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(1)

Compitino di MDAL 31 maggio 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usa- re calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Parte I, con esercizi a risposta secca.

Nelle risposte del tipo SI/NO, le risposte errate contano -1 1. (a) (Punti 1) Si calcoli il seguente prodotto fra matrici:

 1 0 2 2 3 2

 1 0 1

0 1 1



(b) (Punti 1) Si consideri l’applicazione lineare T : R

3

→ R

3

la cui matrice, rispetto alla base standard, ` e la matrice calcolata al punto precedente. Trovare una base di Ker T e di Imm T .

2. Si consideri R

6

con il prodotto scalare standard. Siano v

1

= (1, −1, 2, −2, 3, −3), v

2

= (1, 0, 1, 0, 1, 0) vettori di R

6

(scritti in riga per motivi di spazio).

(a) (Punti 1 ) Trovare una base di (Span (v

1

, v

2

))

.

(b) (Punti 1) ` E vero che, comunque si prendano due vettori v

3

, v

4

li- nearmente indipendenti in (Span (v

1

, v

2

))

, possiamo concludere che v

1

, v

2

, v

3

, v

4

sono linearmente indipendenti ?

3. (Punti 2, attribuiti solo se si individuano tutte le affermazioni vere) Si consideri una applicazione lineare L : R

2

→ R

2

tale che dim Ker L = 1.

Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

(a) Se L ha traccia uguale a 0 allora non ` e diagonalizzabile.

(b) Se L ha traccia 2 allora ` e diagonalizzabile.

(c) Se L ha traccia 1 allora non ` e diagonalizzabile.

(d) Se L

2

6= {O} allora L non ` e diagonalizzabile.

4. (Punti 2) Determinare il numero di soluzioni della congruenza x

4

≡ −1 (mod 17)

5. (Punti 2) Calcolare il massimo comune divisore dei polinomi a coefficienti

razionali f (x) = x

3

− 1 e g(x) = x

3

− x

2

+ x − 1.

(2)

6. (Punti 2) Consideriamo, al variare di a ∈ Z, il polinomio a coefficienti interi f

a

(x) = x

3

− 2x − a.

(a) I valori di a oer cui f

a

(x) ` e irriducibile sono finiti o infiniti?

(b) I valori di a per cui f

a

(x) non ` e irriducibile sono finiti o infiniti?

(3)

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . .

Esercizi con risposta da motivare dettagliatamente Esercizio 1 (Punti 10). Sia X un insieme con 10 eementi.

1. Determinare il numero di coppie ordinate (A, B) di sottoinsiemi di X tali che A ∪ B ha esattamente 3 elementi.

2. Determinare il numero di coppie ordinate (A, B) di sottoinsiemi di X tali

che A ∪ B ha almeno due elementi.

(4)
(5)

Esercizio 2 (Punti 10). Sia L : R

3

→ R

3

l’applicazione lineare che, rispetto alle basi standard, ha matrice :

−1 2 −2

2 −4 4

−2 4 −4

Trovare una base ortonormale di R

3

che diagonalizza L.

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