Ingegneria Informatica e dell’Automazione

(1)

C.d.L. Triennale in

Ingegneria Informatica e dell’Automazione

A.A. 2012/2013

Corso di Analisi Matematica 2 – 9 CFU

Dr. G. Autuori

Prova scritta del 19 Giugno 2013

Esercizio 1. Studiare il comportamento delle seguenti serie in C:

∞

X

n=1

e

ⁿ¹

2 + n

³

(z − 1)

ⁿ⁻¹

,

∞

X

n=1

sin 1 n

z − 1 2

n

.

Esercizio 2. Calcolare il valore dell’integrale Z Z

D

2y sin

²

px

²

+ y

²

x

²

dxdy,

dove D ` e il sottoinsieme di R

²

dato dall’intersezione tra la corona cir- colare chiusa centrata nell’origine e di raggi π e 2π e l’insieme A = {(x, y) ∈ R

²

: 0 ≤ y ≤ −x}.

Esercizio 3. Dati la curva γ di equazione polare %(ϑ) = e

^3ϑ

, con ϑ ∈ π

6 , π 2

, e la funzione F (x, y) = x(x + 3y)

√ 10y

²

(x

²

+ y

²

) , si calcoli Z

γ

F ds.

Esercizio 4. Data la funzione definita in R

⁺0

da

f (t) =



 

 

1, t ∈ [3n, 3n + 1), t − 3n, t ∈ [3n + 1, 3n + 2) ,

−t + 3n + 4, t ∈ [3n + 2, 3(n + 1)) ,

n ∈ N

⁺0

,

determinare la trasformata di Laplace di f .

Inoltre, detta f

_w

= f

_w

(t) la soluzione del problema di Cauchy (P )

( f

_w⁰⁰

(t) + w

²

f

_w

(t) = 0, t ∈ R

⁺0

, w ∈ R

⁺

, f

_w⁰

(0) = w, f

w

(0) = 0,

si determini, al variare dei parametri a, w ∈ R

⁺

, il valore di I

a,w

=

Z

∞ 0

e

^2(1−t)

f

w

(t − a)dt.

(2)

Risoluzione

Esercizio 1. Prima serie. A meno di un riscalamento dell’indice, la serie pu` o essere scritta come

∞

X

n=0

α

_n

(z − 1)

ⁿ

, α

_n

= e

ⁿ⁺¹¹

2 + (n + 1)

³

> 0, n ≥ 0, che ` e evidentemente una serie di potenze centrata in z

₀

= 1.

La formula di Cauchy–Hadamard per la determinazione del raggio di convergenza fornisce

1 ρ = lim

n→∞

p|α

n _n

| = lim

n→∞

(e

^1/(n+1)

)

^1/n

(2 + (n + 1)

³

)

^1/n

. Per n → ∞ si ha

(e

^1/(n+1)

)

^1/n

(2 + (n + 1)

³

)

^1/n

= e

^1/n(n+1)

(2 + (n + 1)

³

)

^1/n

∼ e

^1/n²

n

^3/n

→ 1.

Quindi ρ = 1. Alternativamente, ρ = lim

n→∞

α

_n

α

_n+1

= lim

n→∞

e

^1/(n+1)

e

^1/(n+2)

· 2 + (n + 2)

³

2 + (n + 1)

³

= 1.

Quindi la serie data converge assolutamente in B = B(1, 1) = {z ∈ C :

|z − 1| < 1} e diverge in B

^C

= {z ∈ C : |z − 1| > 1}.

Sia infine z ∈ ∂B = {z ∈ C : |z − 1| = 1}. La serie delle sup–norme diventa

∞

X

n=0

kα

_n

(z − 1)

ⁿ

k

_∞

=

∞

X

n=0

sup

z∈∂B

α

_n

|z − 1|

ⁿ

=

∞

X

n=0

α

_n

.

Si osservi che α

_n

∼ 1

n

³

per n → ∞ e la serie

∞

X

n=1

1 n

³

converge, essendo la serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1. Pertanto, la serie data converge totalmente, e dunque anche assolutamente, nel compatto ∂B.

Ricapitolando, la serie assegnata converge assolutamente in B = {z ∈ C : |z − 1| ≤ 1}, totalmente in tutti i sottoinsiemi compatti di B, mentre diverge in B

^C

.

Seconda serie. Riscrivendo

∞

X

n=1

sin 1 n

z − 1 2

n

=

∞

X

n=1

1 2

ⁿ

sin 1

n (z − 1)

ⁿ

,

(3)

si vede subito che si tratta di una serie di potenze centrata in z

0

= 1.

Posto stavolta, α

_n

= 1 2

ⁿ

sin 1

n , senza perdita di generalit` a si pu` o considerare α

_n

> 0, per n ≥ 1, e dunque, usando la formula di Cauchy–

Hadamard, si ricava 1

ρ = lim

n→∞

p|α

n _n

| = 1 2 lim

n→∞

n

r sin 1

n .

Poich´ e

ⁿ

r

sin 1

n ∼ 1 n

1/n

= 1

√

n

n → 1 per n → ∞, si trova ρ = 2.

Alternativamente,

ρ = lim

n→∞

|α

_n

|

|α

n+1

| = lim

n→∞

2(n + 1)

n ·

sin(1/n) 1/n

· 1/(n + 1) sin[1/(n + 1)]

= 2.

Pertanto la serie data converge assolutamente in B = B(1, 2) = {z ∈ C : |z − 1| < 2} e diverge in B

^C

= {z ∈ C : |z − 1| > 2}.

Se z ∈ ∂B = {z ∈ C : |z − 1| = 2} non si pu`o concludere nulla sul comportamento della serie. Infatti, si possono trovare valori distinti di z ∈ ∂B lungo i quali la serie ha comportamenti diversi. Per esempio, se z = 3 la serie diventa

∞

X

n=1

sin 1

n che diverge, poich´ e il termine generale

`

e asintotico a 1

n , per n → ∞. Invece, per z = −1 si ha

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ

sin 1 n che converge per il criterio di Leibnitz.

Ricapitolando, la serie assegnata converge assolutamente in B = {z ∈ C : |z − 1| < 2}, totalmente in tutti i sottoinsiemi compatti di B, diverge in B

^C

, ma nulla si pu` o dire sui punti di ∂B.

Esercizio 2. Data la simmetria del dominio di integrazione ` e conve- niente utilizzare le coordinate polari

( x(ρ, ϑ) = ρ cos ϑ,

y(ρ, ϑ) = ρ sin ϑ, ρ ∈ [π, 2π], ϑ ∈ 3 4 π, π

.

(4)

Il modulo del determinante della matrice Jacobiana della trasformazione

`

e |detJ | = ρ, e perci` o, applicando la formula di riduzione, si ha

Z Z

D

2y sin

²

px

²

+ y

²

x

²

dxdy =

Z

π 3π/4

Z

2π π

2ρ sin ϑ

ρ

²

cos

²

ϑ · sin

²

ρ · ρ dρ

dϑ

= Z

2π

π

sin

²

ρ dρ · Z

π

3π/4

2 sin ϑ cos

²

ϑ dϑ

= ρ − sin ρ cos ρ 2

2π π

· 2 cos ϑ

π 3π/4

= π( √

2 − 1).

Esercizio 3. La parametrizzazione di γ in equazioni polari ` e ( x(ϑ) = e

^3ϑ

cos ϑ,

y(ϑ) = e

^3ϑ

sin ϑ, ϑ ∈ h π 6 , π

2 i

,

con

( x

⁰

(ϑ) = e

^3ϑ

(3 cos ϑ − sin ϑ),

y

⁰

(ϑ) = e

^3ϑ

(3 sin ϑ + cos ϑ), ϑ ∈ h π

6 , π 2 i

.

Inoltre ds = px

⁰

(ϑ)

²

+ y

⁰

(ϑ)

²

dϑ = √

10e

^3ϑ

, e dunque

(5)

Z

γ

F ds = Z

π/2

π/6

F (x(ϑ), y(ϑ)) p

x

⁰

(ϑ)

²

+ y

⁰

(ϑ)

²

dϑ

= Z

π/2

π/6

e

^−6ϑ

√ 10 · (3 sin ϑ + cos ϑ) cos ϑ sin

²

ϑ · √

10e

^3ϑ

dϑ

= Z

π/2

π/6

e

^−3ϑ

(3 sin ϑ + cos ϑ) · cos ϑ sin

²

ϑ dϑ

= Z

π/2

π/6

h(ϑ)g

⁰

(ϑ)dϑ,

dove h(ϑ) = −e

^−3ϑ

(3 sin ϑ + cos ϑ) e g(ϑ) = 1/ sin ϑ sono ben definite e di classe C

¹

π

6 , π 2

. Applicando la formula di integrazione per parti si ha

Z

π/2 π/6

h(ϑ)g

⁰

(ϑ)dϑ = [h(ϑ)g(ϑ)]

^π/2_π/6

− Z

π/2

π/6

h

⁰

(ϑ)g(ϑ)dϑ

= [h(ϑ)g(ϑ)]

^π/2_π/6

− Z

π/2

π/6

10e

^−3ϑ

dϑ

=

− (3 sin ϑ + cos ϑ)e

^−3ϑ

sin ϑ + 10

3 e

^−3ϑ

π/2 π/6

= 1

3 − cotanϑ

e

^−3ϑ

π/2 π/6

= 1 3

n

e

^−3π/2

+ (3 √

3 − 1)e

^−π/2

o

.

Esercizio 4. Prima parte. La funzione f ` e periodica con periodo T = 3

e banalmente f ∈ L

¹

(0, 3).

(6)

Pertanto la sua trasformata di Laplace ` e L [f(t)](s) = 1

1 − e

^−3s

Z

3

0

e

^−st

f (t)dt

= 1

1 − e

^−3s

Z

1 0

e

^−st

dt + Z

2

1

te

^−st

dt + Z

3

2

(−t + 4)e

^−st

dt

= 1

1 − e

^−3s

Z

1 0

e

^−st

dt + Z

2

1

te

^−st

dt − Z

3

2

te

^−st

dt +4

Z

3 2

e

^−st

dt

.

Integrando per parti, si ottiene Z

1

0

e

^−st

dt = − 1

s e

^−st

t=1 t=0

= 1

s (1 − e

^−s

), e analogamente

Z

3 2

e

^−st

dt = − 1

s e

^−st

t=3 t=2

= − 1

s (e

^−3s

− e

^−2s

).

D’altra parte, Z

2

1

te

^−st

dt =

− te

^−st

s

t=2 t=1

+ 1 s

Z

2 1

e

^−st

dt =

− te

^−st

s − e

^−st

s

²

t=2 t=1

= e

^−st

s

t + 1

s

t=1 t=2

= e

^−s

s

1 + 1

s

− e

^−2s

s

2 + 1

s

, e analogamente

Z

3 2

te

^−st

dt = e

^−st

s

t + 1

s

t=2 t=3

= e

^−2s

s

2 + 1

s

− e

^−3s

s

3 + 1

s

. Di conseguenza

L [f(t)](s) = 1 1 − e

^−3s

1 s (1 − e

^−s

) + e

^−s

s

1 + 1

s

− e

^−2s

s

2 + 1

s

− e

^−2s

s

2 + 1

s

+ e

^−3s

s

3 + 1

s

− 4

s e

^−3s

− e

^−2s

= 1

s(1 − e

^−3s

)

1 + e

^−s

s − 2e

^−2s

s − e

^−3s

1 − 1

s

.

Seconda parte. L’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine

presente in (P ) ` e lineare e omogenea. Per risolverla basta considerare

l’equazione caratteristica associata, che ` e λ

²

+ w

²

= 0, λ ∈ C, e che

ammette come soluzioni λ = ±iw, w ∈ R

⁺

. Utilizzando le condizioni

(7)

iniziali date in (P ), si trova f

w

(t) = sin wt, t ∈ R

⁺0

, w ∈ R

⁺

. Dunque I

_a,w

= e

²

Z

∞ 0

e

^−2t

f

_w

(t − a)dt = e

²

L [f

w

(t − a)](2).

Ricordando che la trasformata di Laplace

L [f

w

(t)](s) = L [sin wt](s) = w s

²

+ w

²

` e ben definita per ogni w ∈ R ed s ∈ R

⁺

, e utilizzando le propriet` a relative alla trasformata di Laplace di una traslazione, otteniamo

I

_a,w

= e

²

· e

^−2a

L [sin wt](2) = e

^2(1−a)

w

4 + w

²

, a, w ∈ R

⁺

.

Ingegneria Informatica e dell’Automazione

C.d.L. Triennale in