C – IL CANALE RADIOMOBILE

Testo completo

(1)C – IL CANALE RADIOMOBILE • . Caratterizzazione deterministica del canale radiomobile • • • • • • . • . Fuzioni di trasferimento del canale: caso statico e dinamico Fading piatto e selettivo I parametri sintetici (delay-spread, banda di coerenza ecc.). Estensione al dominio spaziale Autocorrelazioni Esempi. Tecniche di diversità, MIMO, e space-time coding • • • . Tecniche di diversità Matrice di canale e MIMO Multiplexing gain e cenni a space-time coding..

(2) Deterministic multipath channel modelling Macrocell Diffuse scattering Diffraction Reflection. Microcell.

(3) Received signal with 1 path i-th ray. i ET χi =. (. θ Ri ,φ Ri. ≡. ). I Ri. ( ) i ET. YL. YR. RX. Complex number representing the received signal (current) :. ( ) (. ℜe YR g R θ Ri ,φ Ri I Ri = − jλ πη. ) pˆ (θ ,φ ) ⋅ E = I { } R. i R. i R. i T. i R. e. (of course it is a funcion of the current IT at the transmitter end) In particular we have: ρi amplitude. θi phase fi Doppler freq. . ( ) = ρ e jϑ. j arg I Ri. si, ti lenth, delay χi dirertion of arrival ψi dirertion of departure. . i. i.

(4) Received signal with Nr paths (1/2) Nr. Nr. I R = ∑ I = ∑ ρi e jϑi (1) i=1. i R. i=1. • In the narrowband case the new signal at the Rx is still a sinusoid, but with amplitude and phase given by the coherent sum (1). Time does not appear. • In the wideband case, i.e. when a transmitted signal is modulated on the carrier we have to include the MO-DEM and consider the time domain.. Tx. Rx IT. u(t). MOx(t). IR Propagation channel Radio Channel. DEMy(t). v(t).

(5) Received signal with Nr paths (2/2) • Not only the carrier has a new amplitude and phase now, but different propagation delays of different paths create echoes of the modulating signal at the Rx! • The baseband- or lowpass-equivalent radio channel must be considered now:. (). () = Re {u (t ) e. (). x t = A t cos ⎡⎣ 2π f ot + α t − ϕ o ⎤⎦ = j 2 π f 0t. }. u(t) signal’s complex envelope: it contains the modulation law. x(t) Tx. Rx u(t). u (t ) = A (t )e. jα (t ) − jϕo. e. H(F) ; h(t). y(t). H+(f) f=F-f0. ; h0(t). v(t). lowpass-equivalent radio channel.

(6) Input-Output Multipath Channel Functions (static case)  .  . The presence of multipath can be formally described by the some proper “I/O Channel Functions” that can be associated with the radio channel hp1 - discrete channel: Nr rays/paths hp2- static channel: channel properties don’t vary in time  terminals don’t move (in practice, fluctuations in time can be neglected during transmission) x(t) u(t).  . H(f), h(t) H+(f) ; h0(t). y(t) ?? v(t) ??. The I/O channel functions establish a correspondence between the input and the output signals, i.e. formulates the effects of the environment on the propagating signal.

(7) Channel Lowpass Impulse Response (1/2) Hp: non distorting antennas, ampli and mo-dem (infinite bandwidth)  According to hp 1-2, the i-th path (i=1,.., Nr) introduces:  amplitude loss (ρi) due to the attenuation produced by propagation and by the interactions between the wave and the environment along the path;  time shift (ti) due to propagation delay;  phase shift (θi) due to the phase change along the path;  . yi ( t ) = ρi ⋅ A ( t − ti ) ⋅ cos ( 2π f0 ( t − ti ) + α ( t − ti ) − φ0 + θ i ). ⎛ Nr ⎞ y ( t ) = ∑ yi ( t ) = ℜe ⎜ ∑ ρi ⋅ A ( t − ti ) ⋅ e j 2π f0t ⋅ e− j 2π f0ti ⋅ e jα (t−ti ) ⋅ e− jφ0 e jθi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ i=1 Nr. ⎛ Nr jα (t−ti ) − jφ0 − j 2 π f0 t i jθ i j 2 π f0 t ⎞ y ( t ) = ℜe ⎜ ∑ ρi ⋅ A ( t − ti ) ⋅e ⋅e ⋅e ⋅e ⋅e ⎟⎠ ⎝ i=1. u(t-ti). v(t).

(8) Channel Lowpass Impulse Response (2/2)  . v(t) represents the complex envelope of the received signal: Nr. v(t ) = ∑ ρi ⋅ u (t − t i )⋅ e j(θi −2πf0 ⋅t i ) i =1. ∞.  . u (t − t i ) = ∫ δ(ξ − t i )⋅ u (t − ξ )dξ (well known property of the δ-distribution) −∞. Nr. ∞. i =1. −∞. v(t ) = ∑ ρi ∫ δ(ξ − t i )⋅ u (t − ξ )dξ ⋅ e. j(θi −2 πf 0 ⋅t i ). =. ∞ Nr. j(θi −2 πf 0 ⋅t i ) ( ) ρ δ ξ − t e u (t − ξ )dξ ∑ i i ∫. −∞ i =1. Nr. h0 ( t ) ≡ ∑ ρi δ ( t − ti ) e j(θi −2π f0 ⋅ti ) Channel lowpass impulse response i=1. |h0|. ∞. ∞. −∞. −∞. v ( t ) = ∫ h0 (ξ ) ⋅u ( t − ξ ) d ξ = ∫ h0 ( t − ξ ) ⋅u (ξ ) d ξ = h0 ( t ) ∗u ( t ). ρi ti. t.

(9) Channel low-pass and band-pass transfer functions  . The Fourier-transform of h0(t) represents the channel low-pass transfer function H0(f) Nr ∞. H 0 ( f ) = ℑ ⎡⎣ h0 ( t ) ⎤⎦ = ∑ ∫ ρi δ ( t − ti ) e. j(θ i −2 π f0 ⋅ti ). i=1 −∞.  . ⋅e. − j 2 π f ⋅t. Nr. − j 2 π ( f + f0 )⋅ti −θ i ) dt = ∑ ρi e ( i=1. H0(f) is related to the channel transfer function H(f) through the following, general relation: ⎧ Nr − j(2 πf ⋅t i −θi ) ⎧H 0 (f − f 0 ) f ≥ 0 H(f ) = ⎨ * ⎩H 0 (− f − f 0 ) f < 0. f ≥0 ⎪∑ ρ i e ⎪ H(f ) = ⎨iN=1 r ⎪∑ ρ e − j(2πf ⋅t i +θi ) f < 0 ⎪⎩i=1 i. |H0(f)|. |H(f)|. f0. f.

(10) Channel Time Dispersion (time domain)  . With reference to the signals complex envelope: |u(t)| : input Nr. v(t ) = ∑ ρi ⋅ u (t − t i )⋅ e j(θi −2πf0 ⋅t i ) i =1. TS. |v(t)| : output. t. Because of the multipath and different propagation delays, the radio channel is affected by time dispersion at the Rx.  In digital communication systems, symbols may overlap at the receiver, thus producing the so called intersymbol interference - ISI (avoided only if TS>>Δt=ti,max-ti,min)  .

(11) Channel frequency selectivity (frequency domain) Equivalent low-pass channel transfer function. ( ). H f. { }. N. H ( f ) = F h ( t ) = ∑ ρi e− j 2π f ti e(. − j 2π f0ti + jθ i. ). i=1. Note: we neglect in what follows the footer “0” we always refer to the low-pass functions. f. Because of the multipath and different propagation delays, the radio channel frequency response is non-flat at the Rx distortion for wideband signals or frequency-selective fading.  If the signal is narrowband then we have frequency-flat fading:  . B<< Bc where Bc is the coherence bandwidth of the channel.

(12) Example: 2 paths The time origin is arbitrary, therefore we can choose t1 = θ1= 0. Then we can normalze w.r.t. the amplitude of the first path:. ρ 2 − j { 2 π ( f + f 0 ) t2 − ϑ 2 } − j 2 π F Δt H (F ) = 1 + e = 1 + ρe { ρ1. −ϑ. }. Thus the frequency response module is:. ( ). 2. H F = ⎡⎣1 + ρ cos(2π FΔt − θ ) ⎤⎦ + ρ 2 sin 2 (2π FΔt − θ ) = 1 + ρ 2 + 2 ρ cos(2π FΔt − θ ) Notches of |H(F)|:. Distance between two notches:. 2π F0kΔt -θ = (2k + 1) π 1+ ρ 1− ρ. 2π (F0 k+1-F0 k) Δt = 2π→ ΔF0= (F0 k+1-F0 k) = 1/Δt. H (F ). B ΔF0=1/Δt ≈ Bc. F. Flat fading condition: 1 B  Bc ≈ Δt.

(13) Caso dinamico Partiamo da:. NNr r. y (ξt ))==∑ ⋅ cos( 2( 2ππf0f0( t(ξ− −ti )ti+) +αα( t(−ξ t−i )t−i )φ−0φ+0 θ+i θ) =i ) = ∑ρρi i⋅⋅AA((tξ−−tit)i ⋅)cos i=1 i=1. Nr. {. }}. (j 2 π f (ξ −t )+θ) = ∑ ℜe ρ i ⋅u (ξt −−ttii)) ee ( 00 i i i i ) i=1. j 2 π f ( t−t )+θ. Ampiezze e ritardi sono dipendenti dal tempo causa la mobilità dei terminali. Si chiama ora ξ il tempo dei segnali (tempo relativo o “in eccesso”), diverso dal tempo del canale t (tempo assoluto), su cui varia il canale stesso. t Si avrà perciò:. {. { y(t, ξ ) = ∑ ℜe ρi ( t ) u ⎡⎣ξ − ti ( t ) ⎤⎦ e i. }. j 2 π f0 ⎡⎣ξ −ti ( t ) ⎤⎦+ϑ i ( t ). }. ξ. Approssimazioni: - ρi , θi e u variano lentamente nel tempo assoluto  trascurare dipendenza dal tempo assoluto - La dipendenza del ritardo nell’esponenziale dal tempo assoluto si può linearizzare. V. Degli-Esposti, “Propagazione e pianificazione… LS”.

(14) Caso dinamico (2) Linearizzazione della dipendenza dei ritardi dal tempo assoluto All’istante t=t0+Δt si ha:. (). ti t =. ( )  s + viκˆ Δt = s + viκˆ (t − t ) =. si + Δs t. c ponendo t 0 =0 si ha:. i. i. i. c. i. 0. c. si viκˆ i viκˆ i fi = + t = ti + t  ti - t c c c f0 quindi viκˆ i f =− i c f0. − f0 − f0 ˆ fi = viκ i = v cos α c c. Ad ogni cammino è associata una frequenza Doppler. V. Degli-Esposti, “Propagazione e pianificazione… LS”. Frequenze Doppler si. MS. v. α. κˆi.

(15) Caso dinamico (3) Si ottiene allora:. {. y(t, ξ ) = ∑ ℜe ρiu ⎡⎣ξ − ti ⎤⎦ e { 0 i j (2π f t − 2π f t +ϑ ) da cui: v (t , ξ ) = ∑ ρi u (ξ − ti )e. j 2 π f ξ +2 π f it−2 π f0ti +ϑ i }. i. o i. }. i. i. Con un procedimento del tutto analogo a quello visto per il caso statico si ottengono le espressioni delle funzioni di trasferimento del canale equivalente passabasso:. h(t, ξ ) = ∑ ρiδ ⎡⎣ξ − ti ⎤⎦ e {. j 2 π f it−2 π f0ti +ϑ i }. i. H (t, f ) = ∑ ρi e {. j 2 π f i t−2 π fti −2 π f 0ti +ϑ i. }. i. La frequenza nella seconda è la trasformata del ritardo in eccesso nella prima. Si ha una simmetria: a causa dei ritardi dei cammini si ha una dipendenza, una “selettività” in frequenza, a causa degli spostamenti Doppler si ha una selettività nel tempo assoluto V. Degli-Esposti, “Propagazione e pianificazione… LS”.

(16) Esempio di risposta impulsiva tempo-variante |h(t,ξ)|. ξ. V. Degli-Esposti, “Propagazione e pianificazione… LS”.

(17) Caso dinamico (4) Analogamente a prima il canale è non selettivo nel tempo, e quindi si ha fading piatto nel tempo se:. Td << Tc Dove Tc è il tempo di coerenza del canale e Td è la durata del segnale, cioè della forma d’onda che occorre riconoscere (può corrispondere a uno o più simboli in relazione alla tecnica di decodifica).. V. Degli-Esposti, “Propagazione e pianificazione… LS”.

(18) Osservazione. Le funzioni h e H sono del tipo:. ( ). N. (. ) ( ). Μ x,w = ∑ δ x − xi f w Es:. i=1. x→ℑ→ y. ⇒. |h(t0,ξ)|. (. ). N. Ν y,w = ∑ e. − j 2π yxi. i=1. ( ). f w. |H(t0,f)|. F ξ. f. Siccome la trasformata di Fourier di una δ è un esponenziale, si ha sempre questa relazione tra domìni apparentati da trasformata di Fourier. Viceversa se la dipendenza funzionale è esponenziale, la trasformata di Fourier fornisce una δ-dipendenza nel dominio trasformato. Si puo’ dire che M è di “tipo δ” in x ed N è di “tipo e” in y. Si noti inoltre che prendendo il valore di N(0,w) alla frequenza zero si ottiene la componente continua di M rispetto a x, cioè si ha:. ( ). ( ). N. ( ). ( ). ( ). Ν 0,w = Ν w = ∑ f w = ∫ Μ x,w dx = Μ w i=1.

(19) Osservazione (II) Trasformando il tempo assoluto (dipendenza esponenziale) si otterrà un dominio frequenziale in cui la funzione avrà dipendenza del tipo δ(ν-fi), il dominio delle frequenze Doppler, che verrà identificato con l’asse ν. In definitiva si avrà quindi: ξ f t ν . tempo relativo (excess time) frequenza assoluta (absolute frequency) tempo assoluto (absolute time) frequenza Doppler (Doppler’s frequency). Le funzioni del canale sono di “tipo δ” nelle variabili “relative” e di “tipo e” nelle variabili “assolute”.

(20) Le 4 funzioni del canale radiomobile Trasformata del tempo assoluto è la frequenza Doppler ν. Si possono allora ottenere altre due funzioni del canale: +∞. D(ν , ξ ) = ∫ h(t, ξ )e F(ν , f ) = ∫. −∞ +∞. −∞. − j 2 πν t. dt = ∑ ρiδ ⎡⎣ξ − ti ⎤⎦ δ ⎡⎣ν − f i ⎤⎦ e {. j −2 π f 0ti +ϑ i. i. (. ). j −2 π ft −2 π f t +ϑ H (t, f )e − j 2πν t dt = ∑ ρiδ ν − f i e { i 0 i i } i. Si hanno quindi 4 funzioni del canale che definiscono una circolarità tramite trasformate di Fourier:. F. h(t,ξ). -1. D(ν,ξ) δ(ν), δ(ξ). F -1. F. e(t),δ(ξ) F. F. −1. F. -1. F. H(t,f). F. F F(ν, f). e(t),e(f). -1. F. ξ tempo relativo f frequenza assoluta t tempo assoluto ν frequenza Doppler. δ(ν),e(f). V. Degli-Esposti, “Propagazione e pianificazione… LS”. }.

(21)