Fisica dell’informazione

Testo completo

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Corso di Laurea in FISICA

Corso di Laurea in Fisica Corso di

Fisica dell’informazione

La codifica dei dati e la trasmissione dei segnali Elementi di teoria del rumore

Prof. Luca Gammaitoni

Informazioni sul corso:

www.fisica.unipg.it/gammaitoni/fisinfo

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Schematizzare la comunicazione Schematizzare la comunicazione

A Mathematical Theory of Communication

C. Shannon, 1948

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Segnale al ricevitore

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Forme del rumore

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In che modo il rumore condiziona la comunicazione Che cos’è il rumore? Da dove viene?

Si può evitare?

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In che modo il rumore condiziona la comunicazione Canali di comunicazione:

proprietà

La larghezza di banda in un mezzo di trasmissione

Il rapporto S/N

Capacità di canale (II teorema di Shannon)

C = B log (1+S/R)

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Per scoprirlo prendiamo in considerazione uno dei più antichi e tradizionali sistemi fisici:

Il pendolo semplice

Motion equation

Che cos’è il rumore? Da dove viene?

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Here is the simple pendulum

Equation of motion 1 dim

damping

forcing

Small oscillation approximation

Volendo complicare

Volendo complicare

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Consideriamo un pendolo semplice pendolo semplice reale reale

Che succede se lasciamo il pendolo fermo in posizione di equilibrio ?

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Il pendolo non sta fermo…

Ma oscilla in modo più o meno casuale attorno alla

sua posizione di equilibrio

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Limite delle piccolissime approssimazioni piccolissime

Esempio: misura della posizione di un pendolo reale.

Mass m= 1 Kg Length l = 1 m

rms motion = 2 10-11 m Mass m= 1 g

Length l = 1 m

rms motion = 6 10-10 m Mass m= 10-6 g

Length l = 1 m

rms motion approx 1 mircon

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Da dove viene questo moto

irregolare ed incessante?

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Il caso del Moto Browniano

1828 R. Brown 1905 A. Einstein

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Moto browniano

Moto browniano   thermal noise thermal noise

Thermal noise (

Thermal noise (rumore termicorumore termico)) = fluctuationsfluctuations affecting a physical observable of a macroscopic system at thermal equilibriumthermal equilibrium with its environment.

E’ necessario un nuovo modello matematico basato su di una descrizione di tipo statistico

a) Fokker-Plank equation b) Langevin Equation

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LL’equazione ’equazione del del moto di moto di Newton (f = ma) viene modificata Newton (f = ma) viene modificata perper far far posto posto a a forze di tipo forze di tipo non non deterministicodeterministico

Langevin

Langevin equationequation:

Ci sono due tipi di forze che agiscono sul grano di polline:

1) A viscous dragA viscous drag,

che puo’ essere rappresentato da una forza viscosa (moto in un fluido)

2) A fluctuating forceA fluctuating force,

che rappresenta l’effetto dell’impatto casuale delle molecole

!

"6 # $ a ˙ x

! ( ) t

m x && = ! 6 " # a x & + $ ( ) t

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Generalizzazione:

La forza di attrito viscoso può essere generalizzata per assumere espressioni in grado di soddisfare anche altri tipi di forze di attrito

! !

!"

#

m t x d

t

$ ( % ) & %

Generalized Langevin equation Generalized Langevin equation

m x m t x d t

t

&& = ! ( ! ) & + ( )

!"

# $ % % &

E’ la forza stocastica che rappresenta l’azione del rumore

! ( ) t

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Per il pendolo

&& ( ) & ( )

x x t x d t

p

m

t

= ! ! ! +

!"

#

$

2

% & & '

La scelta della funzione di dissipazione e della forza stocastica tuttavia non è del tutto libera. Se si vogliono rispettare i dettami del principio di

equipartizione dell’energia la nostra scelta deve rispettare il cosiddetto:

teorema di fluttuazione-dissipazione teorema di fluttuazione-dissipazione

figura

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Riferimenti

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