Sequenze spettrali

(1)

Sequenze spettrali

(2)

A anello. Una sequenza spettrale E consiste nei seguenti dati:

▸

Una collezione di A-moduli (E

r^p,q

) , per (p, q) ∈ Z

²

e r ∈ Z

^>0

.

▸

Fissato r , per ogni (p, q), mappe di A-moduli d

_r^p,q

∶ E

r^p,q

→ E

r^p+r,q−r+1

tali che d

r^p,q

○ d

^r^{p−r,q+r−1}

= 0 .

▸

Per ogni r , E

_r^p,q₊₁

= Ker (d

^r^p,q

) Im (d

^r^{p−r,q+r−1}

) .

Conviene immaginarsi una sequenza spettrale come un libro, in cui

a pagina r ` e illustrato il forglio (E

r^●,●

) ...

(3)

Pagina 1 (d ₁ ^p,q ∶ E ₁ ^p,q → E ₁ ^p ^+1,q )

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // E

₁^0,3

// E

₁^1,3

// E

₁^2,3

// E

₁^3,3

// E

₁^4,3

// ⋯

⋯ // E

₁^0,2

// E

₁^1,2

// E

₁^2,2

// E

₁^3,2

// E

₁^4,2

// ⋯

⋯ // E

₁^0,1

// E

₁^1,1

// E

₁^2,1

// E

₁^3,1

// E

₁^4,1

// ⋯

⋯ // E

₁^0,0

// E

₁^1,0

// E

₁^2,0

// E

₁^3,0

// E

₁^4,0

// ⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(4)

Pagina 2 (d ₂ ^p,q ∶ E ₂ ^p,q → E ₂ ^p ^+2,q−1 )

⋱

((

⋮

((

⋮

((

⋮

((

⋮

((

⋮ ⋰

⋯

((

E

₂^0,3

((

E

₂^1,3

((

E

₂^2,3

((

E

₂^3,3

((

E

₂^4,3

⋯

((

E

₂^0,2

((

E

₂^1,2

((

E

₂^2,2

((

E

₂^3,2

((

E

₂^4,2

⋯

((

E

₂^0,1

((

E

₂^1,1

((

E

₂^2,1

((

E

₂^3,1

((

E

₂^4,1

⋯

((

E

₂^0,0

((

E

₂^1,0

((

E

₂^2,0

((

E

₂^3,0

((

E

₂^4,0

⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(5)

Pagina 3 (d ₃ ^p,q ∶ E ₃ ^p,q → E ₃ ^p ^+3,q−2 )

⋱

%%

⋮

&&

⋮

&&

⋮

%%

⋮ ⋮ ⋰

⋯

%%

E

₃^0,3

&&

E

₃^1,3

&&

E

₃^2,3

%%

E

₃^3,3

E

₃^4,3

⋯

%%

E

₃^0,2

&&

E

₃^1,2

&&

E

₃^2,2

%%

E

₃^3,2

E

₃^4,2

⋯

%%

E

₃^0,1

&&

E

₃^1,1

&&

E

₃^2,1

%%

E

₃^3,1

E

₃^4,1

⋯

⋯ E

₃^0,0

E

₃^1,0

E

₃^2,0

E

₃^3,0

E

₃^4,0

⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(6)

Diciamo che E `e eventualmente costante se esiste r

0

tale che:

d

_r^p,q

= 0 ∀ r ≥ r

0

, (p, q) ∈ Z

²

.

Ci` o ` e equivalente a dire che E

r^p,q

= E

^r^p,q0

∀ r ≥ r

⁰

, (p, q) ∈ Z

²

. In tal caso si dice che E degenera a pagina r

0

, e si pone

E

_∞^p,q

∶= E

r^p,q0

∀ (p, q) ∈ Z

²

.

OSS.: Per ogni r ∈ Z

^>0

, consideriamo l’insieme Q

_r

= {(p, q) ∈ Z

²

∶ E

r^p,q

≠ 0} ,

e si noti che Q

₁

⊃ Q

2

⊃ Q

3

⊃ Q

4

⊃ . . .. Dunque se Q

1

` e un insieme limitato di R

²

, allora E `e eventualmente costante.

DEF. : Diremo che E `e limitata se Q

1

` e un insieme limitato di R

²

. (Quasi tutte le sequenze spettrali provenienti da situazioni

“naturali” sono limitate).

(7)

Una sequenza spettrale E eventualmente costante converge ad una collezione di A-moduli (E

ⁿ

)

n∈Z

se: per ogni n ∈ Z, esiste una filtrazione di A-sottomoduli di E

ⁿ

:

. . . ⊃ F

^p

E

ⁿ

⊃ F

^p+1

E

ⁿ

⊃ . . . tale che:

▸

⋂

^p∈Z

F

^p

E

ⁿ

= {0} e ⋃

^p∈Z

F

^p

E

ⁿ

= E

ⁿ

;

▸

E

∞^p,q

≅ F

^p

E

^p+q

/F

^p+1

E

^p+q

∀ (p, q) ∈ Z

²

.

Solitamente, quello che succede ` e che per qualche motivo si conosce qualche pagina di E (solitamente la prima o la seconda).

Quindi, se si sa che (E

^r^p,q

)

(p,q)

` e l’r -esima pagina di una sequenza spettrale convergente a (E

ⁿ

)

n∈Z

, si scrive:

E

_r^p,q

⇒ E

^p+q

.

(8)

OSS : Sia E = (E

^r^{i ,j}

) sequenza spettrale tale che E

^r^p,q

⇒ E

^p+q

.

▸

Se A ` e un campo e E degenera a pagina r , allora:

E

ⁿ

≅ ⊕

p+q=n

E

_r^p,q

.

▸

E

r^p,q

= 0 ∀ p + q = n ⇒ E

ⁿ

= 0.

▸

Se esiste p

₀

tale che E

_r^p,q

= 0 ∀ p ≠ p

⁰

, allora E degenera a pagina r e E

ⁿ

≅ E

r^p⁰^,n−p⁰

.

▸

Se esiste q

0

tale che E

r^p,q

= 0 ∀ q ≠ q

⁰

e r ≥ 2, allora E

degenera a pagina r e E

ⁿ

≅ E

r^n−q⁰^,q⁰

.

(9)

Sia C

^●

un complesso di cocatene con differenziali (d

ⁿ

)

ⁿ∈Z

. Ad ogni filtrazione regolare di C

^●

si pu` o associare una sequenza spettrale convergente alla coomologia di C

^●

:

DEF.: Una filtrazione regolare di C

^●

consiste in una filtrazione di A-sottomoduli di C

ⁿ

(per ogni n ∈ Z)

. . . ⊃ F

^p

C

ⁿ

⊃ F

^p+1

C

ⁿ

⊃ . . . tale che:

▸

⋂

p∈Z

F

^p

C

ⁿ

= {0} e ⋃

p∈Z

F

^p

C

ⁿ

= C

ⁿ

;

▸

d

ⁿ

(F

^p

C

ⁿ

) ⊂ F

^p

C

ⁿ⁺¹

.

TEOREMA: Ad ogni filtrazione regolare di C

^●

` e associata una sequenza spettrale convergente ad (E

ⁿ

)

ⁿ∈Z

dove E

ⁿ

= H

ⁿ

(C

^●

) . Inoltre F

^p

E

ⁿ

≅ H

ⁿ

(F

^p

C

^●

) .

Dim.: Chi ` e interessato alla dimostrazione pu` o leggerla alle pagine

203-206 del libro di Gelfand and Manin Methods of homological algebra.

(10)

Complessi doppi

Un complesso doppio di A-moduli C

^●,●

consiste in:

▸

complessi di A-moduli C

^●,q

per ogni q ∈ Z, con differenziali (d

h^n,q

)

n∈Z

;

▸

complessi di A-moduli C

^p,●

per ogni p ∈ Z, con differenziali (d

v^p,n

)

n∈Z

,

tali che tutti i seguenti quadrati commutino:

C

^{p,q+1 d}

p+1,q

h

// C

^p+1,q+1

C

^p,q

d_h^p,q

//

dv^p,q

OO

C

^p+1,q

dv^p+1,q

OO

Il complesso totale di C

^●,●

` e il seguente complesso Tot (C)

^●

:

▸

Tot(C )

ⁿ

= ⊕

_p+q=n

C

^p,q

;

▸

d

ⁿ

∶ Tot(C )

ⁿ

→ Tot(C )

ⁿ⁺¹

manda x ∈ C

^p,n−p

in d

_h^p,n−p

x + (−1)

^p

d

v^p,n−p

x .

(11)

C ^●,●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d_h^0,2

//

d^0,2_v

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

d^1,2_v

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

d_h^0,1

//

d^0,1_v

OO

C

^1,1

d^1,1_h

//

d^1,1_v

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0 ^d^h^0,0

//

d^0,0_v

OO

C

^1,0

d^1,0_h

//

d^1,0_v

OO

C

^2,0

d^2,0_h

//

d^2,0_v

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(12)

Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d_h^0,2

//

d^0,2_v

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

−d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

d_h^0,1

//

d^0,1_v

OO

C

^1,1

d^1,1_h

//

−d_v^1,1

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0 ^d^h^0,0

//

d^0,0_v

OO

C

^1,0

d^1,0_h

//

−d_v^1,0

OO

C

^2,0

d^2,0_h

//

d^2,0_v

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

−d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(13)

Dalla definizione abbiamo immediatamente due filtrazioni regolari di Tot (C)

^●

:

(i)

^′

F

^p

Tot (C)

^●

con

^′

F

^p

Tot (C)

ⁿ

= ⊕

i≥p

C

^{i ,n−i}

per ogni n ∈ Z;

(ii)

^′′

F

^q

Tot (C)

^●

con

^′′

F

^q

Tot (C)

ⁿ

= ⊕

j≥q

C

^n−j,j

per ogni n ∈ Z.

Come visto, dunque queste filtrazioni danno luogo a due sequenze spettrali, rispettivamente (

^′

E

_r^p,q

) e (

^′′

E

_r^p,q

) , entrambe convergenti alla coomologia di Tot (C)

^●

.

Il nostro scopo ora ` e quello di descrivere le seconde pagine di tali

sequenze spettrali in termini di C

^●,●

, ma prima diamo un’occhiata

alle filtrazioni descritte sopra...

(14)

′ F ⁰ Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d_h^0,2

//

d^0,2_v

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

−d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

d_h^0,1

//

d^0,1_v

OO

C

^1,1

d^1,1_h

//

−d_v^1,1

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0 ^d^h^0,0

//

d^0,0_v

OO

C

^1,0

d^1,0_h

//

−d_v^1,0

OO

C

^2,0

d^2,0_h

//

d^2,0_v

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

−d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(15)

′ F ¹ Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

//

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

−d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

//

OO

C

^1,1

d^1,1_h

//

−d_v^1,1

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0

//

OO

C

^1,0

d^1,0_h

//

−d_v^1,0

OO

C

^2,0

d^2,0_h

//

d^2,0_v

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

−d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(16)

′ F ² Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3

//

OO

C

^1,3

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

//

OO

C

^1,2

//

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

//

OO

C

^1,1

//

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0

//

OO

C

^1,0

//

OO

C

^2,0

d^2,0_h

//

d^2,0_v

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

−d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(17)

′ F ³ Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3

//

OO

C

^1,3

//

OO

C

^2,3

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

//

OO

C

^1,2

//

OO

C

^2,2

//

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

//

OO

C

^1,1

//

OO

C

^2,1

//

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0

//

OO

C

^1,0

//

OO

C

^2,0

//

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

−d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(18)

′′ F ⁰ Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d_h^0,2

//

d^0,2_v

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

−d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

d_h^0,1

//

d^0,1_v

OO

C

^1,1

d^1,1_h

//

−d_v^1,1

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0 ^d^h^0,0

//

d^0,0_v

OO

C

^1,0

d^1,0_h

//

−d_v^1,0

OO

C

^2,0

d^2,0_h

//

d^2,0_v

OO

C

^3,0

d^3,0_h

//

−d_v^3,0

OO

C

^4,0

//

d_v^4,0

OO // ⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(19)

′′ F ¹ Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d_h^0,2

//

d^0,2_v

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

−d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

d_h^0,1

//

d^0,1_v

OO

C

^1,1

d^1,1_h

//

−d_v^1,1

OO

C

^2,1

d^2,1_h

//

d^2,1_v

OO

C

^3,1

d^3,1_h

//

−d_v^3,1

OO

C

^4,1

d_v^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0

//

OO

C

^1,0

//

OO

C

^2,0

//

OO

C

^3,0

//

OO

C

^4,0

//

OO

⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(20)

′′ F ² Tot(C) ^●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d^1,3_h

//

OO

C

^2,3

d^2,3_h

//

OO

C

^3,3

d^3,3_h

//

OO

C

^4,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d_h^0,2

//

d^0,2_v

OO

C

^1,2

d^1,2_h

//

−d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2_h

//

d^2,2_v

OO

C

^3,2

d^3,2_h

//

−d_v^3,2

OO

C

^4,2

d_v^4,2

OO // ⋯

⋯ // C

^0,1

//

OO

C

^1,1

//

OO

C

^2,1

//

OO

C

^3,1

//

OO

C

^4,1

OO // ⋯

⋯ // _C

^0,0

//

OO

C

^1,0

//

OO

C

^2,0

//

OO

C

^3,0

//

OO

C

^4,0

//

OO

⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(21)

In un complesso doppio C

^●,●

possiamo vedere le mappe orizzontali come morfismi di complessi:

. . . → C

^{p−1,● d}

ÐÐÐ→ C

^h^p−1,● ^{p,● d}

ÐÐ→ C

^h^p,● ^p+1,●

→ . . . e quelle verticali come morfismi di complessi:

. . . → C

^{●,q−1 d}

ÐÐÐ→ C

^v^●,q−1 ^{●,q d}

ÐÐ→ C

^v^●,q ^●,q+1

→ . . .

Dunque abbiamo mappe indotte sulle coomologie ...

(22)

C ^●,●

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _C

^0,3 ^d^h^0,3

//

OO

C

^1,3

d_h^1,3

//

OO

C

^2,3

d_h^2,3

//

OO

C

^3,3

d_h^3,3

//

OO

⋯

⋯ // C

^0,2

d^0,2 h

//

d_v^0,2

OO

C

^1,2

d^1,2 h

//

d_v^1,2

OO

C

^2,2

d^2,2 h

//

d_v^2,2

OO

C

^3,2

d^3,2 h

//

d_v^3,2

OO

⋯

⋯ // C

^0,1

d_h^0,1

//

d_v^0,1

OO

C

^1,1

d_h^1,1

//

d_v^1,1

OO

C

^2,1

d_h^2,1

//

d_v^2,1

OO

C

^3,1

d_h^3,1

//

d_v^3,1

OO

⋯

⋯ // C

^0,0

d_h^0,0

//

d_v^0,0

OO

C

^1,0

d_h^1,0

//

d_v^1,0

OO

C

^2,0

d_h^2,0

//

d_v^2,0

OO

C

^3,0

d_h^3,0

//

d_v^3,0

OO

⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋱

(23)

Coomologia verticale

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ // _H

_v³

_(C

^0,●

)

d_h^0,3

// _H

³_v

_(C

^1,●

)

d_h^1,3

// _H

³_v

_(C

^2,●

)

d_h^2,3

// _H

³_v

_(C

^3,●

) // ⋯

⋯ // _H

_v²

_(C

^0,●

)

d_h^0,2

// _H

²_v

_(C

^1,●

)

d_h^1,2

// _H

²_v

_(C

^2,●

)

d_h^2,2

// _H

²_v

_(C

^3,●

) // ⋯

⋯ // _H

_v¹

_(C

^0,●

)

d_h^0,1

// _H

¹_v

_(C

^1,●

)

d_h^1,1

// _H

¹_v

_(C

^2,●

)

d_h^2,1

// _H

¹_v

_(C

^3,●

) // ⋯

⋯ // _H

_v⁰

_(C

^0,●

)

d_h^0,0

// _H

⁰_v

_(C

^1,●

)

d_h^1,0

// _H

⁰_v

_(C

^2,●

)

d_h^2,0

// _H

⁰_v

_(C

^3,●

) // ⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(24)

Coomologia orizzontale della coomologia verticale

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ H_h⁰H_v³(C^●,●) H_h¹H_v³(C^●,●) H²_hH_v³(C^●,●) H_h³H³_v(C^●,●) ⋯

⋯ H_h⁰H_v²(C^●,●) H_h¹H_v²(C^●,●) H²_hH_v²(C^●,●) H_h³H²_v(C^●,●) ⋯

⋯ H_h⁰H_v¹(C^●,●) H_h¹H_v¹(C^●,●) H²_hH_v¹(C^●,●) H_h³H¹_v(C^●,●) ⋯

⋯ H_v⁰H_h⁰(C^●,●) H_h¹H_v⁰(C^●,●) H²_hH_v⁰(C^●,●) H_h³H⁰_v(C^●,●) ⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(25)

Coomologia orizzontale

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ H

h⁰

(C

^●,3

)

OO

H

h¹

(C

^●,3

)

OO

H

h²

(C

^●,3

)

OO

H

h³

(C

^●,3

)

OO

⋯

⋯ H

h⁰

(C

^●,2

)

d^0,2_v

OO

H

h¹

(C

^●,2

)

d_v^1,2

OO

H

h²

(C

^●,2

)

d_v^2,2

OO

H

h³

(C

^●,2

)

d_v^3,2

OO

⋯

⋯ H

h⁰

(C

^●,1

)

d^0,1_v

OO

H

h¹

(C

^●,1

)

d_v^1,1

OO

H

h²

(C

^●,1

)

d_v^2,1

OO

H

h³

(C

^●,1

)

d_v^3,1

OO

⋯

⋯ H

h⁰

(C

^●,0

)

d^0,0_v

OO

H

h¹

(C

^●,0

)

d_v^1,0

OO

H

h²

(C

^●,0

)

d_v^2,0

OO

H

h³

(C

^●,0

)

d_v^3,0

OO

⋯

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮ ⋱

(26)

Coomologia verticale della coomologia orizzontale

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰

⋯ H_v³H_h⁰(C^●,●) H_v³H_h¹(C^●,●) H³_vH_h²(C^●,●) H_v³H³_h(C^●,●) ⋯

⋯ H_v²H_h⁰(C^●,●) H_v²H_h¹(C^●,●) H²_vH_h²(C^●,●) H_v²H³_h(C^●,●) ⋯

⋯ H_v¹H_h⁰(C^●,●) H_v¹H_h¹(C^●,●) H¹_vH_h²(C^●,●) H_v¹H³_h(C^●,●) ⋯

⋯ H_v⁰H_h⁰(C^●,●) H_v⁰H_h¹(C^●,●) H⁰_vH_h²(C^●,●) H_v⁰H³_h(C^●,●) ⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(27)

TEOREMA: Col le notazioni, introdotte si ha:

′

E

₂^p,q

= H

h^p

H

_v^q

(C

^●,●

) e

^′′

E

₂^p,q

= H

v^p

H

_h^q

(C

^●,●

).

In particolare, H

_h^p

H

_v^q

(C

^●,●

) ⇒ H

^p+q

(Tot(C)

^●

) ⇐ H

v^p

H

_h^q

(C

^●,●

) .

Dim.: Chi ` e interessato alla dimostrazione pu` o leggerla a pagina 209 di Gelfand-Manin, Proposizione 10.

Siano M ed N due A-moduli, e P

●

→ M → 0 e Q

^●

→ N → 0 rispettive

risoluzioni proiettive. Per essere coerenti con la notazione coomologica

finora adottata, poniamo P

ⁱ

∶= P

⁻ⁱ

e Q

ⁱ

∶= Q

⁻ⁱ

per ogni i ∈ Z. In questo

modo, ad esempio, la risoluzione proiettiva di M ` e:

. . . → P

⁻²

→ P

⁻¹

→ P

⁰

→ M → 0.

Si consideri il complesso doppio T

^●,●

tale che, per ogni (i, j) ∈ Z

²

:

▸

T

^{i ,j}

= P

ⁱ

⊗

^A

Q

^j

;

▸

T

^●,j

= P

^●

⊗

^A

Q

^j

e T

^{i ,●}

= P

ⁱ

⊗

^A

Q

^●

.

(28)

T ^●,●

0 0 0 0

⋯

//

P⁻³⊗AQ⁰

//

OO

P⁻²⊗AQ⁰

//

OO

P⁻¹⊗AQ⁰

//

OO

P⁰⊗AQ⁰

//

OO

0

⋯

//

P⁻³⊗AQ⁻¹

//

OO

P⁻²⊗AQ⁻¹

//

OO

P⁻¹⊗AQ⁻¹

//

OO

P⁰⊗AQ⁻¹

//

OO

0

⋯

//

P⁻³⊗AQ⁻²

//

OO

P⁻²⊗AQ⁻²

//

OO

P⁻¹⊗AQ⁻²

//

OO

P⁰⊗AQ⁻²

//

OO

0

⋯

//

P⁻³⊗_AQ⁻³

//

OO

P⁻²⊗_AQ⁻³

//

OO

P⁻¹⊗_AQ⁻³

//

OO

P⁰⊗_AQ⁻³

//

OO

0

⋰ ⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

⋮

OO

(29)

Coomologia verticale

0 0 0 0

⋯

//

P⁻³⊗AN

//

P⁻²⊗AN

//

P⁻¹⊗AN

//

P⁰⊗AN

//

0

⋯ 0 0 0 0 0

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Sequenze spettrali