Richiami di meccanica quantistica

(1)

Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale

della presente opera.

Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)

Richiami di meccanica quantistica

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore

Onde elettromagnetiche o particelle?

Comportamento corpuscolare:

• Cinematica e Dinamica

• Effetto fotoelettrico

• Effetto Compton Comportamento ondulatorio:

• Interferenza

• Diffrazione

• Polarizzazione

La materia (ad es., elettroni) e la radiazione elettromagnetica (ad es., la luce) presentano sperimentalmente aspetti corpuscolari e ondulatori.

Interferenza di elettroni:

un esperimento moderno

http://www.hqrd.hitachi.co.jp/em/doubleslit.cfm

Elettroni emessi singolarmente dalla sorgente, e registrati singolarmente sullo schermo.

Analogo dell’esperienza di

Young Tonomura et al., American Journal of Physics 57, 117 (1989)

1

2

3

(2)

Onde elettromagnetiche o particelle?

La materia (ad es., elettroni) presenta sperimentalmente aspetti

corpuscolari ondulatori

statistici

http://www.hitachi.co.jp/rd/portal/highlight/quantum/doubleslit/

Filmato (formato wmv) scaricabile dal sito:

(in giapponese) Link diretto:

Al crescere del numero di elettroni raccolti sul detector si osserva i progressivo formarsi del pattern di

interferenza.

http://rdg.ext.hitachi.co.jp/rd/moviej/doubleslite-n.wmv

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5

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(3)

Richiami sulle onde

Proprietà generali

•

Onde progressive e regressive.

•

Onde armoniche.

•

Onde stazionarie.

•

Interferenza

•

^Battimenti

•

Pacchetti d’onda: velocità di fase e di gruppo.

•

Diffrazione

(x, t) = ₊(x vt) + (x + vt)

¯(x)e ^{i t}

(x, t) = 2 ¯(x) cos( t)

(x, t) = ¯(x)e ^{i t}2eⁱ ² cos

2

Onde armoniche

Consideriamo un’onda progressiva sinusoidale:

• A : ampiezza. [A]: dipende dalla grandezza fisica

• T : periodo. [T] = s

• ω : pulsazione. [ω] = rad s^–1 legata alla frequenza da ω = 2πν con [ν] = s^–1 = Hz

• λ : lunghezza d’onda. [λ] = m

• k : numero d’onde. [k] = m–1

• φ : costante di fase. [φ] = rad

x 2A λ

t T

N.B.: ogni onda “ragionevole” può essere studiata in termini di sovrapposizione di onde sinusoidali (Fourier)

“istantanea” al tempo t = 0 evoluzione temporale a x fissato

fase dell’onda

Acosφ

v = /k = velocità [di fase] dell’onda

cresta

ventre

(x, t) = A cos[k(x vt) + ] = A cos 2 x t

T + = A cos(kx t + )

quando la fase dell’onda varia di 2π, l’onda si riproduce identicamente

(o anche t = ± nT. Discutere.) (o anche x ± nλ. Discutere.)

7

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(4)

Velocità di fase e velocità di gruppo

Esempio: due onde; stessa ampiezza e fase iniziale; pulsazioni differenti:

0= ¹+ 2

2

= ¹ ²

2

con:

velocità di fase:

velocità di gruppo:

Se il mezzo è non dispersivo, ovvero v non dipende da k, si ha:

e si verifica subito che

altrimenti le velocità di fase e gruppo sono differenti

si definiscono:

⇥(x, t) = ¯Ae^i(k⁰^x ⁰^t)2 cos( k · x ⇤· t)

Onda armonica (a t=0). Infinitamente estesa.

Lunghezza d’onda λ₀. Numero d’onda k₀=2π/λ₀

Posizione vs. numero d’onda

y

x

Ampiezza k

k₀

Posizione completamente delocalizzata.

“dove si trova l’onda” è una domanda mal posta.

“qual è la lunghezza d’onda” è una domanda ben posta.

Numero d’onda completamente noto.

Si consideri un tratto, di lunghezza Δx,

di onda armonica di lunghezza d’onda λ₀ (e numero d’onda k₀= 2π / λ₀):

Posizione vs. numero d’onda (2)

y

x

|Ampiezza| k

k₀

Costruzione del pacchetto d’onde mediante somma di funzioni sinusoidali, ciascuna con

ampiezza dipendente da k: Fourier Δk

Onda localizzata <–> distribuzione di numeri d’onda con larghezza Δk.

“dove si trova l’onda” e “qual è la lunghezza d’onda”

sono domande non necessariamente ben poste.

Δx

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(5)

L’ipotesi di De Broglie (dualismo onda-corpuscolo)

“A tentative theory of light quanta”

Relazioni classiche: Corpi materiali: massa m, velocità v, momento p.

Onde: lunghezza d’onda, velocità di fase, velocità di gruppo.

Ipotesi: a ogni particella dotata di momento p, si associa una lunghezza d’onda

Chapter 2 – The postulates of quantum mechanics

© E. F. Schubert Chapter 2 – page 6

2.2 The de Broglie hypothesis

The de Broglie hypothesis (de Broglie, 1923) is a significant milestone in the development of quantum mechanics because the dualism of waves and matter finds its synthesis in this hypothesis. Typical physical properties that had been associated with matter, before the advent of quantum mechanics, were mass, velocity, and momentum. On the other hand, wavelength, phase- velocity, and group-velocity had been associated with waves. The bridge between the world of waves and the corpuscular world is the de Broglie relation

p

h / (2.27)

which attributes a vacuum wavelength to a particle with momentum p. This relation, which de Broglie postulated in 1923, can also be written as

k

p (2.28)

where k = 2 / is the wavenumber. The kinetic energy of a classical particle can then be expressed in terms of its wavenumber, that is

m k m

E p

2 2

2 2 2

kin . (2.29)

Four years after de Broglie’s hypothesis, Davisson and Germer (1927) demonstrated experimentally that a wavelength can be attributed to an electron, i. e. a classical particle. They found, that a beam of electrons with momentum p and wavelength was diffracted by a Ni-crystal the same way as x-rays of the same wavelength . The relation between electron momentum p and the x-ray wavelength , which yields the same diffraction pattern, is given by the de Broglie equation, Eq. (2.27). Thus, a bridge between particles and waves had been built. No longer could one think of electrons as pure particles or x-rays as pure waves. The nature of small particles has both, particle-like and wave-like characteristics. Analogously, a wave has both, wave-like and particle-like characteristics. This fact is known as the dual nature of particles and waves.

dove h= 6.64 10^–34 Js è la costante di Planck, e quindi, se k è il numero d’onda,

Chapter 2 – The postulates of quantum mechanics

© E. F. Schubert Chapter 2 – page 6

2.2 The de Broglie hypothesis

The de Broglie hypothesis (de Broglie, 1923) is a significant milestone in the development of quantum mechanics because the dualism of waves and matter finds its synthesis in this hypothesis. Typical physical properties that had been associated with matter, before the advent of quantum mechanics, were mass, velocity, and momentum. On the other hand, wavelength, phase- velocity, and group-velocity had been associated with waves. The bridge between the world of waves and the corpuscular world is the de Broglie relation

p

h / (2.27)

which attributes a vacuum wavelength to a particle with momentum p. This relation, which de Broglie postulated in 1923, can also be written as

k

p (2.28)

where k = 2 / is the wavenumber. The kinetic energy of a classical particle can then be expressed in terms of its wavenumber, that is

m k m

E p

2 2

2 2 2

kin . (2.29)

Four years after de Broglie’s hypothesis, Davisson and Germer (1927) demonstrated experimentally that a wavelength can be attributed to an electron, i. e. a classical particle. They found, that a beam of electrons with momentum p and wavelength was diffracted by a Ni-crystal the same way as x-rays of the same wavelength . The relation between electron momentum p and the x-ray wavelength , which yields the same diffraction pattern, is given by the de Broglie equation, Eq. (2.27). Thus, a bridge between particles and waves had been built. No longer could one think of electrons as pure particles or x-rays as pure waves. The nature of small particles has both, particle-like and wave-like characteristics. Analogously, a wave has both, wave-like and particle-like characteristics. This fact is known as the dual nature of particles and waves.

dove

è la costante di Planck razionalizzata

De Broglie: onde di materia

“We are then inclined to suppose that any moving body may be accompanied by a wave and that it is impossible to disjoin motion of the

body and propagation of the wave”

A qualunque particella o corpo in moto con velocità v sarebbe comunque associata una lunghezza d’onda λ.

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(6)

Onde di materia: dispersive

Le onde di materia sono intrinsecamente dispersive.

Sulla base della sussistenza della relatività ristretta, si trova che, per una particella materiale (“onda di materia”)

la velocità classica v corrisponde alla velocità di gruppo:

v = vg.

Ma v=p/m (classicamente)

–> la velocità di gruppo dipende dalla lunghezza d’onda ovvero da k (perché p = h/λ = hk/2π).

momento: p = mv

Energia cinetica e frequenza

per una particella materiale (“onda di materia”) la velocità classica v corrisponde alla velocità di gruppo:

v = vg. Ciò vuol dire:

Chapter 3 – Position and momentum space

We have just shown that a well-defined group of waves, i.e. a wave packet, moves with the group velocity. In the classical limit, the group velocity is identical to the propagation velocity of the classical particle described by the wave-packet, i.

e.

classical

gr v

v

. (3.13)

This requirement is called the correspondence principle. The correspondence principle, which is due to Bohr (1923), postulates a detailed analogy between quantum mechanics and classical mechanics. Specifically it postulates that the results of quantum mechanics merge with those of classical mechanics in the classical limit, i.

e. for large quantum numbers. Using the definitions

of group velocity and of the classical velocity one obtains

m p k

d

d . (3.14)

Substitution of k by using the de Broglie relation (

p = k) and subsequent integration yields

m E p

2

kin

(3.15)

which is the famous Planck relation. The Planck relation further illustrates the dualism of particles and waves. A particle with momentum p oscillates at an angular frequency given by the Planck relation. On the other hand, a wave with angular frequency has a momentum p. The kinetic energy p

²

/ (2m) of the particle coincides with the quantum energy of the wave representing that particle.

Exercise 1: Phase and group velocity. The experiment described here elucidates the properties

of waves, in particular the phase and group velocity. Go to a local pond and throw stones into the water. Watch the water waves created. Several properties of waves can be identified.

The water waves are confined to the surface of the water. What are the curves of constant phase?

Identify the phase and group velocity of the waves. Which of the two velocities is higher?

Make a guess for the ratio of v

ph

/

vgr

.

Assume that the distance from the point where a stone enters the water to the shore is x. Can the time it takes for the wave to reach shore be expressed in terms of phase or group velocity and the distance x?

Solution: The curves of constant phase are concentric circles. The phase velocity is higher than the group velocity. Note that individual wavelets appear at the trailing edge of the wave group, move forward through the group of waves, and disappear at the leading edge of the group. The ratio of phase-to-group velocity is given by vph /vgr 2.0. The time that it takes the wave to reach the shore is given by t = x/vgr.

3.2 Position-space and momentum-space representation, and Fourier transform

The Fourier transform is a mathematical tool that allows us to represent a function in two different domains. In electrical engineering, we can represent an electrical signal, for example a time-dependent voltage, in the time domain and the frequency domain. Assume that the voltage

Sostituendo p=hk/2π e integrando, si ottiene la relazione di Planck:

Chapter 3 – Position and momentum space

Chapter 3 – page 3

We have just shown that a well-defined group of waves, i.e. a wave packet, moves with the group velocity. In the classical limit, the group velocity is identical to the propagation velocity of the classical particle described by the wave-packet, i. e.

classical

gr

v

v . (3.13)

This requirement is called the correspondence principle. The correspondence principle, which is due to Bohr (1923), postulates a detailed analogy between quantum mechanics and classical mechanics. Specifically it postulates that the results of quantum mechanics merge with those of classical mechanics in the classical limit, i. e. for large quantum numbers. Using the definitions of group velocity and of the classical velocity one obtains

m p k

d

d . (3.14)

Substitution of k by using the de Broglie relation ( p = k) and subsequent integration yields

m E p

2

kin

(3.15)

which is the famous Planck relation. The Planck relation further illustrates the dualism of particles and waves. A particle with momentum p oscillates at an angular frequency given by the Planck relation. On the other hand, a wave with angular frequency has a momentum p. The kinetic energy p

²

/ (2m) of the particle coincides with the quantum energy of the wave representing that particle.

Exercise 1: Phase and group velocity. The experiment described here elucidates the properties of waves, in particular the phase and group velocity. Go to a local pond and throw stones into the water. Watch the water waves created. Several properties of waves can be identified.

The water waves are confined to the surface of the water. What are the curves of constant phase?

Identify the phase and group velocity of the waves. Which of the two velocities is higher?

Make a guess for the ratio of v

ph

/ v

gr

.

Assume that the distance from the point where a stone enters the water to the shore is x. Can the time it takes for the wave to reach shore be expressed in terms of phase or group velocity and the distance x?

Solution: The curves of constant phase are concentric circles. The phase velocity is higher than the group velocity. Note that individual wavelets appear at the trailing edge of the wave group, move forward through the group of waves, and disappear at the leading edge of the group. The ratio of phase-to-group velocity is given by v

ph

/ v

gr

2.0. The time that it takes the wave to reach the shore is given by t = x / v

gr

.

3.2 Position-space and momentum-space representation, and Fourier transform The Fourier transform is a mathematical tool that allows us to represent a function in two different domains. In electrical engineering, we can represent an electrical signal, for example a time-dependent voltage, in the time domain and the frequency domain. Assume that the voltage

che lega l’energia cinetica di una particella alla sua

“pulsazione”.

• Punto materiale.

• Principi della dinamica. F = ma

• Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell

• Onde elettromagnetiche.

• c = costante (relatività ristretta)

Per il singolo punto materiale:

determinismo, reversibilità temporale Misura:

ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti.

Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono essere rese) indipendenti.

Energia possibile per un punto materiale:

spettro continuo.

Fisica Classica

SQ

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(7)

Il problema fisico

In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario:

1– identificare le grandezze che lo descrivono 2– determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi compresa l’evoluzione temporale)

L’impostazione “classica”:

1– posizione, momento (quantità di moto), momento angolare (momento della quantità di moto), energia cinetica e potenziale

2– F = ma, etc.

L’approccio della Meccanica Quantistica

Secondo le indicazioni degli esperimenti e le interpretazioni date, si postula:

Postulato 1

Esiste una funzione Ψ(x,t), detta funzione d’onda, che contiene tutta l’informazione sul sistema in esame.

In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario:

1– identificare le grandezze che lo descrivono

2– determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi compresa l’evoluzione temporale)

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21

(8)

Postulati della MQ

La funzione d’onda

Esiste una funzione d’onda (fdo) Ψ che descrive l’evoluzione spaziale e temporale di una particella (o di

un sistema, vedi più oltre) quantistica.

Una fdo del tipo Ψ(x,t) descrive un sistema o particella con un solo grado di libertà (indicato dalla variabile x)

Interpretazione probabilistica

La grandezza:

|Ψ(x,t)|² = Ψ(x,t)*Ψ(x,t)

rappresenta la densità di probabilità di una particella (o sistema) quantistico.

Di conseguenza

(ad ogni tempo la particella deve trovarsi da qualche parte)

Implicazione: le fdo ammissibili devono essere normalizzabili.

+⇤

⇤

(x, t)^⇥ (x, t)dx = 1 e quindi

|Ψ(x,t)|² dx

rappresenta la probabilità di trovare la particella (o sistema) quantistico fra x e x+dx al tempo t.

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Continuità

La fdo Ψ(x,t)

e la derivata spaziale ∂Ψ(x,t)/∂x sono funzioni continue in un mezzo isotropo.

Implicazione:

le fdo ammissibili devono essere finite e a singolo valore in ogni punto dello spazio delle posizioni.

Osservabili e operatori

Le grandezze misurabili sono rappresentate da operatori

(e non da variabili dinamiche come in fisica classica) Gli operatori agiscono sulla fdo Ψ(x,t).

L’operazione di misurare un osservabile Q si traduce matematicamente nell’applicare l’operatore corrispondente alla fdo e cercarne l’autovalore, ovvero

la soluzione di un’equazione del tipo:

I diversi valori di q ammissibili rappresentano i possibili risultati di una misura.

Q (x, t) = q (x, t)

Osservabili e operatori

I diversi valori di q ammissibili rappresentano i possibili risultati di una misura.

Q (x, t) = q (x, t)

⇒ l’equazione agli autovalori fornisce tutti e soli i possibili valori che può assumere bQ

Nel caso in cui rappresenti l’energia, l’equazione agli autovalori fornisce i valori delle energie permessi dal

sistema la cui fdo è Qb

(x, t)

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(10)

Valori aspettati

Il valore aspettato di una variabile dinamica Q è fornito dalla operazione del corrispondente operatore sulla fdo,

mediato su tutto lo spazio:

Q⇥ =

+⇤

⇤

(x, t)^⇥Q (x, t)dx⇥

ATTENZIONE: è una MEDIA,

potrebbe non fornire nessuno dei valori q forniti da una misura!

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(11)

Operatori.

Operatori

Sussistono le seguenti corrispondenze fra operatori e variabili dinamiche classiche:

Chapter 2 – The postulates of quantum mechanics

If a wave function (x, t) fulfills Eq. (2.1), then (x, t) is called a normalized wave function.

Equation (2.1) is the normalization condition and implies the fact that the particle must be located somewhere on the x axis.

Postulate 3

The wave function (x, t) and its derivative ( / x) (x, t) are continuous in an isotropic medium.

) , ( ) , (

lim ₀

0

t x t

x x

x (2.2)

0 0

) , ( )

, ( lim

x x x

x xt

t x

x x . (2.3)

In other words, (x, t) is a continuous and continuously differentiable function throughout isotropic media. Furthermore, the wave function has to be finite and single valued throughout position space (for the one-dimensional case, this applies to all values of x).

Postulate 4

Operators are substituted for dynamical variables. The operators act an the wave function (x, t).

In classical mechanics, variables such as the position, momentum, or energy are called dynamical variables. In quantum mechanics operators rather than dynamical variables are employed. Table 2.1 shows common dynamical variables and their corresponding quantum- mechanical operators

Dynamical variable in

classical mechanics Quantum-mechanical operator

x x (2.4)

f(x) f(x) (2.5)

p i x (2.6)

f(p) f i x (2.7)

Etotal i t (2.8)

Table 2.1: Dynamical variables and their corresponding quantum-mechanical operators.

We next substitute quantum mechanical operators for dynamical variables in the total energy equation (see Eq. 1.2.6)

total 2

)

2 U(x E

m

p . (2.9)

Variabili classiche Operatori in MQ

2.2 The de Broglie hypothesis

The de Broglie hypothesis (de Broglie, 1923) is a significant milestone in the development of quantum mechanics because the dualism of waves and matter finds its synthesis in this hypothesis. Typical physical properties that had been associated with matter, before the advent of quantum mechanics, were mass, velocity, and momentum. On the other hand, wavelength, phase- velocity, and group-velocity had been associated with waves. The bridge between the world of waves and the corpuscular world is the de Broglie relation

p

h / (2.27)

which attributes a vacuum wavelength to a particle with momentum p. This relation, which de Broglie postulated in 1923, can also be written as

k

p (2.28)

where k = 2 / is the wavenumber. The kinetic energy of a classical particle can then be expressed in terms of its wavenumber, that is

m k m

E p

2 2

2 2 2

kin . (2.29)

Four years after de Broglie’s hypothesis, Davisson and Germer (1927) demonstrated experimentally that a wavelength can be attributed to an electron, i.e. a classical particle. They found, that a beam of electrons with momentum p and wavelength was diffracted by a Ni-crystal the same way as x-rays of the same wavelength . The relation between electron momentum p and the x-ray wavelength , which yields the same diffraction pattern, is given by the de Broglie equation, Eq. (2.27). Thus, a bridge between particles and waves had been built. No longer could one think of electrons as pure particles or x-rays as pure waves. The nature of small particles has both, particle-like and wave-like characteristics. Analogously, a wave has both, wave-like and particle-like characteristics. This fact is known as the dual nature of particles and waves.

Thus, the expectation value of the position is zero. In other words, the probability to find the particle at any given time is highest at x = 0.

It is interesting to know, how far the wave function is distributed from its expectation value.

In statistical mathematics, the standard deviation of any quantity, e.g. , is defined as

2 2 . (2.20)

A measure of the spatial extent of the wave function is the standard deviation of the position of the particle. Hence, the spatial standard deviation of the particle on the x axis is given by

2 x2

x . (2.21)

With x = 0 one obtains

2 5 d 3

) ( )

( ² ²

*

2 x x x x

x . (2.22)

The standard deviation = ( x² x²)^1/2 = (x²)^1/2 is shown in Fig. 2.1 and it is a measure of the spatial extent of the wave function.

The expectation value of the particle momentum can be determined in an analogous way

x x x x

p ()d

) i

*( . (2.23)

Evaluation of the integral yields p = 0. In other words, the particle has no net momentum and it remains spatially at the same location, which is evident for a stationary wave function.

Similarly, the expectation values of kinetic energy, potential energy, and total energy can be calculated if (x) and U(x) are known. The expectation values of these quantities are given by:

Kinetic energy: x x

m x m x

E p ()d

) 2

2 ( ²

2

* 2 2

kin (2.24)

Potential energy: U ^*(x)U(x) (x)dx (2.25)

Total energy:

x x x x U x m

U E

E () ( )d

) 2

( ² ²₂

kin *

total (2.26)

The evaluation of the equations yields that the expectation values of the kinetic, potential, and total energy of the particle are finite and non-zero.

ne deriva: Energia cinetica

posizione

momento

Energia totale

Energia e hamiltoniana

Energia cinetica:

L’energia totale è detta anche Hamiltoniana.

31

32

33

(12)

Equazioni agli autovalori

Dato un operatore , risolvere l’equazione

significa trovare la particolare classe di funzioni Ψ per le quali l’applicazione dell’operatore fornisce la stessa funzione, moltiplicata per un opportuno numero q. Siano esse

Le funzioni per cui ciò è possibile si chiamano autofunzioni o autostati di

I valori di q si chiamano autovalori di e possono essere discreti (quantizzazione) o continui,

in numero finito o infinito.

Nella maggior parte dei casi, la conoscenza di un sistema comporta il calcolo delle autofunzioni e degli autovalori di

determinati operatori.

Q,n

Equazioni agli autovalori

Esercizio: sia dato l’operatore differenziale (derivata):

Dimostrare che le autofunzioni sono esponenziali del tipo:

Q = d dx

e^qx

dove q è l’autovalore

Operatori lineari.

Siano a e b due numeri (eventualmente complessi).

Un operatore si dice lineare se:

Esempi di operatori lineari:

derivazioni di ogni ordine Esempio di operatore non lineare:

il logaritmo

Gli operatori legati agli osservabili sono lineari.

Q [a 1(x) + b 2(x)] = aQ 1(x) + bQ 2(x)

34

35

36

(13)

+⇤

⇤

⇥Q dx =⇥

+⇤

⇤

Q⇥^{⇥ ⇥}dx

1]

2] gli autovalori sono reali.

3] autofunzioni corrispondenti a autovalori differenti sono ortogonali, e possono essere prese ortonormali, ovvero:

4] l’insieme delle autofunzioni ψQ,n di un operatore hermitiano è completo, ovvero ogni fdo Ψ può essere espressa come combinazione lineare delle ψq,n:

Operatori hermitiani.

Operatori per cui valga: sono detti hermitiani.

+⇤

⇤

1⇥Q⇥ 2dx =

+⇤

⇤

1Q⇥^{⇥ ⇥}₂dx

Si dimostra che, per operatori hermitiani:

+⇤

⇤

⇥_n^⇥(x)⇥m(x)dx = n,m

(x) =

n

cn Q,n(x)

Gli operatori legati agli osservabili sono hermitiani.

dove le sono autofunzioni

Operatori hermitiani (2).

Ulteriori proprietà.

Essendo:

allora: cn= ⁺^⇤

⇤

n⇥(x) (x)dx

Esercizio: dimostrare.

n

|cn|²= 1 (x) =

n

cn n(x) _n

37

38

39

(14)

Equazione di Schrödinger

Dai postulati consegue che la conoscenza della funzione d’onda permette di calcolare tutte le grandezze dinamiche (almeno in

termini di valori aspettati).

È quindi essenziale determinare l’equazione che determina l’evoluzione spazio-temporale della fdo.:

Energia e hamiltoniana

Energia cinetica:

L’energia totale è detta anche Hamiltoniana.

Ricordando il postulato secondo il quale all’energia totale corrisponde l’operatore

Chapter 2 – page 2

If a wave function (x, t) fulfills Eq. (2.1), then (x, t) is called a normalized wave function.

Equation (2.1) is the normalization condition and implies the fact that the particle must be located somewhere on the x axis.

Postulate 3

The wave function (x, t) and its derivative ( / x) (x, t) are continuous in an isotropic medium.

) , ( )

, (

lim

₀

0

t x t

x

(2.2)

0 0

) , ( )

, ( lim

x x x

x

x t

t x

x x . (2.3)

In other words, (x, t) is a continuous and continuously differentiable function throughout isotropic media. Furthermore, the wave function has to be finite and single valued throughout position space (for the one-dimensional case, this applies to all values of x).

Postulate 4

Operators are substituted for dynamical variables. The operators act an the wave function (x, t).

In classical mechanics, variables such as the position, momentum, or energy are called dynamical variables. In quantum mechanics operators rather than dynamical variables are employed. Table 2.1 shows common dynamical variables and their corresponding quantum- mechanical operators

Dynamical variable in

classical mechanics Quantum-mechanical operator

x x (2.4)

f(x) f(x) (2.5)

p i x (2.6)

f(p) f i x (2.7)

E

total

i t (2.8)

Table 2.1: Dynamical variables and their corresponding quantum-mechanical operators.

We next substitute quantum mechanical operators for dynamical variables in the total energy equation (see Eq. 1.2.6)

total 2

)

2 U ( x E

m

p . (2.9)

si ottiene (dai postulati) l’equazione di evoluzione della funzione d’onda Energia potenziale: V = V(x,t)

specifica del problema in questione.

Equazione di Schrödinger

Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo dove in generale V = V(x,t) è l’energia potenziale specifica del

problema in questione.

In base ai postulati, detta V(x,t) l’energia potenziale, si assume che ogni funzione d’onda debba soddisfare l’equazione:

Caratterizzare un sistema Quantistico

→ determinare la particolare V(x)

→ risolvere la corrispondente equazione di Schrödinger

→ ottenere lo spettro delle energie (energie permesse) E (ed eventualmente la fdo)

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Equazione di Schrödinger - commenti

L’equazione di S. è lineare:

se Ψ₁ e Ψ₂ sono soluzioni, anche aΨ₁ + bΨ₂ lo è (N.B.: a, b sono numeri complessi).

Questo è necessario, poiché il comportamento ondulatorio rivelato sperimentalmente richiede che valga il principio di sovrapposizione:

Ogni sovrapposizione lineare di una funzione d’onda è a sua volta una funzione d’onda ammissibile.

Equazione di Schrödinger indipendente da t

Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

Supponiamo che V non dipenda dal tempo:

Ipotesi di separazione delle variabili:

dividendo per fψ:

funzione solo di x funzione solo di t Funzioni di variabili differenti uguali fra loro

Supponiamo quindi che la fdo soddisfi l’equazione di Schrödinger.

V=V(x)

Devono essere uguali a una costante.

Chiamiamola E.

Risolvere l’equazione di Schrödinger equivale a risolvere un problema agli autovalori, ovvero trovare i valori permessi di E e le corrispondenti ψ(x).

Questa parte del problema dipende direttamente da V.

La fdo complessiva (che include la dinamica) è data poi da:

Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo.

ψ(x) dipende da V(x).

L’evoluzione temporale non dipende da V, se V non dipende da t.

––> la forma della soluzione non dipende dal problema particolare

Ottengo due equazioni differenziali ordinarie

L’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo è una

equazione agli autovalori.

E(x, t) = E(x)f (t) = E(x)e ^iE^~^t Pedice “E”: indica la fdo associata a un determinato autovalore E

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Interpretazione statistica.

Interpretazione statistica

Born diede per primo una chiara interpretazione statistica della funzione d’onda, suggerendo che

rappresenti la probabilità di trovare al tempo t fra il punto x e il punto x+dx la particella rappresentata da Ψ(x,t).

Pertanto |Ψ(x,t)|² è una densità di probabilità.

Nota: Ψ(x,t) non è una buona grandezza probabilistica: è complessa!

Invece, Ψ*(x,t)Ψ(x,t)= |Ψ(x,t)|² è reale

Nota 2: Ψ(x,t) soddisfa a un’equazione delle onde: è detta anche un’onda di probabilità.

Normalizzazione della funzione d’onda

deve valere la proprietà di normalizzazione della probabilità:

Se è una densità di probabilità,

Ricordiamoci che la fdo rappresenta una particella: quest’ultima, anche se non completamente localizzata, deve trovarsi da qualche parte.

L’interpretazione probabilistica (richiesta dagli esperimenti) impone quindi un vincolo sulle possibili fdo:

sono funzioni d’onda fisiche solo le fdo normalizzabili.

Poiché l’equazione di Schrödinger è lineare, se Ψ è soluzione anche AΨ è soluzione. Normalizzare la fdo significa scegliere A tale che

A può essere complessa.

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Normalizzazione della fdo: conseguenze

Normalizzare la fdo:

Perché la fdo sia normalizzabile, per x–> ±∞, Ψ ––> 0 più rapidamente di 1/√|x|

Alcune soluzioni (inclusa la soluzione banale Ψ = 0) devono essere scartate.

Richiamo: diverge

converge

––> la normalizzazione di Ψ(x,t) comporta la normalizzazione di ψ(x).

Osservazione. Mediante separazione di variabili abbiamo ottenuto:

+ c

1 xdx, c > 0

+ c

1 x¹⁺ dx, c > 0

Conservazione della probabilità

Sia data Ψ(x,t), funzione d’onda, che soddisfi l’equazione di Schrödinger.

Essa sia stata normalizzata, p.es., al tempo t = 0.

A tempi t > 0, la fdo è ancora normalizzata?

Se non lo è, la teoria diviene inconsistente!

Bisogna verificare che:

L’evoluzione temporale è dettata da:

La misura.

Di conseguenza, una misura di un osservabile proietta la fdo in uno degli autostati dell’operatore a esso associato.

Effettuando una misura, la fdo collassa in un certo stato.

Effettuare una misura di Q = applicare l’operatore corrispondente e ottenere come risultato uno dei possibili valori di q, ovvero un autovalore:

Questo è possibile solo se la fdo è un autostato di , per cui:

dove le sono le autofunzioni di

una misura successiva fornirà nuovamente la misura q.

Esercizio: cercare su Google “paradosso di Zenone quantistico” o “effetto Zenone quantistico” o “quantum Zeno effect” o “quantum Zeno paradox”

Q Q,n= q Q,n Q,n

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Stati stazionari

Cosa rappresenta la fdo ottenuta per separazione di variabili?

Cosa rappresenta la costante E?

Richiamo. V non dipenda dal tempo.

Assumendo

Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo.

{

E(x, t) = E(x)f (t) = E(x)e ^iE^~^t

Le soluzioni separabili sono stati stazionari

1- la densità di probabilità non varia nel tempo.

2-la posizione (valore aspettato) non varia nel tempo.

e in generale ogni valore d’aspettazione di una variabile dinamica è costante:

i termini esponenziali immaginari si elidono sempre.

Soluzioni separabili:

(2b- il momento (la quantità di moto) è nullo.) ovvero:

E(x, t) = E(x)f (t) = E(x)e ^iE^~^t

(per brevità si omette il pedice “E”)

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Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva) 3- le soluzioni separabili hanno energia totale definita

L’hamiltoniana H (energia totale K+V) è:

Nota: solo un numero può essere scambiato con una fdo. L’operatore deve

restare dove opera.

soluzioni separabili:

Richiamo:

Soluzioni separabili: autostati dell’energia.

E(x, t) = E(x)f (t) = E(x)e ^iE^~^t

... le soluzioni separabili hanno energia totale definita

Per verificare che l’energia sia definita precisamente, calcolo la varianza di :

Cerco Noto che Allora

Ogni misura dell’energia su uno stato descritto da una fdo separabile fornisce con certezza il valore E.

Questo non significa che lo stato di un sistema sia a energia definita!

Poiché l’eq. di Schrödinger è lineare, la fdo che descrive un sistema di hamiltoniana H è una combinazione lineare delle soluzioni separabili.

In altre parole, se e

sono soluzioni dell’equazione di Schrödinger:

Le soluzioni separabili hanno energia totale definita.

Ogni misura dell’energia su uno stato descritto da una fdo separabile fornisce con certezza il valore E.