Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari

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Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari

Matematica e Statistica I Prova di esame del 9/2/2010

NOME COGNOME N. Matr.

DOMANDE: Dare una sola risposta per ogni domanda, senza giustificarla. La risposta corretta vale 1 1/2 punti. Ogni risposta sbagliata alle domande a scelta multipla toglie 1/4 punto.

ESERCIZI: Rispondere alla domanda nel modo pi`u completo possibile, cercando di giustificare i passaggi.

Il compito è diviso in tre parti. Per essere ammessi all’orale è necessario un punteggio complessivo di almeno 16, con almeno 4 punti in ogni parte. Per poter firmare il voto dello scritto, è necessario un punteggio complessivo di almeno 20, con almeno 6 punti in ogni parte.

PARTE I

ESERCIZIO 1 (4 punti)

Un costruttore di frigoriferi osserva che in media vende 900 frigoriferi del modello A alla settimana al prezzo di 400 Euro l’uno; abbassando il prezzo a 390 Euro, ne vende in media 950 alla settimana 1. Scrivere la funzione di domanda (ossia il numero di frigoriferi venduti alla settimana in

funzione del prezzo p), ipotizzando che essa sia lineare.

2. Scrivere la funzione ricavo settimanale in funzione del prezzo, e stabilire il massimo ricavo settimanale.

3. Se il costo settimanale della linea di produzione è dato da c(x) = 180.000 + 100x, dove x è il numero di frigoriferi venduti, qual è il prezzo che massimizza il guadagno (= ricavo − costo) settimanale? e qual è il guadagno massimo?

DOMANDA 2 In una stazione metereologica viene rilevata ogni giorno la temperatura massima.

La media delle temperature massime dei primi 6 giorni della settimana `e stata di 20^◦C e la mediana di 18^◦ C. Se il settimo giorno la temperatura massima `e stata di 18^◦ C, quali sono la media ¯x e la mediana m delle temperature massime nell’intera settimana?

¯x = 19^◦, m = 18^◦ non ci sono abbastanza informazioni per rispondere

¯x = 19, 7^◦, m = 18^◦ ¯x = 19^◦, la mediana non si pu`o dire.

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I grafici delle funzioni f1, f2, f3, f4sono stati ottenuti da quello di f mediante traslazioni o simmetrie.

Scrivere le funzioni f1, f2, f3, f4 in termini di f .

K4 K2 0 2 4

K6 K4 K2 2 4 Grafico di f6

K4 K2 0 2 4

DOMANDA 4 In prima approssimazione la pressione atmosferica y diminuisce, all’aumentare della della quota x, secondo una legge di tipo y = Ae^−kx, dove x `e misurato in metri s.l.m. (sul livello del mare) e y in mm Hg. Sapendo che a quota 0 si ha y(0) = 760 e che la pressione atmosferica risulta dimezzata ad una quota di circa 5500 m s.l.m., determinare a quanti metri di quota s.l.m.

la pressione `e 3

4 della pressione a quota x0= 0;

2283 m ca. 2750 m 13.252 m ca. ln(3/4)

5500 ln(2)

PARTE II

Considerate la retta di equazione x + 9y = 4 e l’iperbole di equazione y = 1 2x + 3. Tracciatene un grafico approssimato e trovate i punti di intersezione.

Se avete disegnato il grafico correttamente, si trover`a una regione limitata del piano compresa fra la retta e l’iperbole. Calcolatene l’area.

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Sia f (x) = (x + 2)e^−(x−1)²^/4.

• Studiate il segno di f .

• Calcolate la derivata di f e trovate eventuali punti di massimo e minimo locale.

• Trovate i limiti di f per x → ±∞.

• Tracciate un grafico approssimato di f .

• Quante soluzioni hanno le equazioni f (x) = 0, f (x) = 3, f (x) = 10?

DOMANDA 7 A(t) soddisfa l’equazione differenziale A^′(t) = −1

3A(t) ed inoltre A(0) = 1/2.

CalcolareR10 0 A(t) .

1

2(e³⁰−1) 3

2(1 − e^−10/3) 1

6(1 − e⁻³⁰) 1 3e^−t/3

PARTE III

DOMANDA 8 Sia dato un mazzo di 52 carte francesi, mescolato in modo che ognuno dei possibili ordinamenti sia equiprobabile. Dal mazzo si estraggono consecutivamente due carte (senza reinserimento). Si considerino gli eventi A =“la prima carta estratta è un asso” e B =“la seconda carta estratta non è un asso”. Quale delle seguenti affermazioni è quella corretta?

A ∪ B `e certo A e B non sono indipendenti

P (B) `e circa il 50% P (A) = P (B)

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Si effettua il seguente esperimento: dapprima si lancia una moneta (bilanciata). Se il risultato `e T (testa) allora si lancia un dado (bilanciato). Se il risultato `e C (croce) allora si lanciano due dadi, uno rosso e uno blu, entrambi bilanciati. Rispondere alle seguenti domande:

(a) Sapendo che dal lancio della moneta `e uscita C, calcolare la probabilit`a che la somma dei punteggi ottenuti lanciando i 2 dadi (quello rosso e quello blu) sia 4.

(b) Calcolare la probabilit`a di ottenere 4 (vuoi come somma del punteggio dei due dadi lanciati, vuoi come punteggio dell’unico dado lanciato).

(c) Calcolare la probabilit`a che sia uscita T, sapendo che abbiamo ottenuto 4.

All’esame di matematica vi facciamo 3 domande “a crocetta” con 4 risposte possibili (di cui solo una `e giusta). Se rispondete a caso a tutte e 3 le domande, calcolare:

(a) la probabilit`a di dare esattamente 1 risposta corretta;

(b) la probabilit`a di dare pi`u di 1 risposta corretta;

(c) la media e la varianza del numero di risposte corrette.