due sono i fattori fondamentali che influenzano il prezzo:

1) la domanda per i prodotti può essere correlata, ad esempio, quando i prodotti sono sostitutivi o complementari, se il prezzo cambia per uno di essi, la modifica ha effetto anche sulla domanda di quello collegato. Quindi, le aziende gestiscono in modo congiunto il prezzo della famiglia di tali prodotti e considerano effetti di elasticità incrociati quando determinano la strategia di prezzo ottimale.

2) Due prodotti possono essere collegati da vincoli di capacità congiunta; ad esempio, due prodotti possono richiedere la stessa risorsa, che è disponibile in quantità limitata.

In questa sezione vedremo come modellare queste situazioni.

4.4.1 Modelli deterministici senza rifornimento

Si hanno n prodotti, indicizzati da j, e m risorse, indicizzate da i. C’è un orizzonte di T periodi, ogni periodo indicizzato da t.

d=(d1,…, dn) è il vettore delle domande per n prodotti.

p(t,d) indica la funzione di domanda inversa al tempo t.

Assumiamo che la funzione del ricavo r(t,d) soddisfi le condizioni di regolarità dette precedentemente.

Il prodotto j usa una quantità aij di risorse i.

La matrice A=[aij] descrive i materiali necessari per gli n prodotti. Assumiamo che ci siano capacità limitate C=(C1,…,Cm) delle m risorse.

Il problema può essere formulato come: trovare una sequenza di vettori di domande d*(t) che massimizza il ricavo totale dell’azienda rispettando i vincoli di capacità C.

T t t d C t Ad t d t r T t T t ,..., 1 0 ) ( ) ( )) ( , ( max 1 1 = ≥ ≤

∑

∑

= =

r(t,d) è concava in d e le seguenti condizioni sono necessarie e sufficienti per caratterizzare una soluzione ottimale d*(t): 0 * 0 )) ( ( * * )) ( * , ( 1 ≥ = − =

∑

=

π

π

π

T t T T t Ad C A T d t J

dove J( dt, ) è il vettore del valore marginale e

π

*

è il vettore dei costi opportunità marginali per le m risorse.

La prima condizione ci dice che ai tassi di vendita ottimali, il ricavo marginale per ogni prodotto j

dovrebbe eguagliare il costo opportunità marginale delle risorse usate dal prodotto.

La seconda condizione ci dice che il costo opportunità marginale della risorsa i può essere positivo solo se il vincolo di capacità corrispondente per la risorsa i è rispettato.

Infine, la terza condizione richiede che i costi opportunità marginali siano non negativi.

Il programma lineare così descritto è relativamente facile da risolvere numericamente, poiché la funzione obiettivo è concava e i vincoli sono lineari.

4.4.2 Modelli deterministici con rifornimento

Possiamo formulare i modelli multi-prodotto con rifornimento nel modo seguente:

T

t

t

y

t

x

T

t

t

d

T

t

b

t

y

T

t

t

y

t

Ad

t

x

t

x

t

y

c

t

x

h

t

d

t

r

t T t T t T t

,...,

1

0

)

(

),

(

,...,

1

0

)

(

,...,

1

)

(

,...,

1

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

))

(

,

(

max

1

=

≥

=

≥

=

≤

=

+

−

−

=

−

−

∑

=

dove x(t) è un vettore m-dimensionale delle capacità residue alla fine del periodo t, y(t) è un vettore m-dimensionale della quantità ordinate nel periodo t,

t

h è il vettore dei costi dell’inventario, t

c è il vettore dei costi degli ordini

e b_t è il vettore dei vincoli di capacità sulle quantità degli ordini.

L’introduzione della variabile sullo stato dell’inventario rende questo problema difficile da risolvere; spesso si utilizzano delle euristiche basate su algoritmi greedy.

4.4.3 Modelli stocastici

I modelli stocastici su uno scenario multi-prodotto, siano essi di prezzo o di controllo della capacità, sono difficili da risolvere in modo esatto; spesso vengono formulati come problemi dinamici,

Un approccio naturale per il problema multi-prodotto stocastico è quello di approssimarlo al suo equivalente deterministico, più facile da risolvere e spesso conduce a risultati molto vicini al ricavo atteso stocastico ottimale.

4.4.4 Riduzioni spazio-azione

Una semplificazione utile per questi modelli è esprimere il problema in termini di tassi di consumo delle risorse piuttosto che tassi di domanda d.

Per illustrare l’idea, consideriamo un modello deterministico dove ci sono solo m=1 risorse ma

n>1 prodotti, ad esempio, questa potrebbe essere una situazione simile al problema tradizionale di allocazione di una risorsa singola ma in cui controlliamo la domanda per ogni prodotto j, adeguando il suo prezzo pj.

Il problema deterministico in questo caso è:

T t t d C t d t d t r T t n j j T t ,..., 1 0 ) ( ) ( )) ( , ( max 1 ! 1 = ≥ ≤

∑∑

∑

= = =

Per ridurre la dimensione del problema, esprimiamolo in termini di tassi di domanda aggregata piuttosto che individuale d. A questo scopo, definiamo il tasso di domanda aggregata dˆ =

∑

n_j=1dj e in base a questa definiamo il la funzione ricavo massimizzato:

0 ˆ ) , ( max ) ˆ , ( ˆ 1 ≥ = =

∑

= d d d d t r d t r n j j

Usando queste nuove variabili, possiamo ri-formulare il problema come:

T t t d C t d t d t r T t T t ,..., 1 0 ) ( ˆ ) ( ˆ )) ( ˆ , ( ˆ max 1 1 = ≥ ≤

∑

∑

= =

Da notare che questo problema è equivalente al problema a singolo prodotto; risolviamo trovando la domanda aggregata ottimale e convertiamo questa in singoli vettori di domanda ottimali usando la prima formulazione del problema che abbiamo dato.

Questo stesso approccio di riduzione spazio-azione può essere utilizzato anche per le versioni stocastiche del problema.

Quello che mostra questo processo di riduzione è che la complessità del problema di ottimizzazione multi-risorsa e multi-prodotto non è legata al numero di prodotti ma bensì al numero di risorse.

4.5 Ottimizzazione delle promozioni

In questa sezione discuteremo dapprima delle promozioni in generale e di come esse differiscono dai problemi di prezzo dinamico; poi guarderemo due modelli specifici di ottimizzazione delle promozioni.

4.5.1 Una panoramica sulle promozioni

Le promozioni sono piccole variazioni di prezzo temporanee riguardanti nella maggior parte dei casi i beni di consumo; vengono effettuate dai produttori o dai negozianti, in particolare, i primi possono applicare uno sconto direttamente al consumatore finale nella forma di coupon cartacei e rimborsi.

Mentre i produttori sono interessati all’aumento delle vendite o dei profitti per il loro marchio, i dettaglianti sono interessati alle vendite o ai profitti per un’intera categoria di prodotti; una promozione, generalmente aumenta le vendite sia per i dettaglianti che per i produttori, ma ci sono diversi fattori che influiscono su quest’aumento. Non sorprendentemente un fattore predominante nell’aumento di domanda è il tipo e la marca del prodotto.

Le promozioni possono essere avviate per vari motivi: 1) un produttore che voglia disporre l’eccesso di inventario;

2) un produttore che voglia guadagnare in mercati condivisi e tenti di indurre i consumatori a provare i propri prodotti;

3) i dettaglianti che sperimentano per trovare il prezzo ottimale; 4) l’individuazione dei consumatori sensibili al prezzo;

5) i dettaglianti che provano ad aumentare il traffico in negozio, forti del fatto che una volta che i consumatori sono nel negozio possono essere interessati a comprare anche prodotti non in promozione;

6) una tattica per rendere le marche o piccole firme capaci di competere con i grandi budget della pubblicità dei marchi.

La principale differenziazione tra promozioni è tra quelle al dettaglio e quelle aziendali; spesso gli eventi promozionali vengono coordinati dal produttore e dal rivenditore al dettaglio, ad esempio, se il venditore inizia una promozione pubblicizzata, potrebbe accordarsi col produttore per dividere le spese pubblicitarie, oppure l'accordo potrebbe consistere nell'utilizzare un display (cartelloni) fornito dal produttore stesso.

Le promozioni al dettaglio possono essere sia pubblicizzate che non, spesso coordinate con cartelloni temporanei interni al negozio. Il prezzo promozionale può consistere nella semplice forma di uno sconto percentuale, buoni acquisto, sconti su più articoli dello stesso tipo venduti insieme, il “formato famiglia”, formule “uno extra gratis” o “tre al prezzo di due”, e così via. Gli ultimi due tipi sono solitamente determinati dal produttore, in quanto potrebbe essere necessario cambiare la confezione.

4.5.2 Promozioni dei negozianti (dettaglianti)

Esaminiamo due modelli di ottimizzazione delle promozioni.