Universit` a degli Studi di Brescia - Ingegneria Edile-Architettura

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Meccanica Razionale - 15.04.2019

Cognome e Nome . . . .

C. d. L.: . . . Anno di Corso: 2 3 altro

Matricola . . . Firma . . . .

Istruzioni

1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni; in particolare, scrivere cognome e nome (in stampatello) e firmare.

2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.

3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, telefoni cellulari.

5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 120 min.

Quesito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TOT

Punti

Nel piano verticale Oxy un sistema materiale ` e costituito da due aste omogenee OA ed OB, ciascuna di massa m e lunghezza L, tra loro perpendicolari e saldate in O. Il punto O del sistema ` e incernierato nell’origine del sistema di riferimento. Oltre alla forza peso, sul sistema agiscono

• la forza elastica ~ F k = −k (B − B ⁰ ), dove k = ¹ ₄ ^mg _L e B ⁰ la proiezione di B sull’asse delle x,

• la forza costante ~ F = ¹ ₂ mgˆi 1 , dove ˆi 1 ` e il versore dell’asse delle x, applicata in A.

Supposto il vincolo liscio e dato il parametro lagrangiano θ, angolo tra x ⁺ e (B − O), si chiede:

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1. Determinare le coordinate dei punti A, B, G 1 e G 2 (G 1 e G 2 sono i baricentri delle aste) e l’espressione delle forze attive in funzione del parametro lagrangiano. [punti 2]

A − O = L(− sin(θ), cos(θ)); B − O = L(cos(θ), sin(θ)); G 1 − O = L/2(− sin(θ), cos(θ));

G ₂ − 0 = L/2(cos(θ), sin(θ)); ~ F _B = −kL(0, sin(θ)); ~ F _A = (mg/2, 0); ~ F _G

= ~ F _G

= (0, mg).

2. Determinare la funzione potenziale U di tutte le forze attive agenti sul sistema. [punti 4]

U = mgL/2 cos(θ) − 1/4 sin ² (θ)
+ cost.

3. Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema [punti 4]

θ ₁ = 0; θ ₂ = π.

4. Determinare la reazione vincolare esterna nelle configurazioni di equilibrio. [punti 4]

~ φ O = (−mg/2, −2mg)

5. Scrivere l’energia cinetica del sistema. [punti 4]

T = ^mL ₃

θ ˙ ²

6. Calcolare il momento della quantit` a di moto del sistema rispetto al polo O. [punti 4]

K ~ O = ² ₃ mL ² θˆi ˙ 3

7. Scrivere la seconda equazione cardinale del sistema rispetto al polo O [punti 4]

d

dt K ~ O = ² ₃ mL ² θˆi ¨ 3 = ~ Ω ^e _O = −mgL/2 sin(θ) − kL ² cos(θ) sin(θ)
ˆi 3

8. Determinare un integrale primo del moto. [punti 2]

E = T − U, E = ^mL ₃

θ ˙ ² − ¹ ₂ mgL cos(θ) + ¹ ₂ kL ² sin(θ) ²

9. Scrivere la funzione lagrangiana e trovare l’equazione differenziale del moto. [punti 4]

L = T + U, θ = − ¨ _8L ^3g sin(θ) (2 + cos(θ)).

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