Trasformata di Laplace Diagrammi di Bode

Trasformata di Laplace

Diagrammi di Bode

Sistemi lineari, tempo-invarianti

I circuiti elettrici possono essere visti come sistemi caratterizzabili dalla loro risposta ai segnali.

Un sistema può essere definito come:

• lineare (se vale il principio di sovrapposizione e di proporzionalità) o non lineare

• tempo invariante (se uno spostamento nel tempo dell’ingresso genera un uguale spostamento dell’uscita) o tempo variante

• deterministico (produce sempre la stessa uscita, dato lo stesso input) o stocastico

I circuiti elettrici di nostro interesse possono essere visti come sistemi lineari tempo-invarianti (LTI systems), analogici e deterministici

Sistemi lineari, tempo-invarianti

• lineare (se vale il principio di sovrapposizione e di proporzionalità) o non lineare

• X₁(t) → O(x(t)) → Y₁(t)

• X₂(t) → O(x(t)) → Y₂(t)

• aX₁(t) + bX₂(t) → O(ax₁(t) + b(x₂(t))

• aO(ax₁(t)) + bO(x₂(t)) → aY₁(t)+b Y₂(t)

• tempo invariante (se uno spostamento nel tempo dell’ingresso genera un uguale spostamento dell’uscita)

• X₁(t) → O(t) → Y₁(t)

• X₁(t-τ) → O(t- τ) → Y₁(t - τ)

Definiamo inoltre h(t) la risposta del sistema ad un ingresso impulsivo (impulso di Dirac)

Funzione di trasferimento e diagramma di Bode

Il circuito puramente resistivi sono senza memoria (l’uscita dipende soltanto dal valore che si ha in quell’istante in ingresso).

Quelli che comprendono condensatori sono invece con memoria e possono essere modellati a parametri concentrati (la variabile di stato è la carica o la tensione sul condensatore).

Per analizzare questo tipo di sistemi viene comunemente utilizzata l’analisi nel dominio di Laplace attraverso la funzione di trasferimento del sistema e l’analisi dei suoi poli e zeri nel piano complesso.

La trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace di una funzione f(t), definita per tutti i numeri reali t ≥ 0, è la funzione F(s), così definita:

Con s numero complesso s = σ+jω

Date le funzioni f(t) e g(t), e le loro rispettive trasformate F(s) e G(s):

La trasformata di Laplace

Un sistema LTI può essere analizzato nel dominio del tempo ricavando quella che viene chiamata la risposta all’impulso h(t).

Prendendo un generico ingresso x(t), l’uscita del sistema y(t) è data dalla convoluzione tra x(t) e h(t).

Un sistema LTI è completamente descritto dalla sua risposta all’impulso h(t)

Se conosco la risposta all’impulso posso ricavarmi la risposta del mio sistema a qualsiasi segnale

La trasformata di Laplace

L’operazione di convoluzione può essere semplificata passando dal dominio del tempo al dominio di Laplace.

In tal caso H(s) è la funzione di trasferimento e prendendo un generico ingresso X(s), la trasformata dell’uscita Y(s) può essere ottenuta dal prodotto di H(s)X(s).

La convoluzione si trasforma in un prodotto nel dominio di Laplace

Un sistema LTI è completamente descritto dalla sua funzione di trasferimento H(s)

Se conosco H(s) posso ricavarmi la risposta del mio sistema a qualsiasi segnale

La trasformata di Laplace

X(s) è la trasformata di Laplace di x(t), Y(s) è quella di y(t) e H(s) è quella di h(t).

Ci si può muovere tra i due domini, scegliendo la strada che ci risulta più semplice per lo specifico circuito.

La trasformata di Laplace

Per capire l’importanza di questo approccio partiamo dalla relazione che lega la corrente e la tensione in un condensatore.

𝑖 = 𝐶 𝑑𝑣

Supponendo v(0)=0 (si potrà eventualmente riconsiderare questo𝑑𝑡 vincolo utilizzando la sovrapposizione degli effetti) si ottiene nel dominio di Laplace:

𝐼 𝑠 = 𝐶𝑠𝑉(𝑠)

Se vogliamo trovare un equivalente della legge di Ohm nel dominio di Laplace per un condensatore potremmo scrivere (parlando di impedenza Z al posto di resistenza R):

𝐼 𝑠 = 𝑉(𝑠) 𝑍(𝑠)

E quindi l’impedenza di un condensatore nel dominio di Laplace è definita come:

𝑍 𝑠 = 1

La trasformata di Laplace

Per un capacitore, utilizzando la relazione appena ricavata, si può dire che vale in modulo Τ¹ _𝜔𝐶 (chiamata talvolta reattanza capacitiva).

Come numero complesso:

𝑍_𝑐 = 1 𝑗𝜔𝐶

Abbiamo appena dimostrato che nel dominio di Laplace l’impedenza di un condensatore nel dominio di Laplace è definita come:

𝑍 𝑠 = 1 𝑠𝐶

La trasformata di Laplace

Consideriamo adesso il seguente circuito RC

Vista la linearità della trasformata si possono applicare le leggi di Kirchhoff anche ai segnali trasformati, quindi:

I

R V

V

1 V

0

0

2

Se consideriamo V₀ come ingresso del sistema e 1

V₂ come uscita dello stesso

Voglio ricavare la relazione che li lega nel dominio di Laplace.

) ( )

(

1

s R I s

V =

2 0 2

) ) (

( sC

s s I

V =

) ) (

) (

(

2

0

R I s

sC s s I

Vo = +

0

0 1

) ) (

(

R

s s V

I

+

=

La trasformata di Laplace

Segue che

E quindi

Avremmo potuto ottenere lo stesso risultato anche utilizzando la regola del partitore generalizzato alle impedenze:

2 2

1 0 2

1 1

) ) (

( sC

R sC s s V

V 

+

=

1 1

) (

) (

1 2 0

2

= +

R sC s

V

s

V

La trasformata di Laplace

Seguendo la definizione di sistema LTI e di funzione di trasferimento si può quindi avere:

Se lo scopo fosse quello di ricavare l’uscita Y ad un determinato ingresso, basterebbe utilizzare la relazione:

1 ) 1

(

1

2

+

= sC R s

H

) ( )

( )

( s H s X s

Y =

La trasformata di Laplace

Supponiamo il condensatore scarico all’istante 0^-.

Possiamo, per esempio, ricavare Y per l’ingresso a gradino utilizzato nell’esempio sull’analisi temporale dello stesso circuito:

x(t) è quindi 1·u(t) e quindi X(s)=1/s Pertanto:

Allora:

) 1 (

) 1 (

1

2 +

= s sC R s

Y

) ( ) 1

( )

( t e

u t

y = −

La trasformata di Laplace

Il nostro interesse però non è quello di ricavare la risposta nel tempo ma quello di caratterizzare il sistema in frequenza.

Questo può essere fatto analizzando semplicemente i poli e gli zeri della funzione di trasferimento.

Analisi di poli e zeri

Il nostro interesse però non è quello di ricavare la risposta nel tempo ma quello di caratterizzare il sistema in frequenza.

Questo può essere fatto analizzando semplicemente i poli e gli zeri della funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento può essere descritta come un rapporto di polinomi (a coefficienti reali) nella variabile s (complessa).

Vengono definiti zeri le radici del polinomio al numeratore, e poli le radici del polinomio al denominatore.

Per le proprietà dei polinomi, si può quindi scrivere una generica funzione di trasferimento come:

Analisi di poli e zeri

Un generico polo, 𝑝_𝑖 = 𝛿_𝑖 + 𝑗𝜔_𝑖 è

• reale se 𝜔_𝑖 è nullo

• semplice se nessun altro 𝑝_𝑗 è identico a esso

• multiplo di ordine 2 se c’è un altro 𝑝_𝑗 di valore identico

• di ordine 3 se ce ne sono altri 2 identici

Visto che i coefficienti del polinomio sono reali, se 𝑝_𝑖 non è reale (cioè 𝜔_𝑖 non è nullo), deve esistere un altro polo 𝑝_𝑗 con 𝜔_𝑗 identico e di segno opposto, cioè deve esiste un complesso coniugato.

Anche i poli complessi coniugati possono essere presenti più volte e quindi multipli.

Analisi di poli e zeri

In base alla tipologia dei poli è possibile stabilire se la risposta all’impulso (l’antitrasformata di H(s), h(t) risposta all’impulso), all’infinito, tende a un valore limitato o tende a divergere.

Dalla tabella delle trasformate notevoli si può ricavare che, all’infinito:

• se 𝜹_𝒊 < 𝟎 la risposta all’impulso h(t) tende a zero. In particolare, se i poli sono reali, si ha un esponenziale decrescente (se il polo è semplice) o moltiplicato per una potenza di t (se il polo è multiplo). Se i poli sono complessi coniugati, si ha una sinusoide decrescente con inviluppo esponenziale decrescente (se semplici) o moltiplicato per una potenza di t (se multipli).

• se 𝜹_𝒊 > 𝟎 la risposta all’impulso h(t) tende a divergere. In particolare, si hanno le stesse risposte precedenti ma con inviluppi esponenziali crescenti.

• se 𝜹_𝒊 = 𝟎 la risposta all’impulso h(t) prevede diverse situazioni

Analisi di poli e zeri

Si può affermare quindi che se i poli hanno tutti parte reale negativa, il sistema è stabile (nel senso che la risposta non cresce all’infinito con un ingresso limitato in ampiezza)

Se la parte reale di almeno un polo è nulla, si possono avere risposte che perdurano all’infinito nonostante l’ingresso si sia azzerato

Se la parte reale di almeno un polo è maggiore di zero, il sistema è instabile

In base ai poli e zeri è possibile anche determinare la risposta in frequenza di un sistema realizzando quello che viene chiamato il diagramma di Bode

Diagramma di Bode

La funzione di trasferimento H(s) può essere utilizzata per valutare la risposta in uscita del sistema quando è soggetto a uno specifico segnale, moltiplicandola per la trasformata dell’ingresso e anti trasformando il risultato.

Sappiamo che ogni segnale può essere scomposto in una somma di sinusoidi, quindi ci interessa vedere qual è l’ampiezza della sinusoide che si ottiene all’uscita di un circuito che ha un ingresso sinusoidale.

A tale scopo, quello che importa è conoscere H(jω) (Laplace diventa quindi la trasformata di Fourier):

Diagramma di Bode

1) Trovo tutte le impedenze nel dominio di Laplace 2) Mi determino la H(s)

3) Da s a jꞷ → diagramma di Bobe

• il modulo di questa funzione complessa ci dirà l’ampiezza della risposta

• la sua fase ci dirà quanto sarà sfasata la sinusoide in uscita rispetto a quella in ingresso.

Diagramma di Bode

A cosa ci serve conoscere H(ω)?

Se ad un sistema applico un ingresso, con un determinata ampiezza e pulsazione e fase iniziale, otterrò in uscita un segnale con la stessa pulsazione, ma con ampiezza e fase differenti

X(ω)= A·sen(ωt + φ) Y(ω)= A₁·sen(ωt + φ₁)

Conoscere la sua espressione ci permette di valutare l’andamento della funzione di trasferimento al variare della pulsazione

In altri termini possiamo stabilire come varia l’uscita al variare della pulsazione del segnale di ingresso

Diagramma di Bode

A cosa ci serve conoscere H(ω)?

X(ω)= A·sen(ωt + φ) Y(ω)= A₁·sen(ωt + φ₁) Y(ω)= H(ω)·X(ω)

Esisteranno pulsazioni per le quali il segnale è amplificato, oppure attenuato

Esisteranno delle pulsazioni in cui il segnale è in fase oppure sfasato rispetto all’ingresso

Se conosciamo l’andamento di ampiezza e fase di H(ω) possiamo valutare tutto questo a priori, in base allo schema del nostro circuito

Diagramma di Bode

Analizzo la H(s)

E la porto nella seguente forma in cui tutti i termini costanti sono uguali a 1

) 100 )(

10 (

100 1 1000

110 100 1

)

( ₂

+ +

= + +

+

= +

s s

s s

s s s

H



 

 +

 



 

 +



= +

1 100 10 100

1 10 100 1 )

( s s

s s H

+



 



 +

0

1 

j  Devo riuscire a fattorizzare la H(jω), numeratore e

denominatore, in termini di questo tipo

Diagramma di Bode

La relazione precedente può essere facilmente trasformata nel dominio di Fourier considerando un s esclusivamente immaginario pari a jω (con questa trasformazione andiamo a vedere risposte a sinusoidi di ampiezza 1 e frequenza f=/2p) e trasformato in modulo/fase

Si compone quindi di 4 termini:

• un termine costante (0.1)

• uno zero (per s=-1 → ω₀=1)

• due poli (uno in -10 → ω =10, l’altro -100 → ω =100)



 

 +





 

 +

= +

1 100 1 10

1 1 . 0 )

(  

 

j j

j j H



 



 +

0

1 

j 

Diagramma di Bode

Per rendere facile fare un disegno di H(ω), bisogna trasformare l’operazione di moltiplicazione dei vari termini in qualcosa di più semplice.

Si può osservare che se si esprime l’ampiezza in scala logaritmica, la moltiplicazione dei termini risulta una somma, per la famosa regola (log a b = log a+ log b).

La ampiezza verrà descritta in decibel V[dB]=20 log

V

Con i logaritmi i prodotti diventano somme e i rapporti diventano differenze

Diagramma di Bode

Termine costante

Ampiezza: 𝐻 𝑗𝜔 = 𝐾 K= 0.1

Fase:

Costante, nulla se K positivo 180gradi (p) se K negativo

𝐻 𝑠 = 𝐻 𝑗𝜔 = 𝐾

dB j

H

20 1

. 0 log 20

) (

log 20

10 10

−

=

 =

Diagramma di Bode

K= -100 Ampiezza

Fase:

180°

dB 40 10

log

20 ₁₀ ² =

Diagramma di Bode

Polo singolo reale

Ampiezza

Può essere studiata per tre diverse condizioni:

N.B.

se il polo/zero lo abbiamo per s = -x ω = x

𝐻 𝑠 = 1 1 + 𝑠

𝜔₀

𝐻 𝑗𝜔 = 1 1 + j 𝜔

𝜔₀

𝐻(𝑗𝜔) = 1 1 + 𝑗 𝜔

𝜔₀

𝑖𝑛 𝑑𝐵 = 20 log₁₀ 1 1 + 𝜔

𝜔₀

2

= −20 log₁₀ 1 + 𝜔 𝜔₀

2



 

 +

=

1 10 ) 1

(  

j j

H

Diagramma di Bode

𝜔 ≪ 𝜔₀ 𝐻(𝑗𝜔) = −20 log₁₀ 1 + 𝜔 𝜔₀

2

≈ −20 log₁₀ 1 = 0

𝜔 = 𝜔₀ 𝐻(𝑗𝜔) = −20 log₁₀ 1 + 𝜔 𝜔₀

2

≈ −20 log₁₀ 2

= −3.01𝑑𝐵

𝜔 ≫ 𝜔₀

𝐻(𝑗𝜔) = −20 log₁₀ 1 + 𝜔 𝜔₀

2

Diagramma di Bode

Si può approssimare con una retta che vale 0 fino alla frequenza di taglio ω₀ e da quel punto in poi avrà una pendenza che diminuisce di 20dB a decade.

Nella realtà, n ω₀ la curva vera si discosta di -3dB da quella approssimata.

Diagramma di Bode: Fase

Può essere studiata nelle tre condizioni

ω <<ω₀. ω=ω₀ ω>>ω₀

Nella pratica, fino 0.1 ω₀ vale 0 gradi, poi decresce linearmente passando in ω₀ a -45 gradi e torna costante a 10 ω₀ con il valore -90gradi

Diagramma di Bode: Riassumendo

Ampiezza:

• Retta che vale 0 fino alla frequenza di taglio ω₀

• Da quel punto in poi avrà una pendenza che diminuisce di 20dB a decade.

Fase

• Nella pratica, fino 0.1 ω₀ vale 0 gradi,

• decresce linearmente passando in ω₀ a -45 gradi/decade

• Ridiventa costante a 10 ω₀ con il valore -90 gradi

Diagramma di Bode

Zero singolo reale

Nel caso di uno zero reale la procedura è la stessa del polo, ma con pendenze cambiate di segno (20dB/decade per l’ampiezza, e da 0 a 90gradi per la fase)

Provate a fare i conti!

𝐻 𝑠 = 1 + 𝑠

𝜔₀ 𝐻 𝑗𝜔 = 1 + j 𝜔

𝜔₀ H( j) =1+ j 1

Diagramma di Bode

Ampiezza:

• Retta che vale 0 fino alla frequenza di taglio ω₀

• Da quel punto in poi avrà una pendenza che aumenta di

20dB a decade.

Fase

• Nella pratica, fino 0.1 ω₀ vale 0 gradi,

• aumenta linearmente passando in ω₀ a +45 gradi/decade

• Ridiventa costante a 10 ω₀ con il valore +90 gradi

Diagramma di Bode

Polo in zero Zero in zero

Ampiezza Ampiezza

Questa funzione è rappresentata da una linea retta con una pendenza costante di -20dB per decade, che passa per 0 dB a 1rad/sec e a -20dB a 10 rad/sec.

Se ꞷ=1 rad/s il modulo vale 0dB

H(s)=s

Questa funzione è rappresentata da una linea retta con una pendenza costante di 20dB per decade, che passa per 0 dB a 1rad/sec e a 20dB a 10 rad/sec.

Se ꞷ=1 rad/s il modulo vale 0dB

Fase Fase

s s

H 1

) ( =



) ¹ ¹

( j

j j

H = = −



) ^{1 1} ( j = j− =

H H( j) = j 1

Diagramma di Bode

Diagramma di Bode: Riassumendo

1) Costante pari a 0.1

2) Zero per s=-1 → ω₀ = 1 3) Polo per s=-10 → ω₀ = 10

4) Polo per s=-100 → ω₀ = 100 



 

 +





 

 +

= +

1 100 1 10

1 1 . 0 )

(  

 

j j

j j H

Diagramma di Bode: Riassumendo

1) Costante pari a 0.1

2) Zero per s=-1 → ω₀ = 1 3) Polo per s=-10 → ω₀ = 10

4) Polo per s=-100 → ω₀ = 100 



 

 +





 

 +

= +

1 100 1 10

1 1 . 0 )

(  

 

j j

j j H

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE della funzione

) 100 )(

10 (

100 1 1000

110 100 1

)

( ₂

+ +

= + +

+

= +

s s

s s

s s s

H



 

 +





 

 +

= +

1 100 1 10

1 1 . 0 )

( s s

s s H



 

 +





 

 +

= +

1 100 1 10

1 1 . 0 )

(  

 

j j

j j H

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE dei seguenti circuiti:

Vout

𝑉_𝐶(𝑠)

𝑉_𝑖𝑛(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 1 1 + 𝑠𝐶𝑅

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE dei seguenti circuiti:

Diagramma di Bode

𝑉_𝐶(𝑠)

𝑉_𝑖𝑛(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 1 1 + 𝑠𝐶𝑅

𝐻(𝑠) = 1 1 + 0.1𝑠

Ho un polo per s = -10 Per ω₀=10 rad/sec

1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000 -80

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

dB

Diagramma di Bode

1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000 -80

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

dB



-90 0 90 180

Diagramma di Bode

Nella realtà i diagrammi di Bode sono leggermente differenti, lo vedremo nelle simulazioni

Diagramma di Bode

Osservazioni sul comportamento di un capacitore in frequenza.

Abbiamo detto che un capacitore in continua un circuito aperto, la V non varia, per cui la I è uguale a 0

A basse frequenze continua a comportarsi come un circuito aperto, non scorre corrente e non ho caduta nella resistenza

Vc=Vin → uscita è uguale all’ingresso (0dB)

A frequenze elevate il capacitore si comporta come un corto circuito, da cui

Vc=0

-20 0 20 40 60 80

dB

Diagramma di Bode in frequenza

1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000 -80

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

dB

 -1801E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000

-90 0 90 180



E se volessi disegnare i miei grafici nel dominio delle frequenze e NON di ꞷ?

ꞷ=2πf

Da cui f = ꞷ/2π

Diagramma di Bode

Supponiamo di avere una Vin=10sen(ꞷt), con f=100 Hz

Disegnare l’andamento di Vout nel tempo (consideriamo sempre come uscita Vc)

Quanto vale Vout per t=10ms?

1.59u

𝑉_𝐶(𝑠)

𝑉_𝑖𝑛(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 1 1 + 𝑠𝐶𝑅

Cambia solamente il valore del polo, ovvero della ꞷ₀

In questo modo, la mia frequenza di taglio f₀ = ꞷ₀ /2π = 10 Hz

Posso disegnare meglio il

diagramma di Bode in frequenza

Diagramma di Bode

1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000 -80

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

dB

 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000

-180 -90 0 90 180



V

=10sen(ꞷt)

V

=A

sen(ꞷt + φ)

f (Hz) f (Hz)

Filtro PASSA BASSO

Le frequenze maggiori della frequenza di taglio vengono attenuate

Diagramma di Bode

Supponiamo di avere una Vin=10sen(ꞷt)+5V, con f=10 kHz

Disegnare l’andamento di Vout nel tempo (consideriamo sempre come uscita Vc)

1.59u

𝑉_𝐶(𝑠)

𝑉_𝑖𝑛(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 1 1 + 𝑠𝐶𝑅

Se considero la sovrapposizione degli effetti la mia uscita Vout è data dalla somma di due contributi, uno dovuto alla componente sinusoidale (f=10 kHz) e uno dovuto alla componente continua (f=0Hz)

Dal diagramma di Bode si può osservare che un segnale con f=0Hz NON verrebbe attenuato, in sostanza, PASSA dal filtro

Il segnale a frequenza 10 kHz è ben oltre la frequenza di taglio, per cui viene abbondantemente attenuato

Filtro PASSA BASSO

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE dei seguenti circuiti:

Vout

𝑉_𝑅(𝑠) = 𝑅 𝑅 + 1

𝑠𝐶

𝑉_𝑖𝑛(𝑠)

𝑉 (𝑠) 𝑠𝑅𝐶

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE dei seguenti circuiti:

1 Moltiplicatore RC → -16 dB

1 Zero in zero passa per 1/6.28 Hz!!!

1 polo 1/RC = 1Hz 𝑉_𝑅(𝑠)

𝑉_𝑖𝑛(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 𝑠𝑅𝐶 1 + 𝑠𝑅𝐶

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE dei seguenti circuiti:

1 Moltiplicatore RC 1 Zero in zero

1 polo 1/RC 𝑉_𝑅(𝑠)

𝑉_𝑖𝑛(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 𝑠𝑅𝐶 1 + 𝑠𝑅𝐶

Diagramma di Bode

Osservazioni sul comportamento di un capacitore in frequenza.

Abbiamo detto che un capacitore in continua un circuito aperto, la V non varia, per cui la I è uguale a 0

A basse frequenze continua a comportarsi come un circuito aperto, non scorre corrente e non ho caduta nella resistenza

V_R=0 → uscita tende a zero al diminuire della frequenza

A frequenze elevate il capacitore si comporta come un corto circuito, da cui

Vc=0 V_R=Vin

A frequenze elevate uscita uguale ad ingresso (0dB)

Diagramma di Bode

Supponiamo di avere una Vin=10sen(ꞷt) + 5, con f=100 Hz

Disegnare l’andamento di Vout nel tempo (consideriamo sempre come uscita Vc)

Quanto vale Vout per t=10ms?

Se considero la sovrapposizione degli effetti la mia uscita Vout è data dalla somma di due contributi, uno dovuto alla componente sinusoidale

(f=100Hz) e uno dovuto alla componente continua (f=0Hz)

Dal diagramma di Bode si può osservare che un segnale con f=0Hz verrebbe attenuato, in sostanza, NON PASSA dal filtro

Filtro PASSA ALTO

Quanto vale Vout per t=10ms?

Diagramma di Bode

Tracciare il diagramma di BODE del seguente circuiti:

Vout

Diagramma di Bode

Nel dominio di Laplace possiamo considerare le impedenze Serie tra R₂(s) e R₁(s) parallelo C(s)

A frequenze elevate uscita uguale ad ingresso (0dB)

𝑉_𝑅(𝑠) = 𝑍_𝑝𝑎𝑟

𝑅₂ + 𝑍_𝑝𝑎𝑟 𝑉_𝑖𝑛(𝑠)

𝑉_𝑅(𝑠) =

𝑅₁ 1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑅₂ + 𝑅₁

1 + 𝑠𝑅₁𝐶

𝑉_𝑖𝑛(𝑠)

𝑉_𝑅(𝑠) = 𝑅₁

𝑅 + 𝑅 + 𝑠𝑅 𝑅 𝐶 𝑉_𝑖𝑛(𝑠)

𝑍_𝑃𝑎𝑟(𝑠) = 𝑅₁ ⋅ 1 𝑠𝐶 𝑅₁ + 1 𝑠𝐶

= 𝑅₁ 1 + 𝑠𝑅₁𝐶

𝑉_𝑅(𝑠) = 𝑅₁

𝑅₁ + 𝑅₂ ⋅ 1 1 + 𝑠 𝑅₁𝑅₂

𝑅₁ + 𝑅₂ 𝐶

𝑉_𝑖𝑛(𝑠)

Diagramma di Bode

Osservazioni sul comportamento di un capacitore in frequenza.

Abbiamo detto che un capacitore in continua un circuito aperto, la V non varia, per cui la I è uguale a 0

A basse frequenze continua a comportarsi come un circuito aperto, non scorre corrente, il circuito diventa due R in serie, partitore di tensione!

A frequenze elevate il capacitore si comporta come un corto circuito, da cui

Vc=0 V_R1=0

A frequenze elevate uscita tende a 0

Diagramma di Bode

𝐻(𝑗𝜔) = 10 𝑠 + 100 𝑠 + 1 ⋅ 𝑠 + 10

Tracciare il diagramma di BODE della funzione

Diagramma di Bode

1) Costante pari a 100 2) Zero per ω=100

3) Polo per ω=1 4) Polo per ω=10

𝐻(𝑗𝜔) = 10 𝑠 + 100 𝑠 + 1 ⋅ 𝑠 + 10

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

B

B

𝐻(𝑗𝜔) = 10

100 ⋅ 1 + 𝑗𝜔 100 1 + 𝑗𝜔 ⋅ 10 ⋅ 1 + 𝑗𝜔

10

𝐻(𝑗𝜔) = 100

1 + 𝑗𝜔 100

1 + 𝑗𝜔 ⋅ 1 +𝑗𝜔 10

Diagramma di Bode

𝐻(𝑠) = 1000 ⋅ (𝑠 + 0.1) 𝑠² + 11𝑠 + 100

Tracciare il diagramma di BODE delle seguenti funzioni (per casa)

𝐻(𝑠) = 5 ⋅ (𝑠 + 4) 𝑠² + 15𝑠 + 50

Filtri con Operazionali

Diagramma di Bode

Determinare la funzione di trasferimento del seguente circuito

Diagramma di Bode

Determinare la funzione di trasferimento del seguente circuito

Diagramma di Bode

A basse frequenze il capacitore è un aperto, mi rimane una

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = −𝑍_𝑝𝑎𝑟

𝑅₁ 𝑉_𝑖𝑛 𝑍_𝑝𝑎𝑟 = 𝑅₂ 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = −

𝑅₂ 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

𝑅₁ 𝑉_𝑖𝑛

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂

𝑅₁(1 + 𝑠𝑅₂𝐶)𝑉_𝑖𝑛 = −𝑅₂

𝑅₁ ⋅ 1

1 + 𝑠𝑅₂𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Nel dominio di Laplace posso utilizzare le impedenze, configurazione invertente

Circuito passa basso con taglio in (polo in)

ω=1/R₂C

Guadagno massimo –R₂/R₁

N.B. i circuiti RC filtravano ma non mi davano guadagno

(guadagno uguale a 1)!

Diagramma di Bode

Moltiplicatore → -R2/R1 Polo in 1/R2C

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = −𝑍_𝑝𝑎𝑟

𝑅₁ 𝑉_𝑖𝑛 𝑍_𝑝𝑎𝑟 = 𝑅₂ 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = −

𝑅₂ 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

𝑅₁ 𝑉_𝑖𝑛

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂

𝑅₁(1 + 𝑠𝑅₂𝐶)𝑉_𝑖𝑛 = −𝑅₂

𝑅₁ ⋅ 1

1 + 𝑠𝑅₂𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Nel dominio di Laplace posso utilizzare le impedenze, configurazione invertente

Circuito passa basso con taglio in (polo in)

ω=1/R₂C

Guadagno massimo –R₂/R₁

N.B. i circuiti RC filtravano ma non mi davano guadagno

(guadagno uguale a 1)!

Diagramma di Bode

Moltiplicatore → -R2/R1 Ampiezza 20dB, fase -180°

Polo in 1/R2C → 1Hz

Ha la stessa forma del diagramma di Bode visto col circuito RC FILTRO PASSA BASSO

In più amplifica!

Diagramma di Bode

Determinare la funzione di trasferimento del seguente circuito

Diagramma di Bode

A basse frequenze il capacitore è un aperto, Vout tende a 0

Ad alte frequenze il capacitore è un corto, rimane una configurazione invertente di resistenze

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂

𝑍_𝑠𝑒𝑟 𝑉_𝑖𝑛 𝑍_𝑠𝑒𝑟 = 𝑅₁ + 1 𝑠𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂ 𝑅₁ + 1

𝑠𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Nel dominio di Laplace posso utilizzare le impedenze, configurazione invertente

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Circuito passa alto con taglio in (polo in)

ω=1/R₁C

Guadagno massimo –R₂/R₁

Diagramma di Bode

Moltiplicatore → R C

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂

𝑍_𝑠𝑒𝑟 𝑉_𝑖𝑛 𝑍_𝑠𝑒𝑟 = 𝑅₁ + 1 𝑠𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂ 𝑅₁ + 1

𝑠𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Nel dominio di Laplace posso utilizzare le impedenze, configurazione invertente

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Circuito passa alto con taglio in (polo in)

ω=1/R₁C

Guadagno massimo –R₂/R₁

Diagramma di Bode

Moltiplicatore → R₂C = -35.97 dB Zero in 0

Polo in ω=1/R₁C → 100 Hz

Nel dominio delle pulsazioni abbiamo una retta

Y= 20log(1) + 20 log(x) Y=20log(x)

Nel dominio delle frequenze la mia x è la frequenza, se moltiplico per 6.28 l’ascissa, ottengo l’ordinata

Y=20log(100x6.28)=55,97dB

Moltiplicatore → R₂C = -35.97 dB Zero in 0

Polo in ω=1/R₁C → 100 Hz

Moltiplicatore → R₂C = -35.97 dB Zero in 0

Polo in ω=1/R₁C → 100 Hz

Ha la stessa forma del diagramma di Bode visto col circuito RC FILTRO PASSA ALTO

In più amplifica!

Questo tipo di filtro NON fa passare i segnali con frequenza inferiore alla frequenza di taglio

Tutti i segnali continui, a f=0 Hz, vengono tagliati!!

Es. voglio eliminare la 50Hz della alimientazione elettrica chei n genere mi crea rumore nel segnale

Creo un filtro con una f0 maggiore di 50 Hz

In realtà vengono utilizzate soluzioni più sofisticate, ma non ci interessano in questo corso

Diagramma di Bode - Operazionali

Diagramma di Bode - Operazionali

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 1 + 𝑅₂

𝑍_𝑠𝑒𝑟 𝑉_𝑖𝑛 𝑍_𝑠𝑒𝑟 = 𝑅₁ + 1 𝑠𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 1 + 𝑅₂ 𝑅₁ + 1

𝑠𝐶

𝑉_𝑖𝑛

Nel dominio di Laplace posso utilizzare le impedenze, configurazione invertente

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉_𝑖𝑛 = 1 + 𝑠𝐶 𝑅₁ + 𝑅₂

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉_𝑖𝑛

• 0 moltiplicatori

• 1 polo → 100 Hz

• 1 zero → 9 Hz

• Guadagno massimo 1+R₂/R₁ Da cosa lo vedo?

A basse frequenze il capacitore è un aperto su R1 non scorre corrente, Vout=Vin, guadagno 1 (0dB)

Diagramma di Bode - Operazionali

-40 0 40 80 120

B

Moltiplicatore → 1

Zero in ω=1/[(R₁+R₂)C] → f=9.1Hz Polo in ω=1/R₁C → 100 Hz

Diagramma di Bode - Operazionali

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ -40

0 40 80 120

B

A

Diagramma di Bode - Operazionali

-135 -90 -45 0 45 90

B

Diagramma di Bode - Operazionali

Diagramma di Bode- Operazionali

Tracciare il diagramma di BODE delle seguenti funzioni (per casa)

Diagramma di Bode - Operazionali

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 1 + 𝑍_𝑝𝑎𝑟

𝑅₁ 𝑉_𝑖𝑛 𝑍_𝑝𝑎𝑟 = 𝑅₂ 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 1 +

𝑅₂ 1 + 𝑠𝑅₂𝐶

𝑅₁ 𝑉_𝑖𝑛

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 1 + 𝑅₂ 𝑅₁

1 + 𝑠 𝑅₂𝑅₁ 𝑅₂ + 𝑅₁ 𝐶

(1 + 𝑠𝑅₂𝐶) 𝑉_𝑖𝑛

Nel dominio di Laplace posso utilizzare le impedenze, configurazione invertente

• 1 moltiplicatore

• 1 Zero

• 1 poloω=1/R₂C

Guadagno massimo 1+R₂/R₁

A basse frequenze il capacitore è un aperto, configurazione non invertente A frequenze elevate è un corto, bypassa la R2, Vout=Vin, guadagno 1

Diagramma di Bode - Operazionali

-40 0 40 80 120

B

Moltiplicatore → 1+R2/R1 = 21dB Zero in ω=1/[(R₁ // R₂)C] → f=110Hz Polo in ω=1/R₂C → 10 Hz

Diagramma di Bode - Operazionali

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ -160

-120 -80 -40 0 40 80

B

A

Diagramma di Bode - Operazionali

Traslazione del valor medio

Non tutti gli amplificatori permettono di utilizzare una alimentazione duale.

Ciò vuol dire che se ho un segnale sinusoidale centrato in 0, le semionde negative verranno tagliate dal mio amplificatore

Devo poter traslare il mio segnale in modo da centrarlo su un valor medio che non venga tagliato dall’amplificatore.

1) Devo tener conto dell’ampiezza del segnale

2) Devo tener conto di quanto lo voglio amplificare

3) Devo tener conto di qual è l’alimentazione massima (es. 0-10 V) → l’uscita dovrà essere verosimilmente centrata a metà (in questo caso 5 V) e potrà avere escursione massina della metà (in questo caso 5 V)

Traslazione del valore medio

Esempio

Il mio segnale sinusoidale con ampiezza 100mV, se il mio amplificatore è ad alimentazione singola, 0 – 10V

Potrò al massimo amplificarlo di 50 volte (ampiezza 100mV x 50 = 5V ) centrandolo in + 5 V

Come posso fare?

In realtà l’abbiamo già visto

Traslazione del valore medio

Esempio 2: traslazione della tensione media

Traslazione della tensione media

Cosa succede se V₂ = V₃?

𝑉_𝑜𝑢𝑡

= 𝑉₁ −𝑅₂

𝑅₁ + 𝑉₂ 1 + 𝑅₂

𝑅₁ + 𝑉₃ −𝑅₂ 𝑅₁ 𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 𝑉₁ −𝑅₂

𝑅₁ + 𝑉₂ + 𝑅₂

𝑅₁ 𝑉₂ − 𝑉₃

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 𝑉₁ −𝑅₂

𝑅₁ + 𝑉₂

Il problema che molto spesso il segnale che io devo trattare ha un su offset, ovvero una sua componente in continua-

A tutti gli effetti può essere visto come la somma di un segnale tempovariante e di un segnale in continua (costante)

Es. consideriamo voler avere un segnale sinusoidale di ampiezza 0.1 volt centrato intorno a 2.5 volt.

Abbiamo già visto che in questo caso, posso inserire un generatore sinusoidale di ampiezza 0.1 V, per esempio il V1, e se metto i due generatori V2 e V3 costanti a 2.5V, effettuo una amplificazione della sola uscita, questa volta centrata non più in 0V, ma in 2.5V

Traslazione della tensione media

Traslazione della tensione media

In questo caso, abbiamo un generatore sinusoidale, con ampiezza 0.1 V, con un offest di 2.5 V Sinusoide centrata in 2.5V di ampiezza 0.1V

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 𝑉₁ −𝑅₂

𝑅₁ + 𝑉₂

V₁di ampiezza 0.1 V V₂ = Voffset=2.5 V

Riassumendo nuovamente, se conosco l’offset posso eliminarlo (non amplificandolo), a patto di collegare al terminale non invertente un generatore di tensione pari alla tensione di offset

Tal volta però la tensione di offset non nota a priori, e io vorrei comunque centrare il mio segnale ad una tensione tale da non avere il segnale tagliato (alimentazione singola, non posso avere le parti negative del mio segnale!)

Come posso fare?

Traslazione della tensione media

Traslazione della tensione media

Riconsideriamo questa configurazione

Posso continuare a vedere il mio circuito come se nel terminale invertente avessi un generatore in continua, costante, di tensione pari a Voffset e un generatore sinusoidale, V_sign, di ampiezza 0.1V che si sommano

In sostanza avrò una sinusoide centrata in Voffset di ampiezza 0.1 V Voglio amplificare solo il segnale sinusoidale

E voglio che NON venga tagliato per via dell’alimentazione duale.

Ideale, centrarlo in 2.5 V e amplificarlo al massimo di 25 volte Problema → non conosco Voffset, o poco affidabile

Traslazione della tensione media

Diagramma di Bode

A basse frequenze il capacitore è un aperto, Vout tende a 0

Ad alte frequenze il capacitore è un corto, rimane una configurazione invertente di resistenze

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑍₂

𝑍₁ 𝑉_𝑖𝑛 𝑍₁ = 𝑍_𝑠𝑒𝑟 = 𝑅₁ + 1

𝑠𝐶

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑅₂ 𝑅₁ + 1

𝑠𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Abbiamo già visto che per questo circuito la H(s) si ottiene facilmente:

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = − 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉_𝑖𝑛

Circuito passa alto con taglio in (polo in)

ω=1/R₁C

Guadagno massimo –R₂/R₁ 𝑍₂ = 𝑅₂

Traslazione della tensione media

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ -80

-60 -40 -20 0 20 40 60

B

A

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 𝑉_{𝑠𝑖𝑔𝑛} − 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 + 𝑉₃ + 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉₃ − 𝑉_{𝑜𝑓𝑓𝑠𝑒𝑡}

Vedremo che, in realtà 𝐻(𝑠) = − 𝑍₂

𝑍₁

𝐻(𝑠) = − 𝑠𝑅₂𝐶 1 + 𝑠𝑅₁𝐶

Traslazione della tensione media

𝑉 = 𝑉 −𝑅₂

+ 𝑉

Come posso leggere queste relazioni?

V_sign ha frequenza superiore alla frequenza di taglio, ok!

V3 non passa attraverso il filtro, per cui rimane così, ok!

V3-Voffset, passa attraverso il filtro, ma viene filtrato, qualsiasi sia il suo valore, perchè ha frequenza 0 Hz, sotto la f di taglio!

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ -80

-60 -40 -20 0 20 40 60

B

A

𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 𝑉_{𝑠𝑖𝑔𝑛} − 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 + 𝑉₃ + 𝑠𝑅₂𝐶

1 + 𝑠𝑅₁𝐶 𝑉₃ − 𝑉_{𝑜𝑓𝑓𝑠𝑒𝑡}

Questa tecnica è utilizzata molto spesso specie in circuiti alimentati con tensione singola per accoppiamento di stadi.

Si può osservare infatti che, nel caso di circuito accoppiato in continua, se il segnale Vin avesse una componente continua (la tensione media) diversa da Vref (sia per precisa scelta o per difetto di realizzazione), quella differenza verrebbe amplificata del fattore di guadagno dell’operazionale, determinato dalla retroazione.

L’accoppiamento capacitivo permette quindi di annullare l’effetto di eventuali tensioni di offset in stadi ad ampio guadagno.

Scelgo Vref, in base a quanto voglio traslare il segnale di ingresso!

Amplificatore multistadio

Se voglio eliminare la continua devo inserire un condensatore tale per cui la frequenza di taglio sia leggermente superiore a 0 Hz!!

Altrimenti taglio anche frequenze che potrebbero interessarmi Es. resistenza 1 kΩ, potrei mettere un condensatore C= 15.9 μF

Considerando l’esempio di prima, taglierei le frequenze inferiori a 10 Hz, ma lascerei passare i mio segnale che è a 50 Hz, che verrebbe amplificato Vref, mi permetterebbe di traslare il suo valore medio, molto utile se ho una alimentazione singola

Traslazione della tensione media

Amplificatori reali

Guadagno ad anello aperto non infinito

Gain Band Width

Diagramma di Bode

In realtà non è vero che il mio operazionale ha guadagno ad anello aperto infinito

In generale per ogni operazionale viene definito nelle specifiche un suo guadagno massimo, per esempio 100dB

Se così fosse, posso anche mettere una R2 grandissima, ma tale valore in dB non può essere superato!

Rappresenterà il guadagno massimo del mio amplificatore ad anello chiuso

Inoltre tale guadagno non è costante!!!

Diagramma di Bode

Noi considereremo solamente amplificatori compensati, la cui caratteristica ad anello aperto è di questo tipo

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ -40

0 40 80 120

B

B