ALCUNI PROBLEMI INTRODUTTIVI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

(1)

ALCUNI PROBLEMI INTRODUTTIVI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Problema n. 1 ( )

Un cateto di un triangolo rettangolo misura 50a e la sua proiezione sull’ipotenusa misura 14a. Determinare la tangente dell’angolo opposto al cateto noto e il perimetro del triangolo.

Risposta: tan =β ₂₄⁷ ; 2p = 400a

Nota: è sufficiente applicare le relazioni sui triangoli rettangoli e le proprietà degli angoli complementari.

Determinare l’area di un triangolo rettangolo sapendo che il perimetro è 2p = 36a e la tangente di uno dei due angoli acuti è ⁴₃. Determinare inoltre il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo e il raggio della circonferenza inscritta.

Risposta: A = 54a²;R_circ = ¹⁵₂ a R; _insc = 3a

Nota: è sufficiente applicare le relazioni sui triangoli rettangoli e ricordare che, per un angolo acuto, ^tan ₂

1 tan

sin ^α

α = ₊ α e ¹ ₂

1 tan

cosα = ₊ α ^.

Determinare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo di ipotenusa 15a, sapendo che la somma tra il seno dell’angolo minore e il doppio del coseno dell’angolo acuto maggiore è pari a ⁹₅.

Risposta: 2p = 36 ; a A = 54a² Nota: è sufficiente applicare le relazioni sui triangoli rettangoli e ricordare le proprietà degli angoli complementari. Non sono coinvolte equazioni goniometriche.

In un triangolo isoscele la somma della base con l’altezza è doppia del lato. Indicato con α l’angolo alla base e con β l’angolo al vertice, determinare: sinα ^,cosα^,

sinβ^,^cosβ ^.

Risposta: cosα = ³₅;sinα = ⁴₅; cosβ = ₂₅⁷ ;sinβ = ²⁴₂₅

Nota: porre t = cosα (oppure t = sinα )e, utilizzando sia le relazioni sui triangoli rettangoli che la prima relazione fondamentale della goniometria, scrivere la condizione richiesta; si ottiene un’equazione di secondo grado che presenta un’unica soluzione valida. Per trattare l’angolo β servono le formule di duplicazione.

Determinare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo di ipotenusa 15a , sapendo che la somma tra il seno dell’angolo minore e il doppio del coseno dell’angolo acuto maggiore è pari a 95

. Risposta: 2 p = 36a; A = 54a2

Nota: è sufficiente applicare le relazioni sui triangoli rettangoli e ricordare le proprietà degli angoli complementari. Non sono coinvolte equazioni goniometriche.

.

Risposta: 2 p = 36a; A = 54a2

.

. Risposta: 2 p = 36a; A = 54a2

(2)

Esercizi introduttivi di trigonometria

Prof. Franco Fusier Rev. 03/2012 - Pag. 2

ALCUNI PROBLEMI STANDARD SUI TRIANGOLI QUALUNQUE

Data una circonferenza di raggio r, siano AB e BC due corde di lunghezza 3

AB = r ^eBC = r 2, si richiede di:

1) determinare la lunghezza della corda AC; 2) determinare la lunghezza della mediana AM; 3) determinare la lunghezza della mediana CN.

Risposte: AC = ^{2 1}⁽₂⁺ ³⁾r^,AM = ⋅r ⁴⁺₂ ³ ^,CN = ⋅r ^{5 2 3}⁺₂ ^.

Nota: il problema può essere risolto applicando il teorema della corda e il teorema di Carnot; la lunghezza di AC si può determinare facilmente anche con il teorema delle proiezioni.

Problema n. 2 ( )

Data una circonferenza di raggio r, sia AB una corda di lunghezza AB = r 3^eP un punto appartenente al minore dei due archi AB. Posto x = PABˆ , si richiede di:

1) determinare il campo di variazione di x;

2) determinare per quale valore di x il perimetro del triangolo ABP è pari a (₂₊ _{3 r}) ;

3) l’espressione della funzione 2 p = f ( )x , che fornisce la misura del perimetro al variare di x;

4) il valore massimo del perimetro del triangolo ABP (massimo della funzione f) e il corrispondente valore di x.

Risposte: x∈

( )

0;^π3 ^, x = ^π₆ ^,

( ) ( ₃ _sin _{3 cos} )

f x = ⋅r + x + x ^;

( )

max 6

2p = 2+ 3 r, ottenuto per x = ^π

Nota: il problema può essere risolto applicando il teorema della corda, le proprietà dei quadrilateri inscritti in una circonferenza e il metodo dell’angolo aggiunto (espressioni lineari).

Nota: le soluzioni non sono state ricontrollate.

B A

O

γ P

π−γ

γ x

γ=π/3

γ−x

C

. Risposta: 2 p = 36a; A = 54a2

.

. Risposta: 2 p = 36a; A = 54a2