1.5 Potenza di un Insieme. Insiemi Numerabili e Insiemi Non Numerabili.

(1)

Analisi Reale

Numeri Reali

L'Insieme dei Numeri Reali

■ 1.5 Potenza di un Insieme. Insiemi Numerabili e Insiemi Non Numerabili.

Due insiemi E e K sono equivalenti o hanno la medesima potenza o il medesimo numero cardinale quando è possibile stabilire tra i loro elementi, in base ai lavori di Georg Cantor, una corrispondenza biunivoca. Nel caso di insiemi finiti ci si riduce alla nozione di numero naturale cardinale: tramite le proprietà della corrispondenza biunivoca si riesce a individuare una classificazione degli insiemi, assumendo come “insiemi campioni” degli assegnati insiemi K, di particolare rilievo.

(a) K sia l’insieme formato dai primi n numeri naturali:

K

⩵ {

^{1, 2,}

…

^{, n}

}

e sia E equivalente a K. Allora E è finito e consiste di n elementi distinti; disponendoli nell’ordinamento, una successione finita,

{

^x1, x₂,

…

^{, x}n

}

essendo x₁ il corrispondente di 1, x₂ il corrispondente di 2,

…

^{, x}n il corrispondente di n.

(b) K sia l’insieme formato dalla totalità dei numeri naturali:

K

⩵ {

1, 2,

…

, n,

…}

e sia E equivalente a K. Allora E è infinito e detto, per la corrispondenza con l’insieme di tutti i naturali

ℕ

^,

numerabile; disponendoli nell’ordinamento, una successione infinita o brevemente successione,

(5.1)

{

^x1, x₂,

…

^{, x}k,

…}

essendo x_k il corrispondente del numero naturale k.

Sono numerabili l’insieme dei numeri naturali pari,



, quello dei numeri naturali dispari,



, nonché quello dei numeri interi relativi,

ℤ

; essi possono disporsi rispettivamente secondo gli ordinamenti:

{

^{2, 4, 6,}

…}

^,

{

^{1, 3, 5,}

…}

^,

{

0,

+

1,

-

1,

+

2,

-

2,

…}

.

(2)

L’insieme dei numeri razionali, ℚ, è numerabile.

Infatti, organizzando secondo la tabella in figura, (Figura 1.5), tutti i numeri razionali, diagonalizzazione di Cantor, abbiamo una successione di successioni:

0, +1, -1, +2, -2, +3, -4, …

0 2 , + 1

2 , - 1

2 , + 2

2 , - 2

2 , + 3

2 , - 4

2 , …

0 3 , + 1

3 , - 1

3 , + 2

3 , - 2

3 , + 3

3 , - 4

3 , …

… … … … … … … …

Figura 1.5

Il quadro contiene, con ripetizioni, tutti e soli i numeri razionali, ^m_n si trova nella n-esima successione; i suoi elementi distinti possono essere disposti, seguendo il modo indicato dalle frecce, nell’unica successione:

(5.1)



0,

+

1,

-

1,

+

¹₂^,

+

2,

-

¹₂^,

+

¹₃^,

-

^2,

-

¹₃^,

+

¹₄^,

…

formata dalla totalità dei numeri razionali. Con una disposizione analoga si dimostra: gli elementi che appartengono a una successione di successioni formano una successione.

Due insiemi E e G, infiniti, possono essere equivalenti pur

(3)

essendoE

⊂

G.

(c) L’insieme dei numeri reali,



, non è numerabile.

Sia

λ ⩵ {

A, B

}

un numero reale, individuato dalla partizione

{

A, B

}

dell’insieme dei numeri naturali,

ℕ

. Se

λ >

0 è irrazionale, cioè se le classi A e B non hanno né massimo né minimo, le cifre decimali che rappresentano

λ

sono univocamente determinate. Se

λ

è razionale,

λ

è il massimo di A oppure il minimo di B; nel primo caso può risultare, per un certo r,

(5.2)

λ ⩵ {

^p0; p₁, p₂,

…

, pr

}

^pr

>

0 e allora le successive cifre decimali sono tutte nulle:

(5.3)

λ ⩵ {

^p0; p₁, p₂,

…

, pr, 0, 0, 0,

…}

. Nel secondo caso si ottiene la rappresentazione (5.4)

λ ⩵ {

^p0; p₁, p₂,

…

,

(

^pr

-

1

)

, 9, 9, 9,

…}

dove tutte le cifre decimali successive alla r-sima valgono 9.

λ

espresso dalla (5.2) è un numero razionale avente per denominatore una potenza di 10, caso cui ci si riduce se il denominatore ha solo 2 e 5 come fattori primi.

Questa è la sola circostanza in un cui un numero reale può possedere due distinte rappresentazioni decimali: la (5.3) e la (5.4).

Per togliere tale ambiguità basta fissare per tutti i numeri del tipo (5.2) una delle rappresentazioni (5.3) o (5.4): sembra più spontaneo fissare la (5.3).

Perciò se

λ ⩵ {

^p₀; p₁, p₂,

…

, p_n,

…}

,

μ ⩵ {

^q₀; q₁, q₂,

…

, q_n,

…}

sono due numeri reali qualsiasi, condizione necessaria e sufficiente perché sia

λ ⩵ μ

è che risulti p_n

⩵

^qn per ogni n

∈ {

0, 1, 2,

…}

.

Analizziamo un insieme di numeri reali, L, molto particolare, tale che L sia costituito dalla totalità dei numeri reali dell’intervallo

{(

0

)

^⊢———

(

1

)}

che hanno una rappresentazione decimale formata con due sole tra le cifre

{

0, 1, 2,

…

, 9

}

, e sempre con le medesime:

ad esempio 0 e 1.

L non è numerabile. Infatti se L fosse numerabile, i suoi elementi potrebbero disporsi in una successione

(5.5)

{

^x1, x₂,

…

, xn,

…}

(4)

risultando

x₁

⩵ {

0; a₁₁, a₁₂,

…

, a_{1 r},

…}

x₂

⩵ {

0; a₂₁, a₂₂,

…

, a_{2 r},

…}

… … … …

x_n

⩵ {

0; a_n₁, a_n₂,

…

, a_{n r},

…}

… … … …

con ar s

=

0, oppure ar s

=

1.

Consideriamo il numero

x

⩵ {

0; a₁, a₁,

…

, a_n,

…}

in cui

a₁

⩵ 

^{0 se a}¹¹

=

1

1 se a₁₁

=

0, a₂

⩵ 

^{0 se a}²²

=

1

1 se a₂₂

=

0,

…

^,

a_n

⩵ 

^{0 se a}^{n n}

=

1 1 se an n

=

0.

In tal modo x

∈

L. È però x

≠

^x₁, x

≠

^x₂,

…

, x

≠

^xn,

…

, cioè x non appartiene alla successione (5.5). Pertanto L non è numerabile.

Perciò l’insieme



dei numeri reali non è numerabile. Se infatti la totalità dei numeri reali si potesse contenere in una successione (5.6)

{

^y1, y₂,

…

, yn,

…}

detto z₁ il primo numero della (5.6), procedendo da sinistra a destra, che appartenga a L, z₂ il secondo,

…

, zp il p-esimo,

…

, gli elementi di L risulterebbero disposti nella successione.

{

^z₁, z₂,

…

, z_n,

…}

il che è assurdo.

La potenza dell’insieme



, totalità dei numeri reali, costituisce la potenza del continuo.

L’insieme



, dei numeri irrazionali, ha la potenza del continuo.

Consideriamo infatti la seguente successione



1, di numeri irrazionali:

(5.7)



^x1

+

^{2 , x}2

+

^{2 ,}

…

^{, x}n

+

^{2 ,}

…

essendo

(5.8)

{

^x1, x₂,

…

^{, x}n,

…}

la successione che indicheremo con



, dei numeri razionali,

(5)

definita dalla (5.1).

Sia poi



2, l’insieme di numeri irrazionali non appartenenti a



1. È allora

(5.9)

 = 

1

⋃ 

2,

 =  ⋃ 

1

⋃ 

2

poiché



consta della riunione di



1 e



2,



della riunione di



,



1 e



2. Notare che gli insiemi



,



1 e



2 non hanno, due a due, punti comuni. Inoltre gli elementi di

 ⋃ 

₁ possono disporsi nella successione

(5.10)



^y₁

=

^x₁

+

2 , y₂

=

^x₁, y₃

=

^x₂

+

2 , y₄

=

^x₂,

…

.

Se associamo alla successione (5.7) la (5.10), facendo corrispondere y_n a xn

+

2 , otteniamo una corrispondenza biunivoca tra gli elementi degli insiemi



1 e

 ⋃ 

1. Assumiamo come corrispondente di un punto x di



2, in



, il medesimo x, in



. È stabilita in tal modo una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi



e



e la tesi è provata.

Si può dimostrare che ogni insieme perfetto ha la potenza del continuo.