Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Vicenza, 27 giugno 2011 TEMA 1

Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 27 giugno 2011

TEMA 1

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale a, una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo L_a di R³ definito da

L_a(x, y, z) = (x − 2y + az, −2x + 4y + z, (1 − a)x + 2y + (1 + a)z).

2. Data la retta

r :

 x − 2y + z + 1 = 0

−2x + 4y − z + 2 = 0

e il punto P (1, 1, 1) nello spazio, determinare le equazioni cartesiane (i) del piano π1 contenente r e P , (ii) del piano π2 contenente P ed ortogonale ad r. (iii) Calcolare la distanza di P da r.

3. Data la matrice reale

A =





1 1 1 1 0 1 1 1 1



,

trovare una matrice ortogonale H tale che H^TAH sia diagonale.

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale α, il seguente sistema lineare:







x + 2y − 3z = α 3x − y + 2z = 1 x − 5y + 8z = −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse dell’equazione z⁴ = −e^iπ/3.

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Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

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TEMA 2

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale a, una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo L_a di R³ definito da

L_a(x, y, z) = (4x − 2y + z, −2x + y + az, 2x + (1 − a)y + (1 + a)z).

2. Data la retta

r :

 2x − y − z − 1 = 0 4x − 2y − z + 2 = 0

e il punto P (1, 1, 1) nello spazio, determinare le equazioni cartesiane (i) del piano π1 contenente r e P , (ii) del piano π2 contenente P ed ortogonale ad r. (iii) Calcolare la distanza di P da r.

3. Data la matrice reale

A =





0 1 1 1 1 1 1 1 1



,

trovare una matrice ortogonale H tale che H^TAH sia diagonale.

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale α, il seguente sistema lineare:







3x − y + 2z = 1 4x + y − z = 1 + α x − 5y + 8z = −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse dell’equazione z⁴ = −e^i2π/3.

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Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

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TEMA 3

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale a, una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo L_a di R³ definito da

L_a(x, y, z) = (x + ay − 2z, (1 − a)x + (1 + a)y + 2z, −2x + y + 4z).

2. Data la retta

r :

 x + y − 2z + 1 = 0 2x + y − 4z − 2 = 0

e il punto P (1, 1, 1) nello spazio, determinare le equazioni cartesiane (i) del piano π1 contenente r e P , (ii) del piano π2 contenente P ed ortogonale ad r. (iii) Calcolare la distanza di P da r.

3. Data la matrice reale

A =





1 1 1 1 1 1 1 1 0



,

trovare una matrice ortogonale H tale che H^TAH sia diagonale.

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale α, il seguente sistema lineare:







x − 3y + 2z = α 3x + 2y − z = 1 x + 8y − 5z = −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse dell’equazione z⁴ = −e^−iπ/3.

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Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

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TEMA 4

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale a, una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo L_a di R³ definito da

L_a(x, y, z) = (4x + y − 2z, 2x + (1 + a)y + (1 − a)z, −2x + ay + z).

2. Data la retta

r :

 2x − y − z − 1 = 0 4x − y − 2z + 2 = 0

e il punto P (1, 1, 1) nello spazio, determinare le equazioni cartesiane (i) del piano π1 contenente r e P , (ii) del piano π2 contenente P ed ortogonale ad r. (iii) Calcolare la distanza di P da r.

3. Data la matrice reale

A =





0 1 1 1 1 1 1 1 1



,

trovare una matrice ortogonale H tale che H^TAH sia diagonale.

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale α, il seguente sistema lineare:







3x + 2y − z = 1 4x − y + z = 1 + α x + 8y − 5z = −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse dell’equazione z⁴ = −e^−i2π/3.

Svolgimento del tema n.4 Esercizio 1.

Il nucleo si ricava dal sistema lineare corrispondente a L_a(x, y, z) = 0. Trasformandone la matrice completa con operazioni elementari,





4 1 −2 0

2 1 + a 1 − a 0

−2 a 1 0



 →





4 1 −2 0

0 ¹₂ + a 2 − a 0 0 ¹₂ + a 0 0



.

A questo punto, prima di terminare la trasformazione in matrice a scala, occorre distinguere dei casi.

Se a 6= 2, −1/2 il sistema ha un’unica soluzione (0, 0, 0) e la base di ker La `e la famiglia vuota. Per a = 2, il sistema ha ∞<sup>1</sup> soluzioni, una base `e B = (1, 0, 2). Per a = −1/2 il sistema ha ancora una volta ∞¹ soluzioni e una base `e B^′ = (1, −4, 0).

Una base dell’immagine si ottiene trasformando la matrice le cui righe sono L_a(e1), L_a(e2), L_a(e3).

(A parte la colonna di zeri `e la trasposta della matrice precedente.) Otteniamo





4 2 −2

1 1 + a a

−2 1 − a 1



 →





4 2 −2

0 ¹₂+ a ¹₂ + a 0 2 − a 0



.

Per a 6= 2, −1/2 la matrice ha rango tre e qualunque base di R³ `e una base di im L<sub>a</sub>. Per a = 2 una base `e (4, 2, −2), (0, 1, 1). Per a = −1/2 una base `e (4, 2, −2), (0, 1, 0).

Esercizio 2.

(i) Il piano generico per r ha equazione (2λ + 4µ)x − (λ + µ)y − (λ + 2µ)z − λ + 2µ = 0. Imponendo il passaggio per P si ottiene λ = 3µ. Sostituendo questo valore di λ e dividendo per µ si ottiene infine π1 : 10x − 4y − 5z − 1 = 0.

(ii) I parametri direttori di r sono 1, 0, 2 e quindi il generico piano ortogonale a r ha equazione x + 2z + k = 0. Imponendo il passaggio per P si ottiene k = −3, quindi π² : x + 2z − 3 = 0.

(iii) Con l’operazione elementare H21(−2) si ottiene

 2x − y − z − 1 = 0

y + 4 = 0

da cui

 z = 2x + 3

y = −4.

Il generico punto di r `e Q<sub>t</sub>(t, −4, 2t +3) e il vettore da minimizzare `e−−→P Q_t(t −1, −5, 2t +2). Un vettore parallelo ad r `e v(1, 0, 2). L’equazione −−→P Qt· v = 0 d`a t = −3/5. Sostituendo in −−→P Qt si ottiene un vettore il cui modulo `e la distanza richiesta:

dist =



−8 5, −5,4

5



= 1

5k(−8, −25, 4)k =

√705 5 .

Esercizio 3.

Il polinomio caratteristico `e p_A(t) = −t(t² − 2t − 2) e gli autovalori sono 0, 1 ±√

3. Risulta E_A(0) = h(0, 1, −1)i. L’autospazio EA(1 +√

3) `e lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice incompleta `e





−1 −√

3 1 1

1 −√

3 1

1 1 −√

3



.

La matrice ha rango due, quindi basta risolvere il sistema formato dalla seconda e terza equazione.

Trasformando la matrice incompleta di tale sistema,

1 −√

3 1

1 1 −√

3



→ 1 −√

3 1

0 1 +√

3 −1 −√ 3

 ,

da cui EA(1 +√

3) = h(−1 +√

3, 1, 1)i. Analogamente, l’autospazio E^A(1 −√

3) `e lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice incompleta `e





−1 +√

3 1 1

1 √

3 1

1 1 √

3



.

Prendendo solo seconda e terza equazione,

1 √

3 1

1 1 √

3



→ 1 −√

3 1

0 1 −√

3 −1 +√ 3

 ,

da cui E_A(1 −√

3) = h(−1 −√

3, 1, 1)i. I tre autovettori trovati sono una famiglia ortogonale, come avviene sempre quando gli autospazi di una matrice reale simmetrica hanno tutti dimensione uno.

Basta ora normalizzarli e disporli come colonne di una matrice. Posto α =p

6 − 2√

3, β =p 6 + 2√

3, otteniamo

H =







0 ⁻¹⁺_α^{√3 −1−}_β^√3

√1 2

1 α

1 β

−^√1_{2 α}¹ _β¹





.

Esercizio 4. Trasformiamo la matrice completa del sistema:





3 2 −1 1

4 −1 1 1 + α

1 8 −5 −α



 →





3 2 −1 1

0 −11 7 −1 + 3α 0 22 −14 −1 − 3α



 →





3 2 −1 1

0 −11 7 −1 + 3α

0 0 0 −3 + 3α



.

Il sistema `e compatibile solo per α = 1, nel cui caso ha ∞<sup>1</sup> soluzioni. Sostituendo tale valore di α nel sistema la cui matrice `e l’ultima ricavata, otteniamo

x = 5 11 − 1

11z, y = − 2 11 + 7

11z.

L’insieme delle soluzioni `e la variet`a lineare (5/11, −2/11, 0) + h(−1, 7, 11)i.

Esercizio 5. Il numero complesso α = −e^−i2π/3= −

 cos



−2π 3

 + i sin



−2π 3



= 1 2+ i

√3 2

ha modulo uno e argomento π/3. Quindi l’equazione si riformula in z⁴ = e^iπ/3. Dalla formula per le radici n-esime di un numero complesso si ottiene allora

z_k= e i π

12 +2kπ 4



, k = 0, 1, 2, 3.

Esplicitamente,

z0 = eiπ

12 , z1= ei7π

12 , z2 = ei13π

12 , z3 = ei19π 12 .