Per calcolare l’integrale definito

0.5 setgray0 0.5 setgray1

note aggiuntive 1

Metodo diretto dei logaritmi e delle arcotangenti

Per calcolare l’integrale definito

A(x)

B(x) d x della funzione razionale A(x)

B(x) si pu` o applicare il seguente metodo, che non richiede che il grado del numeratore sia inferiore a quello del denominatore.

Si scompone B(x) in un prodotto di fattori reali irriducibili lineari e quadratici. Si esprime quindi l’integrale mediante una somma di una funzione razionale (detta componente razionale) e di una combinazione lineare a coefficienti numerici reali di logaritmi naturali dei moduli dei suddetti fattori e di arcotangenti delle derivate dei fattori di secondo grado divise per le radici quadrate dei valori assoluti dei rispettivi discriminanti. La componente razionale ha come denominatore il prodotto dei fattori distinti di B(x) presi ciascuno con esponente dimuinuito di uno, mentre il suo numeratore `e un polinomio da determinare. Detto µ il grado di tale polinomio, ν il grado del denominatore della componente razionale, e detti m := deg A(x), n := deg B(x), allora

µ =

⎧ ⎨

⎩

ν − 1 se m < n

ν + m − n + 1 se m
n.

Si uguaglia poi l’integrale

A(x)

B(x) d x all’espressione cos`ı ottenuta e si derivano i due membri

dell’uguaglianza. Applicando il principio di identit` a dei polinomi si determinano infine i coefficienti.