Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 8 marzo 2015

1 Curve in R

ed R

.

1.1 Parametrizzazione.

Scrivere una parametrizzazione regolare per le seguenti curve:

1. Segmento di estremi A (1; 1) e B (2; 3).

2. Segmento di estremi A (1; 1; 1) e B (−2; −3; −4).

3. Segmento della bisettrice del II-IV quadrante compreso tra A (−1; 1) e B (1; −1).

4. Arco di circonferenza di centro O (0; 0), raggio r = 2 ed estremi A (0; 2) e B (0; −2).

5. Ellisse di centro O (0; 0) e vertici (±1; 0) e (0; ±2).

1.2 Retta tangente.

Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva γ nel suo punto P . 1.

γ (t) = cos³(t) ; sin³(t)
, t ∈ [0; 2π] P √

2 4 ;

√ 2 4

!

2.

γ (t) = e^2t; t + ln (1 + t)
, t ∈



−1 2; 1



P (1; 0) 3.

γ (t) = (2 sin (t) ; −3 cos (t) ; −4t) , t ∈ [−π; π] P (0; −3; 0)

1.3 Lunghezza di una curva.

Determinare la lunghezza delle seguenti curve:

1.

γ (t) = e^tcos (t) ; e^tsin (t) ; e^t
, t [0; 3] (1.1) 2.

γ (t) = t² 2; −2

3t³



, t [−2; 2] (1.2)

3.

γ (t) = ln (t) ; 2t − t²; 4√ 2 3 t√

t

!

, t [1; 3] (1.3)

4.

γ (t) =p

2t²− 1; 1

, t [−3; 3] (1.4)

1

1.4 Integrali curvilinei.

Calcolare il valore dei seguenti integrali curvilinei di prima specie.

1. ˆ

γ

√x

y²+ z² dl γ (t) = t²; cos t; sin t
, t ∈ [0; 1]

2. ˆ

γ

x²(1 + 8y)

p1 + y + 4x²y dl γ (t) = t; t²; ln t
, t ∈ [1; 2]

3. ˆ

γ

x²+ yz dl γ (t) = (4 cos t; 4 sin t; t) , t ∈ [0; π]

4. Calcolare l'integrale curvilineo della funzione f (x, y) = x lungo l'arco chiuso denito dall'unione dell'arco della parabola y = 4 − x² che unisce il punto A (−2; 0) al punto B (2; 0) e dell'arco BA, percorso da B verso A della circonferenza centrata nell'origine e passante per A e per B.

1.5 Baricentro.

Calcolare il baricentro delle seguenti curve omogenee (ie con densità costante). Si supponga che la densità sia λ.

1.

γ (t) = t; t²
, t [−3; 3]

2.

γ (t) = e^t; e^t
, t [0; 1]

3. Si dimostri che il baricentro di una semicirconferenza omogenea di centro C (x0; y0)e raggio r NON è C.

1.6 Ascissa curvilinea.

Determinare l'ascissa curvilinea delle seguenti curve, a partire dall'istante t0. Riparametrizzare poi le curve tramite l'ascissa curvilinea.

1.

γ (t) = (t; t) , t₀= 0

Determinare l'ascissa curvilinea delle seguenti curve, a partire dall'istante t0. 1.

γ (t) =

e^t; e^−t; √ 2t

, t0= 0

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