III.1.1) per cui valga – con la convenzione dell’utilizzatore ‐ la relazione v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e corrente e qualunque sia l’istante di tempo considerato

 

CAP. III – CONDIZIONI QUASI STAZIONARIE  ‐ RETI ELETTRICHE IN REGIME  SINUSOIDALE 

 

III.1  Bipoli fondamentali in condizioni quasi stazionarie   

Si  considerino  grandezze  variabili  nel  tempo,  ma  abbastanza  lentamente  da  poter 

“ragionevolmente” considerare le tensioni indipendenti dal percorso tra due morsetti A‐B   e l’intensità di corrente indipendenti dalla sezione del  tratto di conduttore . In tal caso si  parlerà di  bipoli in regime variabile quasi stazionario. ¹ 

Si  definirà  resistore  ideale  in  tali  condizioni  il  bipolo  (fig.  III.1.1)  per  cui  valga  –  con  la  convenzione dell’utilizzatore ‐  la relazione v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e  corrente e qualunque sia l’istante di tempo considerato. 

Ogni bipolo per cui valga una relazione algebrica tra tensione e corrente viene classificato  come adinamico. 

Un bipolo che presenti una caratteristica differenziale viene classificato dinamico. 

I bipoli dinamici fondamentali sono il condensatore ideale e l’induttore ideale. 

  fig. III..1.1 – Resistore, condensatore ed induttore ideali in condizioni quasi stazionarie 

 

Si definirà condensatore ideale, in condizioni quasi stazionarie² (fig.III.1) il bipolo per cui  valga,  con  la  convenzione  dell’utilizzatore,  la  relazione  i(t)=dq/dt=Cdv/dt  dove  la  i(t)    è  correlata  alla  variazione  temporale  della  carica  sulle  armature  del  condensatore.  Il  coefficiente  C  (≥0)  può  essere  in  prima  approssimazione  considerato  pari  al  rapporto  tra  carica QA (=‐QB)e tensione VAB in condizioni stazionarie (capacità del condensatore) (fig.III.1.1)  . 

L’intensità della corrente elettrica in un condensatore è quindi in relazione differenziale  con la tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per  risalire al valore della tensione; infatti, considerando la convenzione dell’utilizzatore, si ha  in un generico istante t¹ 

1 Per richiami ed approfondimenti sulla considerazione di quasi‐stazionarietà si veda l’appendice A5.

2 Per un componente reale, questa condizione può essere ragionevolmente assunta se i morsetti A e B sono  sufficientemente “lontani” (ma non troppo) dalla zona occupata dalle armature del condensatore. 

R  C L 

A

B B B

A A

v(t) v(t) v(t)

QA

QB

i(t) i(t) i(t)

Φ(t)

( )

^t

( )

_o

t

c c c

c

c i dt v t

t C dt v

Cdv

i ^{= ⇒ =}

∫

^{1 +}

0

1

1        (III.1.1) 

dove  t^o  è  un  qualsiasi  istante  di  riferimento.  Si  vede  quindi  che  può  essere  ricavata  la  tensione  in  un  certo  istante  t¹  solo  se  si  conosce  il  valore  della  stessa  in  un  istante  precedente e l’andamento dell’intensità della corrente nell’intervallo tra gli istanti  to e    t1.  Quindi la tensione non è funzione lineare dell’intensità di corrente, salvo che non sia nulla  la tensione nell’istante di riferimento (condensatore a riposo). 

 

Definiremo induttore ideale in condizioni quasi stazionarie(³) il bipolo per cui valga, con  la convenzione dell’utilizzatore,  la relazione v(t)=dΦ/dt=Ldi/dt (fig.III.1.1) .  

Un  induttore  viene  realizzato  in  pratica  attraverso  un  avvolgimento  costituito  da  un  elevato numero di spire metalliche  (solenoide); la tensione v(t)  è correlata alla variazione  temporale  del  flusso  Φ  del  campo  magnetico  concatenato  con  la  linea  “quasi‐chiusa” 

costituita dall’avvolgimento stesso. Il coefficiente L può essere in prima approssimazione  considerato  pari  al  rapporto  tra  flusso  ed  intensità  di  corrente  in  condizioni  stazionarie  (coefficiente di autoinduzione o induttanza). 

La  tensione  ai  capi  di  un  induttore  è  in  relazione  differenziale  con  l’intensità  della  corrente. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per risalire  al valore dell’intensità di corrente; infatti, considerando la convenzione dell’utilizzatore, si  ha in un generico istante t¹ 

( ) ( )

o

t

t

L L L

L

L v dt i t

t L dt i

Ldi

v ^{= ⇒ =}

∫

^{1 +}

0

1

1        (III.1.2) 

dove to è un qualsiasi istante di riferimento. Si vede quindi che si può conoscere l’intensità  della  corrente  in  un  certo  istante  t¹  solo  se  si  conosce  il  valore  della  stessa  in  un  istante  precedente  e  l’andamento  della  tensione  nell’intervallo  tra  gli  istanti    t^o  e      t¹.  Quindi  la  grandezze  intensità  di  corrente  non  è  funzione  lineare  della  tensione,  salvo  che  non  sia  nulla  l’intensità  di  corrente  nell’istante  di  riferimento  (induttore  a  riposo).  Dalle  caratteristiche integrali si deduce che se le tensioni applicate agli  induttori e le intensità di  corrente nei condensatori sono limitate (come nei casi reali), la tensione sui condensatori e  la corrente negli induttori sono grandezze continue. Infatti se consideriamo la condizione  t¹→ t^o , avremo che gli integrali nelle caratteristiche, estesi ad intervalli infinitesimi, sono  infinitesimi. In altri termini, 

 

( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( )

(

L o

)

L

( )

o

(

L

(

o

) )

L

( )

o L

( )

o c c

c c

c

t i t

i t

i t

i t

i

t v t

v t

v t

v t

v

= +

= +

=

−

=

−

= +

= +

=

−

=

−

→

→

→

→

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

0 0

0 0

0 0 0

0 0

lim lim

lim lim

 (III.1.3)    

La  tensione  sul  condensatore  è  in  ogni  istante  legata  all’energia  elettrostatica  immagazzinata dal condensatore e l’intensità di corrente nell’induttore è legata all’energia 

3 Per  un  induttore  reale  costituito  da  un  avvolgimento  cilindrico  di  N  spire  di  area  S  ed  altezza  h  questa  condizione può essere ragionevolmente raggiunta se i morsetti A e B sono a distanza molto minore di h e  sono collegati ad un circuito configurando una “spira esterna” di area molto minore di NS. Vedasi appendice  A5. 

magnetica immagazzinata dall’induttore 

2 2

2 1 2

) 1

( _{c m l}

es t Cv w Li

w = =  (III.1.4) 

 

Tali  grandezze  sono  legate  quindi  allo  stato  energetico  del  bipolo  e  per  tale  motivo  vengono  spesso  indicate  come  grandezze  di  stato.  Esse  possono  essere  anche  considerate  funzioni‐memoria. 

 

Tali  grandezze  di  stato  sono  continue:  se  non  lo  fossero,  avremmo  discontinuità  dell’energia,  o  meglio  una  variazione  finita  dell’energia  in  un  intervallo  infinitesimo;  ciò  implicherebbe  la  capacità  del  bipolo  di  assorbire  o  erogare  potenza  illimitata;  ciò  non  è  concepibile nei casi pratici. 

Generatori  di  potenza  infinita  possono  essere  tuttavia  introdotti  formalmente  per  l’analisi  più ampia dei transitori nelle reti con modelli lineari.⁴  

 

III.2  Reti con bipoli dinamici    

Si  definisce  ordine  di  una  rete  l’ordine  del  sistema  (algebrico‐)differenziale  completo  associato  alla  rete  in  esame.  L’ordine  di  una  rete  è  quindi  pari  al  numero  di  equazioni  differenziali indipendenti del sistema fondamentale. 

 

Una  rete  costituita  da  soli  bipoli  adinamici  è  di  ordine  zero.  Se  la  rete  è  costituita  da  soli  bipoli adinamici normali essa sarà classificata come rete lineare e ad essa potranno essere  applicate le considerazioni già fatte nel caso stazionario. 

 

Se  una  rete  ha  un  solo  condensatore  o  un  solo  induttore,  comparirà  una  sola  relazione  differenziale e quindi avremo una rete del primo ordine. 

 

Se una rete ha più condensatori e/o induttori e/o parametri mutui (capacitivi e/o induttivi)  occorrerà  una  analisi  più  attenta  della  rete  per  individuare  il  numero  delle  equazioni  indipendenti. Ad esempio, occorrerà evidenziare la eventuale presenza di condensatori o  induttori in serie o in parallelo. La “memoria” è legata ad esempio alla sola tensione su un  condensatore,  anche  se  questo  può  essere  a  sua  volta  visto  come  l’equivalente  di  condensatori in serie o in parallelo. 

 

In  una  rete  dinamica  di  ordine  N,  ogni  grandezza  y(t)  (tensione  o  intensità  di  corrente)  può essere rappresentata da una equazione differenziale di ordine N; ai fini della unicità 

4 Vedere appendice A12, dove sono introdotti i generatori impulsivi ideali. Esempi di generatori reali classificati  come impulsivi sono effettivamente in grado di erogare tensioni ed intensità di corrente molto elevate per  intervalli di tempo brevissimi. Ad esempio il generatore di tensione ad impulso della Sala Alta tensione del  DIEL    (vedi  App.A16)  è  in  grado  di  erogare  tensioni  di  2.4  MV  e  intensità  di  corrente  di  3kA per qualche  microsecondo, con potenze istantanee dell’ordine dei gigawatt; l’energia erogabile tuttavia non può superare  qualche decina di kilojoule (si pensi che  una stufetta da 1kW in un’ora consuma 1 kWh, corrispondente a 3.6  MJ!) 

della  soluzione  stessa  a  partire  da  un  istante  di  tempo  iniziale,  il  teorema  di  Cauchy  richiede la conoscenza di N condizioni iniziali, cioè il valore iniziale della y(t) e delle sue (N‐

1) derivate. La ricerca delle condizioni iniziali  può essere condotta a partire dai dati iniziali,  ovverosia  dai  valori  delle  N  grandezze  di  stato  corrispondenti  agli  N  bipoli  a  memoria  indipendenti. 

 

Nel  caso  di  reti  di  ordine  zero,  non  sia  ha  ovviamente  necessità  di  valutare  alcuna  condizione iniziale (rete “a risposta immediata”). 

 

Nel caso di rete di ordine N lineare, la soluzione è del tipo⁵  )

( )

(

1

t y e k t

y _p

N

i t i

i +

=

∑

=

λ (III.2.1) 

dove  la  sommatoria  rappresenta  l’integrale  generale  dell’omogenea  associata,  λi  le  radici  semplici⁶  dell’equazione  algebrica  associata;  i  valori  delle  N  costanti  “arbitrarie”  ki  si  particolarizzano attraversi le condizioni iniziali; l’integrale particolare y^p(t) si ricava dalla  conoscenza del termine noto (“forzante”) dell’equazione differenziale. 

L’Analisi  matematica  ci  fornisce  numerosi  strumenti  per  la  identificazione  dell’integrale  particolare; osserviamo tuttavia che, nei casi di interesse dell’Ingegneria, per la presenza di  inevitabili parametri dissipativi, le radici λⁱ sono negative (⁷) o a parte reale negativa, per  cui l’integrale particolare viene a identificarsi con la soluzione a “tempi lunghi” ossia con  la soluzione “a regime”; questa è di immediata identificazione  nei casi ricorrenti di regime  stazionario e sinusoidale. 

5 È da ritenere preliminarmente che i coefficienti, ossia i parametri R,L e C siano costanti rispetto al tempo. In  presenza  di  componenti  reali  a  parametri  variabili  nel  tempo  (es.  parti  in  movimento)  la  soluzione  del  sistema fondamentale sarà in genere ardua. 

6 Se  una  radice  ha  λ  molteplicità  m,  ad  essa  viene  associata  la  combinazione  di  integrali  indipendenti 

∑

( )

= m − j

t j jt e k

1

1 λ  

7 In caso contrario, anche in assenza di generatori, avremmo una crescita dell’”energia” del sistema. 

 

  III.2.1 Esempi di reti del primo ordine   

Ogni  rete  del  primo  ordine  contiene  in  genere  un  solo  bipolo  a  memoria  indipendente  (induttore  o  condensatore)  oppure  configurazioni  riconducibili  ad  un  solo  bipolo  equivalente (es. serie o parallelo di soli condensatori o soli induttori). Il resto della rete è di  ordine  zero  e  quindi  riconducibile  ad  un  generatore  reale  equivalente  (di  tensione  o  di  corrente). Per risolvere quindi qualsiasi rete basterà fare riferimento ad una delle possibili  reti elementari : 

a)  generatore  di  tensione  reale  [generatore  di  corrente  reale]  alimentante  un  condensatore ideale (circuito RC serie [circuito RC parallelo]); 

b)  generatore di tensione reale [generatore di corrente reale] alimentante un induttore  ideale (circuito RL serie [circuito RL parallelo]). 

 

Si consideri come  esempio il circuito RC serie (fig.III.2.1): 

 

           

fig.III.2.1.1 – Circuito RC serie   

Si calcolino v^c(t) ed i^c(t) nei seguenti casi: 

 

1)  e(t)=0 per t<0, e(t)=E=10 V per t>0; C=1 mF; R=10 Ω; 

 

2) e(t)=‐E=‐10V per t<0, e(t)=E=10 V per t>0; C=1 mF; R=1‐2‐10 Ω; 

 

3) e(t)=‐E=‐10V per t<0, e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t>0; C=1 mF; R=1‐2‐10 Ω; 

 

4) e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s)  per t<0, e(t)=E= e(t)=Ecos ωt per t>0; C=1 mF; R=1‐2‐

10 Ω. 

  

Il sistema fondamentale è il seguente: 

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

= +

=

dt Cdv i

Ri v

t e v

v v v

c R g

C R g

) (

      (III.2.1.1) 

Le equazioni differenziali nelle incognite di fig.III.2.1 sono  vC

+ R

C i e  

vR

v_g

( ) ( )

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= +

⇒

= +

= +

− ⇒

− =

=

+

=

dt RCde dt RC di dt v

Cde dt Cdi R v

dt Cde dt RCdi dt i

Ri e Cd dt

v v Cd i

dt v RCdv t e

R R

R g

C

) c

(

      (III.2.1.2) 

 

Come si può osservare, qualunque sia la grandezza incognita, per la linearità del sistema,  l’equazione algebrica associata all’omogenea è 

ms RC s

RC 1 100 ; 10

0

1+λ = ⇒ λ = − =− ⁻¹ τ =       (III.2.1.3)  La soluzione è del tipo 

RC

t i e k t i

t v e k t v

cp t i c

cp t v c

=

+

=

+

=

−

−

τ

τ τ

) ( )

(

) ( )

(

       (III.2.1.4)   

Si osservi che, per t<0, nel primo caso la tensione sul condensatore è sempre nulla, nel  secondo  e terzo caso è pari a ‐10 V, nel quarto caso è sinusoidale  e vale⁸ 

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

=

−

→

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

< =

arctg RC sen

R C E C v

arctg RC t

sen

R C E C t

v

c c t

ω π

ω ω

ω ω π

ω ω

1 1 2

1 )

0 (

1 1 2

1 )

(

2 2

2 2

0

  (III.2.1.5) 

L’integrale particolare nel primo e nel secondo caso vale vcp(t)=E=10V, nel terzo caso vale 

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

= sen t arctg RC

R C E C t v_cp

ω ω π

ω

ω ¹

1 2 1 )

( 2

2

 (III.2.1.6) 

nel quarto caso 

   _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

= t arctg RC

R C E C t v_cp

ω ω π

ω

ω ¹

cos 2 1

1 )

( 2

2

   (III.2.1.7) 

 

In tutti i casi la costante vale 

) 0 ( ) 0

( − − +

= _{c cp}

v v v

k    (III.2.1.8) 

8 Essa  può  essere  ricavata  con  il  principio  di  identità  dei  polinomi  trigonometrici  o  più  rapidamente  col  metodo simbolico di cui nei paragrafi successivi. 

Per quanto riguarda l’intensità di corrente , si osservi ancora che, per t<0, essa  è sempre  nulla nei primi tre casi, nel quarto caso è sinusoidale  e vale 

 

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

< = sen t arctg RC R C

t E i_{c t}

ω ω ω

1 1

)

( 2

2 0

         (III.2.1.8) 

L’integrale particolare dell’intensità di corrente nel primo e nel secondo caso è nullo, nel  terzo caso vale 

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

= sen t arctg RC

R C t E i_cp

ω ω ω

1 1

)

( 2

2

      (III.2.1.9) 

nel quarto caso 

  ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

= t arctg RC

R C t E i_cp

ω ω ω

cos 1 1

)

( 2

2

     (III.2.1.10) 

 

In tutti i casi la costante vale 

) 0 ) (

0 ( ) 0 ) ( 0 ( ) 0

( + − − − +

= +

− +

= _{c cp} ^c _cp

i i

R v i e

i

k        (III.2.1.11) 

Nelle figg. III.2.1.2, III.2.1.3, III.2.1.4, fig.III.2.1.5 sono riportati i grafici relativi alla tensione  sul condensatore sul condensatore ed alla intensità di corrente rispettivamente nel caso 1),  nel caso 2), nel caso 3) e nel caso 4).. 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tempo [s]

tensione sul condensatore [V]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tempo [s]

corrente nel condensatore [A]

  fig.III.2.1.2 

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10^-5 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

tempo [s]

tensione sul condensatore [V]

 

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 10^-5 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo [s]

corrente nel condensatore [A]

  fig.III.2.1.3 

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

tempo [s]

tensione sul condensatore [V]

 

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -4

-2 0 2 4 6 8 10

tempo [s]

corrente nel condensatore [A]

  fig.III.2.1.4 

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

tempo [s]

tensione sul condensatore [V]

 

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

tempo [s]

corrente nel condensatore [A]

  fig.III.2.1.5 

Si consideri come ulteriore esempio il circuito RL parallelo  (fig.III.2.1.6): 

 

           

fig.III.2.1.6 – Circuito RL parallelo  Il sistema fondamentale è il seguente: 

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

= +

=

dt Ldi v

R i v

t j i

i i i

L L

L R g

L R g

) (

    (III.2.1.12) 

Le equazioni differenziali nelle incognite sono 

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= +

=

⎟⇒

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

+

=

dt Ldj dt dv R v L R v

j v dt L d v

dt i di R t L j

L L

L L

L

L

) L

(

      (III.2.1.13) 

L’equazione algebrica associata all’omogenea è  L R R

L = ⇒ =−

+λ 0 λ

1 (III.2.1.14) 

La soluzione è del tipo 

R L

t i e k t i

t v e k t v

Lp t i L

Lp t v L

/

) ( )

(

) ( )

(

=

+

=

+

=

−

−

τ

τ τ

    (III.2.1.15) 

Le costanti arbitrarie si deducono dalla continuità della intensità di corrente nell’induttore  e dal sistema fondamentale, “fotografato” allo 0+. 

 

( )

( )

0

[

(0 ) (0 )

]

) 0 ( )

0 (

) 0 ( 0

) 0 (

+

− +

= + +

= + +

= +

+

= + +

= +

L R

v Lp

v L

L Lp

i L

i j

R Ri

k v

k v

i i

k

i     (III.2.1.16) 

 

  III.2.2 Esempi di reti del secondo ordine   

In  una  rete  del  secondo  ordine  sono  presenti  almeno  due  elementi  a  memoria  indipendenti:  due  induttori  (non  riconducibili  ad  un  induttore  equivalente),  due  condensatori  (non  riconducibili  a  un  condensatore  equivalente),  un  induttore  ed  un  condensatore.  In  tal  caso,  l’equazione  algebrica  caratteristica  è  di  secondo  grado;  si  può  dimostrare (dalle proprietà dei polinomi) che le frequenze naturali sono reali e distinte nel  caso di due induttori o di due condensatori; nel caso di un induttore ed un condensatore, 

vL

R L

iL

j  

iR

i_g

le  frequenze  naturali  potrebbero  essere  distinte  ma  complesse  coniugate,  oppure  coincidenti.  In  quest’ultimo caso occorrerà considerare un appropriato integrale generale  per l’omogenea associata. 

Si consideri come  primo esempio il circuito RLC serie (fig.III.2): 

 

           

Fig. III.2.2.1– Circuito RC serie   

dove il tratteggio indica un eventuale bipolo attivo adinamico equivalente. 

   

Il sistema fondamentale è il seguente: 

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

= + +

=

dt Ldi v

dt Cdv i

Ri v

t e v

v v v v

L c R g

L C R g

) (

       (III.2.2.1) 

Le equazioni differenziali nelle incognite sono 

( )

dt e v LCd dt RCdv v v v e v

dt e LCd dt

v LCd dt RCdv v

dt RCde dt

v LCd dt RCdv v

dt Cde dt

i LCd dt RCdi dt i

dt Ldi Ri e d dt C

v v v Cd i

dt v Ldv Ri t e

C C

C L R C

L L

L

R R

R L R g

C L

= +

+

⇒

−

−

=

= +

+

= +

+

= +

+

⇒

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

− =

= −

+ +

=

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

) (

    (III.2.2.2) 

Come si può osservare, qualunque sia la grandezza incognita, per la linearità del sistema,  l’equazione algebrica associata all’omogenea è 

+ R

C i

e  

vR

v_g v_C

v_L L

( )

( )

(

0

)

2

1 0 2

1 2

2

1 0 2

1 2

0 2 1

2

2 2

= Δ

−

=

<

Δ

±

−

= Δ

±

−

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

−

=

>

Δ

−

= Δ

±

−

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

−

=

⇒

= +

+

±

±

±

L R

j L j

R LC

L R L

R

L R LC

L R L

LC R RC

λ

τ ω λ

λ τ λ

λ

 (III.2.2.3) 

 

L’ultimo caso nella (III.2.2.3) corrisponde alla condizione “critica” 

C R L

R= _c =2     (III.2.2.4)  La soluzione generica y(t) è del tipo 

( ) ( )

0 )

( )

(

0 )

( sin

) ( )

( )

(

0 )

( )

(

2 1

1 1

= Δ +

+

=

<

Δ +

+

= + +

= + +

=

>

Δ +

+

=

−

−

− −

− +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− + +

−

−

−

+ ^{+ −}

se t y te k e k t y

se t y t

ke t y e

k e k e t y e

k e

k t y

se t y e k e k t y

p t t

p t

p t j t j t p

t j t

j

p t t

τ τ

ω τ τ ω

τ ω τ ω

τ τ

δ

ω (⁹) 

(III.2.2.5)    Per  valori  di  R  non  inferiori  al  valore  “critico”  la  soluzione  è  aperiodica  (doppio  esponenziale, uno “veloce” seguito da uno più “lento”); al diminuire di R (fino al valore  critico)  la  “velocità”  del  primo  esponenziale  aumenta.  Per  valori  di  R  inferiori  al  valore  critico  la  soluzione  si  presenta  oscillatoria  smorzata  (funzione  pseudoperiodica  di  pulsazione  ω)  .  Per  R  tendente  a  zero  (circuito  non  dissipativo)  l’oscillazione  tende  ad  essere permanente, con (pseudo)pulsazione massima   

R LC

1

0 = 0 =

→ ω

ω     (III.2.2.6) 

 

Si calcolino vc(t) ed i (t) nei seguenti casi: 

 

1) generatore a gradino : e(t)=‐V⁰  per t<0 (V⁰=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 V), e(t)=E=10 V  per t>0; 

C=1 mF; L=20 mH; 

 

2) commutazione della tensione del generatore da costante a sinusoidale e(t)=‐V⁰  per t<0  (V⁰=‐10,‐9,…..,0,1,…,9,10 V),  e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t>0; C=1 mF; 

 

Il valore critico della resistenza vale 

Ω

≅

=

=

= 2 4 5 8.94

C R L

R _c  

9 Occorre  notare  che,  nel  caso  di  radici  complesse  coniugate,  anche  k⁺  e  k‐  devono  essere  complesse  coniugate, risultando così “reale” la gradezza y(t). 

Caso 1) 

In fig. III.2.2.2 sono riportati, per i diversi casi del valore della tensione sul condensatore a  t=0, i grafici della tensione sul condensatore e della intensità della corrente nell’induttore   nel caso R=10 Ω. In fig. III.2.2.3 sono riportate le corrispondenti caratteristiche tensione  corrente del condensatore (traiettorie)¹⁰ . 

In tal caso infatti la soluzione è aperiodica e vale 

) ( )

(

) ( )

(

t i e k e k t i

t v e k e k t v

p t

i t

i

cp t

v t

v c

+ +

=

+ +

=

− +

− +

−

−

− +

−

−

− +

τ τ

τ τ

   (III.2.2.7) 

 

L’integrale particolare della tensione sul condensatore è costante e pari a E (l’induttore si  comporta come un cortocircuito), quello dell’intensità di corrente è nullo (il condensatore  si comporta come un aperto). Le costanti di integrazione si ricavano dalle condizioni  iniziali 

( )

( ) [ ] [ ]

−

− +

+ +

−

− +

+ +

− +

− +

− +

−

= +

−

−

= +

− +

− + + =

=

− +

−

= + =

=

=

−

= +

= +

=

−

= + +

= +

τ τ

τ τ

i i

R c

g L

v v

c

i i

c v

v c

k Ri k

V L E v

v L v

L v dt di

k k

C i dt dv

i k k i

V v

E k k v

) 0 1 (

) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 ( 0

0 0

0 ) 0 ( )

0 (

) 0 ( )

0 (

0 0

0

0

(III.2.2.8) 

 

 

fig. III.2.2.2– Circuito RLC  alimentato con tensione a gradino ‐ Tensione sul condensatore ed intensità di  corrente, caso 1 (transitorio aperiodico) 

 

10 Si nota (per estrapolazione) che tutte le traiettorie tendono al punto (E,0). 

 

fig. III.2.2.3 – Circuito RLC – Caso aperiodico – Caratteristica tensione‐ corrente del condensatore (traiettorie)   

In fig.III.2.2.4 è riportato il grafico della tensione sul condensatore al variare di R dal 20% 

al  200%  del  valore  critico  (con  condizioni  iniziali  di  riposo).  In  tal  caso  si  mettono  in  evidenza anche le soluzioni pseudoperiodiche: 

( )

p c C t t

C

p c C t

C

p c C t t

C

R R se t v te k e k t v

R R se t v t

ke t v

R R se t v e k e k t v

= +

+

=

<

+ +

=

>

+ +

=

−

−

−

−

−

−

+ ^{+ −}

) ( )

(

) ( sin

) (

) ( )

(

2

1 τ τ

τ

τ τ

δ

ω   (III.2.2.9) 

Le costanti arbitrarie si determinano con le condizioni iniziali 

( ) ( ) ( ) ( )

c c

c c

c v

v c

c C

c C

c C

R R se k k

C i dt dv

E k R

R se C k

i dt dv

R R k se

k C

i dt dv

R R se E k v

R R se E k

v

R R se E k k v

= +

−

= + =

=

−

=

=

→

>

= + =

=

>

− +

−

= + =

=

= +

=

=

<

+

=

=

>

+ +

=

=

+ +

+

−

−

+ +

+

− +

2 1 0

0 0

1

0 0

2, )

( cos 0 0

0 0 0 ) 0 (

sin 0 ) 0 (

0 ) 0 (

τ

δ π δ

ω τ τ δ

   (III.2.2.10)  

Per l’intensità di corrente si avrà nel caso aperiodico, 

( ) [ ] [ ]

−

− + + +

− +

− +

−

= +

−

−

= +

− +

− + + =

=

=

−

= +

= +

τ τ^{i i}

R c

g L

i i

k Ri k

V L E v

v L v

L v dt di

i k k i

) 0 1 (

) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 ( 0

0 ) 0 ( )

0 (

0 0

  con facile estensione agli altri casi. 

 

fig.III.2.2.4 – Circuito RLC alimentato da tensione costante‐ Tensione e intensità di corrente nel condensatore  al variare del valore di R. Condizioni iniziali di riposo. 

   

Nella condizione pseudoperiodica, la tensione sul condensatore può essere superiore (fino  al doppio) della tensione del generatore. In questo caso è evidente che non è verificata la  proprietà di non‐amplificazione. 

 

Caso 2)   

In fig. III.2.2.5 sono riportati, per i diversi casi del valore della tensione sul condensatore a  t=0, i grafici della tensione sul condensatore e della intensità della corrente nell’induttore   nel caso R=10 Ω.  

In tal caso infatti la soluzione è aperiodica e vale 

) ( )

(

) ( )

(

t i e k e k t i

t v e k e k t v

p t

i t

i

cp t

v t

v c

+ +

=

+ +

=

− +

− +

−

−

− +

−

−

− +

τ τ

τ τ

    (III.2.2.11) 

Gli integrali particolari sono sinusoidali e valgono 

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= +

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

+ R

L C arctg sen L C

R C E dt

dv

R L C arctg sen

L C R E C v

R L C arctg t

sen L C

R E C t v

cp cp cp

ω ω

ω ω

ω ω π

ω ω ω

ω ω ω π

ω ω ω

1

1 /

1

1 2 1 )

0 (

1

1 2 1 )

(

2 0 2

2 2

2 2

     (III.2.2,12) 

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

→ =

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

= +

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

+ R

L C arctg sen

L C R

E dt

di

R L C arctg sen R C

i E

R L C arctg t sen L C

R t E i

p p p

ω ω π

ω ω ω

ω ω

ω

ω ω ω

ω ω

1

1 2

1

1 )

0 (

1

1 )

(

2 0 2

2 2

2 2

(III.2.2.13) 

 

 

fig.III.2.2.5 – Circuito RLC  con commutazione della tensione da costante a sinusoidale ‐ Tensione sul  condensatore ed intensità di corrente, caso 2 (transitorio aperiodico) 

   

Le costanti di integrazione si ricavano dalle condizioni iniziali   

( )

( ) [ ] [ ]

− +

− +

+ +

− +

− +

+ +

− +

− +

+

− +

−

= +

−

−

= +

− +

− + + =

=

+

− +

−

= + =

=

=

−

= + + +

= +

=

−

= + + +

= +

0 0

0 0 0

0

) 0 1 (

) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 ( 0 0 0

0 ) 0 ( ) 0 ( )

0 (

) 0 ( ) 0 ( )

0 (

dt k di Ri k

V L E v

v L v

L v dt di

dt k dv k

C i dt dv

i i

k k i

V v

v k k v

i p i R

c g

L

v cp v

c

p i i

c cp

v v c

τ τ τ

τ (III.2.2.14) 

 

Anche nel caso 2) si potrà constatare che la tensione sul condensatore può essere maggiore  della  tensione  prevista  a  regime,  sia  nel  caso  aperiodico  che  in  quello  pseudoperiodico; 

poiché in quest’ultimo caso è presente una componente oscillante,  è opportuno prevedere  (per  il  dimensionamento  dei  componenti  reali)  un  valore  massimo  della  tensione  pari  al  triplo (non più al doppio) della tensione prevista a regime.