Simulazioni e Metodi Montecarlo

(1)

Simulazioni e Metodi Montecarlo

• Cercano gli stati fondamentali di sistemi complessi non risolubili analiticamente e le loro propriet` a

• analoghi per molti versi al problema del commesso viaggiatore

• lasciano evolvere un sistema in base alle leggi della fisica

• il risultato finale si deve poter ottenere tramite piccoli passi

• se q

₁

indica uno stato di un sistema S, e

q

₂

un qualsiasi altro stato, ci deve sempre

essere un modo per andare da S

_q₁

a S

_q₂

e

viceversa.

(2)

Modello di Ising in una dimensione

• E un modello di ferromagnete: gli spin pos- ` sono avere solo due orientamenti opposti, e do’ loro i valori ±1;

• ` e solubile esattamente in una e in due di- mensioni, si pu` o trattare con tecniche Mon- tecarlo;

• gli N spin s

₁

, s

₂

, . . . , s

_N

sono localizzati in N

punti equispaziati su di una retta. L’interazione tra questi ` e definita da un’Hamiltoniana

H = −

^X

i,j

s

_i

· s

_j

dove i e j devono essere primi vicini, cio` e j = i ± 1.

• il modello non ` e completamente definito

finch´ e non viene stabilito il comportamento

degli spin agli estremi s

₁

e s

_N

. La scelta

abituale, detta delle condizioni al contorno

periodiche ` e che s

₁

viene dopo s

_N

.

(3)

Soluzione esatta

Definendo σ

_i

= s

_i

·s

_i+1

e σ

_N

= s

_N

·s

₁

, σ

_i

assume sempre valori ±1 e si ottiene

H = −

N X

i=1

σ

_i

e per la funzione di partizione Z =

^X

p

e

^β ^P^Nⁱ⁼¹ ^σⁱ

dove la somma ` e estesa a tutti possibili stati, quindi le 2

^N

possibilit` a con σ

_i

= ±1

Z =

^X

σ₁=±1

. . .

^X

σ_N=±1

e

^βσ¹

· · · e

^βσ^N

=

^X

σ₁=±1

e

^βσ¹

. . .

^X

σ_N=±1

e

^βσ^N

=

e

^β

+ e

^−β^N

Calcolo quindi l’energia per spin

E = − 1 N

∂

∂β ln Z = − e

^β

− e

^−β

e

^β

+ e

^−β

(4)

Algoritmo di Metropolis

↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑

↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑

• Prendo uno spin a caso tra 1 e N e lo flippo

• valuto la differenza ∆E di energia rispetto alla situazione precedente

• se ∆E < 0. accetto il cambiamento

• se ∆E > 0. accetto il cambiamento con probabilit` a e

^−β∆E

• osservo che per ∆E > 0 ` e possibile solo

∆E = 4 e quindi e

^−4β

pu` o essere calcolato

una volta per tutte

(5)

Equilibrio termodinamico

Sia p

_i

la probabilit` a di occupazione dello stato i all’equilibrio. Sappiamo che p

_i

= N e

^−βEⁱ

. Il valore medio di una quantit` a fisica A ` e dato da

< A >=

P

i

A

_i

p

_i

P i

p

_i

la probabilit` a ` e stazionaria, non cambia con il tempo P (i → j) ` e la probabilit` a di passare dallo stato i allo stato j all’istante successivo. In condizioni non stazionarie sia w

_i

la probabilit` a di occupare lo stato i

w

_i

(t

_{N +1}

) =

^X

j

P (j → i)w

_j

(t

_N

)

Posso usare una notazione matriciale per scrivere

~

w(t

_{N +1}

) = P ~ w(t

_N

) Sotto condizioni piuttosto generali

lim

N →∞

P

^N

w = ~ ~ p

(6)

Bilancio dettagliato

Se p

_i

e p

_j

sono le probabilit` a di occupazione

degli stati i e j del sistema in condizioni stazionarie, il numero medio di particelle che entrano nello

stato i da qualsiasi stato j ` e dato da

X

j

p

_j

P (j → i) mentre quelle che escono sono

X

j

p

_i

P (i → j) La stazionariet` a richiede allora

X

j

p

_i

P (i → j) =

^X

j

p

_j

P (j → i)

che ` e la condizione di bilancio dettagliato.

La scelta pi` u semplice per soddisfare questa equazione ` e

p

_i

P (i → j) = p

_j

P (j → i)

per qualunque stato i e j all’equilibrio.

p

_j

p

_i

= P (i → j)

P (j → i) = e

^−βE^j

e

^−βEⁱ

= e

^−β(E^j^−Eⁱ⁾

(7)

Probabilit` a di selezione e ampiezza di transizione

• P (i → j) pu` o essere divisa in due parti

(a) la probabilit` a g(i → j) che venga selezio- nato un nuovo stato j quando il sistema

` e in uno stato i

(b) la probabilit` a che il sistema effettiva- mente passi dallo stato i allo stato j (ampiezza di transizione A(i → j))

• posso quindi scrivere

P (i → j) = g(i → j)A(i → j)

• il metodo di Metropolis prende g(i → j) costante per i primi vicini. Il rapporto delle ampiezze di transizione ` e allora fissato

A(i → j)

A(j → i) = P (i → j)

P (j → i) = e

• mi interessa avere il massimo del cambia- mento possibile e quindi scelgo A(i → j) = 1 nel caso pi` u favorevole e ottengo quindi

A(i → j) = 1 E

_j

< E

_i

A(i → j) = e

E

_j

≥ E

_i

(8)

Modello di Ising con campo magnetico

H = −

^P_i,j

s

_i

s

_j

− B

^P_i

s

_i

H = −s

₀

s

₁

− . . . − s

_i−1

s

_i

− s

_i

s

_i+1

− . . . − s

_{N −1}

s

₀

−Bs

₀

− . . . − Bs

_i

− . . . − Bs

_{N −1}

Se ora flippo il segno di uno spin s

_i

, solo una parte di H viene cambiata di segno

−s

_i−1

s

_i

−s

_i

s

_i+1

−Bs

_i

= ⇒ +s

_i−1

s

_i

+ s

_i

s

_i+1

+ Bs

_i

H

⁰

− H = 2

s

_i−1

s

_i

+ s

_i

s

_i+1

+ Bs

_i

=

2s

_i

s

_i−1

+ s

_i+1

+ B

Per rendere pi` u rapido il calcolo ` e conveniente calcolare una volta per tutte i pochi possibili valori positivi di ∆E = H

⁰

− H Risulta

• Se s

_i−1

e s

_i+1

sono discordi ∆E = ±2B

• se sono concordi ∆E = ±2(2 ± B)

• supponendo sempre B > 0 si ottengono,

come valori positivi di ∆E, 2B,|B − 2|e B + 2

(9)

Magnetizzazione

La magnetizzazione ` e data da

M = 1 N

X

i

s

_i

E interessante sapere che tipo di comportamento ` ha il sistema al variare della temperatura a

parit` a di campo magnetico. In questo caso

non esiste una soluzione analitica.

(10)

Modello di Ising in due dimensioni

↑ ↑ ↓ ↑

↑ ↓ ↑ ↑

↑ ↑ ↓ ↑

↓ ↓ ↑ ↑

• Ogni spin ha 4 vicini (invece di 2);

• l’espressione dell’hamiltoniana ` e la stessa che in una dimensione, ma la somma

` e estesa ai quattro primi vicini;

• lo stesso vale se in presenza di un campo magnetico.

E interessante studiare la magnetizzazione ` M in funzione della tempertura β, anche in as- senza di un campo magnetico esterno.

• Si nota che per β piccolo (temperatura alta) la magnetizzazione ` e nulla;

• per β grande (temperatura piccola) la magnetizzazione si avvicina a 1;

• si ha un cambiamento brusco di M (tran-

sizione di fase) per β ≈ 0.44.

(11)

Espressione analitica dell’energia

L’energia per spin del modello di Ising in due dimensioni ` e stata ricavata da Onsager. La sua espressione ` e data da

E/N = − coth(2β) ·

1 +

²

π

· q

₂

· K

₁

(q

₁

)

con

K

₁

(x) =

Z _π 0

dϕ

q

(1 − x

²

sin

²

ϕ) e

q

₁

= 2 sinh(2β)

cosh

²

(2β) e q

₂

= 2 tanh

²

(2β) − 1

(12)

Dettagli del calcolo in D = 2

• Nel calcolo dell’energia ogni interazione tra due spin contribuisce a due spin diversi: si possono quindi contare le interazioni tra coppie di spin e moltiplicare per due il risul- tato;

• la differenza di energia tra due stati ` e (in assenza di campo magnetico):

∆E = 2s

_i,j

s

_i+1,j

+ s

_i−1,j

+ s

_i,j+1

+ s

_i,j−1

che si pu` o scrivere ∆E = 2k con k = 0, ±2, ±4.

E quindi ancora possibile memorizzare in ` anticipo pochi valori di e

^−β∆E

;

• invece di prendere uno spin a caso ` e possi- bile passarli in modo sistematico per righe e per colonne s

_0,0

, s

_0,1

, . . . , s

_1,0

, . . . , s

_{N −1,N −1}

;

• ` e essenziale fare un grafico della magnetiz-

zazione in funzione della temperatura.

(13)

Che grandezze ci interessano?

E possibile calcolare `

• lo scarto quadratico medio per l’energia e per la magnetizzazione:

hE

²

i − hEi

²

e hM

²

i − hM i

²

• la funzione di correlazione tra spin hs

_µ

s

_ν

i − hs

_µ

ihs

_ν