Sistemi di più particelle: - 2 corpi interagenti - n corpi (fluidi, gas...)

Sistemi di più particelle:

- 2 corpi interagenti

- n corpi (fluidi, gas...)

Quantità di Moto

r palla su mazza da baseball

r palla subisce grande variazione

di velocità in tempo brevissimo (

≈

^{0.01 s)}

⇒ grande accelerazione

⇒ elevata forza media su palla (≈10³ N)

r  per principio azione e reazione:

mazza risente di forza uguale ed opposta ⇒ velocità mazza ridotta

a causa della grande massa del bastone

-

^F F

quando si trattano problemi di urti fra oggetti

è utile introdurre il concetto di

massa · velocità quantità

di moto _def =

v m p  

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

z z

y y

x x

mv p

mv p

mv p

r  definizione

non

relativistica

r  grandezza vettoriale

r  dimensioni e unità di misura

) (v << c

s kg m T

M L

p = ⋅ ⇒ ⋅

] [

] ] [

[ ] [

s m v

kg m

i 4.0 /

1 . 0

=

=

= ? Δp 

orsetto i

i i

i f

i i

i f

p j

s kgm j

mv j

mv j

mv p

p p palla

j s kgm j

s m kg

j mv j

mv p

p p orsetto

 





 











 





Δ

×

=

= +

=

−

−

=

−

= Δ

=

×

= +

=

−

−

=

−

= Δ

2 /

8 . 0 2

) (

:

/ 4

. 0 )

/ 0 . 4 1

. 0 ( )

( 0 :

vi v_i

= 0

vf v_f

prima

dopo

esempio: variazione della quantità di moto

palla s

m v

orsetto s

m v

kg m

f f

/ 0 . 4

/ 0

1 . 0

=

=

=

Attenzione: è una grandezza vettoriale !!! p

 j

 j

esempio: pista automobili giocattolo

s m v

s m v

kg m

f i

/ 40 . 0

/ 50 . 0

0 . 2

=

=

=

v

i

vf

= ? Δp 

s m kg j i

j s m kg

i s m kg

p p

p

i s m kg

p

j s m kg

p

i f

f i

/ )

0 . 1 8 . 0 (

) / 50 . 0 )(

0 . 2 ( ) / 40 . 0 )(

0 . 2 (

) / 40 . 0 )(

0 . 2 (

) / 50 . 0 )(

0 . 2 (















 

 

+

=

−

−

=

−

= Δ

=

−

=

p permette di distinguere fra particelle pesanti e leggere

con stessa velocità

esempio :

v = 10 m/s

m

palla-bowling

>> m

palla-tennis

⇒ ^p

palla-bowling

>> p

palla-tennis

esempio:

un camion e una palla da ping-pong si muovono alla stessa velocità v = 2 m/s.

Da quale dei due è preferibile essere investiti ?

p descrive la differenza fra i due oggetti in moto !!!

v m p  

=

esempio:

se una bambina piccola (18 kg) vi corresse incontro,

probabilmente la prendereste in braccio:

è piccola non può far danni.

se un giocatore di football (100 kg) facesse la stessa cosa,

probabilmente vi scansereste velocemente.

se il giocatore vi venisse incontro

camminando tranquillamente e vi urtasse, non vi preoccupereste molto.

a che velocità dovrebbe andare il giocatore per avere la stessa quantità di moto?

il giocatore dovrebbe andare MOLTO lentamente!

p descrive la differenza fra i due oggetti in moto

s m kg s p

m v

kg m

bambina bambina

bambina

/ / 54

3

18 =

⎭⎬

⎫

=

=

s cm m v

v m

v m

v m

p p

kg m

bambina giocatore

bambina giocatore

bambina bambina

giocatore giocatore

bambina giocatore

giocatore

/ 54

100

=

=

=

=

=

a m F 

∑

=

Seconda legge di Newton

dt p F d

 

∑

=

sistemi a massa costante sistemi a massa variabile

la quantità di moto di un sistema si conserva se sul sistema non agiscono forze esterne

= 0

∑

^F

^⇒

^d_dt^{p = 0}

^{⇒ p =  costante}

[ I Legge di Newton – Principio di Inerzia]

a dt m

v m d dt

v m d dt

p

F d   

=

=

=

∑

= ^{( )}

N.B. se m = costante ritrovo II legge di Newton

esempio di sistemi a massa variabile:

4

razzo che espelle combustibile

4

palla di neve che rotolando si ingrossa

4

camion che si riempie d’acqua mentre viaggia con la pioggia

esempi: conservazione quantità di moto

un

razzo

a motori spenti procede nello spazio [lontano da sorgenti gravitazionali]

imponenti

petroliere

possono percorrere fino a 10 km dopo che i motori sono stati spenti

Sistema di due particelle:

conservazione quantità di moto

1 1

1 mv

p 

=

2 2

2 m v

p 

= F12

F21

r  sistema isolato (non ci sono

forze esterne al sistema)

r  sistema di

2 particelle interagenti [es. forza interna = gravità]

21

12

F

F  

−

=

principio di azione e reazione tra forze interne

) 0 (

0

2 1

21 12

+ =

= +

∑

=

dt p p

d

F F

F











fz iz

fy iy

fx

ix p p p p p

p = = =

f f

i

i p p p

p₁ ₂ ₁ ₂ +

= +

costante p

p

p_tot = ₁ + ₂ =

⇒

conservazione della quantità di moto:

r  la quantità di moto totale

di due particelle isolate interagenti si conserva

r  la quantità di moto totale di un sistema isolato è uguale in ogni istante alla quantità di moto iniziale

esempi: conservazione quantità di moto

2 2 1

0 1 _{f f}

f i

v m v

m p p

+

=

= 



2 1 2

1 f

f v

m v = − m

rinculo del fucile [dopo lo sparo]

2 2 1

0 = m1v_f + m v_f

1 2 2

1 m

v v_f = −m ^f

rinculo [su superficie senza attrito]

2 pattinatori [su ghiaccio]

s kg m

s m kg

m v v m

v m v

m p p

F P F P

F F P

P f i

/ 5 . 0 2

. 5

/ 620 02

. 0 0

−

× =

−

=

−

=

+

=

= 

 _v^{m g}_{m s}^{m kg}

P

F P

/ 620

0 . 5 ,

20

=

=

=

esempi: conservazione quantità di moto

decadimento di un kaone in quiete

K

⁰

π

^-

π

⁺

p

+

p

−

−

+

+

→ π π

K

0

0 0

= +

=

=

=

−

+ p

p p

p p

f

i

f  







− +

= p − p   esplosione di una stella

foto da

telescopio spaziale Hubble

esplosione violenta di Eta Carinae (1841):

produzione de lobi simmetrici

[con dimensioni pari a nostro sistema solare!!!]

che emettono materia in versi opposti

⇒  

la quantità di moto della stella

è rimasta immutata dopo l’esplosione

M = massa sistema (M+M) V = velocità sistema (V+V) M = massa astronauta

V = velocità dell'astronauta M = massa carburante

V = velocità dei gas espulsi

motori spenti accendo i motori MV=0 MV+MV=0

(V=0 e V=0) V ≠ 0 ⇒ ^V ≠ 0

propulsione nel vuoto:

come fa un

razzo

^{o un}

astronauta

a spostarsi nel vuoto ? [cioè in assenza di attrito]

⇒

^{con la}

conservazione

^di

p

^!!!!

conservazione quantità di moto

astronauta fermo V=0

astronauta si muove a velocità V

gas espulso a velocità V

seppie, polipi

e

meduse

usano lo stesso

sistema di propulsione !!

propulsione di un razzo

[sistema a massa variabile]

durante il moto si conserva la massa del sistema [massa combustibile + massa navetta]

f

i

p

p =

v m M

p

_i

= ( + Δ )

) (

)

( _e

f M v v m v v

p = + Δ +Δ − razzo espelle Δm in Δt

⇒

velocità aumenta di Δv

v_e = velocità combustibile rispetto al razzo

v-v_e= velocità combustibile rispetto a sistema di riferimento fisso

e

e

v m v

M

v v m v

v M v

m M

Δ

= Δ

− Δ

+ Δ +

= Δ

+ ) ( ) ( )

(

dM dm

m e dv v

t

seΔ →0 Δ → Δ → = −

∫

∫

^{= −}

−

=

f

i f

i

M

M e v

v

e

M v dM

dv

dM v

Mdv

f i e

i f e

i

f M

v M M

v M v

v − = − ln = ln

per incrementare velocità:

r  elevata v_e

r  massa M_f piccola

esempio: spinta del razzo

spinta del razzo forza esercitata dai gas si scarico sul razzo

dt v dM dt

M dv Ma

F = = = _e

dM v Mdv = − _e

[ ]

spinta cresce se:

raumenta velocità di scarico v_e

r aumenta tasso di consumo R = dM/dt

razzo Saturno V:

M_razzo,i = 3.00 10⁶ kg

R = dM/dt = 1.50 10⁴ kg/s v_e = 2.60 10³ m/s

spinta del razzo: F = v_e dM/dt

= (2.60 10³ m/s)(1.50 10⁴ kg/s) = 39.0 10⁶ N = 39 MN

accelerazione al momento del lancio:

2

6

2 6

6

/ 20 . 3

10 00 . 3

) / 8 . 9 )(

10 00 . 3 ( ) 10 0 . 39 ( s m

kg

s m kg

N M

F a F

Ma F

F

a M F

F F

g razzo

g razzo

g razzo

=

×

×

−

= ×

= −

=

−

= +

∑

^ = ^{  } def

=

Impulso e Quantità di Moto

dt p F d

 

=

seconda legge di Newton:

la quantità di moto varia se sulla particella agisce una forza

=

∫

−

= Δ

=

f

i

t

t i

f p F dt

p p

dt F p

d

 





 

∫ ^{= Δ}

=

f

i

t

def t

F dt p

I   

Teorema dell’ impulso:

l’ impulso di una forza

(integrale della forza nell’intervallo di tempo) è pari alla variazione della quantità di moto

F può variare nel tempo

I = area sotto la curva forza-tempo

forza media

Δ

∫

=

f

i

t

def t F dt

F 1t  t F p

I = Δ = Δ stesso impulso impresso da forza variabile

] / ][

[ ] [ ]

[ I = p = M L T

I

I

La forza media permette di calcolare l ’ _impulso senza descrivere in dettaglio

la variazione della forza in funzione del tempo

esempio:

la forza tra due oggetti che urtano ha spesso

un andamento complicato e difficilmente descrivibile

Il concetto di impulso è utile quando

una delle forze agenti sulla particella agisce

4 per

breve tempo

4 con

intensità elevata

approssimazione impulsiva:

trascuro gli effetti delle altre forze

[piccoli durante la breve durata di azione delle forze intense]

Forza impulsiva

forze impulsive

sono tipiche dei processi di

urto

[di durata brevissima]

esempio:

palla su mazza da baseball

Δt

≈

0.01 s

<F>

≈

^{103 N}

F_g =mg ≈ (100 g) (9.8m/s²) = (0.1 kg ) (9.8m/s²) ≈ 1 N

<F> >> F_g

⇒

trascuro ogni variazione di velocità legata a forza di gravità

I

applicazione: air bag

t F p = Δ

Δ

variazione

quantità di moto dell’auto

air-bag:

induce variazione quantità di moto in intervallo di tempo più lungo

⇒

riduce picco di intensità della forza

⇒

riduce traumi

applicazione: guantoni da pugile t

F p = Δ Δ

i guantoni aumentano tempo durante il quale la forza

è applicata alla testa

⇒ riduce picco di intensità della forza

⇒ riduco accelerazione del cranio

⇒ riduco traumi N.B. nel XIX secolo di combatteva a pugni nudi : maggiori traumi

esempio: forza su auto durante un urto

In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro.

velocità iniziale è v_i = -15.0 i m/s velocità finale è v_f = 2.60 i m/s.

durata urto Δt=0.150 s

determinare impulso dovuto all’urto e forza media esercitata sull’auto

s m kg i

s m kg i s

m kg i p

p p I

s m kg i i

s m kg

v m p

s m kg i i

s m kg

v m p

i f f f

i i

/ 10

64 . 2

) / 10

25 . 2 ( ) / 10

39 . 0 (

/ 10

39 . 0 )

/ 6 . 2 )(

1500 (

/ 10

25 . 2 )

/ 0 . 15 )(

1500 (

4

4 4

4 4





 







 





 



=

−

−

=

−

= Δ

=

=

=

=

−

=

−

=

=

Forza media esercitata sull’auto:

N s i

s m kg i t

F p  

5 4

10 76 . 150 1

. 0

/ 10

64 .

2 ⋅ =

Δ =

= Δ

esercizi quantità di moto