FORMULAZIONE MATEMATICA DEL MODELLO DINAMICO COMPLETO

Capitolo 5

FORMULAZIONE MATEMATICA DEL MODELLO DINAMICO

COMPLETO

5.1 Ipotesi semplificative e leggi del moto

Nel capitolo 3 si sono illustrate in forma qualitativa le caratteristiche del modello a parametri concentrati sviluppato per modellare la trasmissione CVT, mentre nel capitolo 4 sono stati introdotti due modelli semplificati atti ad analizzare la fase di assestamento della cinghia sulle pulegge ancora ferme. Nel presente capitolo verrà invece esposta la formulazione matematica del modello dinamico completo, che riproduce sia la fase di partenza da fermo che la fase di funzionamento stazionario della trasmissione e consente di ricavare delle indicazioni sull’andamento delle tensioni nei rami rettilinei e all’interno dell’arco di contatto cinghia-puleggia, sulle forze normali e tangenziali scambiate e sulla velocità angolare della puleggia condotta.

Per ogni elemento discreto di cinghia possono essere scritte due equazioni di equilibrio, rispettivamente per l’equilibrio a traslazione tangenziale e radiale, in accordo con le ipotesi fatte in precedenza che ogni elemento possieda solo i due gradi di libertà del moto piano. In aggiunta si avranno due equazioni di equilibrio a rotazione, una per ciascuna puleggia, in cui confluiscono tutti i contributi degli elementi che si trovano nell’arco di contatto. Nel caso in cui si consideri imposta la velocità angolare della puleggia motrice, basterà ovviamente la sola equazione aggiuntiva riferita alla puleggia condotta.

Risulta evidente che le equazioni non saranno tra loro indipendenti, perché le grandezze scelte per individuare la posizione di ogni elemento influenzano globalmente la condizione di equilibrio dell’elemento stesso (figura 5.1). Ad esempio l’equilibrio radiale dipende dalla tensione nella cinghia e, in ultima analisi, dalla posizione angolare degli elementi e quindi

dall’allungamento delle molle tangenziali, mentre la forza di attrito tangenziale dipende dalla forza di contatto e, quindi, dallo spostamento radiale.

ri-1

ri

Fig. 5.1 Condizione generica di tre elementi di cinghia consecutivi

È possibile fare delle ipotesi semplificative sulle equazioni: una prima semplificazione consiste nell’assumere che nella equazione di equilibrio tangenziale il raggio su cui si trovano l’elemento considerato e quelli immediatamente precedente e seguente sia lo stesso e che tale raggio sia pari a quello di assestamento statico. Questa ipotesi è giustificata dal fatto che, se il numero di elementi è sufficientemente elevato, lo spostamento radiale tra due elementi successivi può essere ritenuto sufficientemente piccolo ed inoltre l’ampiezza dell’oscillazione radiale degli elementi attorno al valore statico è trascurabile rispetto al raggio di avvolgimento. In questo modo la direzione delle forze tangenziali dipende solo dall’elemento in esame e non da quelli vicini ed inoltre l’allungamento degli elementi elastici tangenziali viene a dipendere solo dalla differenza tra le coordinate angolari φ di due elementi. Se questa ipotesi viene a mancare, il modello può comunque essere sviluppato e risolto, a prezzo però di una maggiore complessità dello stesso.

Inoltre si ipotizza che l’attrito non agisca nei confronti del moto radiale dell’elemento. 5.1.1 Equazioni di equilibrio

Riferendosi allo schema mostrato in figura 5.2, che mostra il diagramma di corpo libero dell’elemento i-esimo , soggetto alle forze che derivano dagli elementi i-1 e i+1 e dal contatto con la puleggia, si possono scrivere le equazioni di equilibrio riferite all’elemento i-esimo. Si assumono positive rispettivamente le componenti tangenziali delle forze dirette nel verso della coordinata curvilinea t e le componenti radiali dirette come r.

Per l’equilibrio in direzione tangenziale si ha

i i i i T T F mR = − ₋ Φ± 2 cos ) ( ₁ 0ϕ&& (5.1)

Fig. 5.2 Diagramma di corpo libero dell’elemento i-esimo

φi posizione angolare dell’elemento i-esimo ri posizione radiale

Ti T,i-1 forza esercitata dagli elementi elastici tangenziali Ni forza di contatto tra cinghia e puleggia

Fi componente tangenziale della forza di attrito Fc,i forza centrifuga

Ф angolo formato da due elementi successivi

Tab. 5.1 Simboli utilizzati in fig. 5.2 Per l’equilibrio radiale

2 sin ) ( + ₋₁ φ − + = _{i ci i i} i N F T T r m && (5.2)

Per quanto riguarda le pulegge, avendole schematizzate come corpi rigidi (cfr. par. 3.3), le uniche forze agenti su di esse sono i momenti motore/resistente Cm e Cr applicati sull’asse e

le azioni tangenziali di attrito esercitate dagli elementi a contatto con le pulegge. Se gli elementi che esplicano azioni tangenziali di attrito sono N1 sulla puleggia motrice e N2 sulla

puleggia condotta, indicando con ωm e ωc rispettivamente la velocità angolare della puleggia

motrice e di quella condotta, le equazioni di equilibrio a rotazione attorno al loro asse posso essere scritte nel modo seguente

ri+1 φi-1 φi φi+1

T

i

T

i-1

N

i

F

i

F

c,i Elemento i-esimo

Ф/2 t

ri ri-1

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ± = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ± =

∑

∑

= = 2 1 1 1 N k k k r c c N k k k m m m r F C I r F C I ω ω & & (5.3)

Il segno dei momenti agenti sulle pulegge è positivo se diretto in verso antiorario. Ovviamente nel caso in cui si imponga la velocità angolare della puleggia motrice, la relativa equazione di equilibrio a rotazione perde di significato.

Per quanto riguarda le forze di attrito, il segno della forza generica Fi dipende dal segno di ϕ& : _i

se la velocità tangenziale dell’elemento è positiva, la Fi risulta negativa e viceversa.

5.1.2 Equazioni costitutive

Nelle equazioni di equilibrio (5.1)-(5.3) occorre esplicitare i termini relativi alle forze tangenziali, alle forze di contatto e all’attrito. In particolare la forza di contatto può essere espressa dalla relazione (3.8), dove si può effettuare un cambiamento di variabile ponendo

r s r R s & & −= − = ₀ (5.5)

dove R0 è il raggio di avvolgimento della cinghia dopo la fase di assestamento, mentre s è la

penetrazione radiale dell’elemento nella gola della puleggia a partire dalla quota R0.

In questo modo la (3.15) diventa

0 0 )

(R r C r N

K

N_i = _c − _i − _c&i + (5.6)

Il segno meno davanti al termine di smorzamento deriva dal fatto che se il raggio diminuisce ( r& <0) si ha una penetrazione della cinghia nella gola della puleggia con conseguente esplicazione delle forze viscose dirette verso l’esterno della puleggia, quindi in verso positivo. Il termine N0è la forza di contatto statica che si ha all’inizio della fase dinamica, quando r =

R0.

Per quanto concerne l’attrito, vale la relazione (3.17), modificata per tenere conto del segno: ) ( _i i i i N sign F =−µ ⋅ ϕ_& (5.7)

La tensione tangenziale negli elementi elastici è invece legata alla posizione degli elementi di cinghia precedente e successivo a quello in esame; riferendosi alle figure 5.1 e 5.2, valgono le relazioni

[

]

[

0 1

]

0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( T R C R K T T R C R K T i i t i i t i i i t i i t i + − + − − = + − + − − = − − − + + ϕ ϕ φ ϕ ϕ ϕ ϕ φ ϕ ϕ & & & & (5.8)

Anche in questo caso il termine T0 tiene conto della pretensione iniziale presente nella cinghia

dopo l’assestamento statico, poiché le deformazioni degli elementi elastici calcolate nelle relazioni (5.8) si sommano all’allungamento iniziale statico di tali elementi.

5.1.3 Equazioni per i rami rettilinei della cinghia

Gli elementi di ingresso e di uscita sulle pulegge meritano un trattamento particolare, dal momento che essi sono collegati da una parte con un elemento situato sulla stessa puleggia, e dall’altra con un elemento appartenente ad una puleggia diversa (figura 5.3). Il collegamento avviene attraverso una molla di rigidezza notevolmente diversa da quelle tangenziali e avente differente linea di azione. Tali elementi, che sono in tutto quattro, necessitano di equazioni leggermente modificate rispetto a quelle appena scritte.

N

Fig. 5.3 Forze sugli elementi di ingresso e di uscita dalle pulegge

Infatti nella equazione di equilibrio (5.1) si deve sostituire uno dei due termini relativi alla tensione esercitata dall’elemento adiacente con il termine Tspan che tiene conto del movimento

dell’elemento situato sull’altra puleggia; nella (5.2) invece il contributo della forza elastica Tspan all’equilibrio radiale è nullo in quanto essa ha direzione tangente all’elemento di

ingresso o di uscita dalla puleggia.

Le relazioni che legano la forza elastica sviluppata nel ramo rettilineo agli spostamenti degli elementi di imbocco e uscita sono molto semplici. Si consideri, a titolo di esempio, l’elemento 1 di figura 5.3 situato all’imbocco della puleggia motrice; l’allungamento della molla di

R0c R0m Kspan Kspan Ramo teso Ramo lento 1 2 N1 N1+1 Tspan,1 T1 Tspan,1 TN-1

costante elastica Kspan è dato dallo spostamento degli elementi 1 ed N dalla loro configurazione statica: ) ( ) ( _{1 01 0 0} 0 1 m c N N span = R ϕ −ϕ −R ϕ −ϕ ∆ _(5.9)

Allora la forza elastica è data dalla somma di tre termini: 1 1

0

1 span span span span span T K C

T = + ∆ + ∆& _(5.10)

Relazioni analoghe valgono per gli altri tre elementi di ingresso e di uscita dalle pulegge, considerando gli indici opportuni nella scrittura delle equazioni.

5.2 Riepilogo delle equazioni

In definitiva per il modello in esame si possono scrivere, per ogni elemento, due equazioni differenziali del secondo ordine. Essendo la cinghia composta da N elementi, in totale si avranno 2N equazioni da risolvere, a cui si aggiungono le equazioni relative all’equilibrio delle pulegge.

Per semplicità si può procedere senz’altro alla linearizzazione delle equazioni assumendo

φ φ)≈

sin( e cos(φ)≈1 poiché se il numero di elementi è sufficientemente elevato la distanza angolare tra due elementi consecutivi risulta talmente piccola da giustificare tale semplificazione.

Si riportano esplicitamente le equazioni di equilibrio radiale e tangenziale per l’elemento i-esimo ottenute dopo una serie di passaggi algebrici:

0 0 2 2 0 1 1 0 1 1 0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 N T m K K R R K R C r K r C r m c t i i t i i t i c i c i + − + + + + − − − − − − = _{+ − + −} φ ω φ ϕ ϕ φ ϕ ϕ φ & & & & && (5.11) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( 0 0 1 1 0 1 1 0 0 i c i i c i c i i i t i i i t i sign N R K sign r C r K R C R K mR ϕ µ ϕ µ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ & & & & & & && ⋅ + − ⋅ − + + + − + + − = _{+ − + −} (5.12)

Per le pulegge motrice e condotta:

[

( ) ( )

]

( _{0 0}) ( ) 1 1 0 c m i N i c i c i i i m m m m C C r K r r sign R K R N sign

I ω_& = −

∑

µ _& −µ ⋅ ϕ_& −µ + ⋅ ϕ_& =

[

( ) ( )

]

( ₀) ( ) 1 1 0 c i N i c i i i c i c c c c C C r K r r sign R K Rc N sign

I ω_& = −

∑

µ _& −µ ⋅ ϕ_& −µ + ⋅ ϕ_& =

(5.14)

5.2.1 Condizioni iniziali e dati di ingresso del modello

Le equazioni (5.11) e (5.12) sono equazioni differenziali non lineari del secondo ordine a coefficienti non costanti; dunque per la risoluzione di ognuna delle equazioni sono necessarie due condizioni iniziali. Le condizioni iniziali da assegnare al tempo t=0 sono quindi quattro per ogni elemento: due condizioni individuano la posizione e la velocità radiale, mentre le rimanenti due si riferiscono alla posizione e alla velocità angolare.

Le equazioni del moto delle pulegge sono invece del primo ordine e dunque basta il solo dato sulla velocità angolare iniziale per risolvere il problema.

All’istante iniziale della simulazione si suppone che tutti gli elementi siano fermi, sistemati ad una quota radiale R0 pari al raggio di avvolgimento di equilibrio dopo l’assestamento e in una

posizione angolare tale da essere equispaziati tra loro dell’angolo Ф (si veda la figura 5.2). L’andamento delle coppie motrice e resistente applicate alle pulegge cresce linearmente da zero fino al valore di regime, mentre il modello viene simulato ad una velocità angolare imposta alla puleggia motrice, calcolando le oscillazioni di velocità della puleggia condotta rispetto al valore di quella motrice.

Maggiori dettagli sulle condizioni iniziali e al contorno imposte durante la simulazione del comportamento delle trasmissioni CVT analizzate saranno forniti nel capitolo successivo.

5.3 Risoluzione numerica del modello

Per eseguire la simulazione del modello dinamico introdotto nel presente capitolo è stato utilizzato il software Simulink© 5.0, un tool applicativo del pacchetto Matlab© 6.5 prodotto da MathWorks. Simulink© permette di ricostruire le equazioni analitiche del modello in un ambiente di interfaccia a blocchi e, successivamente, di ottenere la soluzione numerica del problema differenziale introdotto. Sono disponibili all’interno del programma diverse routine di soluzione delle equazioni differenziali, sia a passo fisso che a passo variabile.

Gli schemi a blocchi del modello dinamico completo sono riportati in Appendice B. Maggiori dettagli sono disponibili in [13].

Nelle simulazioni effettuate la soluzione numerica è stata ottenuta tramite un algoritmo di soluzione di tipo Runge–Kutta di ordine 4 a passo fisso; il valore del passo di integrazione temporale utilizzato è pari a 10-3 s.