G(s)Y (s)] l’errore di feedback

Cenni introduttivi sulle proprieta’ elementari del Feedback

La tecnica del feedback e’ applicata molto estesamente nei circuiti analogici, ad es.

il feedback negativo permette eleborazioni i segnali con alta precisione e il feedback positivo rende possibile la costruzione dei oscillatori. Di seguito si analizzano le caratteristiche principali del feedback negativo.

Un sistema con feedback negativo e’ rappresentato dallo schema seguente:

X(s) − +

H(x)

G(s)

Y(s)

H(s) e G(s) rappresentano reti feedforward e feedback.

L’output del sistema Y (s) sara’ dato da Y (s) = H(s)[X(s) − G(s)Y (s)] dove si indica con [X(s) − G(s)Y (s)] l’errore di feedback.

Y (s)

X(s) = H(s)

1 + G(s)H(s) (1)

H(s) e’ la funzione di transfert ”open loop” e Y (s)/X(s) indica la funzione di transfert ”closed loop”.

Nel modello H(s) rappresenta un amplificatore e G(s) e’ una una quantita’

indipendente dalla frequenza: una frazione del segnale di output e’ riportato in input e confrontato generando un termine d’errore. In un sistema con un

feedback accurato il termine d’errore e’ minimizzato, rendendo la G(y) una ”copia”

fedele dell’input e quindi l’output una replica fedele dell’input.

−

H(x)

G(s) X(s) Y(s)

+

Si dice che l’input di H(s) e’ un ground virtuale , perche’

l’ampiezza del segnale in questo punto e’ molto piccola. La G(s), poiche’

indipendente dalla frequenza, sara’ sostituita con β, ” fattore di feedback”.

Si individuano 4 elementi in un sistema con feedback:

-1) l’amplificatore feedforward

-2) un elemento per ”sentire” l’output -3) una rete di feedback

-4) un elemento per generare l’errore di feedback

Elementi presenti in ogni sistema con feedback, anche se non sempre individuabili facilmente, come ad es. in uno stadio common-source con degenerazione resistiva.

Proprieta’ dei circuiti con feedback Tre sono i benefici principali del feedback negativo: desensibilizzazione del guadagno, modifica dell’impedenza ai terminali e modifica della bandwidth.

Desensibilizzazione

Nello stadio CS della fig. (a) il guadagno e’ g_m1r₀₁, che non e’ proprio fisso perche’ soggetto alle variazioni con la temperatura di g_m1 e r_o1.

I1

Vin

M1 Vout Vdd

I1 Vout Vdd

Vin C1

C2

X M1

Inserendo una rete di feedback come in figura (b) il

guadagno totale in tensione, a basse frequenze di modo che C₂ non carichi il nodo di output, i.e. V_out/V_X = −g_m1r_o1, dato (V_out − V_X)C₂s = (V_X − V_in)C₁s, si ha

Vout

Vin = − ¹

(1+_gm1ro1¹ )^C2_C1 +_gm1ro1¹ Se g_m1r_o1 ≫ 1, trascurando i termini a denominatore, si puo’ scrivere ^V_V^out

in = −^C_C¹

2

Il guadagno in questo caso e’ controllato meglio, perche’ C₁ e C₂ sono meno soggetti a variazioni con il tempo e la temperatura: desensibilizzazione.

Il feedback negativo desensibilizza il guadagno, i.e. il guadagno closed-loop e’

molto meno sensibile ai parametri circuitali del guadagno open-loop.

β +

−

X A Y

Si puo’ quantificare questa proprieta’ scrivendo, vedi figura:

Y

X = _1+βA^A ≈ _β¹ · (1 − _βA¹ ) assumendo βA ≫ 1. Al primo ordine il guadagno di closed-loop e’ determinato da β, e dato che βA ≫ 1 anche se il guadagno open loop varia di un fattore 2 non modifica il rapporto Y /X.

La quantita’ βA si chiama guadagno di loop e’ importante perche’ quanto maggiore tanto minore sara’ la variazione di Y /X al variare di A.

N.B. Se β aumenta il guadagno closed loop diminuisce, quindi e’ necessario un aggiustamento tra precisione e guadagno: si comincia con un guadagno alto e si applica un feedback per ottenere un guadagno minore ma meno sensibile.

Inoltre l’output della rete di feedback e’ uguate a X · A/(1 + βA), avvicinandosi ad Y man mano che βA →≫ 1. come suggerito precedentemente.

Per calcolare il guadagno di loop si procede nel seguente modo, vedi figura: si mette l’input a zero, si interrompe il loop in qualche punto, si inietta un segnale di test nella direzione giusta, si segue il segnale lungo il loop e si ottiene il valore di ritorno al punto di interruzione, il negativo della funzione di trasferimento cosi’

ottenuto costituisce il guadagno di loop. N.B. adimensionale!!! Infatti da figura si

ricava che V_tβ(−1)A = V_f e quindi V_f/V_t = −βA.

X(s)=0 +

− A

β

V1 Vf +

−

+

−

C2

I1

M1 Vout Vdd

+

− Vt

+

− Vf

C1

procedendo in questo modo con lo stadio CS con feedback, vedi figura, si scrive

V_tC ^C2

1+C2(−g_m1r_o1) = V_f, che vale ^V_V^f

t = −_C ^C2

1+C2g_m1r_o1.

Quali sono i 4 elementi di feedback nel circuito CS analizzato?

-1 Il transistor M₁ ed il current source I₁ costituiscono l’amplificatore feedforward.

-2 La capacita’ C₂ ”sente” la tensione di output e

-3 la converte in un segnale di corente di feedback, che e’

-4 sommata alla corrente prodotta da V_in attraverso C₁.

N.B. Il feedback e’ negativo anche se le correnti attraverso C₁ e C₂ sono sommate, perche’ e’ l’amplificatore feedforward stesso fornisce un guadagno negativo.

La desensibilizzazione del guadagno per via del feedback mette in evidenza molte altre proprieta’ del feedback. Si e’ visto come anche una grande variazione del

guadagno A tocchi Y /X molto marginalmente se βA ≫ 1. Queste variazioni possono derivare da diverse sorgenti: processo di fabbricazione, temperatura, frequenza e carico.

Modifica delle impedenze dei terminali di input ed output

Nel circuito, si nota che il ”sense” di V_out di uno stadio CG e’ un divisore capacitivo, che applica il risultato al gate del current source M₂ e quindi

ritornando un segnale di corrente di feedback all’input. Si vuole determinare le impedenze di input ed output con e senza feedback.

RDD VDD

Vout M1

M2 Vin

Rin C2

C1 Vb

P

Rompendo il loop, e trascurando le modulazioni di lunghezza di canale, si puo’ scrivere: R_in,open = _g ¹

m1+gmb1. Per calcolare la resistenza di input, a loop chiuso , si inietta un segnale V_X, allora V_out = (g_m1 + g_mb1)V_XR_D e

V_P = V_outC ^C1

1+C2.

Cosi’ la corrente I_{D,M 2} per piccoli segnali e’ I_{D,M 2} = g_m2V_P. Aggiungendo I_{D,M 2} alla I_{D,M 1} con la polarita’ giusta si ottiene I_X:

I_X = (g_m1 + g_mb1)V_X + g_m2V_P = (g_m1 + g_mb1)(1 + g_m2R_{D C} ^C1

1+C2) · V_X

Ricavando la R_in,closed si ha:

R_in,closed = V_X

I_X = 1

g_m1g_mb1 · 1

1 + g_m2R_{D C} ^C1

1+C2

. (2)

Si conclude che il feedback negativo riduce l’impedenza di input di un fattore 1 + g_m2R_DC₁/(C₁ + C₂, e si vede che il termine

g_m2R_DC₁/(C₁ + C₂) e’ il guadagno di loop.

Nel circuito i 4 elementi, caratteristici del feedback negativo, si individuano in:

(1) l’amplificatore forward e’ costituito da M₁ e R_D, (2) l’output e’ ”sentito” da C₁ e C₂,

(3) la rete di feedback e’ costituita da C₁, C₂ e M₂ e

(4) la sottrazione avviene nel dominio di corrente al terminale di input.

Per valutare la modifica dell’impedenza di output ad opera del feedback si consideri il seguente circuito con stadio Common-Source. Nel circuito, C₁,C₂ e M₂

”sentono” la tensione di output e ritornano una corrente uguale a [C₁/(C₁ + C₂)]V_outg_m2 alla sorgente di M₁.

Vout VDD

RD

M1

M2 P

C2 C1

RS Vin

Si calcola la resistemza di output, a basse f , mettendo a zero l’input.

Cosi’ si ha: I_D1 = V_{X C} ^C1

1+C2g_m2 · _R ^Rs

s+ ¹

gm1+gmb1

.

Poiche’ I_X = V_X/R_D + I_D1, si ha : V_X

I_X = R_D

1 + ^gm2_(g^{Rs(gm1+gmb)RD}

m1+gmb1)Rs+1 · _C ^C1

1+C2

(3)

Poiche’ a denominatore c’e un termine che lo aumenta, (uno piu’ loop di guadagno), ne deriva che l’impedenza di output e’ diminuita.

Modifica della bandwidth

Per valutare l’effetto del feedback negativo sulla bandwidth si puo’ utilizzare il

seguente esempio. Si suppone che l’amplificatore feedforward, ”loop aperto”, abbia una funzione di trasferimento ad un polo,

A(s) = A₀ 1 + _ω^s

0

. (4)

dove A₀ indica il guadagno a basse frequenze ed ω₀ e’ la bandwidth a 3-dB. Da quanto visto in precedenza, si puo’ calcolare la funzione di transfer closed-loop del sistema come:

Y

X (s) =

A0

1+s/ω0

1 + β_1+s/ω^A0

0

= A₀

1 + βA₀ + s/ω₀ =

A0

1+βA0

1 + _(1+βA^s

0)ω0

(5) La (5) mostra chiaramente che il numeratore e’ il guadagno closed-loop a basse

frequenze, come previsto, mentre il denominatore mostra un polo a (1 + βA₀)ω₀. Cosi’ a scapito della riduzione del guadagno a loop aperto A₀, la bandwidth a 3-dB risulta aumentata di un fattore (1 + βA₀).

Si vede chiaramente dalla figura l’effetto sulla bandwidth dall’introduzione del

feedback negativo.

β +

−

X(s) Y(s)

ω

|Y/X|

Ao Ao 1+βΑ =1/β

ωο (1+βΑο)ωο

L’aumento della bandwidth ha origine fondamentalmente dalla desensibilizzazione del guadagno, dovuta al feedback. Infatti, se A e’ abbastanza grande, il guadagno closed-loop e’ circa 1/β, anche se A subisce variazioni.

Dalla figura si vede che A varia con la frequenza, piuttosto che per cause di

fabbricazione o temperatura, ma il feedback negativo sopprime queste variazioni, allargando la bandwidth.

Ad alte frequenze, comunque, se A scende a valori molto bassi, allora βA diventa confrontabile con l’unita’ e quindi il guadagno closed-loop cade sotto 1/β.

La modifica della bandwidth produce anche effetti sulla velocita’ della funzione di

trasferimento. ^(b)

Av=10

t t

(a) τ

Vin Vout

f 3−dB=10MHz Av=100

Vin

Vout

Vin Vout

Vin

Vout

=16ns τ=1.6νσ

f3−dB=100MHz Av=10

f3−dB=100MHz

Si debba amplificare un’onda quadra di 20MHz di un fattore 100 con un massimo di bandwidth, ma si abbia solo un amplificatore con un open-loop gain di 100 e una bandwidth 3-db di 10MHz.

Applicando l’onda all’input dell’amp open loop, la risposta appare come in (a), causa la lunga costante di tempo, 1/(2πf_3−dB) ≈ 16ns.

Con il feedback si porti il guadagno a 10 e la bandwidth a 100MHz. Con due amp di questo tipo in cascata (b), si ottiene una risposta piu’ veloce ed un guadagno totale di 100. Naturalmente il consumo raddoppia, ma altrimenti non si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato con un solo amp open loop.

Il feedback non migliora il rendimento in termini di noise dei circuiti. Si consideri il circuito di fig. (a) dove un amplificatore di guadagno open loop A₁ ha una tensione di noise riferita all’input V_n ed una rete di feedback β.

Vn

(b)

Vn +

−

A 1 A 1

β β

− +

+

−

− +

Vin Vout

Vin

Vout

(a)

In output si avra’ (V_in − βV_out + V_n) = V_out che significa:

V_out = (V_in − V_n) A₁

1 + βA₁ (6)

che e’ la rappresentazione del circuito come in fig. (b) che mette in evidenza come il noise V_n riferito all’input e’ ancora il noise totale del circuito.

Questa analisi si estende a tutte le topologie di feedback e mostra come la tensione e la corrente di noise riferita all’input rimangono le stesse se la rete di feedback NON introduce noise.

In pratica, la rete di feedback stessa puo’ contenere resistori o transistori che degradano il rendimento del noise.

negli schemi generali l’output V_out e’ lo stesso che e’ sentito dal feedback, ma non sempre e’ cosi’.

In figura l’output e’ preso al drain di M₁ mentre la rete di feedback sente la tensione

alla sorgente di M₁.

−

M1 Vout RD

VDD

RS A 1

+ Vin

Nella figura il V_n,in e I_n,in del circuito closed loop puo’ non essere uguale a quello del circuito open-loop anche se la rete

di feedback e’ noiseless.

Del circuito in figura si consideri solo il noise di R_D e V_n,RD. Il guadagno in tensione del closed-loop vale : −A₁g_mR_D/(1 + (1 + A₁)g_mR_s

La tensione di noise riferita all’input dovuta a R_D vale

|Vn,in,closed| = |V_n,RD| A₁R_D [ 1

g_m + (1 + A₁)R_s] (7) Per il circuito open-loop il noise riferito all’input vale:

|V_n,in,open| = |V_n,RD| A₁R_D [ 1

g_m + R_s] (8)

In questo caso la rete di feedback opera anche sul noise e lo modifica, per cui anche il SNR risulta alterato.

Interessante il caso con A₁ → ∞, |Vn,in,closed| → |V_n,RD|R_s/R_D per cui si ha

|V_n,in,open| → 0.

Ma questo vale anche per il segnale in ingresso!