A
-
A.1 A
Il programma di simulazioni della risalita del magma all’interno del condotto vulcanico risolve il sistema di equazioni 2.1-2.26, insieme a quelle che forniscono le proprietà del magma in funzione delle condizioni locali. Il codice è costituito da un corpo centrale e da alcune routine esterne, di cui le principali sono:
solwcad2 risolve le equazioni di saturazione delle specie volatili e calcola la composizione della fase gas (Papale, 1999a);
lsode risolve numericamente il sistema di equazioni differenziali ordinarie 2.8-2.11 (Hindmarsh, 1980).
Le simulazioni che CONDUIT4 è in grado di eseguire sono di due tipi differen-ti: è possibile fissare il valore del flusso di massa e far calcolare al programma il diametro del condotto vulcanico che corrisponde al raggiungimento della condi-zione di flusso bloccato (o in alternativa P = 1 bar) all’uscita del condotto; oppure è possibile fissare il diametro del condotto e ricavare il valore di flusso di massa tale da raggiungere la condizione di flusso bloccato all’uscita del condotto. In entrambi i casi il codice integra il sistema di equazioni 2.8-2.11 lungo il condotto, restituendo la distribuzione delle variabili di flusso e delle proprietà del magma dalla base all’uscita del condotto.
Il tipo di simulazione che si desidera effettuare va indicata nel file di input dove devono essere inserite tutte le informazioni relative alle caratteristiche del sistema, come la pressione del magma all’interno della camera magmatica, la composizione del magma, il contenuto in volatili, la lunghezza del condotto, e quali modelli utilizzare per il calcolo delle proprietà della miscela.
Questo codice di calcolo, infatti, ha integrate al suo interno diverse procedure per il calcolo della frammentazione, della viscosità del liquido e dell’influenza dei cristalli per il calcolo della viscosità della fase densa. Come criterio per determi-nare il livello al quale si verifica la frammentazione è possibile adottare un valore critico della frazione in volume del gas, il criterio elaborato da Papale (1999c) e descritto dall’equazione 2.5, o il criterio di Melnik (2000). Per il calcolo della visco-sità del liquido è possibile selezionare il metodo più adeguato in funzione della composizione del magma tra il modello di Shaw (1972) e una delle parametriz-zazioni basate su misure sperimentali; per la valutazione dell’effetto dei cristalli sulla viscosità della fase densa è possibile utilizzare il modello di Einstein-Rescoe, quello di Shermann o semplicemente fissare il valore del rapporto tra la viscosità della miscela liquido+cristalli e quella del solo liquido. Inoltre occorre indicare nel file di input se il programma deve trattare il gas come reale o come ideale, e se le bolle di gas sono indeformabili o soggette all’assottigliamento per defor-mazione dovuto all’instaurarsi di gradienti di velocità della miscela magmatica all’interno del condotto.
Infine nel file di input (vedi figura A.1) è stato necessario aggiungere un flag che permettesse di specificare il tipo di condotto vulcanico (condotto cilindrico o fessura) in modo da poter selezionare le procedure da eseguire e i dati da stampare a seconda del tipo di condotto.
irest
flux po to dl
sigma cbd bnd tki delta
rtol dtout extrpt ginf pdown xdiam alfab alfaa tensst ichok kchok iextr ifiss ireag nlab1 itran imtran maxlpa maxlpb nkp
kvisc ivcomp ifrag ishth icmp ibvisc iwsat nox sio2 tio2 al2o3 fe2o3 feo mno mgo cao na2o k2o h2o co2
nfasi kcro ivcr dvisc pfase(1) dfase(1) pfase(2) dfase(2) ... pfase(nfasi) dfase(nfasi) ndz di(1) z(1) di(2) z(2) ... di(ndz) z(ndz)
A.2 A
Le modifiche che è stato necessario apportare al codice di calcolo CONDUIT4 per adattarlo ai condotti con geometrie non divergenti sono le seguenti:
1. modifica del file di input per introdurre la descrizione della geometria del condotto nel programma di calcolo;
2. introduzione di una procedura per il calcolare del flusso di massa per unità di area, del diametro idraulico e del gradiente dell’area in funzione dell’altezza nel condotto.
3. introduzione di una procedura per l’integrazione per via numerica delle equazioni di trasporto nella regione omogenea al di sotto del livello di essoluzione (equazioni 3.17 e 3.18);
4. introduzione di nuovi termini nelle equazioni di trasporto relative alla regione di flusso bifase in acordo con le equazioni 3.23-3.30.
Inoltre è stato necessario modificare la parte di codice già esistente per integrare le nuove procedure e per tener conto della variazione di alcune gradezze che nel precedente caso, invece, erano costanti.
Nelle seguenti sottosezioni vengono mostrate le maggiori modifiche che è stato necessario apportare, riportando anche le parti di codice di calcolo modificate o aggiunte.
A.2.1 M duct.dat
Per descrivere le variazioni di larghezza del condotto vulcanico nel codice di calcolo, vengono utilizzati gli estremi dei segmenti che definiscono la geometria come punti di riferimento. A tal fine occorre indicare il numero (ndz) degli estremi dei segmenti, esclusa la base del condotto, e poi riportare ndz coppie di valori
(D0(i), z0(i)), dove D0(i) corrisponde alla larghezza del condotto e z0(i) all’altezza
dell’i-esimo estremo (vedi figura A.1). I valori indicati in tali coppie devono
essere normalizzati, il primo rispetto alla larghezza alla base del condotto (Do o
λ0 a seconda del tipo di condotto) e il secondo rispetto alla lunghezza totale del
Per essere di maggiore chiarezza mostriamo un esempio di come vanno ricavati i valori da inserire in duct.dat: supponiamo di avere un condotto alto 10.000m
(L),con una larghezza alla base di 50m (D0) e con una geometria come quella
riportato in figura A.2. I punti da riportare sono 3:
1. il punto in cui la larghezza del condotto comincia a diminuire, z = 3000m e
D = 50m;
2. il punto in cui la larghezza del condotto diventa costante, z = 7000m e
D = 10m;
3. l’uscita del condotto, z = 10000m e D = 10m.
Dopo aver normalizzato questi valori di z e D si ottengono i seguenti
10m 1000m z D 1 2 3
Figura A.2: esempio di condotto
dati da riportare in duct.dat: ndz=3
D’(1)=1. z’(1)=0.3 D’(2)=0.2 z’(2)=0.7 D’(3)=0.2 z’(3)=1.
dove l’apice ’ indica che si tratta di valori normalizzati.
Al fine di non rendere troppo e inutilmente pe-sante il file di input e il lavoro di lettura di es-so da parte del programma, il numero di punti
(D0(i), z0(i)) è stato limitato a 20; se il programma verifica che ndz > 20
stam-pa a video un messaggio di errore e interrompe la simulazione; lo stesso succede
se l’ultimo punto non coincide con l’uscita del condotto (ovvero z0(ndz) , 1).
Poiché se i punti di variazione di pendenza del condotto sono troppo vicini tra di loro la procedura di approssimazione (vedi paragrafo A.2.4) diventa inefficace, viene effettuato un ulteriore controllo sulla loro distanza; se essi risultano più
vicini di 10m (ovvero se z0(i) − z0(i − 1) ≤ 10/L) viene interrotta la simulazione e
A.2.2 P
Per cercare di velocizzare le procedure di calcolo e, quindi, le simulazioni, il calcolo della larghezza del condotto, del gradiente dell’area e del flusso di massa per unità di area è stato suddiviso in due subroutine:
diacalc calcola la larghezza del condotto, il diametro idraulico e il flusso di massa
per unità di area in funzione dell’altezza nel condotto;
vardia calcola il gradiente dell’area.
S diacalc
Questa subroutine calcola per prima cosa la larghezza del condotto all’altezza
z e poi ricava il diametro idraulico e il flusso di massa per unità di area.
Per il calcolo della larghezza vengono utilizzati metodi diversi a seconda della
posizione di z rispetto ai punti di variazione di pendenza z0(i). Nei dintorni
di tali punti viene applicata una interpolazione al fine di rendere graduale il cambiamento di pendenza delle pareti del condotto; cambiamenti bruschi, infatti, produrrebbero gradienti delle variabili di flusso troppo grandi che potrebbero risultare nell’impossibilità di ottenre risultati dall’integrazione numerica delle equazioni di trasporto.
R 2
Per ottenere la larghezza del condotto all’altezza z si considerano i punti (D0(i−
1), z0(i − 1)) e (D0(i), z0(i)) con z0(i − 1) < z < z0(i); poiché il condotto è simmetrico
R(i) R(i-1) Rz z(i) z(i-1) z a asse
Figura A.3: Porzione di condotto; R’=D’/2
rispetto alla verticale, il calcolo viene per semplicità eseguito solo su metà condotto e poi il valore ottenuto viene raddoppiato (vedi figura A.3):
| tan α| = R 0(i) − R0(i − 1) z0(i) − z0(i − 1) (A.1) R0 z = R0(i − 1) + (z0− z0(i − 1)) tan α ⇒ D0 z = D0(i − 1) + 2(z0− z0(i − 1)) tan α (A.2)
Tutti i calcoli vengono fatti su valori già normalizzati
per cui anche D0
Per i livelli che si trovano tra la base del condotto e il primo punto (z0(1)),
l’estremo inferiore del segmento corrisponde alla base del condotto per cui z0(i −
1) = 0 e D0(i − 1) = D
00 = 1.
Poiché la routine LSODE ha bisogno talvolta di calcolare le proprietà del mag-ma e le variabili di flusso anche per livelli leggermente al di fuori del condotto, è stato necessario prevedere il calcolo della larghezza del condotto al suo ester-no. A tal fine, è stato assunto che la geometria del condotto al suo esterno sia idealmente prodotta dal prolungamento dell’ultimo segmento così che la formula per ricavare la larghezza rimane la stessa e la pendenza da utilizzare è quella del
segmento compreso tra z0(ndz − 1) e z0(ndz):
D0
z = D0(ndz) + (z − 1) tan α (A.3)
ottenuta considerando che z0(ndz) = 1.
R `
Dopo aver studiato vari metodi di approssimazione e interpolazione di punti è stato deciso di utilizzare le splines cubiche interpolanti nei nodi, curve che hanno caratteristiche adatte alle nostre necessità (vedi (Fontanella and Pasquali, 1982) e appendice B).
L’intervallo di altezze in cui diacalc utilizza le splines va da 10m prima del
punto di variazione di pendenza a 10m dopo (ossia in un intorno di z0(i) di 10m
L ).
Per rendere graduale il passaggio dalle regioni in cui vengono applicate le splines alle regioni in cui vengono utilizzate le equazioni A.1-A.2 e viceversa, la derivata prima della splines ai limiti del loro intervallo di applicazione è stata posta uguale
alla pendenza dei segmenti di collegamento tra gli z0(i).
Per poter utilizzare le splines all’interno del programma sono state adottate delle routine già esistenti (Press et al., 1992):
spline serve a calcolare le derivate seconde della spline interpolante in base ai nodi, ovvero ai punti di riferimento della funzione di partenza;
splint calcola il valore della spline nel punto desiderato.
calco-lati il diametro idraulico normalizzato e il flusso di massa per unità di area (vedi equazioni 3.33 e 3.34) applicando le seguenti formule:
DH = D0 z se condotto cilindrico 2D0 z se fessura (A.4) ˙ mA= ˙ mA0 D0z2 se condotto cilindrico ˙ mA0 D0 z se fessura (A.5)
Le procedure descritte sono state tradotte nel seguente frammento di codice:
subroutine diacalc(t,dts,gt) c
c subroutine che calcola diametro e flusso di massa per unita c di area ad una altezza z.il diametro viene passato come c d* idraulico, quindi nel caso della fessura e doppio c
implicit real*8 (a-h,o-z) c
common /intblk/ iprint,nfasi,kcro,nox,ireag,nkp,itran,
* kpres,nfrag,kchok,ideter,isol,imtran,ibvisc,
* ichok,kvisc,ifrag,ifiss,iextr,ishth,kl,icmp,
* irest,kextr,iwsat
common /reablk/ ox(12),pfase(20),dfase(20),det(4),xtot(2),
* xyco(4),yex(4),g,b1,b2,pigr,flux,po,extrpt, * to,dl,deter,detchk,rorat,tensst, * wcr1,vzero,delta,dtexit,zexs,zfrag, * rozero,vcrs,bnd,cbd,alfab,alfaa,pdeng * ,rtol,dtout,dtexs,xdiam,alphao,rozrat,frpar, * ginf,flrate,pdown,dof,ps
common /grad/ dadtold,dtold,told common /geom/ ndz,z(20),di0,di(20) common /calcolo/ dtmem,tmem
common /fltemp/ gdia c
c gdo=gdia c if(t.gt.z(ndz)) then pend=(di(ndz)-di(ndz-1))/(z(ndz)-z(ndz-1)) dt=di(ndz)+((t-z(ndz))*pend) goto 92 endif c
c -utilizzo le spline quando sono in vicinanza dei raccordi-splinck=10.d0/dl do i=1,ndz-1 if(dabs(t-z(i)).le.splinck) then dadtint1=(di(i)-di(i-1))/(z(i)-z(i-1)) dadtint2=(di(i+1)-di(i))/(z(i+1)-z(i)) if(i.eq.1) dadtint1=dadtint2 dint(1)=di(i)-(splinck*dadtint1) dint(2)=di(i)+(splinck*dadtint2) zint(1)=z(i)-splinck zint(2)=z(i)+splinck n=2 call spline(zint,dint,n,dadtint1,dadtint2,y2) dev(1)=y2(1) dev(2)=y2(2) xint=t call splint(zint,dint,n,dev,xint,yint) dt=yint goto 92 endif enddo c ---if(t.le.z(1)) then pend=(di(1)-1.)/z(1) dt=1.+(t*pend) goto 92 endif do i=1,ndz if(t.le.z(i).and.t.gt.z(i-1)) then pend=(di(i)-di(i-1))/(z(i)-z(i-1)) dt=di(i-1)+((t-z(i-1))*pend) goto 92
endif enddo 92 continue c if(ifiss.eq.1) then gt=gdo/dt
c --- calcolo il diametro idraulico da passare---dts=2.d0*dt else gt=gdo/dt**2. dts=dt endif c return end c c ******************************************************* c subroutine spline(x,y,n,yp1,ypn,y2) c
c occorre passare due vettori x(n) e y(n) corrispondenti alle c ascisse e ordinate dei nodi e yp1 e ypn che devono essere i c valori della derivata prima nel nodo 1 e n
c viene restituito un vettore y2(n) che contiene le derivate c seconde della funzione interpolante , nei nodi
c
implicit real*8 (a-h,o-z) c
common /geom/ ndz,z(20),di0,di(20) common /splin/ der(20)
c integer NMAX dimension x(ndz),y(ndz),y2(20) parameter(NMAX=500) integer i,k dimension u(NMAX) c if(yp1.gt..99d30) then y2(1)=0.d0 u(1)=0.d0 else
y2(1)=-0.5 u(1)=(3.d0/(x(2)-x(1)))*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-yp1) endif do i=2,n-1 sig=(x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1)) p=sig*y2(i-1)+2.d0 y2(i)=(sig-1.d0)/p u(i)=(6.d0*((y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))-(y(i)-y(i-1)) * /(x(i)-x(i-1)))/(x(i+1)-x(i-1))-sig*u(i-1))/p enddo if(ypn.gt..99d30) then qn=0.d0 un=0.d0 else qn=0.5 un=(3.d0/(x(n)-x(n-1)))*(ypn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1))) endif y2(n)=(un-qn*u(n-1))/(qn*y2(n-1)+1.d0) do k=n-1,1,-1 y2(k)=y2(k)*y2(k+1)+u(k) enddo return end c c ********************************************************** c subroutine splint(xa,ya,n,y2a,x,y) c
c i vettori xa(n), ya(n) tabulano la funzione, sono i nodi c y2a(n) e il vettore delle derivate seconde (da "spline") c x e l’ascissa alla quale si vuole calcolare il valore c della spline cubica interpolante
c y e il valore cercato (output) c
implicit real*8 (a-h,o-z) c dimension xa(n),ya(n),y2a(n) integer k,khi,klo c klo=1 khi=n
1 if(khi-klo.gt.1) then k=(khi+klo)/2 if(xa(k).gt.x) then khi=k else klo=k endif goto 1 endif h=xa(khi)-xa(klo) if (h.eq.0.)then
write (*,*) ’bad xa input in splint’ stop endif a=(xa(khi)-x)/h b=(x-xa(klo))/h y=a*ya(klo)+b*ya(khi)+ * ((a**3-a)*y2a(klo)+(b**3-b)*y2a(khi))*(h**2)/6.d0 return end S vardia
Questa subroutine calcola il gradiente normalizzato dell’area ad una certa altezza z come il rapporto tra la differenza di larghezza del condotto tra il livello
z0 e un livello z0
2 = z0 · 1.00001 leggermente più in alto, e la differenza tra queste
due altezze: dA0 dz0 = A0− A0 2 z0− z0 2 dove A0 = D02 z se condotto cilindrico λ0 = D0z 2 se fessura è l’area normalizzata.
Il gradiente dell’area viene calcolato per mezzo del seguente frammento di codice:
subroutine vardia(ts,dAdt) c
c subroutine che calcola dAdt (ovvero ddsdt)
c considerando un t leggermente piu "basso" (t*.99999) c NOTA BENE:il diametro considerato e il diametro idraulico
implicit real*8 (a-h,o-z) c
common /intblk/ iprint,nfasi,kcro,nox,ireag,nkp,itran,
* kpres,nfrag,kchok,ideter,isol,imtran,ibvisc, * ichok,kvisc,ifrag,ifiss,iextr,ishth,kl,icmp, * irest,kextr,iwsat c tolds=ts*1.00001 c tolds=ts*.99999 call diacalc(tolds,dtolds,gtold) call diacalc(ts,dts,gt) c if(ifiss.eq.0) then dAdt=(dts**2-dtolds**2)/(ts-tolds) else dAdt=(dts-dtolds)/(ts-tolds) endif return end
A.2.3 I
Come spiegato nella sottosezione 3.2.3 (pagina 35), l’introduzione delle va-riazioni di larghezza del condotto ha comportato la necessità di adottare una procedura numerica anche per l’integrazione delle equazioni di trasporto nella regione omogenea, e quindi per la determinazione dell’altezza del livello di es-soluzione. Nei condotti a sezione costante, nella regione di flusso senza bolle densità e velocità della miscela erano costanti per cui, calcolata la pressione di saturazione dei volatili, era possibile ricavare analiticamente l’altezza del livello di essoluzione tramite l’equazione 2.6; nel nuovo modello, la variazione della velocità della miscela non permette di utilizzare la stessa formula o di ricavarne una analoga.
delle equazioni di trasporto dal livello di essoluzione all’uscita del condotto (LSO-DE). LSODE risolve il sistema omogeneo (equazione 3.17 per il condotto cilindrico e 3.18 per la fessura) a partire dalla base del condotto fino al livello al quale ricava una pressione minore o uguale a quella di saturazione dei volatili (vedi codice riportato nel seguito). La scelta di un intervallo di integrazione adeguatamente piccolo assicura che la pressione ottenuta da LSODE differisca da quella calcolata in base ai modelli di saturazione, soltanto di pochi Pascal (al massimo 10 Pa); considerando i valori non dimensionalizzati delle due pressioni, essi differiscono a partire dalla settima cifra decimale.
Il sistema di equazioni di trasporto nella regione di flusso bifase è non-dimensionalizzato; per coerenza, quindi, è stato deciso di non-dimensionalizzare anche il sistema delle equazioni di trasporto nella regione omogenea. La nor-malizzazione è stata eseguita riferendo le variabili al loro valore alla base del condotto e, nel caso dell’altezza z, alla lunghezza totale del condotto; le sostitu-zioni applicate sono riportate nella tabella A.1. In seguito alla normalizzazione le
equazioni 3.17 e 3.18 hanno assunto la forma adP
0 dz0 = b, con a = P0 ρ0L b = u2 m LD02 H dD02 H dz0 −2 f u 02 m DH − g se condotto cilindrico u2m LD0H dD0 H dz0 − 2 f u02 m DH − g se fessura dove um = mA˙ρ .
Tabella A.1: parametri per la normalizzazione
z0 = z/L uG0 = u G/u0 A0 = A/A 0 uD0 = uD/u0 DH0 = DH/D0 ρG0 = ρG/ρ0 P0 = P/P 0 ρD0 = ρD/ρ0 u0 m = um/u0 ρM0 = ρm/ρ0
Il livello di essoluzione viene calcolato per mezzo del seguente frammento di codice:
c ---set lsode for exsolution---neq2=1 itol2=1 atol2=0. rtol2=1.d-8 itask2=1 istate2=1 iopt2=0 lrw2=36 liw2=20 mf2=10 rwork2(5)=0. rwork2(6)=0. rwork2(7)=0. iwork2(5)=0 iwork2(6)=100000 iwork2(7)=0 c ---loop start---10 continue tex=t2+dtex zsex=tex call lsode(f2,neq2,xpex,t2,tex,itol2,rtol2,atol2,itask2, * istate2,iopt2,rwork2,lrw2,iwork2,liw2,jac2,mf2) zs1=zsex c ---check valore---ptemp=xpex(1) deltap=dabs((ptemp-ps)/ps) tol=1.d-4 if(ptemp.le.ps) goto 100 c ---set dtex---dtexold=dtex if(deltap.le.1.d-1) then if(deltap.le.1.d-3)then dtex=dtexs*1.d-3 else dtex=dtexs*deltap endif
else do i=2,ndz if(dabs(tex-z(i)).le.1.d-8) then dtex=dtexs*.1 else dtex=dtexs endif enddo endif c ---texold=tex ptempold=ptemp goto 10
A.2.4 I
Il codice di calcolo risolve il sistema di equazioni di trasporto utilizzando va-riabili non-dimensionalizzate; per questo è stato necessario normalizzare i nuovi coefficienti. Il criterio seguito per normalizzare le variabili è lo stesso utilizzato per le equazioni della regione omogenea e riportato nella tabellaA.1.
La figura A.4 mostra come la matrice A dei coefficienti delle variabili e il vettore B dei termini noti, effettuate le possibili semplificazioni per i due tipi di condotto. Come si può notare, gli unici termini in cui le due matrici differiscono sono b(1) e b(2), ovvero i temini delle equazioni di conservazione della massa dove compare il termine legato all’area.
A z }| { u 0 ρ G 0 G αρ 0 G 0 α u 0 G dρ 0 G dP 0 − (1 − wcr 0 ) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 − u 0 Dρ 0 D 0 (1 − α )ρ 0 D (1 − α )u 0 D dρ 0 D dP 0 + (1 − wcr 0 ) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 0 ρ 0 u G 0 α G 0 α Po ρ0 u 2 0 + δ( u 0 G− u 0 D) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 0 0 ρ 0 Du 0 D(1 − α ) (1 − α )Po ρ0 u 2 0 + (1 − δ)( u 0 G− u 0 D) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 B z }| { − α u 0 Gρ 0 G DH 02 d( ds 0) dz 0 − (1 − α )u 0 Dρ 0 D DH 02 dA 0 dz 0 − (ξ 0 (u 0 − G u 0 D) + F 0 WG ) − ρ 0 Ggα L u 2 0 (ξ 0 (u 0 − G u 0 D) − F 0 WD ) − ρ 0 Dg(1 − α )L u 2 0 (a) condotto cilindrico A z }| { u 0 ρ G 0 G αρ 0 G 0 α u 0 G dρ 0 G dP 0 − (1 − wcr 0 ) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 − u 0 Dρ 0 D 0 (1 − α )ρ 0 D (1 − α )u 0 D dρ 0 D dP 0 + (1 − wcr 0 ) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 0 ρ 0 u G 0 α G 0 α Po ρ0 u 2 0 + δ( u 0 G− u 0 D) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 0 0 ρ 0 Du 0 D(1 − α ) (1 − α )Po ρ0 u 2 0 + (1 − δ)( u 0 G− u 0 D) ˙mA ρ0 u0 dw G dP 0 B z }| { − α u 0 Gρ 0 G D 0 H d( ds 0) dz 0 − (1 − α )u 0 Dρ 0 D D 0 H d( ds 0) dz 0 − (ξ 0 (u 0 − G u 0 D) + F 0 WG ) − ρ 0 Ggα L u 2 0 (ξ 0 (u 0 − G u 0 D) − F 0 WD ) − ρ 0 Dg(1 − α )L u 2 0 (b) fessura Figura A.4: Matrice del sistema (A) e vettor e dei termini noti (B); d( ds 0 ) dz 0 è la variazione di ar ea normalizzata, wcr 0 è la frazione in peso di cristalli
