Modellistica delle linee di trasmissione

(1)

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Modulo di Elettrotecnica - A.A. 2005-2006

Modellistica delle linee di trasmissione

PARTE I

Modelli equivalenti nel dominio del tempo e della frequenza

prof. Antonio Maffucci

elettrotecnica- appunti gratis ingegneria - www.riccardogalletti.com/appunti_gratis/

(2)

Sommario

Parte I: Modelli nel dominio della frequenza e nel

dominio del tempo. Circuiti equivalenti nel dominio del tempo.

Parte II: Analisi qualitativa e quantitativa di reti di elementi distribuiti e concentrati.

(3)

Effetti delle interconnessioni

(4)

Modello di una interconnessione

+

− v

₁

i

₁

+ i

₂

− v

₂

interconnessione

i

₁

+ i

₂

= 0

v

₁

− v

₂

= 0 i

₁

+ i

₂

≠ 0 v

₁

− v

₂

≠ 0

Modelli concentrati: Modelli distribuiti e full-wave

(5)

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

−

v₁( t ) v₂( t )

C₁ C₂

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

Reti composte da linee di trasmissione lineari e bipoli non lineari concentrati

(6)

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

v₁−( t ) v₂( t )

C₁ C

2

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

− ∂v

∂x = L ∂i

∂t

− ∂i

∂x = C ∂v

∂t

Leggi di Kirchhoff, relazioni

caratteristiche, condizioni

iniziali

v₁( )t = v 0, t( )

i₁( )t = i 0, t( ) Condizioni al ^{− i d , t}^{v d , t}⁽⁽ ⁾⁾ ^{= v}^{= i}2²( )^{( )}t^t contorno

i x , 0( ) = i₀ ( )x v x , 0( ) = v₀ ( )x

Condizioni iniziali

Leggi di Kirchhoff, relazioni

caratteristiche, condizioni

iniziali

(7)

Formulazione del problema

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

v₁−( t) v₂( t)

C1 C₂

1

1’

2

2’

( t)

i₁ i₂( t)

Elementi

concentrati lineari

Elementi

concentrati non lineari

TL lineari

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

x

+

=

+

& =

)

; ( ) ) (

; (

)

; ( ) ) (

; (

s x V s dx Y

s x dI

s x I s dx Z

s x dV

=

( ) ( )^. ^, ^. ^, ^] ⁰

[v i t =

f_k _k _k

(8)

Formulazione del problema

Il dominio della frequenza è

naturalmente adatto a descrivere le linee

Le simulazioni vanno effettuate nel dominio

del tempo Elementi

concentrati lineari

Elementi

concentrati non lineari

TL lineari

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

x

+

=

+

& =

)

; ( ) ) (

; (

)

; ( ) ) (

; (

s x V s dx Y

s x dI

s x I s dx Z

s x dV

=

= f_k^[v_k( ) ( )^. ^,i_k ^. ^,t^] = ⁰

(9)

Due approcci diversi

Riduzione d’ordine del modello complessivo:

viene modellata l’intera sottorete lioneare es.: formulazione MNA

) ( )

( )

(s s s

Y V = I

Macromodello

vengono modellate le singole linee

es.: formulazione MoC

w₁ v₁

+

− R_c 1

1’ 2’

2

w2

R_c

v₂ +

−

i₁ i₂

+_ +_ z (t)

cr z (t)

cr

(10)

• Segmentazione (cascata di celle a parametri concentrati)

• Discretizzazione delle equazioni (FD, FEM, Wavelet,

Chebishev, metodo delle caratteristiche, metodo state-based, ...)

• Approssimazione in frequenza (Padé, moment matching, …)

• Metodi convolutivi (rappresentazioni ingresso-stato-uscita, rappresentazioni ingresso-uscita, ...)

• Modelli time-space (rappresentazione del comportamento dinamico ad ogni ascissa)

• Modelli time-only (rappresentazione del comportamento dinamico alle terminazioni)

Macromodeling: due approcci diversi

(11)

Tecnica della segmentazione

z L Δ

z C Δ

i_h i_h₊₁

+

−

v_h +

−

v_h₊₁

35

/ 5

/

1

10

2 . 0

≥

=

N

cm nH

L cm pF

C

cm l

ns t_r

tr

N 10 T ≥

Segmenti necessari per un segnale con rise-time t_r

(banda a 3 dB):

☺

^semplice N elevati, scarsa accuratezza

(12)

Metodi convolutivi: ingresso-uscita

☺

Analisi accurata nel DF convoluzioni temporali nel DT

☺

Cascata di linee identificazione delle risposte

Matrice di trasmissione

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^ω ⁼

( ) ( )

^ω ^ω ⁺

( ) ( )

^ω ^ω

−

ω ω

+ ω ω

= ω

2 22

1 21

2

1 12

1 11

2

I T

V T

I

I T

V T

V

(ω )

( )

ω

T

V1 ^V₂

( )

^ω

( )

^ω

I1 ^I₂

( )

^ω

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

^ω ⁼ ⁻

( )

^ω

( )

^ω

ω ω

−

= ω

ω

= ω

ω ω

ω

= ω

ω ω

−

= ω

−

1 21

12

22 11

2 / 1

) sin(

) cos(

] [

c c c

Z l k

j T

Z l k

j T

l k

T T

Z Y

Z Z

Y Z

j k

(13)

Linea di trasmissione ideale singola

(14)

c = 1

LC Velocità di propagazione Soluzione del caso ideale

∂

²

v

∂t

²

− c

²

∂

²

v

∂x

²

= 0 ∂

²

i

∂t

²

− c

²

∂

²

i

∂x

²

= 0

f x, t ( ) _{= F}

⁺

( t − x / c + α

⁺

) ^{+ F}

⁻

( ^t + x / c + α

⁻

)

Le linee ideali non hanno perdite nè dispersione

∂v

∂x = −L ∂i

∂t

∂i

∂x = −C ∂v

∂t

Forma viaggiante (d’Alembert)

(15)

Soluzione del caso ideale

∂v

∂x = −L ∂i

∂t

∂i

∂x = −C ∂v

∂t

v( x,t) = v

⁺

(t − x /c + α

⁺

) + v

⁻

(t + x /c + α

⁻

) i( x, t) = 1

R

_c

[ v

⁺

(t − x /c + α

⁺

) − v

⁻

(t + x /c + α

⁻

) ]

R

_c

= L /C impedenza caratteristica

e sono funzioni arbitrarie dipendenti dalla condizioni al contorno e iniziali

v

⁺

= v

⁺

( ) τ _v

⁻

_{= v}

⁻

( ) _τ

e sono costanti arbitrarie

α

⁺

α

⁻

(16)

v( x,t) = v

⁺

(t − x /c + α

⁺

) + v

⁻

(t + x /c + α

⁻

) i( x, t) = 1

R

_c

[ v

⁺

(t − x /c + α

⁺

) − v

⁻

(t + x /c + α

⁻

) ]

R

_c

= L /C c = 1

LC velocità di propagazione

x v

⁺

( t − x /c + α

⁺

)

v

⁻

( t + x /c + α

⁻

)

impedenza caratteristica

(17)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v( x,t) = v

⁺

(t − x /c + T ) + v

⁻

(t + x /c) i( x, t) = 1

R

_c

[ v

⁺

(t − x /c + T ) − v

⁻

(t + x /c) ]

T = d / c Tempo di transito

α

⁺

= T, α

⁻

= 0

Linea di lunghezza finita

(18)

è l’onda progressiva a x=d;

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

0 ≤ t < +∞

e sono definite per v

⁺

( ) t v

⁻

( ) t

v

⁺

( ) t

è l’onda regressiva a x=0.

v

⁻

( ) t

v( x,t) = v

⁺

(t − x /c + T ) + v

⁻

(t + x /c) i( x, t) = 1

R

_c

[ v

⁺

(t − x /c + T ) − v

⁻

(t + x /c) ]

(19)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

dalle condizioni iniziali: e per

v

⁺

( ) t _v

⁻

( ) _t ₀ _{≤ t ≤ T}

v

₀⁺

( ) t = 1

2 { v

₀

[ c T ( − t ) ] ^{+ R}

_c

ⁱ

₀

[ ^{c T} ⁽ ^{− t} ⁾ ] }

v

₀⁻

( ) t = 1

2 { v

₀

( ) ct − R

_c

i

₀

( ) ct }

(20)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₁

( ) t = v

⁺

( t + T ) + v

⁻

( ) t

R

_c

i

₁

( ) t _{= v}

⁺

( t + T ) _{− v}

⁻

( ) t ^t ^{≥ 0} (sinistra)

Le grandezze elettriche terminali sono esprimibili come:

v( x,t) = v

⁺

(t − x /c + T ) + v

⁻

(t + x /c) i( x, t) = 1

R

_c

[ v

⁺

(t − x /c + T ) − v

⁻

(t + x /c) ]

(21)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₂

( ) t = v

⁺

( ) t + v

⁻

( t + T )

− R

_c

i

₂

( ) t _{= v}

⁺

( ) t _{− v}

⁻

( t + T ) ^t ^{≥ 0} (destra)

v( x,t) = v

⁺

(t − x /c + T ) + v

⁻

(t + x /c) i( x, t) = 1

R

_c

[ v

⁺

(t − x /c + T ) − v

⁻

(t + x /c) ]

Le grandezze elettriche terminali sono esprimibili come:

(22)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₁

( ) t = v

⁺

( t + T ) + v

⁻

( ) t

R

_c

i

₁

( ) t _{= v}

⁺

( t + T ) _{− v}

⁻

( ) t ^t ^{≥ 0} (destra)

v

₂

( ) t = v

⁺

( ) t + v

⁻

( t + T )

− R

_c

i

₂

( ) t _{= v}

⁺

( ) _t _{− v}

⁻

( _t _{+ T} ) ^t ^{≥ 0} (sinistra)

v

⁺

( ) t = v

₀⁺

( ) t v

⁻

( ) t = v

₀⁻

( ) t

⎧ ⎨

⎩ per 0 ≤ t ≤ T

(23)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₁

( ) t = R

_c

i

₁

(t) + 2v

⁻

( ) t ^t ^{≥ 0} (sinistra) v

₂

( ) t = v

⁺

( ) t + v

⁻

( t + T )

− R

_c

i

₂

( ) t _{= v}

⁺

( ) _t _{− v}

⁻

( _t _{+ T} ) ^t ^{≥ 0} (destra)

v

₁

( ) t = v

⁺

( t + T ) + v

⁻

( ) t

v

⁺

( ) t = v

₀⁺

( ) t v

⁻

( ) t = v

₀⁻

( ) t

⎧ ⎨

⎩ per 0 ≤ t ≤ T

(24)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₁

( ) t = R

_c

i

₁

(t) + 2v

⁻

( ) t ^t ^{≥ 0}

v

₂

( ) t = v

⁺

( ) t + v

⁻

( t + T )

t ≥ 0 v

₁

( ) t = v

⁺

( t + T ) + v

⁻

( ) t

v

₂

( ) t = R

_c

i

₂

(t) + 2v

⁺

( ) t (sinistra)

(destra)

v

⁺

( ) t = v

₀⁺

( ) t v

⁻

( ) t = v

₀⁻

( ) t

⎧ ⎨

⎩ per 0 ≤ t ≤ T

(25)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₁

( ) t = R

_c

i

₁

(t) + 2v

⁻

( ) t ^t ^{≥ 0}

t ≥ 0 v

⁺

( t + T ) = v

₁

( ) t − v

⁻

( ) t

v

₂

( ) t = R

_c

i

₂

(t) + 2v

⁺

( ) t v

₂

( ) t = v

⁺

( ) t + v

⁻

( t + T )

(sinistra)

(destra)

v

⁺

( ) t = v

₀⁺

( ) t v

⁻

( ) t = v

₀⁻

( ) t

⎧ ⎨

⎩ per 0 ≤ t ≤ T

(26)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

₁

( ) t = R

_c

i

₁

(t) + 2v

⁻

( ) t ^t ^{≥ 0}

t ≥ 0 v

⁺

( t + T ) = v

₁

( ) t − v

⁻

( ) t

v

₂

( ) t = R

_c

i

₂

(t) + 2v

⁺

( ) t v

⁻

( t + T ) = v

₂

( ) t − v

⁺

( ) t

(sinistra)

(destra)

v

⁺

( ) t = v

₀⁺

( ) t v

⁻

( ) t = v

₀⁻

( ) t

⎧ ⎨

⎩ per 0 ≤ t ≤ T

(27)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

v

⁺

( ) t = v

₀⁺

( ) t v

⁻

( ) t = v

₀⁻

( ) t

⎧ ⎨

⎩ 0 ≤ t ≤ T

t ≥ 0 v

₁

( ) t _{= R}

_c

_i

₁

_(t) _{+ 2v}

⁻

( ) _t

v

₂

( ) t = R

_c

i

₂

(t) + 2v

⁺

( ) t v

⁺

( t + T ) = v

₁

( ) t − v

⁻

( ) t

v

⁻

( t + T ) = v

₂

( ) t − v

⁺

( ) t ^t ^{≥ 0}

(28)

v

⁻

0 ≤ x ≤ d, t ≥ 0

+ v −

₁

i

₁

+ v −

₂

i

₂

0 d

v

⁺

w

_em

( x, t ) = 1

2 Li

²

+ 1

2 Cv

²

= C v [

⁺

(t − x / c + T ) ]

²

^{+ C v} [

⁻

^(t ^{+ x / c)} ]

²

e sono variabili di stato della linea, infatti:

v

⁺

( ) t _v

⁻

( ) _t

(29)

w 1w

2

i₁

v₁ +

−

R _c 1

1’

+−

2’

v₂ i₂ 2

+−

R_c

w

₁

≡ 2v

⁻

w

₂

≡ 2v

⁺

Linea di lunghezza finita: doppio-bipolo equivalente (Branin 1967)

t ≥ 0

w

₁

( t + T ) = 2v

₂

( ) t − w

₂

( ) t w

₂

( t + T ) = 2v

₁

( ) t − w

₁

( ) t

legge di controllo dei generatori pilotati:

w₁( )t = 2v₀⁻ ( )t w₂( )t = 2v₀⁺ ( )t

⎧ ⎨

⎩ 0 ≤ t ≤ T

(30)

iT ≤ t ≤ i + 1 ( ) T w

₁

( ) t

w

₂

( ) t

v

₁

( t − T ) v

₂

( t − T ) w

₁

( t − T ) ^v

₂

( ^t ^{− T} )

t ≥ 0

w

₁

( t + T ) = 2v

₂

( ) t − w

₂

( ) t w

₂

( t + T ) = 2v

₁

( ) t − w

₁

( ) t

legge di controllo dei generatori pilotati:

w₁( )t = 2v₀⁻ ( )t w₂( )t = 2v₀⁺ ( )t

⎧ ⎨

⎩ 0 ≤ t ≤ T

Risoluzione iterativa

dipende da e

(31)

w 1 w

2

i₁

v₁ +

−

R _c 1

1’

+−

2’

v₂ i₂ 2

+−

R_c

iT ≤ t ≤ i + 1 ( ) T per i = 0,1,2,...

Risoluzione iterativa: approccio SPICE

R _c

2

2’

R _c 1

1’

+- +-

(32)

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

v₁−( t ) v₂( t )

C1 C

2

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

v₂ i₂ i₁

v₁ +

− 1

1’

2

2’

C₁ ^w¹ ^w² C₂

R _c

+− +

−

R _c

circuito equivalente

Reti composte da linee di trasmissione lineari e bipoli non lineari concentrati

(33)

v₂ i₂ i₁

v₁ +

− 1

1’

2

2’

C₁ ^w¹ ^w² C₂

R _c

+− +

−

R _c

iT ≤ t ≤ i + 1 ( ) T per i = 0,1,2,...

v₂ i₂ i₁

v₁ +

− 1

1’

2

2’

C₁ ^w¹ ^w² C₂

R_c

+− +

−

R_c

+− +

−

(34)

w 1w

2

i₁

v₁ +

−

R _c 1

1’

+−

2’

v₂ i₂ 2

+−

R_c

Funzionamento a regime

Questo circuito non è adatto a descrivere condizioni di regime (sinusoidale, periodico, …)

(35)

Linea adattata

w 1w

2

i₁

v₁ +

−

R_c 1

1’

+−

2’

v₂ i₂ 2

+−

R_c

v

₂

= R

_c

i

₂

+ w

₂

v

₂

= −R

_c

i

₂

⎧ ⎨

⎩ ⇒ 2v

₂

= w

₂

w

₁

( t + T ) = 2v

₂

( ) t − w

₂

( ) t ^⇓

w

₁

( t + T ) = 0 t ≥ 0 w

₁

( ) t = 0 t ≥ T

v

⁻

( ) t _{= 0 t ≥ T}

(36)

Linea di trasmissione ideale multiconduttore

(37)

x=0 x=d x

1

2

n n+1 i₁₁

i₁₂

i_1n i_2n

i₂₂ i₂₁

v₂₁

v₂₂

v_2n +

− +

+ +

− +

v_1n + v₁₂ v₁₁

Linea multiconduttore ideale

− ∂v

∂x = L ∂i

∂t − ∂i

∂x = C ∂v

∂t

(38)

− ∂v

∂x = L ∂i

∂t − ∂i

∂x = C ∂v

∂t

∂

²

v

∂x

²

− LC ∂

²

v

∂t

²

= 0 v(x,t) = T

^v

u x, t ( )

∂

²

u

∂x

²

− T (

_v⁻¹

LCT

_v

) ^∂ _∂t

²

^u

2

= 0

Linea multiconduttore ideale

(39)

∂

²

u

∂x

²

− T (

_v⁻¹

LCT

_v

) ^∂ _∂t

²

^u

2

= 0 LC ( ) e = βe

T

^v

= e

₁

Me

2

M...Me

n

Β = diag β (

₁

, β

₂

,..., β

_n

)

T

^v⁻¹

LCT

_v

= Β

2

0

2 2

2

=

∂ β ∂

∂ −

∂

t u x

u

_h

h h

c_h = 1

β

_h ^{> 0}

v x ,t

( )

⁼ ^eh

[

u_h⁺

(

t − x / c_h + α_h⁺

)

^{+ u}^h⁻

(

^t ^{+ x / c}^h ^{+ α}^h⁻

) ]

h=1

∑

n

i x ,t

( )

^{= R}c−1

e_h

[

u_h⁺

(

t − x / c_h + α⁺_h

)

^{− u}^h⁻

(

^t ^{+ x / c}^h ^{+ α}^h⁻

) ]

h= 1

∑

n

Linea multiconduttore ideale: diagonalizzazione

(40)

Linea di trasmissione singola con perdite

(41)

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

v₁−( t ) v₂( t )

C₁ C

2

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

Leggi di Kirchhoff, relazioni

caratteristiche, condizioni

iniziali

v₁( )t = v 0, t( )

i₁( )t = i 0, t( ) Condizioni al ^{− i d , t}^{v d , t}⁽⁽ ⁾⁾ ^{= v}^{= i}2²( )^{( )}t^t contorno

Modellistica delle linee di trasmissione