(1)Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria

Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 9 giugno 2008 1 Esame di Analisi matematica I : esercizi

Dr. Franco Obersnel

A.a. 2007-2008, sessione estiva, I appello

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

ESERCIZIO N. 1. `E data una successione di numeri reali (xn)n tale che, per ogni n ∈ IN, 0 < xn < 1.

Supponiamo inoltre che esista

n→+∞lim xⁿ_n= γ > 0.

(i) Si provi che esistono e si calcolino i limiti lim

n→+∞log(xn) e lim

n→+∞xn.

(ii) Si calcoli

y→1lim 1 − y

log y =

(iii) Si verifichi, utilizzando il limite calcolato in (ii), che

lim

n→+∞

n(x_n− 1) log xⁿ_n = 1.

(iv) Si calcoli

n→+∞lim n(1 − xn) =

2 Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 9 giugno 2008 ESERCIZIO N. 2. Si consideri il polinomio

f (x) = x⁴+ 4x³+ 4x².

Si determinino

• lim

x→−∞f (x) = • lim

x→+∞f (x) =

• f⁰(x) =

• i segni di f⁰ :

• la crescenza, la decrescenza, gli estremi relativi e assoluti di f :

• i segni di f :

• f⁰⁰(x) =

• i segni di f⁰⁰:

• la concavit`a, la convessit`a, i punti di flesso di f :

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COGNOME e NOME N. Matricola

ESERCIZIO N. 3.

(i) Si stabilisca per quali b ∈ IR⁺ esiste l’integrale generalizzato Z +∞

0

xb^xdx.

(ii) Si calcoli

Z +∞

0

xe^−xdx.

4 Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 9 giugno 2008 ESERCIZIO N. 4. Si consideri la funzione

f (x) = Z x²

0

Z 2t t

e^s2ds

 dt.

(i) Si calcoli f⁰(x) =

(ii) Si determinino, giustificando le risposte,

• lim

x→0f (x) =

• lim

x→+∞f (x) =

(iii) Si provi che, per ogni α ∈ IR⁺, esistono esattamente due soluzioni dell’equazione f (x) = α.