Esercitazione in aula n. 2
1. La temperatura all’interno di una fornace fluttua, nella ripetizione dell’esperimento, come una variabile aleatoria X caratterizzata dalla seguente funzione della distribuzione:
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ° > ° < < ° − ° < = C x C x C c bx C x x F 810 1 810 800 800 0 ) ( a) Determinare le costanti b e c;
b) Qual è il valore atteso della temperatura nella fornace?
c) Se le specifiche del processo chimico richiedono che la temperatura della fornace sia compresa tra 802 e 808°C, qual è la probabilità che la fornace operi al di fuori delle specifiche?
Soluzione [ a) b=1/10, 80c= ; b) 805 C° ; c) 0.40 ]
2. Una reazione chimica è favorita da un catalizzatore di nichel finemente suddiviso. Le particelle del catalizzatore possono essere considerate come delle sfere di varia grandezza, aventi massa compresa tra 10 e 70μ . Sia X la variabile aleatoria che definisce la massa di una particella di g
catalizzatore. La funzione densità di probabilità di X è data da 10 10 70 ( ) 1800 0 altrove x x f x − ⎧ < < ⎪ = ⎨ ⎪⎩ Calcolare:
1) il valore atteso della massa delle particelle;
2) la deviazione standard della massa delle particelle;
3) la funzione della distribuzione della massa delle particelle; 4) la mediana della massa delle particelle;
5) la percentuale di particelle che hanno massa inferiore a 30μ . g
Soluzione [ 1) 50; 2) 14.142; 3) 2 ; 4) 52.43; 5) 0.111 ] (x −20x+100) / 3600
3. Nel circuito elettrico di un certo impianto sono presenti n=50 relais. La probabilità di buon funzionamento di ciascuno di tali componenti, per un fissato intervallo di tempo, è pari a 0.98. Qual è la probabilità che nell’intervallo di tempo considerato si guastino al più 3 relais?
Soluzione [ 0.9822 ]
4. Il diametro dei punti prodotti da una stampante è una variabile aleatoria X con distribuzione Normale, di media pari a 0.05 mm e deviazione standard pari a 0.01 mm.
Determinare:
1) La probabilità che il diametro di un punto di stampa sia maggiore di 0.065 mm;
2) La probabilità che il diametro di un punto di stampa sia compreso tra 0.035 e 0.065 mm; 3) La deviazione standard che la variabile X dovrebbe avere, affinché la probabilità che il
diametro di un punto di stampa sia compreso tra 0.035 e 0.065 mm sia pari a 0.995. Soluzione [ 1) 0.06681; 2) 0.86638; 3) 0.0053 mm ]
5. La struttura logica di funzionamento di un certo sistema può essere assimilata per analogia ad un circuito di interruttori costituito da tre rami collegati in parallelo e così composti: nel primo ramo è presente un solo interruttore, mentre nel secondo e nel terzo ramo sono presenti due interruttori collegati in serie. Ciascun interruttore funziona in maniera indipendente dagli altri e, nell’arco di tempo prefissato, può risultare “chiuso” con probabilità p o “aperto” con probabilità (1-p). Calcolare la probabilità di buon funzionamento del sistema, equivalente alla probabilità che ci sia continuità di corrente nel circuito. Soluzione [ 1 (1− −p)(1−p2 2) ]
