CARATTERISTICHE CERCHIO E CIRCONFERENZA
la circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti dei un piano equidistanti da un punto fisso detto centro.
Si chiama RAGGIO la distanza del centro da un qualsiasi punto della circonferenza.
CORDA è un segmento avente gli estremi sulla circonferenza
DIAMETRO è la corda massima, passante per il centro. Esso è il DOPPIO del raggio.
Si chiama ARCO DI CIRCONFERENZA una parte di circonferenza delimitata da due punti presi sulla circonferenza stessa.
In una stessa circonferenza, ad archi congruenti corrispondono corde congruenti e viceversa.
SETTORE CIRCOLARE è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due suoi raggi.
SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una corda
Si chiama SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI la parte di cerchio compresa tra due corde parallele
RICORDA
PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UNA SOLA CIRCONFERENZA
PER UN PUNTO PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE
PER DUE PUNTI DISTINTI PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE CIRCONFERENZE E RETTE NEL PIANO
Una retta ESTERNA ad una circonferenza NON HA PUNTI IN COMUNE con la circonferenza
Una retta TANGENTE ad una circonferenza ha UN SOLO PUNTO in comune con la circonferenza
Una retta SECANTE ad una circonferenza ha DUE PUNTI in comune con la circonferenza stessa
la tangente ad una circonferenza è sempre PERPENDICOLARE al RAGGIO nel punto di tangenza.
La retta che congiunge un punto esterno ad una circonferenza con il centro della
circonferenza è la BISETTRICE dell’angolo formato dalle tangenti condotte dal punto alla circonferenza
POSIZIONE RECIPROCA DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO
Due circonferenze sono ESTERNE l’una all’altra se la distanza dei loro centri è MAGGIORE della SOMMA delle lunghezze dei loro raggi
Due circonferenze sono TANGENTI ESTERNAMENTE se la distanza dei loro centri è UGUALE alla SOMMA delle lunghezze dei loro raggi
Due circonferenze sono SECANTI se la distanza dei loro centri è MINORE della SOMMA delle lunghezze dei loro raggi e MAGGIORE della loro differenza
Due circonferenze sono TANGENTI INTERNAMENTE se la distanza dei loro centri è UGUALE alla DIFFERENZA delle lunghezze dei loro raggi
Due circonferenze sono UNA INTERNA ALL’ALTRA se la distanza dei loro centri è MINORE della DIFFERENZA delle lunghezze dei loro raggi
Due circonferenze si dicono CONCENTRICHE se hanno lo stesso centro
CORONA CIRCOLARE è la parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche di raggi diversi
ANGOLI AL CENTRO E ALLA CIRCONFERENZA
Si chiama ANGOLO AL CENTRO di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nel suo centro.
Se tracciamo due semirette con origine nel centro di una circonferenza, individuiamo due angoli al centro, di cui, in genere, uno è convesso e l’altro concavo. L’angolo convesso insiste sull’arco minore della circonferenza, mentre l’angolo concavo insiste sull’arco maggiore della circonferenza
Quando tracciamo un angolo al centro risultano determinati l’arco, il settore circolare e il segmento circolare ABC , di base AB
In una circonferenza, ad angoli al centro
CONGRUENTI corrispondono ARCHI CONGRUENTI e viceversa (lo stesso vale anche per gli altri
elementi individuati dall’angolo al centro
Si chiama ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA un angolo avente il vertice sulla circonferenza e i lati secanti (o tangenti) alla circonferenza stessa.
Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo arco su cui insiste. Invece ad ogni arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza
RICORDA:
ogni angolo alla circonferenza è la METÀ del corrispondente angolo al centro
Infine ricorda che IN OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO, la mediana relativa all’ipotenusa è CONGRUENTE a metà dell’ipotenusa stessa.
ESERCIZI DI CONOSCENZA (per ripassare la teoria) 1) COMPLETA :
La circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti del piano________________ da un punto fisso detto ______________. Tale distanza è detta _____________________
2) INDICA QUALI AFFERMAZIONI SONO VERE E QUALI FALSE
i punti interni di una circonferenza ha distanza dal centro MINORE del raggio
⎕
il cerchio è la parte di piano costituita da una circonferenza e dai punti interni a tale circonferenza ⎕
si chiama settore circolare ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una corda ⎕
si chiama segmento circolare a due basi la parte di cerchio compresa tra due suoi raggi
⎕ 3) COMPLETA
La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza ad una corda la divide in _________________________
4) INDICA QUALI AFFERMAZIONI SONO VERE E QUALI FALSE
Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha con essa alcun punto in comune ⎕
una retta si dice tangente ad una circonferenza se hanno in comune due punti ⎕
due circonferenze si dicono tangenti esternamente se la distanza dei loro centri è
congruente alla somma dei raggi ⎕
due circonferenze si dicono secanti se la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei
loro raggi ⎕
due circonferenze son concentriche se non hanno lo stesso centro ⎕
6) Con riferimento alla figura seguente, e sapendo che l’angolo misura 35°, rispondi alle seguenti domande
quanto misura l’angolo ?
quanto misura l’angolo ?
7) COMPLETA
Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde ____________ arco
ad ogni arco corrispondono __________________________ angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza sono COMPLEMENTARI, i loro corrispondenti angoli al centro sono ____________________
In una circonferenza, ad angoli al centro congruenti corrispondono archi ________________ e viceversa
ESERCIZI LIVELLO 1
1) calcola il diametro di una circonferenza con raggio pari a 12 cm 2) calcola il raggio di una circonferenza avente il diametro di 2,4 m 3) calcola il diametro di una circonferenza avente il raggio di 23 cm
4) Calcola il raggio di una circonferenza, sapendo che esso è il triplo di quello di un’altra circonferenza avente il diametro di 58 cm.
5) calcola la misura del raggio di una circonferenza, sapendo che e’ la metà di quello di un’altra circonferenza avente il diametro di 10 cm
6) Calcola la misura del diametro di una circonferenza, sapendo che è il doppio di quello di un’altra circonferenza con il raggio lungo 21 cm
7) Due circonferenze aventi i raggi che misurano rispettivamente 12 cm e 8 cm sono tali che i loro centri distano 20 cm. Qual è la loro posizione reciproca
Calcoliamo la somma delle lunghezze dei due raggi:
r + r1 = 12 + 8 = 20 cm
Siccome risulta CC1 = r + r1 , allora le due circonferenze sono TANGENTI ESTERNAMENTE
8) Due circonferenze aventi i raggi che misurano rispettivamente 6 cm e 4 cm sono tali che i loro centri distano 28 cm. Qual è la loro posizione reciproca?
[esterne]
9) Due circonferenze aventi i raggi che misurano rispettivamente 15 cm e 9 cm sono tali che i loro centri distano 6 cm. Qual è la loro posizione reciproca?
[tangenti internamente]
10) Due circonferenze aventi i diametri che misurano rispettivamente 22 cm e 38 cm sono tali che i loro centri distano 25 cm. Qual è la loro posizione reciproca?
[secanti]
11) Un angolo alla circonferenza misura un sesto di un angolo giro. Calcola la misura del corrispondente angolo al centro
Siccome risulta
6 6 6 allora è anche
6
12) Un angolo alla circonferenza misura un quinto di un angolo piatto. Calcola la misura del corrispondente angolo al centro
[72°]
13) Un angolo al centro misura la metà di un angolo piatto. Calcola la misura del corrispondente angolo
alla circonferenza [45°]
all’ipotenusa è invece lunga 52,5 cm. Calcola il perimetro del triangolo e la sua area.
Sappiamo che in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa stessa. Di conseguenza:
BC = 2AH = 2 x 52.5 = 105 cm Il perimetro misura quindi:
P = 105 + 63 +84 = 252 cm L’area è invece :
6 4
646
15) In un triangolo rettangolo, i due cateti misurano rispettivamente 30 cm e 72 cm. La mediana relativa all’ipotenusa è invece lunga 39 cm. Calcola il perimetro del triangolo e la sua area.
[180 cm; 1080 cm2] 16) In un triangolo rettangolo, un cateto misura 120 cm e la mediana relativa all’ipotenusa è invece lunga 68 cm. Calcola il perimetro del triangolo e la sua area.
[64 cm]
ESERCIZI LIVELLO 2
1) Una circonferenza ha il diametro di 4 cm. Calcola il raggio di un’altra circonferenza, sapendo che esso è i 2/3 del raggio della prima circonferenza. [16 cm]
) Il diametro di una circonferenza misura 64 cm. Calcola il raggio di un’altra circonferenza, sapendo che il suo raggio è 5/4 del raggio della prima [40 cm]
3) Il raggio di una circonferenza è lungo cm. Calcola la misura del raggio di un’altra circonferenza, sapendo che il suo diametro è 7/11 del diametro della prima. [21 cm]
4) Calcola l’ampiezza di due settori circolari, sapendo che l’ampiezza di uno è /6 di quella dell’altro e che la loro somma è 126°
DATI INCOGNITE
β = 1/6 α α + β = 126°
α = ? β = ?
Rappresentiamo con dei segmenti il rapporto esistente tra le ampiezze dei due settori:
Dall’algebra sappiamo che, nota la somma di due grandezze e il loro rapporto, ci basta calcolare il valore dell’unità frazionaria, ottenuta dividendo la somma data per la somma di numeratore e denominatore della frazione
u.f. = 126 : (1+6) = 18°
Abbiamo quindi : α =18° x 6 = 108°
β = 18° x 1 = 18°
5) Calcola l’ampiezza di due settori circolari, sapendo che l’ampiezza di uno è il triplo di quella dell’altro
e che la loro somma è 304° [76°; 228°]
6) due circonferenze tangenti esternamente hanno i raggi l’uno il doppio dell’altra. Determina le loro lunghezze, sapendo che i centri distano 63 cm
DATI INCOGNITE
r= 2r’
OO’ = 63 cm
r = ? r’ = ?
Siccome le due circonferenze sono tangenti esternamente, la distanza tra i due centri è uguale alla somma dei loro raggi.
Rappresentando con dei segmenti il rapporto esistente tra le misure dei raggi, otteniamo la situazione del disegno :
Dall’algebra sappiamo come calcolare due grandezze se conosciamo la loro somma e il rapporto esistente tra di esse. In questo caso abbiamo:
u.f. = 63 : (2 + 1) = 21 cm r’ = 21 x 1 = 21 cm r = 21 x 2 = 42 cm
7) due circonferenze tangenti esternamente hanno i raggi l’uno la terza parte dell’altro. Determina le loro lunghezze, sapendo che i centri distano 132 cm [33 cm; 99 cm]
8) due circonferenze tangenti internamente hanno i raggi l’uno il triplo dell’altro. Determina le loro
lunghezze, sapendo che i centri distano 128 cm [64 cm; 192 cm]
9) Calcola il perimetro del quadrilatero PAOB, rappresentato in figura, capendo che il diametro della circonferenza misura 210 cm e il segmento di tangenza misura 128 cm
SVOLGIMENTO
dati incognita
d = 210 cm AP = PB = 128 cm
PPAOB = ?
Per poter rispondere alla domanda, dobbiamo conoscere le misure dei lati del quadrilatero. Conosciamo la lunghezza di due dei quattro lati del quadrilatero,
essendo i due segmenti di tangenza uguali : AP = BP
Inoltre i due lati OA e OB sono due raggi del cerchio.
Conosciamo il diametro del cerchio e possiamo ricavare il raggio, essendo :
r = d/2 Abbiamo quindi:
OA = OB = d/2 = 210 / 2 = 105 cm Risulta quindi :
P = AP + PB + OA + OB = 2AP + 2 OA = 2 x 128 + 2 x 105 = 256 + 210 = 466 cm
10) Facendo riferimento alla figura a lato, calcola il perimetro del quadrilatero PAOB, sapendo che il diametro della circonferenza misura 99 cm e il
segmento di tangenza misura 68 cm
[334 cm]
11) Facendo riferimento alla figura a lato, calcola l’ampiezza dell’angolo al centro , sapendo che misura 50°
[130°]
12) la somma delle misure di un angolo al centro e del corrispondente angolo alla circonferenza è di 153°. Calcola le misure di ciascun angolo
SVOLGIMENTO
dati incognita
α + β = 153°
α = β
α = ? β = ?
Sapendo che l’angolo al centro è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, possiamo rappresentare il rapporto esistente tra le ampiezze come sotto:
Questo significa che la somma è composta da tre unità frazionarie: ci basta quindi dividere per tre ed ottenere la misura di β:
Per ottenere α possiamo moltiplicare per due il risultato ottenuto oppure sottrarre β dal valore della somma. In entrambi i casi otteniamo :
α 5 x
13) la somma delle misure di un angolo al centro e del corrispondente angolo alla circonferenza è di 186°. Calcola le misure di ciascun angolo
[62°; 124°]
14) la differenza delle misure di un angolo al centro e del corrispondente angolo alla circonferenza è di 92°. Calcola le misure di ciascun angolo
[92°; 184°]
15) In un triangolo rettangolo, la somma e la differenza tra le lunghezze dei due cateti sono
rispettivamente 34 cm e 14 cm. La mediana relativa all’ipotenusa è invece lunga 13 cm. Calcola le misure dei cateti, il perimetro del triangolo e la sua area.
SVOLGIMENTO
dati incognita
AB + AC = 34 cm
= S
AC - AB = 14 cm = D
AH = 13 cm
AC = ? AB = ? P = ? A = ?
Dalla matematica sappiamo calcolare due lunghezze, se conosciamo la loro somma e la loro differenza. Risulta infatti
4 4
4
4 4
Dalla Geometria sappiamo che in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa stessa. Di conseguenza:
BC = 2AH = 2 x 13 = 26 cm Possiamo quindi calcolare il perimetro del triangolo dato:
P = AB + BC + AC = 10 + 26 + 24 = 60 cm
In un triangolo rettangolo, infine, l’area è uguale alla semiprodotto delle misure dei due cateti, per cui:
4
16) In un triangolo rettangolo, la somma e la differenza tra le lunghezze dei due cateti sono
rispettivamente 92 cm e 28 cm. La mediana relativa all’ipotenusa è invece lunga 34 cm. Calcola le misure dei cateti, il perimetro del triangolo e la sua area
17) In un triangolo rettangolo, un cateto è il triplo dell’altro e la loro somma è pari a 85 cm. La mediana relativa all’ipotenusa è invece lunga 33,6 cm. Calcola le misure dei cateti, il perimetro del triangolo e la sua area
[21,25 cm ; 63,75 cm; 152,2 cm; 677,34375 cm2]
ESERCIZI LIVELLO 3
1) Calcola l’ampiezza di due settori circolari, sapendo che l’ampiezza di è è 5/7 di quella dell’altro e che la loro differenza è 47°
[ 7 ’ ; 64 ’]
2) Da un punto P esterno ad una circonferenza, si tracciano le due rette tangenti alla stessa. Determina il raggio della circonferenza, sapendo che P dista 18 cm dal centro O e che gli angoli che PO forma con i raggi tracciati nei punti di tangenza misurano 60°.
[9 cm]
) Due circonferenze tangenti internamente hanno le misure dei raggi l’una i / dell’altra. Determina le loro lunghezze, sapendo che i due centri distano 205 cm
[123cm ; 328 cm]
4) Due circonferenze tangenti esternamente hanno le misure dei raggi l’una i 4/7 dell’altra. Determina le loro lunghezze, sapendo che i due centri distano 594 cm
[216 cm ; 378 cm]
5) la somma delle misure di un angolo al centro e del corrispondente angolo alla circonferenza è di 151°.
Calcola l’ampiezza di ciascun angolo
[5 ’ ; 4 ’]
6) In un triangolo rettangolo, le misure dei due cateti sono l’una i ¾ dell’altra. La loro somma misura 56 cm e la mediana relativa all’ipotenusa è lunga cm. Calcola le misure dei cateti e il perimetro del triangolo
[24 cm ; 32 cm; 96 cm]