6. ANALISI E RISULTATI DELLO STATO DI FATTO

(1)

6. ANALISI E RISULTATI DELLO STATO DI FATTO

6.1 Analisi modale

L'analisi modale è sempre eseguita in quanto l'esame dei risultati dell'Analisi Modale è un buon indice della correttezza di schematizzazione del modello. Si effettua quindi il controllo del comportamento dinamico della struttura visualizzando i modi di vibrare e i periodi propri per individuare eventuali anomalie.

I suoi risultati sono attivabili tramite l'apposito comando; è possibile leggerne i relativi risultati in termini di: periodo proprio di vibrazione; massa partecipante. Attivando il comando 'Deformata', è possibile visualizzare nella finestra di disegno la deformata strutturale per il modo esaminato.

Tramite gli opportuni pulsanti di scorrimento, è possibile passare in rassegna tutti i modi calcolati e considerati; i comandi 'X' e 'Y', invece, consentono la consultazione diretta dei modi principali rispettivamente in direzione X e Y. Nel gruppo, sono riportati i valori relativi al periodo “T” della deformata che si sta visualizzando e le percentuali di masse movimentate; i modi principali per le direzioni X e Y sono evidenziati in grassetto con lo stesso colore. Si riporta di seguito una tabella riassuntiva dei risultati ottenuti dall’analisi e le immagini del modello della struttura, con la relativa deformata, estrapolate dal programma PCM riguardanti i principali modi di vibrare nelle diverse direzioni, con i relativi periodi e masse partecipanti.

(2)

(3)

Fig. 6.1 – Visualizzazione grafica delle deformate derivate dall’analisi modale per i primi quattro modi di vibrare.

(4)

6.2 Analisi statica lineare non sismica

In analisi statica non sismica, per gli edifici in muratura viene sottoposto a verifiche di sicurezza il solo Stato Limite Ultimo di salvaguardia della Vita (SLV) in base a quanto espressamente indicato in §4.5.6.3: "Non è generalmente necessario eseguire verifiche nei

confronti di stati limite di esercizio di strutture in muratura, quando siano soddisfatte le verifiche nei confronti degli stati limite ultimi".

Le Combinazioni di Carico per Analisi Statica non sismica sono le combinazioni di tipo fondamentale, impiegate per gli stati limite ultimi (2.5.1) §2.5.3, espresse dalla formulazione:

G1 * G,1 + G2 * G,2 + P * P + Q1 * Qk,1 + Q2 * 0,2 Qk,2 + Q3 * 0,3 Qk,3 + ...

La definizione delle azioni rispetta quanto formulato in §2.5.1.3 e §2.5.2; in particolare Qk,1 è l'azione variabile dominante, mentre Qk,2, Qk,3, ..., sono azioni variabili che possono agire contemporaneamente a quella dominante. Le azioni variabili Qk,j vengono combinate con i coefficienti di combinazione  i cui valori sono forniti in §2.5.3, Tab.2.5.I.

E' possibile visualizzare graficamente le diverse verifiche eseguite; la scelta della verifica da visualizzare si esegue dalla finestra a tendina apposita:

La legenda per la colorazione dello stato di verifica è illustrata in figura seguente:

Per la verifica soddisfatta, la colorazione verde più intensa indica coefficienti di sicurezza più elevati, mentre il verde molto chiaro indica un coefficiente di sicurezza prossimo a 1.000.

(5)

Per la verifica non soddisfatta, la colorazione rossa più intensa indica coefficienti di sicurezza più bassi, fino a 0.000 (limite minimo). Un colore rosso molto chiaro indica un coefficiente di sicurezza prossimo a 1.000 (ma inferiore).

Verifica non soddisfatta per azioni nulle significa che l'elemento è scarico e quindi non è stato sottoposto ad alcuna sollecitazione.

Verifica non soddisfatta per azioni non consentite riguarda la casistica di sollecitazioni non consentite per l'elemento strutturale.

Infine, con l'ultimo comando presente nella scheda analisi si possono visualizzare i Coefficienti di Sicurezza per l'analisi selezionata, sia per le singole CCC, che per l'inviluppo delle CCC. Per tutte le verifiche è riportato il coefficiente di sicurezza minimo e la percentuale di pareti verificate.

Per prima cosa andiamo proprio a visualizzare la scheda riassuntiva dei Coefficienti di Sicurezza per l’analisi statica non sismica, per la combinazione d’inviluppo, per poter subito avere una prima idea sui risultati ottenuti:

Si nota quindi che le verifiche a taglio sono tranquillamente verificate, con un coefficiente di sicurezza molto soddisfacente; la verifica a pressoflessione complanare è verificata per la maggior parte dei maschi murari dell’edificio (85.7%), ma per quei maschi murari che non verificano, il coefficiente di sicurezza è pari a zero: tale verifica sarà quindi oggetto di approfondimento.

Analisi Statica Lineare NON Sismica 4.5.5

% elementi verificati

Coeff. Di Sicurezza Minimo

PressoFlessione Complanare §4.5.6 85.7% 0.000

Taglio per scorrimento §4.5.6 100.0% 1.634

Taglio per fessurazione diagonale §4.5.6 100.0% 1.372

PressoFlessione Ortogonale da modello 3D 79.1% 0.000

PressoFlessione Ortogonale §4.5.6.2 32.6% 0.000

SLU di Salvaguardia della Vita (SLV) Verifiche di Resistenza

(6)

Le verifiche di Pressoflessione Ortogonale, sia da modello 3D sia convenzionale, non sono oggetto di studio per questa analisi, bensì saranno verificate con l’analisi dinamica modale. L’analisi è stata effettuata utilizzando un fattore di struttura q pari a 3,119; tale valore è derivato dall’analisi statica non lineare effettuata e illustrata nei paragrafi successivi.

6.2.1 Verifica a pressoflessione nel piano

Secondo §4.5.6.2, in analisi statica la pressoflessione nel piano del muro e la flessione di travi di accoppiamento sono stati limite ultimi da verificare: in PCM vengono trattati nell'ambito della pressoflessione complanare.

Le verifiche vanno condotte con riferimento a normative di comprovata validità, con l'ipotesi di conservazione delle sezioni piane e trascurando la resistenza a trazione per flessione della muratura (§4.5.6).

Nel nostro caso studio si è scelto di non effettuare verifiche sulle strisce di piano a causa della loro scarsa conoscenza tipologica e del loro comportamento strutturale. Seguendo quindi l'impostazione proposta in §7.8.2.2.1, la verifica si articola nei seguenti punti.

Per i maschi murari, la verifica a pressoflessione di una sezione di un elemento strutturale si effettua confrontando il momento agente di calcolo con il momento ultimo resistente calcolato assumendo la muratura non reagente a trazione ed una opportuna distribuzione non lineare delle compressioni.

Nel caso di una sezione rettangolare tale momento ultimo può essere calcolato come: Mu = (l2 t o/2) (1 - o / 0.85*fd)

dove:

Mu = momento corrispondente al collasso per pressoflessione;

l = larghezza complessiva della parete (inclusiva della zona tesa); t = spessore della zona compressa della parete;

o = tensione normale media, riferita all’area totale della sezione ( = P / lt, con P forza assiale

agente positiva se di compressione).

Se P è di trazione oppure è minore di Pu, Mu = 0.

fd = fm / M è la resistenza a compressione di calcolo della muratura; M deve essere

moltiplicato per il Fattore di Confidenza FC = 1.20, corrispondente ad un livello di conoscenza

(7)

Per le verifiche statiche il coefficiente parziale di sicurezza M assume valore pari a 2.

Le verifiche statiche a pressoflessione nel piano, come le altre verifiche di resistenza statiche, sono condotte allo stato limite ultimo di salvaguardia della vita (SLV); non è infatti necessario eseguire verifiche statiche a stati limite di esercizio (§4.5.6.3). Le sollecitazioni di progetto derivano direttamente dall'analisi.

Tramite il Report è possibile visualizzare le caratteristiche dei maschi murari, riferite alle Combinazioni di Carico fondamentali; tali caratteristiche sono riportate sotto forma di tabella con la seguente simbologia:

 N. = numero progressivo dell’elemento murario;

 n/e = parete in muratura nuova (n) o esistente (e);

 Sez. = indica la sezione di verifica (per i maschi: B=base, S=sommità; le sezioni sono in ogni caso riferite alla luce deformabile nel piano complanare);

 P = forza assiale positiva se di compressione;

 p = o = tensione normale media riferita all’intera sezione;

 f,m = per i maschi: resistenza a compressione fm (media) per muratura esistente;

 ,m*FC = prodotto del coefficiente parziale di sicurezza dei materiali M per il fattore

di confidenza FC;

 fd = valore di calcolo della resistenza a compressione;

 Nu = sforzo normale ultimo per compressione semplice: Nu = 0.85 fd * l * t ;

 Mu = momento di collasso per pressoflessione;

 M = momento di calcolo. Il momento può essere posto convenzionalmente pari a 0 nel caso di parete tozza, qualora sia attiva la limitazione della verifica a pressoflessione alle sole pareti snelle. In tal caso, la verifica si riconduce alla sola compressione.

 C.Sic. = coefficiente di sicurezza dato dal rapporto Mu / M. La verifica è soddisfatta

quando il coefficiente di sicurezza è >= 1.

(8)

Fig. 6.2 – Visualizzazione grafica in vista assonometrica della verifica a pressoflessione complanare: edificio completo e maschi murari che non soddisfano la verifica.

(9)

Fig. 6.3 – Visualizzazione in pianta dei maschi murari che non soddisfano la verifica a pressoflessione complanare.

(10)

6.2.2 Verifica a taglio per scorrimento

Secondo §4.5.6.2, in analisi statica il taglio per azioni nel piano del muro è uno stato limite ultimo da verificare. Le verifiche vanno condotte con riferimento a normative di comprovata validità, con l'ipotesi di conservazione delle sezioni piane e trascurando la resistenza a trazione per flessione della muratura (§4.5.6).

La resistenza a taglio di ciascun elemento strutturale deve essere valutata per mezzo della relazione seguente:

Vt = l’ t fvd

dove:

l' = lunghezza della parte compressa della parete; t = spessore della parete;

fvd = fvk / M definito in §4.5.6.1: fvk = fvko + 0.4 n, calcolando la tensione normale media

sulla parte compressa della sezione: n = P / ( l’ * t).

Il valore di fvk non potrà comunque essere maggiore di 1.4 f’bk, dove f’bk indica la resistenza

caratteristica a compressione degli elementi nella direzione di applicazione della forza, né maggiore di 1.5 MPa (e pertanto: fvd <= 1.5 MPa / M).

La formulazione riportata in §7.8.2.2.2 fa diretto riferimento a muratura nuova.

Secondo vari Autori (cfr. G.Magenes, “Metodi semplificati per l’analisi sismica non lineare di edifici in muratura”, GNDT), nella valutazione della resistenza a taglio è opportuno distinguere fra rottura per fessurazione diagonale e rottura per scorrimento. La resistenza a taglio per fessurazione diagonale, alla quale corrisponde la formulazione accolta dalla Normativa al punto §C8.7.1.5, è infatti da considerarsi alternativa rispetto alla resistenza a taglio per scorrimento. Può essere quindi corretto considerare la possibilità di applicare la verifica a taglio per scorrimento anche alla muratura esistente (analogamente all'applicazione della verifica a taglio per fessurazione diagonale alla muratura nuova, come peraltro evidenziato in §C8.7.1.5).

Per la muratura esistente, il parametro descrittivo del comportamento a taglio del materiale è il valore medio o, definito in base alla tipologia della muratura e ad opportuni fattori

correttivi riguardanti le caratteristiche dell'organizzazione strutturale e degli eventuali interventi (§C8A.2, Tab.C8A.2.1). Pertanto, la formulazione del taglio resistente per scorrimento per la muratura esistente può essere ottenuta definendo un valore medio pari a:

(11)

fvm = o + 0.4 n. Al valore medio della resistenza a taglio sono inoltre applicati il coefficiente

parziale di sicurezza dei materiali M = 2 ed il fattore di confidenza FC = 1.20.

Le verifiche statiche a taglio per scorrimento, come le altre verifiche di resistenza statiche, sono condotte allo stato limite ultimo di salvaguardia della vita (SLV); non è infatti necessario eseguire verifiche statiche a stati limite di esercizio (§4.5.6.3). Le sollecitazioni di progetto derivano direttamente dall'analisi.

 M = momento di calcolo;

 Ecc = eccentricità (= M / P);

 Beta = coefficiente di parzializzazione della sezione = l'/l, essendo l' la zona compressa.

 C = risultante degli sforzi di compressione sulla zona reagente, calcolata in caso di comportamento meccanico della muratura secondo il modello parabolico-rettangolare;

 ,n = tensione normale media riferita alla parte compressa della sezione;

 o = resistenza a taglio per fessurazione diagonale in assenza di compressione;

 ,m*FC = prodotto del coefficiente parziale di sicurezza dei materiali per il fattore di

confidenza;

 fvd = valore di progetto della resistenza a taglio per scorrimento;

 Vt = taglio resistente;

 V = taglio di calcolo;

 C.Sic. = coefficiente di sicurezza dato dal rapporto Vt / V. La verifica è soddisfatta

(12)

Dalla scheda riassuntiva abbiamo già visto che la verifica è soddisfatta per tutti i maschi murari. Il software ci riassume in maniera immediata l’esito delle analisi tramite la visualizzazione grafica delle verifiche.

Fig. 6.4 – Visualizzazione grafica della verifica a taglio per scorrimento.

6.2.3 Verifica a taglio per fessurazione diagonale

La resistenza a taglio per fessurazione diagonale viene valutata per mezzo di una formulazione esprimibile nel modo seguente:

Vt = l t * fvd

dove:

fvd = (1.5 od / b) *  [1 + o / (1.5 od)] = (ftd / b) *  [1 + o / ftd]

essendo:

o = tensione normale media, riferita all’area totale della sezione ( = P / lt, con P forza assiale

agente positiva se di compressione);

(13)

od = valore di calcolo della resistenza a taglio di riferimento (=resistenza a taglio puro, cioè

in assenza di sforzo normale) per fessurazione diagonale;

b = coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli sforzi sulla sezione, dipendente dalla snellezza della parete; si può assumere b = (=h/l), essendo  la snellezza della parete, comunque non superiore a 1.5 e non inferiore a 1, dove h è l'altezza della parete.

Ai valori di calcolo della resistenza a taglio per fessurazione diagonale sono applicati inoltre gli stessi limiti massimi proposti in §7.8.2.2.2 per la resistenza a taglio per scorrimento.

Per le verifiche statiche viene utilizzato il coefficiente parziale di sicurezza M definito in

§4.5.6.1 (che assume valori compresi fra 2.0 e 3.0), il cui valore è specificato nei Parametri di Calcolo.

Le verifiche statiche a taglio per fessurazione diagonale, come le altre verifiche di resistenza statiche, sono condotte allo stato limite ultimo di salvaguardia della vita (SLV); non è infatti necessario eseguire verifiche statiche a stati limite di esercizio (§4.5.6.3).

 Coeff. = coefficiente correttivo b;

 p = o = tensione normale media riferita all’intera sezione;

 o = resistenza a taglio per fessurazione diagonale in assenza di compressione;

 ,m*FC = prodotto del coefficiente parziale di sicurezza dei materiali per il fattore di

confidenza;

 fvd = valore di progetto della resistenza a taglio per fessurazione diagonale;

 Vt = taglio resistente;

(14)

 C.Sic. = coefficiente di sicurezza dato dal rapporto Vt / V. La verifica è soddisfatta

quando il coefficiente di sicurezza è >= 1.

Fig. 6.5 – Visualizzazione grafica della verifica a taglio per fessurazione diagonale.

6.3 Analisi sismica lineare (Dinamica modale)

Dal punto di vista sismico, l’edificio può essere schematizzato con un modello tridimensionale (modellazione 3D) oppure scomposto in più modelli piani (modellazione 2D) ognuno analizzato singolarmente. La scomposizione in modelli piani è prevista nel caso di edifici esistenti in muratura con impalcati flessibili (§8.7.1).

Nella modellazione 3D, il sisma è rappresentato da forze sismiche di nodo in coordinate globali: FX, FY, FZ, MX, MY, MZ; normalmente sono diverse da zero solo le componenti: FX, FY (forze orizzontali), MZ (momento torcente intorno all’asse verticale. Gli effetti torcenti sull’edificio vengono interpretati dai momenti torcenti MZ, determinati dal prodotto forza orizzontale per l’eccentricità aggiuntiva. Essi sono presenti nel caso di piano rigido, dove assume significato il centro delle rigidezze e quindi può essere considerata una sua

(15)

eccentricità rispetto al baricentro, quindi non sono stati considerati nel nostro caso studio, poiché siamo in presenza di piano deformabile.

Secondo Normativa, per gli edifici devono essere analizzati alcuni stati limite di riferimento. Per le costruzioni in muratura, questi sono:

- Stati Limite di Esercizio (SLE): Stato Limite di Operatività (SLO) e Stato Limite di Danno (SLD)

- Stati Limite Ultimi (SLU): Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV) e Stato Limite di Collasso (SLC).

Per gli edifici esistenti è possibile, se non diversamente richiesto, fare riferimento a §8.3: "la

valutazione della sicurezza e la progettazione degli interventi sulle costruzioni esistenti potranno essere eseguiti con riferimento ai soli SLU". In tal caso, quindi, si analizzerà il solo

SLV (con verifiche di resistenza). Per interventi su edifici esistenti strategici o importanti (Classe III o IV) è possibile che venga comunque richiesto il rispetto di requisiti prestazionali relativi alle deformazioni, in modo analogo ai nuovi edifici: in tali casi si eseguiranno quindi anche verifiche a SLD e SLO.

Per ogni Stato Limite, la Normativa definisce lo Spettro di Risposta elastico. Per gli Stati Limite di esercizio lo spettro di progetto è lo spettro elastico corrispondente (§3.2.3.4), mentre per gli Stati Limite ultimi lo spettro di progetto si ottiene dallo spettro elastico dividendo le ordinate per il fattore di struttura q (§3.2.3.5).

L’analisi sismica è organizzata secondo la seguente procedura:

1. generazione e risoluzione di apposite C.C. elementari sismiche;

2. determinazione degli effetti sismici risultanti dalla simultaneità delle componenti orizzontali sismiche (per ‘effetti’ si intendono le caratteristiche di sollecitazione e di deformazione);

3. combinazione degli effetti sismici con gli effetti dovuti ad altre azioni non sismiche. (1) Le Condizioni di Carico elementari sismiche vengono determinate tenendo conto che il sisma orizzontale è considerato agente in due direzioni ortogonali (§3.2.3), indicate con  e

(16)

singoli modi, che vanno combinati tra loro. Pertanto nel caso del nostro edificio dove nessun piano è rigido, le C.C. elementari si riducono a 2 per ogni modo: , +(+90).

Ognuna di queste Condizioni di Carico elementari è costituita da carichi concentrati corrispondenti ai gradi di libertà dinamici, applicati nei nodi sedi di masse indipendenti e più precisamente: forze orizzontali nelle direzioni globali X e Y.

Considerando i risultati di tutti gli N modi di vibrare, gli effetti delle C.C. elementari - tra loro corrispondenti (cioè la (1) del 1° modo con la (1) del 2° modo, ecc.; la (2) del 1° modo con la (2) del 2° modo ecc. ecc. fino alla (4)) - vanno sovrapposti tra loro con la modalità di combinazione modi scelta (generalmente la CQC).

Ne derivano così gli effetti sismici complessivi competenti alle C.C. elementari. Questa procedura viene gestita automaticamente dal software di calcolo PCM, che:

I) partendo dai risultati dell’analisi modale crea le Condizioni di Carico elementari con le forze spettrali di origine modale;

II) risolve le Condizioni di Carico elementari stesse,

III) combina con il metodo scelto (CQC) gli effetti dei singoli modi di vibrare.

(2) Ottenuti gli effetti sismici complessivi corrispondenti alle Condizioni di Carico elementari sismiche, si devono ora determinare i massimi effetti:

- per sisma in direzione , i massimi effetti sono: per 4 Condizioni di Carico elementari sismiche, i valori massimi fra (1)(2); per 2 Condizioni di Carico direttamente i valori di (1); - per sisma in direzione ( +90), analogamente: i massimi fra (3)(4), o direttamente i valori di (3).

Nei modelli tridimensionali, le varie componenti orizzontali dell’azione sismica (+90 ed eventualmente verticale) devono essere considerate agenti simultaneamente (§7.3.5). Per le due componenti orizzontali ( e +90), i valori massimi vengono combinati (a seconda della scelta del progettista):

- o calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati: E =  (E2 + E(+90)2)

- o sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione, il 30% dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione (§7.3.5).:

(17)

(3) A questo punto, gli effetti sismici Esism si combinano con le altre azioni (§3.2.4) per ottenere gli effetti finali da utilizzare nella verifica degli elementi strutturali.

Gli effetti delle altre azioni sono riconducibili alla sommatoria delle Condizioni di Carico elementari (NON sismiche), ognuna delle quali contribuisce con i coefficienti 2.

La Combinazione di Carico per Analisi Sismica esaminata è quindi la seguente: G,1 + G,2 + P + E + (2,j * Qk,j)

I risultati complessivi sono sempre espressi nella forma Estat +/- Esism, per ottenere l'effetto massimo e l'effetto minimo.

All'effetto statico viene prima sommato, quindi sottratto l'effetto sismico: in dipendenza dal segno di questo, si formeranno corrispondentemente l'effetto complessivo massimo (con la somma) e minimo (con la sottrazione), o minimo con la somma e massimo con la sottrazione (minimo e massimo si intendono in valore assoluto).

Se il segno è perduto (analisi dinamiche modali), l'effetto complessivo massimo (sempre in valore assoluto) è dato dalla somma dell'effetto statico e dell'effetto sismico assunto con il segno dell'effetto statico; viceversa, per l'effetto complessivo minimo, si somma allo statico l'effetto sismico con il segno opposto dello statico; a causa della perdita di segno, la congruenza fra caratteristiche di sollecitazione diverse viene perduta.

Una volta effettuata l’analisi, andiamo per prima cosa a controllare i risultati ottenuti, controllando, tramite l’apposita scheda di sintesi, le percentuali di maschi murari verificati e i coefficienti di sicurezza minimi.

% elementi verificati

Coeff. Di Sicurezza Minimo

PressoFlessione Complanare §7.8.2.2.1 61.8% 0.000

Taglio per scorrimento §7.8.2.2.2 33.2% 0.000

Taglio per fessurazione diagonale §C.8.7.1.5 37.2% 0.256

PressoFlessione Ortogonale da modello 3D 63.8% 0.000

PressoFlessione Ortogonale §7.2.3 23.3% 0.039

Analisi Sismica Dinamica Modale §7.8.1.5.3 SLU di Salvaguardia della Vita (SLV)

Verifiche di Resistenza §7.3.6.1, §7.8.2.2

(18)

Per tale verifica si nota subito che le verifiche a pressoflessione ortogonale richieste, sia da modello 3D sia convenzionale, sono entrambe non verificate, con coefficienti di sicurezza nulli o quasi e, soprattutto nel caso della verifica convenzionale, la percentuale di maschi murari verificati è irrisoria e assolutamente insufficiente. Tale situazione andrà sicuramente indagata successivamente.

L’analisi è stata effettuata utilizzando un fattore di struttura q pari a 3,119; tale valore è derivato dall’analisi statica non lineare effettuata e illustrata nei paragrafi successivi.

6.3.1 Verifica a pressoflessione ortogonale

6.3.1.1 Azioni ortogonali da analisi di modello 3D

Il valore del momento di collasso per azioni perpendicolari al piano della parete viene calcolato assumendo un diagramma delle compressioni rettangolare, un valore della resistenza pari a 0.85 fd e trascurando la resistenza a trazione della muratura.

Per le verifiche sismiche viene utilizzato il coefficiente parziale di sicurezza M pari a 2.0,

definito in §7.8.1.1.

Le verifiche sismiche a pressoflessione ortogonale, come le altre verifiche di resistenza, sono condotte, per tutti gli edifici in muratura, allo stato limite ultimo di salvaguardia della vita

(SLV). Per alcuni tipi di edifici sono richieste verifiche sismiche di resistenza anche per stati limite di esercizio (in particolare: SLD): si tratta delle costruzioni di Classe III e IV qualora

si vogliano limitare i danneggiamenti strutturali (§7.3.7.1).

 x Sez. = ascissa della sezione di verifica. La sezione indicata corrisponde alla verifica più sfavorevole lungo la luce deformabile dell'asta;

 comb. = indica la combinazione di azioni derivanti dall’analisi sismica;

(19)

 Nu = sforzo normale ultimo = 0.85 fd l t;

 M = momento di calcolo;

 Mu = momento di collasso per pressoflessione = (N t / 2) * (1 - N / Nu);

(20)

Fig. 6.6 – Visualizzazione grafica in vista assonometrica della verifica a pressoflessione ortogonale con azioni ricavate dal modello 3D: edificio completo e solo maschi murari che non soddisfano la

(21)

Fig. 6.7 – Visualizzazione in pianta dei maschi murari che non soddisfano la verifica a pressoflessione ortogonale con azioni ricavate dal modello 3D.

(22)

6.3.1.2 Azioni ortogonali convenzionali secondo §7.2.3

§7.8.1.5.3 Analisi dinamica modale: Le verifiche fuori piano potranno essere effettuate separatamente, adottando le forze equivalenti indicate al punto §7.8.1.5.2 per l'analisi statica lineare. L’effetto dell’azione sismica potrà essere valutato considerando un sistema di forze proporzionali alle masse (concentrate o distribuite) dell'elemento, la cui forza risultante (Fa)

valutata al baricentro dell’elemento stesso, è calcolata secondo la relazione seguente: Fa = Sa Wa /qa

dove:

Wa = peso dell’elemento;

Sa = accelerazione massima, adimensionalizzata rispetto a quella di gravità, che l'elemento

subisce durante il sisma, e corrispondente allo stato limite in esame (SLD o SLV, §3.2.1); qa = fattore di struttura dell’elemento.

Sa può essere calcolato nel seguente modo:

Sa =  S * ( 3* (1 +Z/Hf) / ( (1 + (1- Ta / T1 )2 ) - 0.5) >=  S

dove:

 = rapporto tra l'accelerazione massima del terreno a,g su sottosuolo di tipo A da considerare nello stato limite in esame e l'accelerazione di gravità g;

S = coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche secondo quanto riportato nel §3.2.3.2.1;

Ta = periodo fondamentale di vibrazione dell’elemento nella direzione considerata;

T1 = periodo fondamentale di vibrazione della struttura nella direzione considerata;

Z = quota del baricentro dell’elemento misurata a partire dal piano di fondazione; Hf = altezza della struttura misurata a partire dal piano di fondazione.

Ponendo H=luce deformabile nel piano di flessione ortogonale al piano medio della parete, si ha che:

Z = quota della base della parete + zona rigida iniziale in direzione ortogonale + H/2;

Hf = quota della base della parete + zona rigida iniziale in direzione ortogonale + H (pertanto:

Hf = Z + H/2);

g = accelerazione di gravità.

In PCM la verifica a pressoflessione ortogonale viene eseguita nella sezione di mezzeria della luce deformabile nel piano ortogonale dei maschi murari, sotto le seguenti ipotesi:

(23)

- la parete è soggetta allo sforzo normale statico, senza incremento o diminuzione dovuti all'effetto sismico sul modello globale;

- non sono considerate forze ribaltanti in sommità derivanti dall'orizzontamento. Ciò equivale a ipotizzare che le forze sismiche siano efficacemente trasmesse a pareti di controvento (parallele alla direzione sismica). Per edifici esistenti in assenza di efficace connessione fra pareti, questa ipotesi trova giustificazione nel fatto che la verifica a meccanismo di collasso (ribaltamento di corpo rigido) può essere considerata maggiormente rappresentativa del comportamento fuori piano della parete mal connessa, rispetto alla verifica a pressoflessione ortogonale;

- i dati geometrici delle pareti riportano sia la snellezza complanare, sia la snellezza nel piano ortogonale (ho/t). Nel computo di ho, si assume per default:  = 1 (fattore laterale di vincolo). L'altezza libera di inflessione della parete fa riferimento alla luce deformabile nel piano ortogonale (depurata quindi delle eventuali zone rigide agli estremi per flessione nel piano ortogonale al piano della parete);

- la parete viene considerata appoggiata. a=0 equivale a considerare un comportamento a trave, con parete libera quindi da vincoli laterali.

- Comportamento a trave: il periodo proprio è dato da:

Ta = 2 / , con:  = 2 * (1/ H2) * t * (E / 12 / (peso sp.) / g)]

dove:

t = spessore della parete;

E = modulo di elasticità longitudinale;

(peso sp.) = peso specifico medio della muratura.

L'azione sismica produce un momento in mezzeria M = qH2/8, essendo q il carico sismico distribuito lungo l'altezza (q = Fa / H).

Per la verifica della sezione muraria, viene effettuato il confronto fra il momento agente di calcolo M e il momento ultimo resistente Mu, definito come momento di collasso per

pressoflessione ortogonale:

Mu = (N t / 2) * (1 - N / Nu)

dove Nu è lo sforzo normale ultimo dato da: Nu = 0.85 fd lt, essendo l e t le dimensioni della

sezione trasversale della parete, e fd resistenza di progetto (fd = fm / M FC è la resistenza di

(24)

Per le verifiche sismiche viene utilizzato il coefficiente parziale di sicurezza M = 2.0, definito

in §7.8.1.1.

Le verifiche sismiche a pressoflessione ortogonale, come le altre verifiche di resistenza, sono condotte, per tutti gli edifici in muratura, allo stato limite ultimo di salvaguardia della vita

(SLV); in SLV le sollecitazioni di progetto si ottengono combinando gli sforzi normali di tipo

statico con i momenti dovuti alle azioni convenzionali, determinati come sopra descritto. Tramite il Report è possibile visualizzare le caratteristiche dei maschi murari, riferite alle Combinazioni di Carico fondamentali; tali caratteristiche sono riportate sotto forma di tabella con la seguente simbologia:

 fd = valore di progetto della resistenza a compressione;

 Nu = sforzo normale ultimo = 0.85 fd l t;

 Mu = momento di collasso per pressoflessione = (N t / 2) * (1 - N / Nu);

 M = momento di calcolo ortogonale, definito dal comportamento a trave (a=0);

 Z = altezza del baricentro dell’elemento rispetto alla fondazione;

 Hf = altezza dell’elemento murario rispetto alla fondazione (pari a: Z + H/2);

 H = altezza dell’elemento murario;

 a = interasse di irrigidimento;

 Ta = primo periodo di vibrazione della parete, definito dal comportamento a trave;

 T1 = primo periodo di vibrazione della struttura nella direzione considerata, derivante dall’analisi modale o stimato secondo la relazione: T1 = C1 * H3/4 (§7.3.3.2, con C1 =

0.050);

 Sa = coefficiente sismico;

 W = peso dell’elemento;

 Fa/H = carico distribuito lungo l'altezza H della parete con risultante Fa applicata al baricentro della parete, ortogonalmente al piano della parete stessa;

(25)

Fig. 6.8 – Visualizzazione grafica assonometrica della verifica a pressoflessione ortogonale con azioni convenzionali secondo §7.2.3: edificio completo e maschi murari che non soddisfano la

(26)

Fig. 6.9 - Visualizzazione in pianta dei maschi murari che non soddisfano la verifica a pressoflessione ortogonale con azioni convenzionali §7.2.3.

(27)

6.4 Analisi statica non lineare (pushover)

Nel caso di analisi statica non lineare, la verifica di sicurezza consiste nel confronto tra la capacità di spostamento ultimo della costruzione e la domanda di spostamento ottenute applicando il procedimento illustrato al §7.3.4.1. La rigidezza elastica del sistema bilineare equivalente s’individua tracciando la secante alla curva di capacità nel punto corrispondente a un taglio alla base pari a 0.7 volte il valore massimo (taglio massimo alla base). Il tratto orizzontale della curva bilineare si individua tramite l'uguaglianza delle aree sottese dalle curve tracciate fino allo spostamento ultimo del sistema.”

In PCM, conformemente a §7.8.1.5.4, nello schema della muratura a telaio equivalente, i pannelli murari vengono caratterizzati da un comportamento bilineare elastico perfettamente plastico, con resistenza al limite elastico definita per mezzo della risposta flessionale o a taglio di cui ai punti §7.8.2.2 e §7.8.3.2. Il modello, ove non sia applicata l'ipotesi shear-type, tiene conto degli effetti connessi alla variazione delle forze verticali dovuta all'azione sismica e garantisce gli equilibri locali e globali. Qui di seguito si fornisce una descrizione dettagliata del procedimento di analisi statica non lineare.

Sinteticamente il metodo pushover è basato su un processo incrementale che simula la spinta orizzontale di forze statiche, equivalenti al sisma, su una struttura. Dopo ogni incremento del sistema di forze applicate, si verificano le condizioni dei componenti della struttura e si effettuano gli opportuni aggiornamenti del modello. L’analisi si arresta quando vengono raggiunte particolari condizioni limite.

Distribuzione di Forze:

L’analisi statica non lineare (analisi pushover) è caratterizzata da un sistema di forze statiche orizzontali applicate a livello dei solai, crescenti proporzionalmente: nel caso di distribuzione fissa, in modo tale da mantenere costante il rapporto fra le forze ai diversi piani; in caso di distribuzione adattiva, il rapporto fra le forze viene modificato in base all’aggiornamento dell’analisi modale.

L’analisi statica non lineare viene eseguita con le seguenti distribuzioni di forze:

Gruppo 1 (distribuzioni principali)

(28)

(A) ("triangolare") Forze proporzionali a quelle da utilizzarsi per l'analisi statica lineare.

Gruppo 2 (distribuzioni secondarie)

ADATTIVE: la distribuzione di forze viene aggiornata ad ogni evoluzione di rigidezza, previa riesecuzione dell'analisi modale:

(E) (uniforme) Forze proporzionali alle masse.

Per edifici in muratura esistenti, potranno essere utilizzate entrambe le distribuzioni, indipendentemente dalla massa partecipante del primo modo (§C8.7.1.4).

Risultati dell’elaborazione per l’analisi pushover:

Le curve di capacità della struttura reale analizzata (sistema a più gradi di libertà: M-GDL) vengono rappresentate in diagrammi che riportano in ascisse lo Spostamento del punto di controllo, ed in ordinate il Taglio globale alla base. Per ogni curva, attraverso le relazioni di equivalenza dinamica, riportate al punto §C7.3.4.1, viene definita la corrispondente curva del sistema ad 1 grado di libertà equivalente 1-GDL, e successivamente il diagramma bilineare, attraverso il quale è possibile definire la domanda sismica (=spostamento richiesto secondo lo spettro di risposta) del sistema 1-GDL, ricondotta infine alla domanda per il sistema M-GDL. Le verifiche di compatibilità degli spostamenti per il sistema reale M-GDL consistono nel confronto tra la domanda sismica e la capacità deformativa della struttura.

Per il calcolo della domanda sismica, l’espressione degli spettri di risposta elastico Se(T) e degli spettri di progetto per SLV e SLD è fornita in §3.2.3.

Lo spettro di risposta elastico in termini di spostamento è dato da: SDe(Ts) = Se(Ts) * (T / 2)^2 (§3.2.3.2.3).

Sulla curva pushover (diagramma forza-spostamento), lo Stato Limite di Danno SLD è identificato con il punto caratterizzato dallo spostamento minore tra quello corrispondente al raggiungimento della massima forza e quello per il quale lo spostamento relativo fra due punti sulla stessa verticale appartenenti a piani consecutivi eccede i valori riportati in §7.3.7.2 (per muratura ordinaria: 3 per mille dell'altezza di piano); lo Stato Limite Ultimo SLV coincide con il punto caratterizzato dallo spostamento corrispondente ad una riduzione della forza non superiore al 20% del massimo (§C7.8.1.5.4).

(29)

domanda. La verifica è soddisfatta quando il coefficiente di sicurezza è >= 1 (la struttura è in grado di sostenere lo spostamento richiesto dall’evento sismico).

I risultati di PCM riportano inoltre la capacità della struttura in termini di PGA: PGA,CLV e

PGA,DLV, valori di massima accelerazione al suolo consentita dall'edificio, definita dal

valore in corrispondenza del quale vengono raggiunti, rispettivamente, lo stato limite ultimo SLV e lo stato limite di danno SLD. Unitamente al valore PGA, sono forniti il corrispondente periodo di ritorno TR e la probabilità di superamento P,VR relativa al periodo di riferimento VR. Il calcolo della capacità della struttura viene effettuato tramite un ciclo iterativo condotto sul periodo di ritorno TR: si varia il valore di TR fra gli estremi 30 e 2475 anni (estremi previsti dalla Normativa), ricercando il periodo di ritorno cui corrisponde la massima accelerazione a,g tale da soddisfare la verifica di sicurezza.

L'analisi statica non lineare eseguita da PCM fornisce inoltre il valore del fattore di struttura

q (§7.8.1.3), attraverso il calcolo del rapporto u/1 dove:

1 = moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo costanti le altre azioni, il primo pannello murario raggiunge la sua resistenza ultima (a taglio o a pressoflessione);

u = 90% del moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo costanti le altre azioni, l'edificio raggiunge la massima forza resistente.

Il valore ottenuto del fattore di struttura è pari a q = 3.119; tale valore è inferiore a quello indicato dalla normativa, pari a 3.6, ed è stato utilizzato per tutte le verifiche lineari (statica non sismica e dinamica) precedentemente descritte.

Si riportano di seguito le curve di capacità elaborate dal software, per alcune delle distribuzioni e le direzioni analizzate; in particolare si riportano le curve di capacità per le direzioni X e Y per la distribuzione principale A e per la distribuzione secondaria E.

(30)

(31)

Fig. 6.10 – Curva di capacità in direzione X e Y per la distribuzione principale A e la distribuzione secondaria E.

(32)

Fig. 6.11 – Tabella riassuntiva dei valori ottenuti dall’analisi pushover per le curve di capacità elaborate.

La verifica dunque non è soddisfatta allo SLV, in quanto l’Indice di Sicurezza in termini di PGA risulta essere minore di 1; il valore minimo si ha in direzione Y e vale 0.765, mentre in direzione X e –X, si ottiene il valore massimo pari a 0.965, calcolato per la distribuzione principale.

Per tutte le curve calcolate si ottiene un valore di q* (rapporto tra taglio totale agente sulla base del sistema equivalente ad un grado di libertà calcolato dallo spettro di risposta elastico e taglio alla base resistente del sistema equivalente ad un grado di libertà ottenuto dall’analisi non lineare) minore di 3.0, quindi la verifica di sicurezza si ritiene non soddisfatta, come descritto al § 7.8.1.6.

6.5 Conclusioni sullo stato attuale del fabbricato

Dalle analisi effettuate si ottiene una fotografia dello stato attuale della scuola. Essa soffre le verifiche a causa della sua stessa forma architettonica che penalizza il comportamento dei maschi murari alle azioni ortogonali. Anche i fattori di sicurezza incidono notevolmente sull’esito dell’analisi: consultando i risultati numerici delle analisi, si è cercato di andare ad approfondire le cause del non soddisfacimento delle verifiche.

L’analisi modale ci fornisce la deformata della struttura e per i primi quattro modi, quelli più significativi, si nota che non è il movimento traslazionale quello che domina gli spostamenti. Infatti, mentre il primo modo e il quarto sono effettivamente traslazionali, rispettivamente lungo le direzioni Y e X, il secondo e il terzo modo sono di tipo torsionale; questo ci fornisce un’idea sul baricentro di massa e sul baricentro delle rigidezze, confermando che questi due punti non coincidono, e ci indica che nelle parti esterne la struttura è effettivamente più rigida.

(33)

Passando all’analisi statica lineare non sismica, i maschi murari soddisfano tutti la verifica a taglio; come già spiegato precedentemente non si sono svolte tali verifiche per gli elementi schematizzati come fasce di piano poiché in mancanza di conoscenze adeguate, per esempio la presenza o meno di architravi. La verifica a pressoflessione non soddisfa invece la totalità dei maschi ma la maggior parte di essi, ben l’86% circa. Andando ad analizzare i risultati dell’analisi si nota che la crisi dei maschi avviene a causa dello sforzo di compressione sollecitante che supera quello resistente, facendo quindi annullare automaticamente il momento resistente del pannello (questa situazione giustifica il valore del coefficiente di sicurezza pari a 0.000). In realtà la tensione di compressione massima che sollecita i maschi murari è pari a 1.45 N/mm2, un valore ritenuto non preoccupante, che però è minore della resistenza di progetto, pari a 1.05 N/mm2. La resistenza è cosi bassa a causa dei coefficienti di sicurezza e del fattore di confidenza: infatti, nel modellare la struttura, si è definito una muratura che risulta tuttavia di buona qualità, considerando i materiali a disposizione all’epoca e la tecnica costruttiva (pietrame disordinato di varie dimensioni, con listature irregolari ma con l’utilizzo di malta di ottima qualità) e la sua resistenza media a compressione era stata calcolata in circa 2.50 N/mm2. Il problema dunque non sembrerebbe essere tanto nella muratura ma nella corrispondenza numerica dettata dalla normativa, per descrivere e verificare un comportamento strutturale. I maschi murari che per la maggior parte non soddisfano la verifica a pressoflessione, a causa dell’eccessivo sforzo normale, sono concentrati nella parte centrale della struttura, ovvero quei maschi su cui poggia la volta a botte; tale risultato non è una sorpresa poiché la volta, a seguito della nostra analisi dei carichi (sicuramente non perfettamente corrispondente alla situazione reale ma che le dà un ordine di grandezza) risulta essere molto pesante in termini di peso proprio strutturale G1, causando

dunque un maggior sforzo di compressione sui maschi sottostanti rispetto alle altre zone dell’edificio. Altri maschi murari che risentono dell’eccessivo sforzo di compressione sono quelli soggetti a dei carichi “doppi” dei solai: ovvero quell’area della struttura in cui è presente un piano ricavato successivamente e che è stato modellato come unico solaio caricato con pesi strutturali, non strutturali e variabili doppi, in base alla tipologia e alla destinazione d’uso.

Per quanto riguarda l’analisi sismica e la relativa verifica a pressoflessione ortogonale, la struttura presenta notevoli carenze. Questo è senza dubbio causato dalla stessa architettura dell’edificio che presenta muri alti e snelli, caratteristica che penalizza fortemente la risposta

(34)

dei maschi murari ad azioni fuori piano. Tale scelta architettonica è giustificabile per l’epoca in cui è stata costruita la scuola: a fine 1800 non era ancora consolidato il concetto di progettazione antisismica, a maggior ragione in una zona a bassa sismicità come Livorno. Ecco che quindi la progettazione e le caratteristiche architettoniche erano concentrate su altri fattori, soprattutto igienico-sanitari, di areazione e d’illuminazione degli spazi, caratteristiche per le quali la scuola riscosse un grande successo all’epoca della costruzione. Tali esigenze funzionali, dunque, non trovano però altrettanto successo nell’analisi sismica, penalizzando fortemente la maggior parte dei maschi murari, soprattutto se si effettua la verifica a pressoflessione convenzionale dettata dalla norma al paragrafo § 7.2.3. In tale verifica ricopre un ruolo di primaria importanza la luce libera deformabile, che risulta nel nostro caso, eccessiva in rapporto allo spessore del muro: ecco dunque che il momento sollecitante calcolato in mezzeria risulta superiore al momento resistente del’asta, calcolati entrambi schematizzando il maschio murario come una trave semplicemente appoggiata.

Per quanto riguarda l’analisi statica non lineare, essa ha prodotto 8 curve, 4 per ogni tipologia di distribuzione, e nelle direzioni X,-X, Y e –Y. La verifica soddisfa le richieste della normativa per gli Stati Limite Ultimi, mentre soddisfa pienamente per gli Stati Limite di Danno, di cui però spesso non si richiede la verifica per gli edifici in muratura. L’indice di sicurezza in termini di PGA risulta sempre inferiore a 1, ma con valori non molto distanti dall’unità: infatti il minimo valore risulta essere pari a 0.765 mentre per i valori massimi abbiamo valori pari a 0.965, quindi molto prossimi al livello richiesto per un adeguamento sismico. Questi risultati ci fanno ben sperare in prospettiva di un miglioramento dell’edificio che, nonostante l’età, sembra rispondere abbastanza bene a livello globale. Dall’analisi statica lineare si capisce anche la “sequenza” di collasso dell’edificio: queste informazioni sono dunque molto utili per capire dove la struttura è più debole e ci fornisce importanti indicazioni per poter progettare localmente interventi di rinforzo. I maschi murari che per primi plasticizzano, e arrivano per primi a collasso, sono quelli interni del piano terra che sorreggono la volta a botte; gli altri maschi murari che soffrono maggiormente sono quelli che presentano una conformazione molto snella, siano essi perimetrali oppure interni. Il limite ultimo dell’intera struttura arriva quando quasi la totalità dei muri del piano terra arriva al collasso. In conclusione, se dovessimo intervenire sui singoli maschi murari, dovremmo intervenire prima su quelli interni maggiormente caricati, successivamente su quelli che per loro natura progettuale presentano una lunghezza molto corta, e infine su tutti i maschi murari

(35)

perimetrali (che presentano distanza ravvicinate tra due aperture), soprattutto quelli del piano terra.

Nel complesso comunque l’edificio risulta essere abbastanza soddisfacente, se si tiene conto dei risultati dell’analisi statica non lineare, considerando l’età della struttura e un’apparente quadro fessurativo pressoché inesistente. Inoltre si sottolinea come, successivamente alla costruzione, non siano state rispettate le regole dell’arte nel costruire per edifici in muratura per quanto riguarda la regolarità in altezza: infatti, nel corso degli anni sono state create aperture senza tener conto dell’allineamento con le aperture sottostanti, causando anche una modellazione a telaio equivalente che ha risentito in maniera negativa della irregolarità della struttura, composta da un numero elevato di aste e collegamenti. Inoltre, a giudizio di chi scrive, c’è da annotare come la scuola abbia bisogno di manutenzione in molte parti dell’edificio e di come non risponda più in maniera efficace alle nuove esigenze che un edificio scolastico, e strategico, richiede, sia in termini di funzionalità, con spazi ricavati, a volte anche in maniera non ottimale, e sia in termini di costo energetico o uso di energie rinnovabili.